几何证明中的截长补短法

第一篇：几何证明中的截长补短法

平面几何中截长补短法的应用 授课内容：湘教版九年级上册《证明》授课教师：张羽茂 授课时间：

讲评内容：证明中的“截长补短法”。

讲评目标：

1、通过讲评，查漏补缺，解决几何证明中截长补短法的应用。

2、规范学生证明过程的书写格式。

3、通过讲评提高审题能力，总结解题方法和规律。讲评重点：规范学生证明过程的书写格式

讲评难点：通过讲评，查漏补缺，解决图形中截长补短法的应用。教具准备：黑板、学生作业本

讲评过程：

一、谈话导入

1、公布全班的整体成绩。

2、表扬进步的学生。

二、讲评

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠

B=2∠C,求证：AB+BD=AC.方法一：（截长法）

方法二：（补短法）

三、课堂练习

1．已知：如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE平分∠BAC.求AB+BE的长。

四、课后拓展

1.正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠

EAF=45。求证：EF=DE+BF。

五、板书设计

六、教学反思与总结

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。

截长：1.过某一点作长边的垂线

2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短：1.延长短边

2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

教师工作：

采集信息-----归类点评、指导纠借-----适时检测、落实纠错 学生操作：

作业分析---个体纠借---集体纠错---针对补偿---（依据答案）主动纠错---思考领悟---针对纠错---主动补偿---消除薄弱

教学流程：

作业分析——个体纠错——集体纠错——针对补偿——课堂小结。

第二篇：几何法证明不等式

几何法证明不等式

用解析法证明不等式：

^2<(a^2+b^2)/2

(a,b∈R，且a≠b)

设一个正方形的边为C,有4个直角三角形拼成这个正方形,设三角形的一条直角边为A,另一条直角边为B,(B>A)A=B,刚好构成,若A不等于B时,侧中间会出现一个小正方形,所以小正方形的面积为(B-A)^2,经化简有(B+A)^2=4AB,所以有((A+B)/2)^2=AB,又因为(A^2+B^2)/2>=AB,所以有((A+B)/2)^2<=(A^2+B^2)/2,又因为A不等与B,所以不取等号

可以在直角三角形内解决该问题

=^2-(a^2+b^2)/2

=<2ab-(a^2+b^2)>/4

=-(a-b)^2/4

<0

能不能用几何方法证明不等式，举例一下。

比如证明SINx不大于x(x范围是0到兀/2，闭区间)

做出一个单位圆，以O为顶点，x轴为角的一条边

任取第一象限一个角x，它所对应的弧长就是1*x=x

那个角另一条边与圆有一个交点

交点到x轴的距离就是SINx

因为点到直线，垂线段长度最小，所以SINx小于等于x，当且尽当x=0时，取等

已经有的方法：第一数学归纳法2种;反向归纳法(特殊到一般从2^k过渡到n);重复递归利用结论法;凸函数性质法;

能给出其他方法的就给分

(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)

一个是算术，一个是几何。人类认认识算术才有几何，人类吃饱了就去研究细微的东西，所以明显有后者小于前者的结论，这么简单都不懂，叼佬就是叼佬^_^

搞笑归搞笑，我觉得可以这样做，题目结论相当于证

(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0

我们记f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)这时n看做固定的。我们讨论f的极值，它是一个n元函数，它是没有最大值的(这个显然)

我们考虑各元偏导都等于0，得到方程组，然后解出

a1=a2=……=an

再代入f中得0，从而f≥0，里面的具体步骤私下聊，写太麻烦了。

要的是数学法证明也就是代数法不是用向量等几何法证明.....有没有哪位狠人帮我解决下

【柯西不等式的证明】二维形式的证明

(a^2+b^2)(c^2+d^2)(a,b,c,d∈R)

=a^2·c^2+b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2

=a^2·c^2+2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。

一般形式的证明

求证：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2

证明：

当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立

令A=∑ai^2B=∑ai·biC=∑bi^2

当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A>0

构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C，展开得：

f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0

故f(x)的判别式△=4B^2-4AC≤0，移项得AC≥B，欲证不等式已得证。

第三篇：“截长补短法”证明线段的和差问题

“截长补短法”证明线段的和差问题典例分析 河大附中 桑静华

线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等,将不在一条直线的两条（或几条）线段转化到同一直线上．实际上是通过翻折构造全等三角形,目的是为了转移的边、角和已知条件中的边、角有机的结合在一起．在无法进行直接证明的情形下，利用“截长补短”作辅助线的方法常可使思路豁然开朗，问题迎刃而解。CED例

1、如图，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD•相等吗？请说明理由．

A

B 分析：证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：

（1）在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短 线段，这种方法叫“截长法”

（2）在其中一条短线段的延长线上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法”．

FCEDC5E6D1A25634F(1)BA1234

证法一：如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF． 在△ACE和△AFE中

(2)B ACAF 12

AEAE ∴△ACE≌△AFE（SAS）

∵,∴,又,∴∠6=∠D 在△EFB和△BDE中

6D34 BEBE ∴△EFB≌△EDB（AAS）∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB 证法二：如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F ∵ ∴F4,又∵34 ∴∠F=∠3 在△AEF和△AEB中

