证明行列式和矩阵等于零的几种经典方法

第一篇：证明行列式和矩阵等于零的几种经典方法

前言：

一、线代的特点：

1、内容抽象

2、概念多

3、符号多

4、计算原理简单但计算量大

5、证明简洁但技巧性强

6、应用广泛

二、学习中要注意的问题

1、不要急于求成，不要急于做难题。要分层次，扎扎实实的学习

2、熟练掌握基本内容。

基本概念（定义、符号）

基本结论（定理、公式）

基本计算（计算行列式、解线性方程组、求逆矩阵等）

基本证明和推理方法

3、自己动手推证书中的每个结果

尽量体会结论、证明的思想方法

用自己喜欢的方式写出简要总结

4、贯穿前后，注意发现线代课内容的重要规律。

提出问题的规律（存在、个数、结构、求法）

变换和标准形式（如行列式和上三角行列式）

问题相互转化

5、要多与同学讨论，虚心向别人请教问题。要经常提出问题，思考问题，乐于同别人交 流

该方法引至李永乐老师的讲义，由KJ1234CN整理

一、行列式等于零的证明方法

例题1：A^2=A,A≠E,证明|A|=0(复习全书理工类P364例1.35)

由于书上已经有详尽的解题方法（四种），KJ不再复述，KJ在此只强调证法二 在这里有一种常见的错误解法

由A^2＝A，有A（A－E）＝0，∵A≠E∴（A－E）≠0，∴A=0 ∴|A|=0

其错误在于没有搞清楚矩阵的运算规则，AB＝0，若B≠0不能推出A＝0。

例如

[1 1][ 1 1]

[1 1][-1-1]=0,但是A、B都不等于0

（KJ废话：该种方法由错误的方法解出了正确的答案，很多人在做题过程中经常只对答 案而不管过程，考试的时候也使用他用过的错误的方法，结果出来的分数与他估计的相 去甚远，其原因我想也就在与此！他们没有细细体味书上的解题过程，也没有反省自己 的解题方法与书上的不同之处。KJ奉劝大家，在看书时，对于例题一定要先做后看，并 对和书上的不同的解题方法细细体会，辨别对错）

二、矩阵等于零的证明方法

例题2：A是m*n的矩阵，B是n*p的矩阵，R(B)=n。证明当AB＝0时，A＝0 证法一：<方法>矩阵的秩等于0，则矩阵等于0

∵AB＝0，∴B的每一列都是AX＝0的解

又∵齐次方程组的基础解系的向量个数＝未知数的个数－系数矩阵的秩；R(B)=n ∴AX＝0的解中至少有n个线性无关，n-R(A)≥n

∴0≤R(A)≤0 ∴R(A)=0

证法二：

∵R(B)=n∴设β1，β2......βn是B中线性无关的列向量

设B1＝(β1，β2......βn),则B1可逆

∴AB1=0

∴AB1B1^-1=0B1^-1=0

∴A =0

证法三：<方法>矩阵的每一个元素都为0

将A按矩阵的通用表示方法表示，B按行分列

[a11...a1n]

[.........]=A

[an1...ann]

[α1]

[α2]

[...]=B

[αn]

则

[a11α1+...+a1nαn]

[..........]=AB=0

[an1α1+...+annαn]

∴有方程组

[a11α1+...+a1nαn=0

[..........=0

[an1α1+...+annαn=0

∵R(B)=n∴α1...αn现性无关

∴

a11...a1n＝0

.........an1...ann=0

∴A=0

通过方法三，我们要注意到矩阵乘法的一些简便运算，即:初等矩阵P左(右)乘A，所得P A(AP)就是A作了一次与P同样的行(列)变换。

例如：

[ 1 0 0]

[ 0 1 0]

[-1 0 1]相当于第一行乘以－1加到第三行

再如：

[ 1 0 1][ 1 2 3]

[ 0 1 0][ 2 3 4]=

[ 1 2 0][ 3 4 5]

[α1+α3]

[α2]

[α1+2α2]=

[4 6 8]

[2 3 4]

[5 8 11]

