随机信号分析实验报告（最终五篇）

第一篇：随机信号分析实验报告

Ｈ ａ ａr r ｂ ｂi in n

Ｉ Ｉn ns st ti iｔ ｔ ｕ ｕt te e

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T Te ec ch h ｎ ｎo o ｌ ｌo og gy y

实 验 报 告 告

课程名称:

随机信号分析

院

系：

电子与信息工程学院

班

级：

姓

名:

学

号：

指导教师:

实验时间:

实验一、各种分布随机数得产生

（一)实验原理 1、、均匀分布随机数得产生原理 产生伪随机数得一种实用方法就是同余法,它利用同余运算递推产生伪随机数序列．最简单得方法就是加同余法

为了保证产生得伪随机数能在[0,１]内均匀分布,需要Ｍ为正整数，此外常数 c 与初值 y0 亦为正整数。加同余法虽然简单,但产生得伪随机数效果不好。另一种同余法为乘同余法,它需要两次乘法才能产生一个［0，１]上均匀分布得随机数

ﻩ ﻩﻩ

式中,ａ为正整数。用加法与乘法完成递推运算得称为混合同余法,即

ﻩﻩ

ﻩ用混合同余法产生得伪随机数具有较好得特性,一些程序库中都有成熟得程序供选择。

常用得计算语言如 Basic、Ｃ与 Matlab 都有产生均匀分布随机数得函数可

以调用，只就是用各种编程语言对应得函数产生得均匀分布随机数得范围不同，有得函数可能还需要提供种子或初始化。

Matlaｂ提供得函数ｒａnd()可以产生一个在[0,1］区间分布得随机数，rand（2,4）则可以产生一个在［０,1]区间分布得随机数矩阵,矩阵为２行４列。Matlab 提供得另一个产生随机数得函数就是 ranｄom(’unif’,a,b，N，M),unif 表示均匀分布,a与b就是均匀分布区间得上下界,N与M分别就是矩阵得行与列。

2、、随机变量得仿真 根据随机变量函数变换得原理,如果能将两个分布之间得函数关系用显式表达,那么就可以利用一种分布得随机变量通过变换得到另一种分布得随机变量。

若Ｘ就是分布函数为 F(x)得随机变量,且分布函数 F(x)为严格单调升函数,令Ｙ=F(X）,则 Y 必为在[0，1]上均匀分布得随机变量．反之,若 Y 就是在[0,1]上均匀分布得随机变量,那么 即就是分布函数为 FX(x）得随机变量。式中 F X1()为F X() 得反函数.这样,欲求某个分布得随机变量,先产生在[0,１］区间上得均匀分布随机数,再经上式变换，便可求得所需分布得随机数。

３、高斯分布随机数得仿真 广泛应用得有两种产生高斯随机数得方法，一种就是变换法,一种就是近似法.如果Ｘ1,X2 就是两个互相独立得均匀分布随机数,那么下式给出得 Y１,Y2

便就是数学期望为 m,方差为得高斯分布随机数，且互相独立，这就就是变换法。

另外一种产生高斯随机数得方法就是近似法.在学习中心极限定理时，曾提到 n 个在[0,1］区间上均匀分布得互相独立随机变量 Xi（i＝１，2…，ｎ）,当ｎ足够大时,其与得分布接近高斯分布.当然,只要 n 不就是无穷大，这个高斯分布就是近似得。由于近似法避免了开方与三角函数运算，计算量大大降低。当精度要求不太高时，近似法还就是具有很大应用价值得.4、、各种分布随机数得仿真 有了高斯随机变量得仿真方法，就可以构成与高斯变量有关得其她分布随机变量,如瑞利分布、指数分布与分布随机变量。

(二）

实验目得 在很多系统仿真得过程中,需要产生不同分布得随机变量。利用计算机可以很方便地产生不同分布得随机变量，各种分布得随机变量得基础就是均匀分布得随机变量.有了均匀分布得随机变量，就可以用函数变换等方法得到其她分布得随机变量。

(三)实验结果

附:源程序 suｂplot（2,2，1);

x=random（’ｕniｆ’，2，5，1，１024）； ploｔ(x)； tｉtｌｅ(’均匀分布随机数’)subpｌｏt(２，2，2);G1=ｒandｏm(’Nｏrmaｌ＇,0,1,1，20００0)； ploｔ（G１)； ｔitle（’高斯分布随机数’)ｓｕbplot(2，2,３）;G2=raｎdom(“Nｏrmal’,0,1,1,20０00);R=sqrt（G1、＊G1＋G2、＊G２）;plｏt（Ｒ);title(’瑞利分布随机数’)suｂplot(2，２,4);G3=raｎdｏm(”Nｏrｍal’,0,１,1,2000０);G４=ｒandom(“Nｏrｍａl’，０,1,1,2０0０0）； Ｘ=G１、＊Ｇ1+G２、*G2+G３、*G3+Ｇ4、*G4； pｌoｔ（Ｘ);ｔｉtle（”x^2 分布随机数＇）

实验 二、随机变量检验（一)实验 原理 1、均值得计算 在实际计算时,如果平稳随机序列满足各态历经性，则统计均值可用时间均值代替。这样，在计算统计均值时,并不需要大量样本函数得集合，只需对一个样本函数求时间平均即可。甚至有时也不需要计算 N   时得极限,况且也不可能。通常得做法就是取一个有限得、计算系统能够承受得 N 求时间均值与时间方差。根据强调计算速度或精度得不同,可选择不同得算法。

设随机数序列｛}，一种计算均值得方法就是直接计算下式中,xn 为随机数序列中得第 n 个随机数。

另一种方法就是利用递推算法，第ｎ次迭代得均值也亦即前 n 个随机数得均值为迭代结束后,便得到随机数序列得均值 m m N 

递推算法得优点就是可以实时计算均值,这种方法常用在实时获取数据得场合。

当数据量较大时,为防止计算误差得积累,也可采用式中,m1 就是取一小部分随机数计算得均值.２、方差得计算 计算方差也分为直接法与递推法。仿照均值得做法

方差得递推算法需要同时递推均值与方差 m mnx mn n n n    1 11()

