经济统计学 贝叶斯估计对可靠性的分析

质量管理统计结课论文

题目： 贝叶斯估计对可靠性的分析

学 院 统计学院

专 业 经济统计学

班 级 经济统计学1903

学 号 20191724320

姓 名 董君泽

二Ｏ二一年十二月

贝叶斯估计对可靠性的分析---------------------------从先验概率和后验概率来对产品可靠性的分析

摘要

贝叶斯对产品可靠性的估计在企业中有着重要的应用，我们需要用贝叶斯估计来检验一个产品是否可靠，我们可以通过对可靠性的检验淘汰不可靠的设备、产品，保留可靠的设备产品，从而使得企业的效益最大化。

关键词：贝叶斯估计，产品的可靠性，企业的效益

ABSTRACT

Bayesian estimation have an important role in company,we need to use Bayesian estimation to examine wheather a product is reliable.Key words:Bayesian estimation,the raliance of products,theeconomic efficiency of commecial enterprises

目录

一、有关可靠性的基本知识

（一）可靠性工程概论

（二）可靠性的度量

二、可靠性中常用的寿命分布

三、系统可靠性模型

（一）串联系统的可靠性模型

（二）并联系统的可靠性模型

（三）串并联模型

（四）并串联模型

（五）可靠性检验的必要性

四、基于贝叶斯网络的多状态系统可靠性评估

（一）简述贝叶斯网络

（二）贝叶斯推断

（三）贝叶斯假定

（四）贝叶斯估计的核心思想

五、结语

六、参考文献

一、有关可靠性的基本知识

（一）可靠性工程概论

1.1可靠性工程概论

（二）可靠性的度量

1.1.2影响可靠性的因素

所谓可靠性就是“不易发生故障的程度”

影响产品的可靠性因素有很多，我们了解了可靠性因素，就能从这些方面来提高产品的可靠性

1.2.1可靠度

产品在规定的条件下、规定的时间内能完成规定功能概率叫做产品的可靠度，有时也可成为生存概率，对于一种产品来说，它在规定的条件和功能下，其可靠度是时间的函数，1.2.2可靠性的度量

1、可靠性的估计量R(t)=Ns(t)/N

2、累积失效概率F（t)=N-Ns(t)/N

3、失效概率f(t)=ΔNf(t)/NΔt

4、失效率 入(t)=Nf(t+Δt)-Nf(t)/Ns(t)Δt=ΔNf(t)/Ns(t)Δt

失效率的三种类型：1、早期失效

1、偶然失效

2、耗散失效

平均寿命：1、不可维修产品

2、可维修产品

可靠寿命：给定可靠度R，从R(t)=P(T＞t）中反解出t的1值

中位寿命：给定可靠度为50%时的寿命

二、可靠性中常用的寿命分布

1、正态分布

2、对数正态分布

3、I型极小值分布

三、系统可靠性模型

（一）串联系统的可靠性模型

RR 日日日日日日日日R1

R1

----------------------------------------事件As和Ai的关系

As=A1A2......An

事件As系统正常工作的事件

事件Ai第i个单元正常工作的事件

若各事件相互独立P（As)=P（A1A2.....An)=P(A1)P(A2).....P（An)

（二）并联系统的可靠性模型

时间As和Ai为系统和单元正常工作

时间AS’和Ai’为系统和单元不正常工作

As=A1∪A2∪....∪An

P（As)=P(A1∪A2U.....∪An）

（三）串并联系统

（四）并串联系统

（五）可靠性检验的必要性

1.首先是高科技的需要

2.政治的需要

3.经济效益的需要，如果在一家企业的运营过程中，产品的可靠性出现了问题，这样不仅对企业的经济效益造成了损失，并且对企业的名誉也会造成很大的损伤，众所周知，金杯银杯不如老百姓的口碑，只有树立起口碑，一个企业才有了立根之本。

四、基于贝叶斯网络的多状态系统可靠性评估

（一）简述贝叶斯网络：BN是一种对概率关系的有向图解描述，他提供了一种将知识直觉地图解图解可视化的方法。BN是一个有向无环图，该图由代表变量的结点及链接这些结点的有向边构成。其中结点代表论域中的变量，有向弧代表变量间的关系（即影响概率），通过图形表达不确定性知识，通过CPD的注释，可以在模型中表达局部条件的依赖性。按照贝叶斯公式给出的条件概率定义P(AlB)=P(BlA)P(A)/P(B)，在此式中，P（B)为先验概率，P(AlB)为后验概率。BN具有条件独立性，能够双向推理，它不但可以实现正向推理，由先验概率推导出后验概率，即由原因导出结果，还可利用公式由后验概率推导出先验概率，即由原因导出结果。