F 312

AEAE ∴△AEF≌△AEB（AAS）, ∴AB=AF，BE=FE 在△BED和△FEC中

56BEFE 4F ∴△BED≌△FEC（ASA）∴BD=FC, ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD． 例

2、如图，在△ABC中，∠B=2∠C，A ∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB+BD=AC．

分析1： 因为∠B=2∠C，所以AC＞AB，可以在AC上取一点E，使得AB=AE，B

D 构造△ABD≌△AED，把AB边转移到AE上，BD转移到DE上，要证AB+BD=AC． 即可转化为证AE+BD=AE+EC，即证明BD=EC．

C

证明：在AC上取一点E，使AB=AE，连结DE．

在△ABD和△AED中，ABAEBADDAE ADADA

∴△ABD≌△AED（SAS）．

∴ BD=DE，∠B=∠AED．

又∠AED=∠EDC+∠C=∠B=2∠C，B

∴ ∠EDC=∠C．

∴ ED=EC．

∴ AB+BD=AC． 分析2： 因为∠B=2∠C，所以AB＜AC，可以在AB的延长线上取一点E，使得AE=AC，构造△AED≌△ACD，把AC边转移到AE上，DC转移到DE上，要证AB+BD=AC． 即可转化为证AB+BD=AB+BE，即证明BD=BE． B 证明：在AB的延长线上取一点E，使AC=AE，连结DE． 在△AED和△ACD中，AEACBADDAC

ADADE

E

D C

A

D C

∴ △AED≌△ACD（SAS）．∴∠C=∠E．

又∠ABC=∠E+∠BDE=2∠C=2∠BDE，∴ ∠E=∠BDE．∴ BE=BD．

∴ AB+BD=AE＝AC． A 分析3：若延长DB到点E，使得AB=BE，有AB+BD=ED，只要证出ED=AC即可． 证明：延长DB到点E，使AB=BE，连结AE，E B D 则有∠EAB=∠E，∠ABC=∠E+∠EAB=2∠E．

又∠ABC=2∠C，∴ ∠E＝∠C． ∴ AE=AC．

又∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠E+∠DAC=∠C+ ∠DAC=∠ADE，C ∴ AE=DE．

∴ AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC．

学以致用：

1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°

ADB

C

第四篇：证明(二)中线倍长法和截长补短法[A.B]

周应坤数学（A.B班共用）电话：***

几何证明-常用辅助线姓名：

(一)中线倍长法:

例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD ﹤

分析：要证明AD ﹤1(AB+AC)21(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三

2角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD中，出现了2AD，即中线AD应该加倍。

证明：延长AD至E，使DE=AD，连CE，则AE=2AD。

在△ADB和△EDC中，AD=DE

∠ADB=∠EDC

BD=DCC∴△ADB≌△EDC(SAS)∴AB=CE

又在△ACE中，AC+CE＞AE∴AC+AB＞2AD，即AD ﹤1(AB+AC)2

小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

课题练习:ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC

例2: 中线一倍辅助线作法

ABC中

方式1： 延长AD到E，是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长

作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接连接CD例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围

例4：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE

课堂练习：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

B

例5：已知：如图，在ABC中，ABAC，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC

A

F

CBE

D

第 1 题图

课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE

作业：

1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

2、已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.A

M

B

E

T

C

3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

4：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE5、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

（二）截长补短法 例1.已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.A

D

求证：∠BAD+∠BCD=180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转

化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，B可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如1-2 ∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，AE

图1-

1C

在Rt△ADE与Rt△CDF中，

DEDF

ADCD

B

F

D

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，即∠BAD+∠BCD=180° 例2.如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.图1-

2C

D

A

求证：CD=AD+BC.BE

C

图2-1

例3.已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.求证：∠BAP+∠BCP=180°.B例4.已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.B

A

P

N

D

C

图3-1

A2

D

C

作业：

1、已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.2、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE

A

图4-

1AD

F

B

C

E

BE

C

D

A

（三）其它几种常见的形式：

1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例：如图1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF。EF

C

BD

图

12、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

例：如图2：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF

A

EF

C

BD

图

2M

练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4，求证EF＝2AD。

E

F

A

BDC

图

43、延长已知边构造三角形：

E

例如：如图6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC

B A

DC

图64、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

AD

例如：如图7：AB∥CD，AD∥BC求证：AB=CD。

CB

图75、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

例如：如图8：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。求证：BD＝2CE

6连接已知点，构造全等三角形。

DA例如：已知：如图9；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。

BC

图10

1九、取线段中点构造全等三有形。

例如：如图10：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。DA

B MC

图10

第五篇：几何证明

1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________.推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________.2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段___________.3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于

_________________；

相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项.5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______.o推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是____；90的圆周角所对的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________.6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：

圆的内接四边形的对角______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_____.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________.7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________.推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；经过切点且垂直于切线的直线必经过______.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________.8.相交弦定理:圆内两条相交弦，_____________________的积相等.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，_____________的两条线段长的积相等.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是__________的比例中项.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____；

圆心和这点的连线平分_____的夹角.