迭代结束后，得到随机数序列得方差为

其它矩函数也可用类似得方法得到.３、统计随机数得概率密度直方图 假定被统计得序列得最大值与最小值分别为 a 与 b。将区间等分 M(M 应与被统计得序列得个数 N 相适应，否则统计效果不好。)份后得区间为,，…，,… ,。用，表示序列得值落在区间里得个数,统计序列得值在各个区间得个数，则就粗略地反映了随机序列得概率密度得情况.用图形方式显示出来就就是随机数得概率密度直方图.（二）

实验目得 随机数产生之后,必须对它得统计特性做严格得检验。一般来讲,统计特性得检验包括参数检验、均匀性检验与独立性检验等.事实上,我们如果在二阶矩范围内讨论随机信号,那么参数检验只对产生得随机数一、二阶矩进行检验。我们可以把产生得随机数序列作为一个随机变量,也可以瞧成随机过程中得一个样本函数。不论就是随机变量还就是随机过程得样本函数，都会遇到求其数字特征得情况，有时需要计算随机变量得概率密度直方图等.（三）

实验结果

附：源程序 subplｏt(2,2，1）;x=raｎdom(“ｕnｉf”,２，５,1,１０2４）;ｈisｔ（x,2:0、２：5);ｔitle（’均匀分布随机数直方图’);s1=0 foｒ ｎ１＝1:１024

s１=x(n1)＋s１;end Mｅan1=s1/102４； t1=0 for n1＝１:10２4

ｔ1＝(x（n1）—Mean1)＾2＋t1;end Ｖaｒiance１＝ｔ1/１024;sｕbplot(2,2，2)； G1＝raｎdｏm(’Noｒｍal“,0，1,１，２0０00)； hist(G1，—4:0、2:4）； ｔitｌe(”高斯分布随机数直方图’）;ｓ2=０ foｒ n２=1：2０00０

ｓ2=Ｇ1（ｎ2）+s2； eｎｄ Mｅan2＝s2/20000； t2=0 fｏr n2＝1：20０00

t2=(G1(n2）-Mean２)^2+t2;enｄ Vaｒｉaｎｃe2=t2/20000； subｐｌot(２，2,3);G2=rａndom(’Nｏｒmal’,0，1，1,２0000）； R＝sqｒt（G１、*G1＋G2、*G２);hｉst（R,0:０、２:5）;tｉtｌｅ(“瑞利分布随机数直方图’)； s3=０ for n3=1：20000

ｓ3=R(ｎ3）+ｓ3;ｅnd Meａn３=s3/２00０0;t３＝0 ｆor n3=1：2０000

ｔ3=(R（n３)—Ｍｅan3）^2+t3;end Ｖarianｃｅ3=t3/２00００;subｐlot(2,２，4);G3=ｒandom（’Normaｌ”，0,1，1,200０0）;G４=raｎdom（“Ｎormal”,０,1,１，２0000）;X=Ｇ1、*G1＋G2、＊Ｇ2+G3、＊G3＋Ｇ4、＊G4； hist(X，0：０、5：30）;tiｔle(“x^2 分布随机数直方图’)ｓ4=0 for ｎ4=1:200０0

ｓ４=X(ｎ４）+s４;ｅnd Mean4=s4/2000０;t4＝0 for n４＝1:２00０0

t4=(X(ｎ4)-Meaｎ４)^2＋t4； end 实验 三、中心极限定理得验证(一）

实验 原理 如果 n 个独立随机变量得分布就是相同得,并且具有有限得数学期望与方差，当 n 无穷大时，它们之与得分布趋近于高斯分布。这就就是中心极限定理中

得一个定理。

我们以均匀分布为例，来解释这个定理。若 n 个随机变量 Xi（ｉ=1，2，…,n)都为[0,1］区间上得均匀分布得随机变量,且互相独立，当 n 足够大时，其与得分布接近高斯分布。

(二）

实验目得 利用计算机产生均匀分布得随机数。对相互独立得均匀分布得随机变量做与,可以很直观瞧到均匀分布得随机变量得与,随着做与次数得增加分布情况得变化，通过实验对中心极限定理得进行验证。

((三）

实验结果

分析:随ｎ取值得增大，均匀分布随机序列求与得图形越发接近于高斯分布。

附：源程序 X0=random(＇uniｆ”,0,1，１,１0２4);X1=randｏm(’unｉｆ’,0,1，1，１024)；

Ｘ2=ｒandoｍ（＇ｕniｆ“,0,1,1，１024);X3=rａndom(＇unif＇，0,１,１,1024);

Ｘ4=ｒaｎｄｏｍ(”uｎif＇，0，１，1，１０24);

X5=raｎdom(’ｕnif’，0，1,１,１024）；

Ｘ６=ｒaｎdom（’ｕnif“,0,1，1,1024）;X7=raｎｄom（’ｕｎiｆ’,0,1，１,1024);

X８=raｎdom(＇unif”，0，1，1,１０24);

X9=ｒaｎdom(’ｕnｉf’,0,１,１,1０２４）； Ｇ=rａｎｄom(“ｎｏｒmal”,０，1，1，1024）;

Ｙ1=X０+X1+X2＋X3＋Ｘ4；

Y2=Ｘ0+X1＋X2+Ｘ3+X４+Ｘ5+X6+X7+Ｘ8+X9;

suｂploｔ(2,2,1);ｈｉsｔ(X０,０:0、２：2)；

titlｅ(“均匀分布随机数直方图’）

sｕbplot(2，２,2）;hist（Y１,0：0、２：6);

ｔitlｅ(’五个均匀分布之与随机数直方图”)sｕｂplot(2,２,3）;ｈｉｓｔ(Y2，0：0、2：8);

title（’十个均匀分布之与随机数直方图“)subpｌoｔ(2，２，4);ｈiｓt（G,－4：0、2:4）;title(”高斯分布随机数直方图“）

实验 四、中心极限定理得验证(一）

实验 原理 在实际应用中，我们可以把产生得随机数序列瞧成随机过程中得一个样本函数。如果平稳随机序列满足各态历经性,则统计自相关序列可用时间自相关序列

代替。当数据得样本数有限时,也只能用有限个数据来估计时间自相关序列,统计自相关序列得估值。若各态历经序列Ｘ(n）得一个样本有 N 个数据,由于实序列自相关序列就是对称得，自相关函数得估值为