第二篇：3矩阵的证明

矩阵的证明

常见的有矩阵秩的证明，向量组的线性相关性证明等，这些大部分都可以利用矩阵式来解决。掌握好关键的几点。

第一：矩阵式的表示

第二：矩阵秩和相关性的关系（秩小于向量的个数，线性相关，秩等于向量的个数，线性无关）

第三：掌握秩的有关结论，主要有八个结论，用得比较多的有

7.8.AmnBnl0R(A)R(B)nABCR(C)R(A),R(B)

第三篇：总结求逆矩阵方法

总结求逆矩阵方法

直接算会死人的。根据矩阵特点用不用的分解，写成几个例程，每次实验之前进行尝试，根据尝试结果在算法里决定里决定用哪个。

irst 我想问：

1.全阶矩阵A的求逆运算inv(A)和稀疏矩阵B（阶数和a一样）的求逆运算inv(B)是不是采取一样的方法啊？也就是说他们的计算量是不是一样的啊？不会因为是稀疏矩阵就采取特殊的方法来处理求逆吧？

我电脑内存256M，做4096*4096的矩阵求逆还可以，上万阶的就跑不动了

稀疏存储方式会减少不必要的计算，虽然原理还是一样，不过

计算量大大减少了。

2.如果一个矩阵C非零元素都集中在主对角线的周围，那么对C求逆最好 应该采用什么样的方法最好呢？

一般还是用LU分解＋前后迭代的方法，如果矩阵对角占优就更好办了。

只不过还是需要稀疏存储。

稀疏矩阵的逆一般不会是稀疏矩阵，所以对高阶的稀疏矩阵求逆，是不可行的，对1万阶的全矩阵需要的内存差不多已经达到了pc的极限，我想最好的办法就是迭代，既然是稀疏，乘法的次数就有限，效率还是很高的。

不过求逆运算基本上就是解方程，对稀疏矩阵，特别是他那种基本上非零元素都在对角线附近的矩阵来说，LU分解不会产生很多的注入元，所以用LU分解解方程方法的方法是可行的。

如果用迭代法，好像也就是共轭梯度法了。

C的资源网络上有很多 google一下

或者到www.xiexiebang.com上找找

或者用IMSL for C 或者用Lapack

或者用Matlab+C混合编程

有现成代码，但要你自己找了 也可以使用程序库

second

30,000*30,000的稀疏矩阵求逆如何实现？

试试基于krylov子空间方法的算法吧。

如arnoldi和GMRES方法。

matlab中有函数可以直接调用。

直接help gmres就可以了。

如果效果还不好。

就用用预处理技术。

比如不完全lu预处理方法。等等。

各种各样的预处理+GMRES是现在解决大规模稀疏矩阵的主力方法。

维数再多还是用不完全LU分解预处理+CG or Gmres 我一个同学这么求过200W阶的矩阵

求逆一般是不可取的，无需多说。但稀疏矩阵的直接解法还是不少的。基本上都是对矩阵进行重新排序以期减少填充或运算量。

在matlab里面，有许多算法可以利用：

colamd, colmmd, colperm, spparms, symamd, symmmd, symrcm.根据是否对称，采用LU分解或者chol分解。

这些算法在internet上搜一下，很多都有相应的C或fortran版本。

稀疏矩阵的存储最常见的是压缩列（行）存储，最近发现一种利用hash表来存储的，其存取复杂度是O（1）,很是不错。有幸趣的可以看看下面网页咯，作者提供了源程序。

事实上Hash表存储的效率也跟Hash算法有关，弄不好的话，不见得比直接按行或者列

顺序检索快。而且规模越大，效率肯定越来越低。

http://www.informatik.hs-bremen.de/~brey/

对称正定的稀疏矩阵很好办啊，用LU分解就可以了。

如果维数实在太大，比如超过10^4量级，那就只能用

共轭梯度法之类的迭代法求解了。好多文献中用Cholesky分解处理的，好像结果还可以

你觉得LL’分解不会破坏矩阵的稀疏性么——如果矩阵不是带状的话？

而且数值稳定性也有问题。

对于一些注入元不是很多的矩阵这应该是个好办法。

但是对于有些矩阵，LU分解后可能就把整个矩阵充满了。~ 这是比较郁闷的事情。

third

带状矩阵的逆有快速算法吗？

我觉得这个说法不对，至少在Matlab里面，使用稀疏矩阵求逆对于效率的提高还是很显著的。利用稀疏特性，很多对于零元素的操作就省掉了。如果原矩阵还是对称的，可以考虑三角分解，把单位阵的列向量作为右端项，求解得到的是对应的逆阵的列向量。