（二）贝叶斯推断:从贝叶斯观点看，后验分布集总体信息、样本信息和先验信息于一体，全面描述了参数的概率分布，因此有关参数的点估计、区间估计、假设检验等统计推断应该从后验按需要提取有关的信息。

1.贝叶斯点估计

参数的点估计可选用后验分布的某个位置的特征数。常用的由如下三种形式：

1.后验期望

2.后验中位数

3.后验众数

2.对贝叶斯估计的评价

评价一个贝叶斯估计的好坏，最好的方法是考察参数的均方误差。MSE(参数的估计lx)=E参数lx(参数的估计-参数)平方，成为后验均方差。

评价贝叶斯估计的时候不需要“无偏性”，因为贝叶斯推断是基于后验分布的统计推断，这意味着只考虑已出现的数据（样本观测值），而推断与未出现的数据无关

3.贝叶斯区间估计

P（a≤θ≤bIx）=1-α若给定概率1-α，要找一个区间[a,b] 使上式成立，这样求得的区间就是贝叶斯区间估计，又称为可信区间。

（三）贝叶斯假定

1.在产品的使用寿命服从指数分布的情况下，进行I型截尾的步进应力加速寿命实验，而指数分布参数入的先验分布为服从伽马函数，研究了在二次损失函数下的贝叶斯估计及在历史样本的条件下的经验贝叶斯估计。

2.基本假定:在正常应力So和加速应力S1＜S2....＜Sk下，产品顶点寿命服从指数分布

产品平均寿命Q与所加应力水平之间S有如下关系lnθ=a+bo(S)

由Nelson原理，产品的剩余寿命仅依赖于当时已累积的部分和当时的应力水平，而与累积方式无关。即在应力水平Si下产品的工作时间ti内的累积失效概率相当于此种产品在应力水平Si下产品工作某一时间内的累积失效概率

设总体分布（产品的使用寿命）服从指数分布

假定5 由对入进行贝叶斯估计，引起的损失函数取平方损失函数

(四）贝叶斯估计的核心思想

如果要用贝叶斯估计来估计产品的可靠性，我们用实际的例子来说明

目的：通过贝叶斯估计来估计产品的可靠性

我们对于人的可靠的认知是：这个人能够说到做到，言必信，行必果。同样一台机器设备，当人们要求它工作时，它就会工作则说他是可靠的；而当人们要求它工作时，它不按照人们的意愿工作，则说明它是不可靠的。对产品而言，产品的可靠性越高，产品可以无故障工作的时间就越长。我们需要用贝叶斯估计来检验一个产品是否可靠，我们可以通过对可靠性的检验淘汰不可靠的设备、产品，保留可靠的设备产品，从而使得企业的效益最大化。产品是否可靠，这是一个企业最关心的问题，如果产品可靠，那么企业可以继续生产该商品，消费者对产品的使用体验也是很满足的；如果产品不可靠，那么企业可以挑选出这些不可靠的产品，避免产品流入市场，被消费者购买，从而造成不好的购物体验，这样也会提升一个企业的口碑，使企业的效益最大化。

步骤一:设定先验概率

现在假设你是企业产品可靠性的检验者，有一批产品到你手中需要经过能打检验才能投入市场，此时你就要去判断这批产品是否是可靠的。我们通过考察可靠度来判断产品的可靠性。通过对大量产品进行可靠度的检测，产品在规定的时间内，在规定的条件下完成预定功能的能力，我们从耐久度入手研究。我们需要通过对产品耐久的分析，将产品分为耐久产品即可靠的产品和非耐久产品即非可靠的产品，然后判断产品是可靠产品和非可靠产品的概率各是多少，在贝叶斯估计中，这种属于某种类别的概率叫做“先验概率”，先验的意思是：在获得某种信息之前。也就是说在我们对产品的耐久度做测验这件事没有发生之前，对产品类型做一个预先判断。通常先验概率可以通过经验进行判断。根据工作人员的经验，平均每五个产品里面就有一个是非可靠产品，也就是说非可靠产品占总产品的0.2，那么剩下的可靠产品的部分就占0.8.这两个数字就是产品类型的“先验概率”。