(二)实验目得 在随机信号理论中,自相关函数就是非常重要得概念。在实际系统仿真中也会经常计算自相关函数．通过本试验学生可以亲自动手计算自相关函数,加深对概念得理解，并增强实际动手能力．（三))实验结果

分析：分别生成均值为 0 与１，方差为 1 得高斯随机数,由图形可以明显瞧出两者自相关函数得差异。

附:源程序 N=２56;xn=ranｄom(’nｏｒm＇，０,１,1，N);Rx=ｘcoｒr（ｘn,＇biａsed”);ｍ=-N+1：N－1;ｓubplｏｔ(2,1，１）;ｐlot(m,Rx);tｉtle(“均值为０，方差为１得高斯分布得自相关函数＇）； axis（［—N N—1 —0、５ 1、５］)； N=256;xn＝randｏｍ（’noｒm’,1,1，1，Ｎ);Ｘk=ｆft(xn,2*N)； Rx＝ifｆｔ（(aｂs（Xk)、＾2)／N）； m=-N:Ｎ—１;suｂｐlot(２，1，2)； plot（m，fｆtsｈift（Rx));ｔitｌe（’均值为 1,方差为 1 得高斯分布得自相关函数’);ａxｉs（[-N N—1-0、5 １、5]);实验五、功率谱密度(一)实验 原理 一般把平稳随机序列得功率谱定义为自相关序列得傅里叶变换。如果自相关序列就是周期序列, X(ｎ）得功率谱与自相关序列得关系为

ﻩ 与实平稳过程一样,实平稳序列得功率谱也就是非负偶函数,即

可以证明，功率谱还可表示为

当 X(ｎ）为各态历经序列时,可去掉上式中得统计均值计算,将随机序列 X(n)用它得一个样本序列 x（ｎ)代替。在实际应用中，由于一个样本序列得可用数据个数 N 有限,功率谱密度也只能就是估计

式中，X(x（n)得傅里叶变换．这就是比较简单得一种估计方法,这种功率谱密度得估计方法称为周期图方法。如果直接利用数据样本做离散傅里叶变换,可得到 X(FＦT 算法实现,所以得到了广泛得应用。

(二）实验目得 在随机信号理论中，功率谱密度与自相关函数一样都就是非常重要得概念.在实际系统仿真中也会经常计算。通过本试验学生可以亲自动手,加深对概念得理解，并增强实际动手能力。

(三）实验结果

附:源程序 N＝２5６;ｘ1＝random(”normal’,0,1，1,N);Sx1＝abs（ｆft(ｘ1）、＾2）／N;subplot(2,１,1);plｏｔ（１0*loｇ10（Sx1));ｔｉtle(“均值为０,方差为 1 得高斯分布得功率谱密度＇)； xlａｂel(’ｆ/Ｈz’)ylabel(”Sｘ１/dB’）

x２=rａndom(’ｎormａl“，１,1,1,N）； Ｓｘ2=abs（fｆt（x2)、＾２)/N;ｓuｂplot（2，1,2);plot（１０*log1０(Sx2));title（”均值为 1，方差为 1 得高斯分布得功率谱密度’）;xlabel(’ｆ/Hz＇）

ｙlabｅｌ（“Ｓx2/dB＇)实验 六、随机信号经过 线性系统前后信号仿真

（一))实验原理

需要先仿真一个指定系统,再根据需要仿真输入得随机信号，然后使这个随机信号通过指定得系统．通过对实际系统建模，计算机可以对很多系统进行仿真。在信号处理中,一般将线性系统分解为一个全通放大器(或衰减器)与一个特定频率响应得滤波器。由于全通放大器可以用一个常数代替,因此线性系统得仿真往往只需设计一个数字滤波器。滤波器设计可采用 MＡTLAB 提供得函数，也可

利用相应得方法自行设计。MＡＴLAＢ提供了多个设计滤波器得函数,可以很方便地设计低通、带通、高通、多带通、带阻滤波器。

((二）实验 目得

系统仿真就是信号仿真处理得一个重要部分，通过该实验要求学生掌握系统仿真得基本概念,并学会系统得仿真方法。

((三))实验 结果

1、低通滤波器

2、带通滤波器

3、高通滤波器 4、多带通滤波器

5、带阻滤波器

附：源程序 １、X（n)

N＝2000；fｓ=４00;Nn=ｒandom（”normａl＇,0,1,1，N)； t=（0：Ｎ—１)/fs;fi=ｒaｎｄｏm(’unｉf’,0,１,１,２)＊2＊pｉ;xn＝sin(2*ｐi*５０*ｔ+ｆｉ(1))+Nn;Ｒx=ｘcorｒ(xn，“biaｓed’)； ｍ=—N+1:N－1;Sx=abs（ｆft（xn）、^2）/Ｎ； f=(—N／2:N/2-１）＊fs/N;sｕbｐlｏt（211),ｐｌot(m，Rｘ)； xlabｅl(’m’）

ｙｌabel（”Rx(m）’)titlｅ（’xn 得自相关函数“);subploｔ(212）,plｏt（f,ffｔshift（10＊lｏg10（Sx(1:N）)）);xlabeｌ（’f/Hz”)ｙlabｅl(“Sx/dB”)tｉtle(’xn 得功率谱密度’）;2、低通滤波器 ｈ=ｆir1（１00,0、４);H=ｆft(h,2＊N);HW=aｂs(Ｈ)、＾２;Rx=xcoｒr（xn，’ｂｉasｅｄ＇);Sx=abs（ｆfｔｓhift（fft(xn，2*N））、＾2)/（2＊Ｎ)； Ｓy＝Sx、*ＨＷ;Ｒy＝fftｓｈift（ifft（Sｙ)）;