但是，按照前辈的说法，“绝大部分情况下，求逆阵肯定不是必需的”，这一说法我现在还是挺赞同的。至少，一般我们不会在有限元求解或者普通的线性方程组求解的时候，是先对系数矩阵求逆的吧。所以，我认为，逆阵在数学上很漂亮，对于公式推导有所帮助，但是在数值计算中是应该尽量避免直接计算它的，而且，更重要的是，在绝大部分情况下，是可以避免的。

第四篇：证明方法

2.2直接证明与间接证明BCA案

主备人：史玉亮 审核人:吴秉政使用时间：2012年2-1

1学习目标：

1.了解直接证明的两种基本方法，即综合法和分析法。了解间接证明的一种基本方法——反证法。

2.了解综合法和分析法的思考过程与特点，并会用两种方法证明。了解反证法的解题步骤，思维过程及特点。

重点：

1.对综合法和分析法的考查是本课的重点。应用反证法解决问题是本课考查的热点。

2.命题时多以考查综合法为主，选择题、填空题、解答题均有可能出现。反证法仅作为客观题的判断方法不会单独命题。

B案

一、直接证明

1.定义：直接证明是从___________或___________出发的，根据已知的_________、________________，直接推证结论的真实性。

2.直接证明的方法：______________与________________。

二、综合法

1.定义：综合法是从___________推导到______________的思维方法。具体地说，综合法 从__________除法，经过逐步的___________，最后达到_______________。

 

 „ 

三、分析法

1.定义：分析法是从__________追溯到__________的思维方法，具体地说，分析法是从________出发，一步一步寻

求结论成立的____________，最后达到

_________或__________。



  „ 

四、反证法的定义

由证明pq转向证明prt,t与_________矛盾，或与某个________矛盾，从而判定_________，推出___________的方法，叫做反证法。

预习检测：

1.已知|x|＜1，|y|＜1，下列各式成立的是（）

A.|xy||xy|≥2B.xyC.xy1xyD.|x||y|

ln2ln3ln5,b,c，则（）23

5A.abcB.cbaC.cabD.bac 2.若a

3.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（）

A.有两个内角是直角

B.有三个内角是直角

C.至少有两个内角是直角

D.没有一个内角是直角

4.abcd的必要不充分条件是（）

A.acB.bdC.ac且bdD.ac或bd

5.“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”的反证法设为（）

A.自然数a,b,c都是奇数B.自然数a,b,c都是偶数

C.自然数a,b,c中至少有两个是偶数D.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数

6.已知a是整数，a2为偶数，求证：a也是偶数。

C案

一、综合法

例1求证：12

3log19log1919

253log2

2.已知n是大于1的自然数，求证：log(n1)log(n2)

n(n1)

二、分析法

例2．求证

2变式突破： 已知a,b,c表示三角形的三边，m0,求证：

三、反证法：

例3．（1）证明：2不是有理数。

变式突破：若a、b、c均为实数，且ax2y

求证：a、b、c中至少有一个大于0.2abc ambmcm2,by22z3,cz22x6.当堂检测：

1.“x

0”是“0”成立的（）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.非充分非必要条件 D.充要条件

2.设alog54，b(log53)2，clog45，则（）

A.acbB.bcaC.abcD.bac

3.设x,y,zR，ax111,by,cz，则a,b,c三数（）yzx

A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于

22224.若下列方程：x4ax4a30,x(a1)xa0，x2ax2a0至少有2

一个方程有实根，试求实数a的取值范围。

A案

1.A、B为△ABC的内角，∠A＞∠B是sinAsinB的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.若向量a(x,3)(xR)，则“x4”是“|a|5”的（）

A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项的和，若a2a32a1且a4与2a7的等差中项为5，则S5=（）A.35B.33C.31D.29