步骤二：设置“能够连续工作超过24小时”事件的条件概率

这里我们要做的是：为可靠产品和不可靠产品分别设定“能够连续工作超过24小时”事件的概率，上一步提到，即使没有相关经验，我们也可以设定先验概率。但是此时的“能够连续工作超过24小时”事件必须是经过测试统计出来的数据

从上图可以看出，“可靠产品”能够连续工作24小时的概率是0.9，而“不可靠产品”能够连续工作24小时的概率只有0.3，表格中的数字表示“某一特定类别（A和B）采取某种行动的概率”这个概率就是我们提到的条件概率。接着我们将两种类别的产品，进一步按照能否连续工作24小时的条件进行分类，可以分成四个小类别1、可靠产品能够连续工作2

4小时2、可靠产品不能够连续工作24小时3、不可靠产品连续工作24小时4、不可靠产品不能连续工作24小时

第一种类别的概率为:0.2X0.9=0.18

第二种类别的概率为：0.2X0.1=0.02

第三种类别的概率为：0.8X0.3=0.24

第四种类别的概率为:0.8X0.7=0.56

四种类别的概率总和为1

步骤三：通过实验的情况，排除不可能行为

现在你就是检验员，你此时面临的情况是：产品能够连续工作24小时，这也意味着你观察到了产品的情况，这就为“可能的情况”添加了一种限制条件。这条限制条件的影响就是，你可以不用考虑那些没有连续工作24小时的产品了。上一个步骤提到，产品可以分为可靠产品和不可靠产品两类，而这两种产品可以有两种情况，即能够连续工作24小时和不能够连续工作24小时，这样我们一开始构建的可能事件就由两种情况扩展到四种情况了。而此时的你又检测到了能够连续工作24小时这一情况，因此你可以无视掉那些不能够连续工作24小时的可能性了，可能事件由于限制条件的改变，四种情况就变成了两种情况。这样消失了两种可能性，那伴随着这种可能性的消失，带来的影响就是：概率会发生变化。

步骤四：推导合格产品的贝叶斯逆概率

上一步骤中，检测到能够连续工作24小时这一情况以后，我们从四种可能情况变成了两种情况即：现在的产品要么是可靠产品能够连续工作24小时和不可靠产品能够连续工作24小时，只剩下这两种可能性了，可靠产品能够连续工作24小时的概率为0.24，不可靠产品能够连续工作24小时0.18。我们要对概率数值进行标准化处理，即所有概率和为1，所以合格产品能够连续工作24小时为4/7，不合格能够连续工作24小时3/7。我们可以看出，不合格产品能够连续工作24小时的概率为3/7。这个概率被称为贝叶斯逆概率，也成为后验概率，逆概率是从最终的概率结果来反推原因，所以被称为逆改率。

一开始我们对产品是可靠产品还是不可靠产品的概率判断2：8，而我们经过贝叶斯统计方法，并且观察到能够连续工作24小时这一行为后，可靠产品的概率的概率就提升至原来的两倍以上，这种更新操作就叫做贝叶斯更新。所以，贝叶斯推理可以简单的总结为：通过观察到的某个“行为”，将先验概率转换为后验概率的一种操作。

五、总结

我们需要用贝叶斯估计来检验一个产品是否可靠，我们可以通过对可靠性的检验淘汰不可靠的设备、产品，保留可靠的设备产品，从而使得企业的效益最大化。产品是否可靠，这是一个企业最关心的问题，如果产品可靠，那么企业可以继续生产该商品，消费者对产品的使用体验也是很满足的；如果产品不可靠，那么企业可以挑选出这些不可靠的产品，避免产品流入市场，被消费者购买，从而造成不好的购物体验，这样也会提升一个企业的口碑，使企业的效益最大化。

六、文献

[1]对系统可靠性工程的再认识.侯海梅.宁云晖，20102010中国电子学会可靠性分会第十五届可靠性学术年会

[2]可靠性工程的发展与应用.杨艳妮.薛莲.殷维刚.宋亚男.王首臻，2010中国国防科技质量与可靠性高峰

[3]可靠性工程简史——兼论“谁是我国可靠性工程奠基人”.盛志森，2008中国电子学会可靠性分会第十四届学术年会

[4]推进以故障解决为中心的装备可靠性工程.王华.向刚.张桂元，20102010中国电子学会可靠性分会第十五届可靠性学术年会

可靠度的度量引用有针对性的可靠性工程实验.胡林忠