f=（-Ｎ：N—1)＊ｆs/(2＊N)； m=(—N:Ｎ－1);subｐｌot(311);pｌot（(-N:Ｎ—1)/N，fｆtshiｆt(aｂs(HW(1:2＊N))）);tiｔlｅ(＇低通滤波器“）;ｓubplｏt(31２)，ｐｌoｔ（ｍ,Ry);xlabｅl(”m“)ylａbeｌ（”Ry（ｍ)＇)title(’xn 经低通滤波器得自相关函数’)； ｓubｐloｔ(31３),plot（ｆ，ffｔshift(10*log10(Ｓy（１:2*N)）))； ａxis(［—200 20０ —20 20]);xlabeｌ(“f/Hz’)ｙlabｅl(＇Sｙ/ｄＢ”)titｌe(＇xn 经低通滤波器得功率谱密度“)； 3、带通滤波器 ｈ=fｉr1(10０，［０、１ ０、5]);H=ｆft(h，2*Ｎ);ＨW＝abs(H)、^2； Ｒx=ｘcorｒ(xn，”biａsed“）； Sｘ=aｂs（fｆtshiｆt(fｆt(ｘn,2*N））、＾2)／（2*N）； Sy=Ｓx、*ＨW； Rｙ=fｆtsｈift(ｉfft（Sｙ)）； f=(-Ｎ:N-1）*fs/(2＊Ｎ);m=（-N:N—1）;subｐlot(311);ｐlot((—N:N-1）/N,fftｓｈift（abs（HW（1:2＊Ｎ)))）； ｔitle(’带通滤波器”）； ｓubｐlｏｔ（312)，ploｔ（ｍ,Ry);xlabeｌ(’m“)yｌabel(’Ｒy(m)’)title(”xn 经带通通滤波器得自相关函数“)； ｓubpｌoｔ(31３)，plｏt(f,fftshift(10＊lｏg10（Sy(１：2＊N))））； ａxiｓ（［—２０0 20０ －２0 20]);xｌabｅl（’f/Hz”)yｌabｅl(“Ｓｙ/dＢ’)tｉtle（’xn 经带通滤波器得功率谱密度’）;4、高通滤波器 h=ｆｉr1（１0０,0、6,’high’）； Ｈ=fft(h,2＊N）； ＨW=abｓ（H)、^２;Ｒx=xcｏｒr(xｎ,”bｉａｓed“）;Ｓx=abs(fftｓｈift（fｆt(xn,2＊N))、^２)/（2*N)； Sｙ=Ｓx、*HW;Ｒy=ffｔshiｆt(iｆfｔ（Sｙ));f=(-Ｎ:N-1）*ｆs/（2*N);m=(—Ｎ:N—1）；

sｕｂｐlｏt(31１)；plot(（-N：Ｎ—1）/N,ｆftshiｆt(aｂs(HＷ（1:２*N)）));tiｔｌe(＇高通滤波器”）;subpｌot(312），ploｔ(m,Rｙ);xlabｅl(“ｍ’)ylaｂeｌ(’Rｙ(m)”)tiｔlｅ(＇xn 经高通通滤波器得自相关函数’);subplｏt（3１3）,ｐｌot(ｆ,fftshｉft(10*ｌog10(Sy（1:2＊Ｎ)）））;axis（［－２０0 2０0 —2０ 2０]）； xlａbeｌ（“ｆ/Ｈz’)ｙｌａbｅl（”Sy/ｄB“)tｉtle(＇xn 经高通滤波器得功率谱密度＇);5、多带通滤波器 h=fｉr１(100,[０、１,0、3，0、5,0、7］)； H＝ｆfｔ(h，2*N)； HW＝ａｂｓ（Ｈ)、^2； Ｒx=xcorr（xn,＇bｉasｅd’);Sx=abs（fｆtshift(fft(xn,2*N））、^2)/（２＊Ｎ）； Sy＝Ｓx、*HW;Ｒy=ffｔshiｆt（iｆft(Sy));f＝（—Ｎ:N—1)＊fｓ/(2*N);m＝（—N：Ｎ-1);sｕbｐloｔ(３１1）;ploｔ(（—N:N—１）/Ｎ,fftｓｈift（ａbs(HW（1:２＊N）)))； tiｔle(’多带通滤波器’)； ｓｕbplot(312),pｌｏt(m,Ry）； ｘlabel（＇m’)ｙｌabｅl（”Ry(m）“）

ｔitle（”xn 经多带通通滤波器得自相关函数“);subpｌot（31３),plot(ｆ,fｆｔshｉｆt（1０＊ｌog10(Sｙ（1：2＊Ｎ)）));axis（［－2０0 2０0 —20 20]);xlaｂeｌ（’ｆ／Hz”）

ｙlabｅl(“Sy/dB’）

ｔitle(’xn 经多带通滤波器得功率谱密度”）； 6、带阻滤波器 h=fiｒ１(100,[０、1,0、4],’sｔoｐ’);H=fft（h，2＊N);HＷ=abｓ(H)、^2;Rx=ｘｃｏrr（xｎ,’ｂiaseｄ“）;Ｓx＝ａbｓ（ffｔshift(fft（ｘｎ，２*N）)、＾2)／(2*N);Sy=Sx、＊ＨW； Ｒy＝fftshift（ｉfft(Sy））;f=(—N:N-1）*ｆｓ/（2*N);m=(-N：N—1)； ｓｕｂｐlot(311）；pｌoｔ(（—N：N-1）/Ｎ,fftshift(ａｂs（ＨＷ(1:２*Ｎ))));

ｔｉtｌｅ(”带阻滤波器“）； ｓubpｌot（31２),ｐlot（m，Ｒy)； xlａbeｌ(’m’）

ｙlａbel（”Ｒy(m)’)ｔitle（’ｘn 经带阻滤波器得自相关函数＇)； sｕbplｏｔ(3１3)，ｐlot(f,fftshift（10＊log10(Sy（１:2*N)）））;aｘis([－200 20０-20 20］);xlaｂｅl（＇f／Ｈz“)ylabｅl（”Sy/ｄB“)titlｅ（”xn 经带阻滤波器得功率谱密度"）;

第二篇：《随机信号分析》实验报告

《随机信号分析》实验报告

学号：

姓名：

2009年12月21日

实验一：平稳随机过程的数字特征

1、实验目的“正文、小四宋体1.5倍行距”