44.定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)2xy(x,yR)，f(1)2，则f(2)等于（）A.2B.3C.6D.9

5.分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的（）

A.充分条件B.必要条件C.重要条件D.既非充分条件又非必要条件

6.下面四个不等式：①abc≥abbcca；②a(1a)≤2221ba；③≥2； 4ab

④(a2b2)(c2d2)≥(acbd)2，其中恒成立有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7.若x,y0且xy2，则1y1x1y1x和的值满足（）A.和的中至少xxyy

有一个小于2B.1y1x1y1x和都小于2C.和都大于2D.不确定 xxyy

8.已知、为实数，给出下列三个论断：

①0；②||

5；③|||个论断为结论，写出你认为正确的命题是______________。

9.设a0,b0,c0，若abc1，则

111≥______________。abc

第五篇：正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用（写写帮整理）

正定矩阵的判定方法及正定矩阵

在三个不等式证明中的应用

作者：袁亮（西安财经大学）

摘 要: 本文从正定矩阵的的定义出发，给出了正定矩阵的若干判定定理及推论，并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用.关键词: 正定矩阵，判定，不等式，应用

Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality.Keywords: positive definite matrix, determine, inequality, application

目 录 引言…………………………………………………………………4 2 正定矩阵的判定方法………………………………………………4 2.1 定义判定 …………………………………………………………5 2.2 定理判定 …………………………………………………………6 2.3 正定矩阵的一些重要推论………………………………………11 3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 …………………………15 3.1 证明柯西不等式 ………………………………………………15 3.2 证明Holder不等式……………………………………………16 3.3 证明Minkowski不等式…………………………………………18 结束语…………………………………………………………………21 参考文献………………………………………………………………22 引言 代数学是数学中的一个重要的分支，而正定矩阵又是高等代数中的重要部分．特别是正定矩阵部分的应用很广泛，n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中，占有十分重要的地位．它在物理学、概率论以及优化控制理论2中都得到了重要的应用，而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法，并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用.正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵，若对任意xRn，且x0，都有xTMx0成立2.本文从正定矩阵的定义，给出正定矩阵的判定定理，并给出正定矩阵的重要推论，这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用，并在矩阵对策，经济均衡，障碍问题3的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用，其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式，其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明，其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式，这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.2 正定矩阵的判定方法 2.1 定义判定

设A=aij,(其中aijC,i,j=1,2,…，n), A的共轭转置记为A=aji 定义11 对于实对称矩阵A=aij,（其中aijR,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有XTAX>0,则称A是正定矩阵.定义21 对于复对称矩阵A=aij,（其中aijC,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有XAX>0,则称A是正定矩阵．

例1 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证 BTAB为正定矩阵的充要条件是B的秩r（B）=n.证 [必要性] 设BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x0，有

xTBTABx0，即

BxTABx0.于是Bx0，因此，Bx0只有零解，从而rBn.[充分性] 因

BTABBTATBBTAB，T即BTAB为实对称矩阵.若秩rBn，则线性方程组Bx0只有零解，从而对任意实n维向量x0有Bx0.又A为正定矩阵，所以对于Bx0，有

BxTABx0, 于是当x0时，xTBTABx0.故BTAB为正定矩阵.例23 设 A 是 n 阶正定矩阵，B 是 n×m 实矩阵，B的秩为 m，证明 ：B'AB 是正定矩阵.证 因为

（B'AB）'=B'A'B=B'AB, 故 B'AB 是实对称矩阵，其次，由于秩 B=m，m≤n.故 BX=0 只有零解，因此，若任取非零实列向量 X 必有 BX≠0，因 A 是正定矩阵，故对任取的非零实列向量 X，必有

X'（B'AB）X=(BX)'A(BX)>0.因此 B'AB 是正定矩阵.注意 以上两个例子，是运用正定矩阵的定义来证明的.还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法.具体是，若 A 不是方阵，也不对称时，A'A，AA'是正定矩阵，若 A 是方阵，但不对称，则 A+A'是正定矩阵，同时，在证明的过程中，我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用.2.2 定理判定

