021几何中线段关系证明归纳

第一篇：021几何中线段关系证明归纳

几何中线段关系证明归纳

几何证明是初中数学的重点内容之一，而线段关系的证明又是几何证明中的一个重点，本文将线段关系证明有关知识归纳如下，供同学们学习参考：

一、证线段不等关系的证明：

1、利用三角形三边关系两边之和大于第三边

例

1、已知：P为ABC内任一点。求证：1ABBCACAPBPCPABBCAE。

2证明：延长BP交AC于D点，则

在ABD中，BP+PD

在PCD中，CP－PD

∴BP+CP

同理，CP+AP

将以上三式相加：

2（AP+BP+CP）<2（AB+BC+AC）即AP+BP+CP

在PAB中，AB

在PBC中，BC

在PAC中，AC

三式相加：AB+BC+AC<2（AP+BD+CP）

∴1ABBCACAPBPCPABBCAC 2

A 例

2、如图在ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，分别交AB、AC于

M、N，连结MN，求证：BM＋CN＞MN。

略证：连结MD并延长至点P，使MD＝DP，连结NP、CP

PM N C

MNDPNDMNPN



BDMCDPBMCPBMCNMN

PNCCPNCPN

2、一个三角形中较大角所对的边较大

二、证线段平方关系

1、利用勾股定理

例

2、在ABC中，A900，点D和E分别在AC、AB上。

求证：BD2DE2BC2。

证明：∵∠A=900由勾股定理 BD2=AB2+AD2DE2=AE2+AD2 ∴BD2－DE2=AB2－AE

2又∵BC2=AB2+AC2CE2=AE2+AC2 ∴BC2－CE2=AB2－AE2BD2―DE2=BC22、利用切割线定理：

3、射影定理

4、垂径定理

C

三、证线段相等

1、利用线段中垂线性质定理和角平分线性质定理

例

3、等边三角形ABC的B、C平分线相交于O点，OB和OC的垂

直平分线与BC分别相交于E、F，交OB于G，OC于H点。

A求证：BE=EF=FC

证明：∵ABC是等边三角形 ∴∠ABC=∠

又∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB

∴∠OBE=∠OCF=300连接OE、OF

∵EG，FH分别是BO、OC垂直平分线

又∵EB=EO，FC=FO∴∠EOB=∠EBO=30

00

∠FCO=∠FOC=30∵∠OEF=∠OFE=60

∴OEF是等边三角形∵OE=OF=EF∴BE=EF=FC

C2、利用三角形全等证线段相等

例

4、已知，如图，ABC，DCE都是等边三角形，且B、C、E共线，M、N

分别为BD、AE的中点。

求证：CM=CN。

证明：在ACE和BDE中CE=CDAC=BC∠ACE=600+∠ACD∠BCD=60

+∠

ACD

∵∠ACE=∠BCD

∴ACE≌BDE（SAS）又∵CM是BD边中线，CN是AE边中线

∴CM=CN（全等三角形对应边上中线相等）

3、用线段比例关系

例4 已知：如图，E是菱形ABCD的边DC上一点，AE交BC的延长线于F，EG∥AD交DF于G点．

求证EG=EC．

分析： 这里虽是证两线段相等，但以前的方法很难凑效．题设中给了许多直线平行的条件，由此可写出很多比例式．所以应考虑通过证明比相等来证明线段相等的方法．

说明： 应用比例证明线段相等的方法是：

五、证明线段的倍分关系

1、截长补短法

例

5、如图，AE∥BC，AD、BD分别平分∠EAB、∠CBA，EC过点D。求证：AB=AE+BC。

证明：在AB上截取AF=ED，连结DFAE=AF∠1=∠2AD=AD

∵AED≌AFD（SAS）E

∴∠E=∠AFD

又∵AE∥BC∴∠E+∠C=1800∠AFD+∠C=1800

又∵∠AFD+∠DFB=1800

∴∠C=∠DFB∠3=∠4 BD=BD

∵DFB≌DCB（AAS）∴BF=BC即AB=AE+BC2、加倍折半法

例

6、已知ABC中，AB=AC，E为AB中点，在AB延长线上取一点D，使BD=BA。

求证：CD=2CE。

证明：延长CE到F，使EF=CE，连结BF∵AE=EB，∠AEC=∠BEF，CE=FE

∵AEC≌BEF∴∠A=∠1，AC=BF

又∵AB=AC=BD

∴BF=BD，∠CBF=∠CBA+∠1，∠CBD=∠ACB+∠∴∠CBF=∠CBD

又∵BC=BC∴CBF≌CBD

∵CF=CD∴CE=1

CD∴CD=2CE

C

第二篇：证明线段之间关系的技巧

证明线段之间数量关系的技巧

证明两线段相等

★1.两全等三角形中对应边相等。

★2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形三线合一。

★4.直角三角形中斜边上的中点到三个顶点距离相等。

6.中垂线上任意一点到线段两端距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。★9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