2、实验任务

3、实验流程

4、实验结果

5、实验代码

“代码、五号宋体1倍行距”

1、实验目的“正文、小四宋体1.5倍行距”

2、实验任务

3、实验流程

4、实验结果

5、实验代码

“代码、五号宋体1倍行距”

1、实验目的“正文、小四宋体1.5倍行距”

2、实验任务

3、实验流程

4、实验结果

5、实验代码

“代码、五号宋体1倍行距”

1、实验目的“正文、小四宋体1.5倍行距”

2、实验任务

3、实验流程

4、实验结果

5、实验代码

“代码、五号宋体1倍行距”

第三篇：随机信号分析基础读书报告

读书报告

——随机信号分析基础

本读书报告主要分为三部分：

一、自学计划。

二、理论原理知识。

三、个人总结及心得体会。

一、自学计划。

在研究生第一学期，开设了随机信号分析基础课，这门课程是在信号分析基础上对信号分析与处理的更深一步的学习。11月末，在老师的安排下我们开始进行关于由王永德、王军主编的，由电子工业出版社出版的《随机信号分析基础》（第二版），第5章随机信号通过线性系统的自学。

（1）时间安排

11月末至12月末，每周的周一下午，周四上午设定为学习时间。

（2）目标要求

理解第五章关于5.2，5.3，5.5的相关内容，随时做好学习相关知识的笔记及心得体会。

二、理论原理知识。

在学习本书之前我已经完成了《高等数学》、《复变函数》、《信号与系统》等基础课程的学习。并且在学习第5章之前，学习了前四章的相关知识。

第2、3、4章讨论了随机过程的一般概念及其统计特征。各种电子系统尽管种类繁多，作用各异，但基本上可分为两大类：即线性统计与非线性统计。第五章研究的是现性系统问题并在5.5节开始随机序列通过线性离散系统后统计特性的变化，并介绍随机序列模型的概念与现代谱值的基本思想。以下为关于5.2，5.3及5.5的读书笔记。5.2 随机信号通过线性系统

主要研究输入信号为随机过程时，线性、稳定性、是不变系统的统计特征。5.2.1线性系统输出的统计特征 1.系统的输出

系统的输入输出样本函数之间的关系：Y(t)h()X(t)d，输入随机过程为X(t)，通过系统产生的新过程为Y(t)，对于有收敛的样本函数都可以通过此关系求得输出。

2.系统输出的均值与自相关函数

主要为解决已知输入随机过程的均值和自相关函数，求系统的输出随机过程的均值和自相关函数。

（1）系统输出均值

若X(t)是有界平稳过程，于是

E[Y(t)]E[ mXh()X(t)]d显然mX是与时间无关

h()d的常数。

（2）系统输出的自相关函数

若X(t)是有界平稳过程，则系统的自相关函数为：

RY(t,t) RX(12)h(1)h(2)d1d2RY()通过上面两式可以看出输出的新随机过程Y(t)亦是一个平稳的随机过程。但是实际上时不变随机输入信号时严平稳的，那么输出也是眼平稳的。若输入随机过程是各态历经的，那么输出随机信号也是各态历经的。3.系统输入与输出之间的互相关函数

输入输出的之间的互相关函数为：

RXY()RX()h()d

即输入输出的互相关函数为输入的自相关函数与系统的冲激响应的卷积，可写成

RXY()RX()h()

4.物理可实现系统的响应（1）无限工作时间系统 无限工作时间系统是指输入信号x(t)始终作用在系统输入端（即无始信号的情况），不考虑系统的瞬态过程，并且大多数实际应用都是这种情况。若系统输入X(t)为平稳随机过程，则有

Y(t)h()X(t)d0mYmXh()d0

RY RX(12)h(1)h(2)d1d2可以看出只要将前面倒出的关系式中的积分下限“”用“0”代替，即可得到物理可实现系统的各关系式。

这是无限工作时间系统在时间域的关系，但一般情况下对于无限工作时间系统频域法往往更简单。

（2）有限工作时间系统

有限工作时间系统是指输入信号x(t)在t0时才开始加入（也就是输入信号x(t)U(t)的情况）。所以输入X(t)在t0到tt1时刻的输出信号Y(t)为：

Y(t)t1t10X(t1)h()dE[Y(t1)]RYt20t10E[X(t1)]h()d

 0RX(12)h(1)h(2)d1d2以上讨论的都是在时间域范围内，随机信号输入线性系统的响应方法。5.2.2系统输出的功率谱密度 主要是给出了系统的功率谱密度与输入的功率谱密度关系。（假设输入X(t)为宽平稳过程，则输出Y(t)也是宽平稳过程，而X(t)和Y(t)是联合宽平稳的。这样在讨论中可以直接应用维纳-辛钦公式。）1.系统输出的功率谱密度

线性时不变系统输出的功率谱密度GY()与输入功率谱密度GX()的关系如下：

GY()GX()H()

H()是系统传递函数，H()被称为系统的功率传递函数。就此关系式书上意见给

22出详细的证明。

2.系统输入与输出之间的互谱密度

互谱密度公式为GXY()GX()H()GYX()GX()H()可以看出，当系统的性能未知时，若可以知道互谱密度就可以确定线性系统的传递函数。3.未知系统辨识精度的分析

由前面的知识可以得出 2XY()111()

可以看出，对于某些频率信噪比小，则相干系数值也小，反之则相干系数值也大。所以用此式可以定量的分析观测噪声对系统辨识的影响。5.2.3 多个随机信号过程之和通过线性系统

在实际应用中，输入一般为多个随机信号的情况是，所以讨论多个随机信号过程之和通过线性系统时很有必要的。假设系统的输入X(t)时两个联合平稳且单独平稳的随机过程X1(t)与X2(t)的和，即

X(t)X1(t)X2(t)

由于系统式线性的，每个输入都产生相应的输出，即有

Y(t)Y1(t)Y2(t)