定理11 n阶实对称矩阵A正定，当且仅当实二次f(x1,x2,…,xn)=XTAX的正惯性指数为n． 证 设实二次型f(x1,x2,…,xn)经过非退化线性变换得

a1x1+a2x2+…+anxn.（2.1）

222由于非退化实线性变换保持正定性不变，那么A正定当且仅当（2.1）是正定的，由定义3知（3.1）正定当且仅当ai>0(i1,2,,n)，因此，正惯性指数为n..d1定理21 实对角矩阵(i1,2,,n).d2正定的充分必要条件是di>0，dn证 由定理3.1得，实对称矩阵正定当且仅当二次型

f(x1,x2,…，xn)=d1x1+d2x2+…+dnxn.的正惯性指数为n，因此，di>0（i=1,2,…,n,）．

例3 设A为n阶实对称矩阵，证明：秩（A）=n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B，使ABBTA是正定矩阵.证 [充分性]（反证法）

反设rAn，则A0.于是0是A的特征值，假设相应的特征向量为x，即

Ax0x0，222所以

xTAT0.所以xTABBTAxxTABxxTBTAx0，和ABBTA是正定矩阵矛盾.[必要性] 因为rAn，所以A的特征值1,2,,n全不为0.取B=A，则

ABBTAAAAA2A2.22T,22,2它的特征值为212n全部为正，所以ABBA是正定矩阵.定义3 在实二次型fx1,x2,,xn的规范形中，正平方项的个数p称为fx1,x2,,xn的正惯性指数，负平方项的个数rp称为fx1,x2,xn的负惯性指数，它们的差prp2pr称为fx1,x2,,xn的符号差.定理31 实对称矩阵A是正定的充要条件矩阵A的秩与符号差n． 定理41 实对称矩阵A是正定的充要条件是二次型f(x1,x2,…

xn)=XTAX的系数矩阵A的所有特征值都是正数，即大于零.证

由文献[1]知，实对称矩阵A可对角化为

a1a2 an其中a1，a2,,an恰好是A的特征值，则二次型XTAX的标准形为：

a1x1+a2x2+…+anxn，222而非退化实线性变换保持正定性不变，由

f(x1,x2,…，xn)=a1x1+a2x2+…+anxn.正定得ai>0(i1,2,,n)．

例4设A为实对称矩阵，则当t充分大时，A+tE为正定矩阵.222证 设A的特征值为1,2,...,ni为实数，取tmaxi，则AtE的特

1in征值iti1,2,...,n全部大于零，因此当tmaxi时，AtE是正定矩阵.1in例5 设A为n阶实对称矩阵，且A33A25A3E0.证明：A正定.证 设是A的任一特征值，对应特征向量为x0，即Axx，代入已知等式

A33A25A3E0, 有

A33A25A3Ex33253x0，因为x0，故满足

332530.得

1或12i，因A为实对称矩阵，其特征值一定为实数，故只有1，即A的全部特征值就是10，这就证明A是正定矩阵.定理51 实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同． 证

实正定二次型的规范形为

x1+x2+xn.222(2.2.1)而（2.2.1）的系数矩阵为单位矩阵，非退化实线性变换保持正定性不变，而且新二次型的系数矩阵与原二次型的系数矩阵是合同的，故实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同．

定理62 实对称矩阵A是正定的充要条件是存在可逆矩阵C使得A=CTC． 证 设A为一正定矩阵，当切仅当A与单位矩阵合同，因此，存在可逆矩阵C，使得

A=CTEC=CTC.定理71 实对称矩阵A正定的充分必要条件是矩阵A的顺序主子式全大于零．

证 [必要性] 实对称矩阵A正定，则二次型

f(x1,x2,…,xn)=XAX=aijxixj是正定的，Ti1j1nn对于每一个k,1kn,令

fk（x1,x2,…，xk）=aijxixj，i1j1kk我们来证fk是一个k元正定二次型，对于一组不全为零的数c1，c2，…，ck，有

fk（c1，c2，…，ck）=fk（c1，c2，…，ck，0，…,0）>0, 因此，fk是一个k元正定二次型.由充要条件2得fk的矩阵行列式

a11a1k ak1akk>0,（k=1,2,…,n）.[充分性] 对n作数学归纳法 当n=1时，f(x1)=a11x1, 由条件a11>0，显然f(x1)是正定的．假定此论断对n-1元二次型成立，下证n元的情形.令