2.*证明线段不等

1.同一三角形中，大角对大边。

2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。

5.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。

证明两条线段（直线）之间位置关系的技巧

证明两条直线互相垂直

★1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

★8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

★10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。★11.利用半圆上的圆周角是直角。

证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。

★4.三角形的中位线平行于第三边。★5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

★7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线

平行于第三边。

例1.如图

3垂线。求证：KH∥

例2.已知：如图6于O。

求证：AC＝AE

DE。

求证：EC＝ED

例3.已知ABC

例4.如图，AB（1）求证：CF=BF（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长

1.已知：如图

于E，且有

2.已知：如图求证：BC＝

3.已知：如图13所示，过ABC的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC 求证：MP＝MQ

4.(2009年潍坊)交于点I，延长AI交圆（1）求证：BD=DC=DI（2）若圆O的半径为

第三篇：初中几何证明线段和角相等的方法

初中几何证明线段和角相等的方法大全

一、证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

12.两圆的内（外）公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

二、证明两角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等

下面有好几种可以证明线段相等的方法，你自己选吧。

（一）常用轨迹中：

①两平行线间的距离处处相等。

②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。

③角平分线上任一点到角两边的距离相等。

④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等(图1）。

（二）三角形中：

①同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②任意三角形的外心到三顶点的距离相等。

③任意三角形的内心到三边的距离相等。

④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。

⑤直角三角形中，斜边的中线等于斜边一半。

⑥有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形。

⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边(图2）。

⑧同底或等底的三角形，若面积相等，则高也相等。同高或等高的三角形，若面积相等，则底也相等(图3）。

（三）四边形中：

①平行四边形对边相等，对角线相互平分。

②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。

③菱形中四边相等。

④等腰梯形两腰相等、两对角线相等。

⑤过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰(图4）。

（四）正多边形中：

①正多边形的各边相等。且边长an = 2Rsin(180°/ n)

②正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R)相等、各边的距离(边心距rn)相等。

且rn = Rcos(180°/ n)

（五）圆中：

①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等。

②同圆或等圆中，等弦所对的弦心距相等，等弦心距所对的弦相等。

③任意圆中，任一弦总被与它垂直的半径或直径平分。

④自圆外一点所作圆的两切线长相等。

⑤两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等。

⑥两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分（图5）。

⑦两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等（图6）。⑧两同心圆中，内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都被切点平分（图7）。

（六）全等形中：

①全等形中，一切对应线段（对应的边、高、中线、外接圆半径、内切圆半径……）都相等。

（七）线段运算：

①对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等。

②对应相等线段乘以的相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以的相等倍数所得的商相等。

③两线段的长具有相同的数学解析式，或二解析式相减为零，或相除为1，则此二线段相等。

第四篇：初中几何证明线段和角相等的方法

初中几何证明线段和角相等的方法大全

一、证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。12.两圆的内（外）公切线的长相等。13.等于同一线段的两条线段相等。

二、证明两角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等

第五篇：几何证明

龙文教育浦东分校学生个性化教案

学生：钱寒松教师：周亚新时间：2010-11-27

学生评价◇特别满意◇满意◇一般◇不满意

【教材研学】

一、命题

1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．

2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果„„，那么„„”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．

3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．

二、互逆命题

1．概念：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个

命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．

2．说明：

（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；

（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；

（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．

三、互逆定理

1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．

2．说明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．

所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．

【点石成金】

例1． 指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．

（1）两直线平行，同旁内角互补；

（2）直角三角形的两个锐角互余；

（3）对顶角相等．

分析：解题的关键是找出原命题的题设和结论，然后再利用互逆命题的特征写出它们的逆命题．

（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．

（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．

（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是课题：几何证明

对顶角”．

名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果„„，那么„„”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可．

例2．某同学写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是“如果一个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，你认为他写得对吗?

分析：写出一个命题的逆命题，是把原命题的题设和结论互换，但有时需要适当的变通，例如“等腰三角形的两底角相等”的逆命题不能写成“两底角相等的三角形是等腰三角形”，因为我们还没有判断出是等腰三角形，所以不能有“底角”这个概念．

解：上面的写法不对．原命题条件是直角三角形，斜边是直角三角形的边的特有称呼，该同学写的逆命题的条件中提到了斜边，就已经承认了直角三角形，就不需要再得这个结论了．因此，逆命题应写成“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”．

名师点金：在写一个命题的逆命题时，千万要注意一些专用词的用法．

例3．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题(要求写出已知，求证及证明过程)

解：选①②③作为题设，④作为结论．

已知：如图19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

求证：BD=CE,证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．

即∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．）∴BD=CE．

名师点金：本题考查的是证明三角形的全等，但条件较为开放．当然，此题的条件还可以任选其他三个．

【练习】

1．“两直线平行，内错角相等”的题设是____________________，结论是_________________________

2．判断：（1）任何一个命题都有逆命题．()

（2）任何一个定理都有逆定理．()

【升级演练】

一、基础巩固

1．下列语言是命题的是()

A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗

C．延长线段AD到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等

2．下列命题的逆命题是真命题的是()

A．直角都相等B．钝角都小于180。

龙文教育浦东分校个性化教案ABDEC.cn

C．如果x+y=0，那么x=y=0D．对顶角相等

3．下列说法中，正确的是()

A．一个定理的逆命题是正确的B．命题“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命题是正确的C．任何命题都有逆命题

D．定理、公理都应经过证明后才能用

4．下列这些真命题中，其逆命题也真的是()

A．全等三角形的对应角相等

B．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形

C．等边三角形是锐角三角形

D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

5．证明一个命题是假命题的方法有__________．

6．将命题“所有直角都相等”改写成“如果„„那么„”的形式为___________。

7．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题。

二、探究提高

8．下列说法中，正确的是()

A．每个命题不一定都有逆命题B．每个定理都有逆定理

c．真命题的逆命题仍是真命题D．假命题的逆命题未必是假命题

9．下列定理中，没有逆定理的是()

A．内错角相等，两直线平行B．直角三角形中两锐角互余

c．相反数的绝对值相等D．同位角相等，两直线平行

三、拓展延伸

10．下列命题中的真命题是()

A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角

c．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角

11．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中，正确命题的个数为()

A．0个B．1个C．2个D．3个

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