输出的自相关函数为：

RY()RY()RY()12GY()GY()GY()12

由以上式子可以看出，两个独立的（或至少不相关）的零均值随机过程之和的功率谱密度或自相关函数等于各自功率谱密度或自相关函数之和。通过线性系统输出的平稳随机过程的功率谱密度或自相关函数也等于各自的输出的功率谱密度或自相关函数之和。5.3白噪声通过线性系统

白噪声（white noise）是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。5.3.1噪声宽带

理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。实际上，我们常常将有限带宽的平整讯号视为白噪音，因为这让我们在数学分析上更加方便。然而，白噪声在数学处理上比较方便，因此它是系统分析的有力工具。一般，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它作为白噪声来处理。例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，通常可以认为它们是白噪声。5.3.2白噪声通过理想线性系统

1.白噪声通过理想低通线性系统（滤波器或低频放大器）

一个白噪声通过一个理想低通线性系统。相关时间0为：00Y()d12f，表明输出随机过程的相关时间与系统的带宽成反比，即系统的带宽越宽，相关时间0越小，输出过程随时间变化越剧烈，反之，系统越窄，则0越大，输出过程随时间变化就越缓慢。

2.白噪声通过理想带通线性系统（带通滤波器或高频谐振放大器）

一个白噪声通过一个理想带通线性系统。相关时间0为：00Y()d12f，形式与白噪声通过一个理想低通线性系统相同，但是值得注意的是，这里0是表示输出窄带过程的包络随时间起伏变化的快慢程度。即上式表明系统的带快越宽，输出包络的起伏变化越剧烈。反之，带宽越窄，则包络变化越缓慢。

5.3.3白噪声通过具有高斯频率的线性系统

在实际中，只要放大设备中有4~5个以上的谐振回路，则放大设备就具有较近似的高斯频率特性。高斯曲线表示式为

(0)222H()K0e

5.5随机序列通过线性系统 5.5.1自相关函数

随机序列通过一阶FIR滤波器

滤波器的输出自相关函数满足方程：

2bibik, k0,1,,q RY(k)i00 kq qk5.5.2 功率谱密度

在离散型随机信号中，随机序列的功率谱密度为自相关函数的傅里叶变换，RX()DRX(kT)(kTs)

对应的傅里叶变换为：

GX()kRX(kTs)ejkTs

当Ts为1时，上面两式可以改写，即为随机序列的维纳-辛钦定理。pqYnl1alYnlm0bmXnm成为自回归滑动平均（ARMA）系统。它们在描述受白噪声污染的正弦过程等复杂过程时非常有用。

三、个人总结及心得体会。

通过本次对《随机信号分析基础》（第二版），第5章随机信号通过线性系统的自学。首先对我的自学能力加以考验，并得到了充分的锻炼。发现自学过程是非常有意义的，并且使我对知识的理解和更加深刻。

通过自学，我系统的了解了连续随机信号通过线性系统的原理，及分析方法，对此有更好的领会。

第四篇：《随机信号分析》习题答案（常建平）

1-9

已知随机变量X的分布函数为

求：①系数k；

②X落在区间内的概率；

③随机变量X的概率密度。

解：

第①问

利用右连续的性质

k＝1

第②问

第③问

1-10已知随机变量X的概率密度为（拉普拉斯分布），求：

①系数k

②X落在区间内的概率

③随机变量X的分布函数

解：

第①问

第②问

随机变量X落在区间的概率就是曲线下的曲边梯形的面积。

第③问

1-11

某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？

汽车站出事故的次数不小于2的概率

答案

1-12

已知随机变量的概率密度为

求：①系数k？②的分布函数？③？

第③问

方法一：

联合分布函数性质：

若任意四个实数，满足，则

方法二：利用

1-13

已知随机变量的概率密度为

①求条件概率密度和？②判断X和Y是否独立？给出理由。

先求边缘概率密度、注意上下限的选取

1-14

已知离散型随机变量X的分布律为

0.2

0.1

0.7

求：①X的分布函数

②随机变量的分布律

1-15

已知随机变量X服从标准高斯分布。求：①随机变量的概率密度？②随机变量的概率密度？

分析:①

②

答案:

1-16

已知随机变量和相互独立，概率密度分别为，求随机变量的概率密度？

解：设

求反函数，求雅克比J＝－1

1-17

已知随机变量的联合分布律为

求：①边缘分布律和？

②条件分布律和？

分析：

泊松分布

P19

（1－48）

解：①

②

即X、Y相互独立

1-18

已知随机变量相互独立，概率密度分别为。又随机变量

证明：随机变量的联合概率密度为

因为|J|＝1,故

已知随机变量相互独立，概率密度分别为

1-19

已知随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为

求其数学期望与方差？

解:

1-20

已知随机变量X可能取值为，且每个值出现的概率均为。求：①随机变量X的数学期望和方差？②随机变量的概率密度？③Y的数学期望和方差？

①③

答案:

②

Y

P

1/5

1/5

1/5

2/5

离散型随机变量的概率密度表达式　　　　　P12，1-25式

其中

为冲激函数

1-22

已知两个随机变量的数学期望为，方差为，相关系数。现定义新随机变量为

求的期望，方差以及它们的相关系数？

0.13

1-23

已知随机变量满足，皆为常数。证明：

①

；②

；③

当且时，随机变量正交。

①

②

③

1-25

已知随机变量相互独立，分别服从参数为和的泊松分布。①求随机变量X的数学期望和方差？②证明服从参数为的泊松分布。

解：①

泊松分布

特征函数的定义

由(1-17题用过)