2a11a12A1=an1,1a12a22an1,2a1,n1a2,n1，an1,n1a1na2n，X=an1,nA1则 A=XTX.ann由A的顺序主子式全大于零可知A1的顺序主子式全大于零，由假设A1是正定矩阵，有n-1阶可逆矩阵 G，使得GTA1G=En1, 令

G0C1=01，则

C1TGTAC1=001A1XTXG0En1GTX.=Tann01XGann令

En1C2=0GTX, 1则

C2C1TT0En1GTXEn1AC1C2=XTG1XTGannEn1=0.TTannXGGX0En10GTX 1令

C=C1C2,a=ann-XTGGTX, 则有

11CTAC=.a两边取行列式得 C2A=a,由条件 A>0 知 a>0.由于

1111=1a111111a1.a因此，A与单位矩阵合同.由定理5得，A是正定矩阵．

定理82 n阶实对称阵A为正定的充要条件是存在对称正定阵B，使A=B2.证 [必要性] 存在正交阵Q，使

A=Q

B=QQT, 以及

diag(1,2,...,n).(i,i1,2,...n)，QT=QQTQQT6 =B2, 为A的特征值.[充分性] 对任给

X0,XTAXXTB2X0，因为B正定，所以A正定.定理93 A是正定矩阵的充要条件是：存在非退化的上(下)三角矩阵 Q，使 A=QTQ.证 不妨以下三角矩阵为例来证明，上三角矩阵的情况同理可证.[必要性] 若 A=(aij)是 n 阶正定矩阵，则A的任意 k 阶主子式大于零．特别的有 ann>O．将 A 的第 n 列乘适当的倍数，分别加到第 1,2……n—l列上，再施同样的行变化，可使 A 变成为

A100a，nn的形式．

即存在非退化的下三角矩阵T1，使

AT1TAT1100, ann再令

T2diag(1,1,...,1,1ann),0.1

A1TT故T2T1AT1T20因为A正定，故A1作为A的n-1阶顺序主子式，也是正定的.对A1做同样处理，最终可得到

TTR2R1......T2TT1TAT1T2......R1R2En.令 QT1T2......T1R2,Q是非退化的下三角矩阵，且使A=OTQ [充分性] 是显然的．

定理102 A是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组 a1,a2,......,an使

TTTa2a2...ananA=a1a1.2.3 正定矩阵的一些重要推论

对于实对称正定矩阵除了上面的一些充要条件用于判定一个矩阵是否为正定矩阵外，还有很多重要推论，下面给出.推论13 正定矩阵的和仍是正定矩阵．

证 若A与B为同阶正定矩阵，则对于非零列向量

C=(c1，c2,,cn)0, 必有

CTAC>0，CTBC >0, 从而

CT（A+B）C=CTAC+CTBC >0.所以A+B也是正定的.推论21 实正定矩阵的行列式大于零． 证

对A=CTC两边取行列式有

|A|=|CT| |C|=|C|2>0，因此，|A|>0．

推论3 与正定矩阵合同的对称矩阵一定是正定矩阵．(事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论成立)推论4 正定矩阵A的逆矩阵A1一定是正定矩阵．

证

由命题1.3得正定矩阵A的逆矩阵A1一定是对称矩阵，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，所以存在可逆矩阵P使得

A=PTEP=PTP, 取逆矩阵得

A1=P1EP1，T令

Q=P1，T则

A1=QTEQ.因此，A1与单位矩阵合同，所以A1是正定矩阵．

推论5 正定矩阵的任何顺序主子式阵必为正定矩阵． 推论64 设A，B均为 n 阶正定矩阵，且AB=BA，则AB 正定.证 因为AB=BA，故(AB)'=B'A'=BA=AB，所以AB为实对称矩阵，又因为A 正定，所以实可逆矩阵P，使P'AP=E.[方法一] P'ABP=P'APP1BP=P1BP，而 B 正定，故 B 的特征值都大于零，所以 P'ABP 的特征值大于零，正定，AB是正定的.[方法二]5 P'AB(P')1=P'APP1B(P')1=P1B(P1)'，因为B 正定，故 P1B(P1)'正定，P1B(P1)'的特征值大于零，AB的特征值大于零，又因为AB实对称，所以AB是正定的.推论7 若A是正定矩阵，则A* 也是正定的(其中A*表示A的伴随矩阵).证 因为A正定，故 A1正定；A*=AA1(A>0)，所以 A*也正定.推论82 若A，B都是n阶实对称矩阵，且B是正定矩阵，则存在一n阶实可逆矩阵P使PTAP与PTBP同时为对角形.证 因为B是正定的，所以合同于E，即存在可逆阵U使UTBU=E；且A是n阶实对称矩阵，则

(UTAU)T=UTATU.存在正交矩阵C使

CT(UTAU)C=diag(1，2，⋯，n), 则

CT(UTBU)CCTECCTCE.取P=UC，则P为所求．

推论9 若 A 是实对称的正定矩阵，则存在 a>0，b>O，c>0，使 aE+A，E+bA.cE—A 均是正定矩阵.证

若A的特征值为i，1≤i≤n，则 aE+A 的特征值为 a+i，1≤i≤n，所以存在 a 使 aE+A的特征值大于零，其余同理可证.推论10 已知 A 是 n 阶正定矩阵，则Ak(k是正整数)也是正定矩阵.证 Ak与 A 的特征值有熟知的关系，故从特征值角度人手考虑．根据A正

k,...,k定，即知其特征值1，⋯，n 全正，由于 Ak 的全部特征值就是 1n 也都为正．这就知Ak是正定矩阵.例6 若 A 是 n 阶正定矩阵，则 A2E>2n.证 [法一] A与2E都是n阶实对称正定矩阵，因此存在一n阶实可逆矩阵 P 使 P(A2E)Pdiag(12,22,...n2).T由推论9可知其中入i(i=l，2，⋯，n)为 A 的特征值且大于零．所以 i+2(i=l，2，⋯，n)为 A+2E 的特征值，也是大于零的.所以

A2E=(1+2)(2+2)⋯(n+2)≥2n.[法二] 因为 A 与 2E 都是 n 阶实对称正定矩阵，由推论10，有

A2E≥ A+2E>2n.推论116 A为n阶正定矩阵，B为2n阶非零半正定矩阵，则AB>A+B.证 由题意可知，存在实可逆阵P，使P'AP=E，且

d1d2P'BP=，（di ≥0）dn..所以

P'ABPP'(AB)P1d11d2..1dn(1d1)(1d2)...(1dn)1d1d2...dnd1d2En..dnP'APP'BPP'(AB)PP(AB)2

所以

AB>A+B.推论12 若 A 是 n 阶实对称正定矩阵，则必有 a11>0，a22>0,…,ann>0.证 根据定义，对一切 X≠O 皆有 XTAX>0，故依次令X=e1，…en，就有

(e1)TAe1>O, 即 a11>0

  (en)TAen>0, 即 ann>0.3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 3.1 证明柯西不等式

如果有一个正定的矩阵，我们通常可以设计出一个柯西不等式．进而我们就有必要知道如何用正定矩阵证明柯西不等式

(1)柯西不等式

在中学里，我们就熟悉了如下的一个不等式

x1y1x2y2...xnynxx...x21222nyy...y21222n

这就是著名的柯西不等式．如果我们将上述不等式用内积的形式来表示，则可将它 写成

(,).(2)那如何用正定矩阵证明柯西不等式呢？

如果有一个正定的矩阵，我们通常可以设计出一个柯西不等式．进而我们就有必要知道正定矩阵与柯西不等式的关系．并应用正定矩阵证明柯西不等式.设A=(aij)是一个n阶正定矩阵，则对任何向量=(x1，x2，⋯，xn)与=(Y1，Y2，⋯，yn)，定义

(,)i,j1aijxiyj.则可以证明由上式定义的一定是n维向量间的内积．反之，对于n维向量问的任意一种内积，一定存在一个n阶正定矩阵A=(aij)，使得对任何向量和，(,)可由(2)式来定义．因此，给定了一个n阶正定矩阵，在n维向量间就可由该矩阵定义一个内积，从而可得到相应的柯西不等式

i,j1anijxiyji,j1anijxixji,j1anijyiyj.例7 证明不等式

2(x1y1x2y2x3y3)x1y2x2y3x3y1x3y222232x12x2x3x1x2x2x3y12y2y2y1y2y2y3

对所有实数x1，x2，x3和y1，y2，y3均成立．

证 从不等式来看，可知它相当于(,) 其中(,)是由矩阵

210A= 121.012所定义的，但要证明(,)是内积还需证明A是个正定矩阵．经验证该矩阵为正定矩阵．从而可看出该不等式就是由A所确定的内积所产生的柯西不等式，因此不等式成立.3.2 证明Holder不等式

设A为n阶正定矩阵，xRn，易知(x'x)2x'Axx'A1x7，本节将其推广为更一般的形式，并以此为工具给出Holder不等式的一个新证明.定理7 设A为n阶正定阵，xRn，r，s为任意正整数，则

(x'x)rs(x'Arx)s(x'Asx)r.证 对任一xRn,x0，令

sxAxa=rx'Arx'11rs, 则有a>0，令

ftartrasts, 易见ft在0,上有最小值

smrrrsrssrs, 由于A正定，故存在正交阵P使AP'P，其中

diag1,2,...,n,i0i1,...,n, 为A的特征值，于是

fAarArasAsP'diagf1,f2,...,fnP, 由于

fimi1,2...n, 故

diagf1,f2,...,fnmIn, 从而

fAarArasAsmIn, 于是

arx'Arxasx'Asxmx'x, 将a的表达式代入上式左端并整理得

axAxaxAxmxAx由此即得 r'rs's'rxAx'ssrsrrs，xAxxAx'r'ssrsrrsx'x, 即

xAxxAxxx'rs'sr'rs.证毕

下面我们 利用以上结果证明Holder不等式.Holder不等式 设ai0,bi0,p1,q1，并且

nn1pn1q111，则 pqpqababiiii.i1i1i1证 由常规的极限过渡法，不妨设ai0,bi0i1,2...n 且p，q为有理数；由111知必存在正整数r，s，使得 pq1s1r,.prsqrs令

xa1b1,a2b2,...,anbn'111111srsrR , Adiaga1b1,a2b2,...,ansbnr

n经简单运算得

xxaibi，'i1nxAxa'ri1n'snrssiaip，i1nnxAxbi1rsribiq，i1于是由(x'x)rs(x'Arx)s(x'Asx)r 得

aibii1nrsaipbiq, i1i1nsnr即

pqababiiii.i1i1i1nn1pn1q3.3 证明Minkowski不等式

引理18 设Ai，p<1且p0，Bij1,2,m都是nn阶正定实对称矩阵，则有

mAjBjj1pnmAjj11ppnmBjj11ppn.1p 引理28 设Ai，Bi（i=1，2,…,m）是n×n阶实对称正定矩阵，0

rnr2mAiBii1prmAii11pprmBii11ppr.1pr>n时，等式成立当且仅当AiBi；当r=n时，即为引理1，等式成立当且仅当AikBik0i1,2,...,m.证 令111,0p1，则p=q（p—1）.由Holder不等式（下文中由推pq论进行了证明）及引理1，得到

ABii1mpriAiBii11r1rm1rAiBip1rp1r

2i1mrnrAiBiAiBimpr

2rnrmAii1prAiBii1mAii11pmp1qrBii11p1qAiBii11p1pmp1qr= 1q2rnr1pBii1mprmAiBii1pr, 两边同乘

2便得到

rnrAiBii11pmpr, 1p1p1p2rnrAiBii1mprAii1mprBii1mpr.若令Aiai,Bibi,ai,bi0为一阶矩阵时，在引理2中，取r=1，0

paibiaipbiq.i1i1i1此为Minkowski不等式.n1pn1pn1q

结 束 语

本文重点介绍了正定矩阵的判定方法，归纳总结了判定正定矩阵的一系列定理及推论，并给出相应的证明和适当的例题.与此同时利用正定矩阵的性质以及得出的一些重要推论给出了柯西不等式，Holder不等式，Minkowski不等式的证明方法.参 考 文 献

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