可得

②根据特征函数的性质，X

Y相互独立，表明Z服从参数为的泊松分布1-26

已知随机变量的联合特征函数为

求：①随机变量X的特征函数

②随机变量Y的期望和方差

解：①

②

1-28

已知两个独立的随机变量的特征函数分别是和，求随机变量特征函数？

解：

特征函数的性质：相互独立随机变量和的特征函数等于它们特征函数之积

X、Y独立，因此有

和独立

独立的等价条件（充分必要条件）

①

②

③

1-29

已知二维高斯变量中，高斯变量的期望分别为，方差分别为，相关系数为。令

①

写出二维高斯变量的概率密度和特征函数的矩阵形式，并展开；

②

证明相互独立，皆服从标准高斯分布。

解：，系数矩阵，线性变换，故也服从高斯分布，故不相关，高斯变量不相关和独立等价，独立

1-30

已知二维高斯变量的两个分量相互独立，期望皆为0，方差皆为。令

其中为常数。①证明：服从二维高斯分布；

②求的均值和协方差矩阵；

③证明：相互独立的条件为。

复习：

n维高斯变量的性质

1.高斯变量的互不相关与独立是等价的2.高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。

3.高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布

解：①

②

③相互独立、二维高斯矢量

因此互不相关

只要证为对角证

即

1-31

已知三维高斯随机矢量均值为常矢量，方差阵为

证明：相互独立。

复习：

n维高斯变量的性质

1.高斯变量的互不相关与独立是等价的2.高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。

3.高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布

思路：设随机矢量

由性质可得为三维高斯变量，求得方差阵为对角阵

1-32

已知三维高斯随机变量各分量相互独立，皆服从标准高斯分布。求和的联合特征函数？

思路：是线性变换故也服从高斯分布，求得就可以写出联合特征函数，线性变换，故也服从高斯分布

N维高斯变量的联合特征函数

2、已知随机变量(X,Y)的联合概率密度为

(1)条件概率密度

(2)X和Y是否独立？给出理由。

解题思路：

解：(1)

(2)

X和Y不相互独立

4、已知

(X1,X2,X3)

是三维高斯变量，其期望和方差为

求：(1)

(X1,X2)的边缘特征函数。

(2)

(Y1,Y2)的联合概率密度

高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布

所以(X1,X2)、服从高斯分布

(1)

(2)

2-1

已知随机过程，其中

为常数，随机变量

服从标准高斯分布。求

三个时刻的一维概率密度？

解：

(离散型随机变量分布律)

2-2

如图2.23所示，已知随机过程

仅由四条样本函数组成，出现的概率为。

图2.23

习题2-2

在和

两个时刻的分布律如下：

1/8

1/4

3/8

1/4

求？

2－23

2-4

已知随机过程，其中

皆为随机变量。①求随机过程的期望

和自相关函数

？②若已知随机变量相互独立，它们的概率密度分别为

和，求的一维概率密度

第②问

方法一：用雅克比做（求随机变量函数的分布）

步骤：

t时刻，为两个随机变量的函数

①设二维的随机矢量

②求反函数

③求雅克比行列式J，得到|J|

④利用公式

⑤由联合概率密度求边缘概率密度

⑥t为变量，则得到

方法二：

用特征函数定义和性质（独立变量和的特征函数等于各特征函数的乘积）做

（特征函数和概率密度一一对应）

2-5

已知

为平稳过程，随机变量

。判断随机过程的平稳性？

随机过程

非平稳

2-6

已知随机过程，其中随机过程

宽平稳，表示幅度；角频率

为常数；随机相位

服从的均匀分布，且与过程

相互独立。①求随机过程的期望和自相关函数？②判断随机过程

是否宽平稳？

①

与过程

相互独立

2-8

已知平稳过程的自相关函数为，求过程的均方值和方差？

2-10

已知过程

和，其中随机变量

独立，均值都为0，方差都为5。①证明

和

各自平稳且联合平稳；②求两个过程的互相关函数？

①

2-11

已知过程

和

各自平稳且联合平稳，且

。①求的自相关函数

？②若

和

独立，求

？③若

和

独立且均值均为0，求

第①问

两个联合平稳的过程的互相关函数

第②问

两平稳过程独立

第③问

和

独立且均值均为0

2-12

已知两个相互独立的平稳过程

和的自相关函数为

令随机过程，其中

是均值为2，方差为9的随机变量，且与

和

相互独立。求过程的均值、方差和

自相关函数？

随机变量A，与

和

相互独立

可以证明过程

平稳

2-14

已知复随机过程

式中

为n个实随机变量，为n个实数。求当

满足什么条件时，复平稳？

复过程

复平稳条件

①

②

2-16

已知平稳过程的均方可导。证明的互相关函数和的自相关函数分别为

若

为宽平稳（实）过程，则

也是宽平稳（实）过程，且

与

联合宽平稳。

2-17

已知随机过程的数学期望，求随机过程的期望？

2-18

已知平稳过程的自相关函数

。求：①其导数的自相关函数和方差？②

和的方差比？

不含周期分量

补充题：若某个噪声电压

是一个各态历经过程，它的一个样本函数为，求该噪声的直流分量、交流平均功率

解：直流分量、交流平均功率

各态历经过程

可以用它的任一个样本函数的时间平均来代替整个过程的统计平均

再利用平稳过程自相关函数的性质

方法二：

2-19

已知随机过程，其中

是均值和方

差皆为1的随机变量。令随机过程

求的均值、自相关函数、协方差函数和方差？

解：

1．求均值，利用

随机过程的积分运算与数学期望运算的次序可以互换

2.求自相关函数

3.求互协方差函数

4.求方差

2-20

已知平稳高斯过程的自相关函数为

①

②

求当

固定时，过程的四个状态的协方差矩阵？

分析：高斯过程四个状态的解：①

②

2-21

已知平稳高斯过程的均值为0，令随机过程。

证明

2-22

已知随机过程，其中随机相位

服从

上的均匀分布；

可能为常数，也可能为随机变量，且若

为随机变量时，和随机变量

相互独立。当

具备什么条件时，过程各态历经？

分析：随机过程各态历经要求为平稳过程且

解：①

A为常数时

为平稳过程

A为随机变量时

和随机变量

相互独立

为平稳过程

②

③

l、随机过程

X(t)=A+cos(t+B)，其中A是均值为2，方差为1的高斯变量，B是（0，2p）上均匀分布的随机变量，且A和B独立。求

（1）证明X(t)是平稳过程。

（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。

（3）画出该随机过程的一个样本函数。

（1）

（2）

3-1

已知平稳过程的功率谱密度为，求：①该过程的平均功率？

②取值在范围内的平均功率？

解

3-7如图3.10所示，系统的输入为平稳过程，系统的输出为。证明：输出的功率谱密度为

3-9

已知平稳过程和相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为

令新的随机过程

①证明和联合平稳；

②求的功率谱密度？

③求和的互谱密度？

④求和的互相关函数？

⑤求和的互相关函数

解:

3-11

已知可微平稳过程的自相关函数为，其导数为。求互谱密度和功率谱密度？

Ⅰ.平稳过程

维纳－辛钦定理

Ⅱ.2-17

已知平稳过程的均方可导。证明的互相关函数和的自相关函数分别为

Ⅲ.傅立叶变换的微分性质

3-17

已知平稳过程的物理功率谱密度为，①求的功率谱密度和自相关函数？画出的图形。

②判断过程是白噪声还是色噪声？给出理由

白噪声的定义

若平稳随机过程的均值为零，功率谱密度在整个频率轴上均匀分布，满足

(3-70)

其中为正实常数，则称此过程为白噪声过程，简称白噪声。

4-4设有限时间积分器的单位冲激响应

h(t)=U(t)－U(t－0.5)

它的输入是功率谱密度为的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数

白噪声

4-5

已知系统的单位冲激响应，其输入平稳信号的自相关函数为，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？

分析：直流功率＝直流分量的平方

解:

输入平稳

输出的直流分量

输出的直流功率

4-7

已知如图4.21

所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为的白噪声，求：①系统的传递函数？②输出的均方值？其中

4-11

已知系统的输入为单位谱密度的白噪声，输出的功率谱密度为

求此稳定系统的单位冲激响应？

解：

4-12

已知系统输入信号的功率谱密度为

设计一稳定的线性系统，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声？

解：

4-14

功率谱密度为的白噪声作用于的低通网络上，等效噪声带宽为。若在电阻上的输出平均功率为。求的值？

书P162，解：对于低通情况

或者调用公式

图4.24

习题4-18

4-18

如图4.24所示的线性系统，系统输入是零均值，物理谱密度为1的白噪声，且。

①判断和分别服从什么分布？给出理由。

②证明是严平稳过程。

③求和的互相关函数，的功率谱密度？

④写出的一维概率密度表达式？

⑤判断同一时刻，和是否独立？给出理由。

解：①是白噪声

（白噪声带宽无限，由定义），线性系统，系统传递函数，是个低通线性系统（带宽有限）

由4.5节结论2若系统输入信号的等效噪声带宽远大于系统的带宽，则输出接近于高斯分布可知，为高斯过程。

由4.5节结论1可知，为高斯过程。

和服从高斯分布

②证明是严平稳过程

证：是白噪声（宽平稳过程），通过线性系统的输出也是宽平稳过程（4.2.2结论1）。

对于高斯过程，宽平稳和严平稳等价。

③求和的互相关函数，的功率谱密度

习题3-7的结论

④求一维概率密度表达式，则易得

思考1：上述随机过程的一维概率密度表达式中没有时间参量，根据严平稳过程的特性也可以推到。

思考2：试着写出这个过程一维、二维的概率密度和特征函数形式。

⑤判断同一时刻，和是否独立？给出理由

和独立（高斯过程）

等价

互不相关（零均值）

等价

正交

和联合平稳，再由两者的相互关系可得

即不正交

和在同一时刻不独立。

—

END

—

第五篇：统计信号分析与处理实验报告

实验2 随机过程的计算机模拟

一、实验目的

1、给定功率谱（相关函数）和概率分布，通过计算机模拟分析产生相应的随机过程；

2、通过该随即过程的实际功率谱（相关函数）和概率分布验证该实验的有效性；

3、学会运用Matlab 函数对随机过程进行模拟。

二、实验原理

1、标准正态分布随机序列的产生方法：利用随机变量函数变换的方法。设r1，r2为两个相互独立的（0，1）均匀分布的随机数，如果要产生服从均值为m,方差为正态分布的随机数x，则可以按如下变换关系产生：

2、正态随机矢量的模拟：设有一 N 维正态随机矢量，其概率密度为

为协方差矩阵，且是正定的。

3、具有有理谱的正态随机序列的模拟

根据随机过程通过线性系统的理论，白噪声通过线性系统后，输出是正态的，且输出功

率谱只与系统的传递函数有关。利用这一性质，我们可以产生正态随机过程。

如上图所示，输入W(n)为白噪声，假定功率谱密度为G(z)= 1 W，通过离散线性系统

后，输出X(n)是正态随机序列，由于要求模拟的随机序列具有有理谱，则G(z)X 可表示为：

其中，G(z)X+ 表示有理谱部分，即所有的零极点在单位圆之内，G(z)X− 表示非有理谱部分，即所有零极点在单位圆之外。

4、满足一定相关函数的平稳正态随机过程的模拟，当已知平稳随机过程的相关函数而要确定该随机过程的模拟算法。很显然，只要我们设计一个合适的滤波器，使得该白噪声通过滤波器后，输出的功率谱满足上述相关函数的傅里叶变换，就可以模拟得到该随机过程。

三、实验内容

1、产生两组相互独立的（0，1）均匀分布的随机数（随机数个数：500）

程序及图形如下: clear;x=randn(1,500);y= randn(1,500);subplot(2,1,1);plot(x);title('第二组');subplot(2,1,2);plot(y);title('第一组')

2、按照实验原理中的方法产生一组均值为1，方差为1 的正态分布的随机序列（序列长度：500）程序及图形如下： clear;y=1+sqrt(1)*randn(1,500);plot(y);title(‘正态分布，均值方差都为1’)

3、画出功率谱密度为G(w)=1/(1.25+cosw)的功率谱图（一个周期内），采用均匀采样方法，采样点数为500 程序及图形如下： clear;w=rand(1,500);M=1.25+cos(w);N=1;G=N./M;plot(G);title('均匀采样功率频谱');

5、模拟产生一个功率谱为G(w)=1/(1.25+cosw)的正态随机序列 程序及图形如下: clear;w=randn(1,500);M=1.25+cos(w);N=1;G=N./M;plot(G);title('均匀采样功率频谱');

四、实验中所遇到问题及解决方法

问题

1、对Matlab软件很生疏、编程也不熟悉。解决方法：我和同学利用学校资源和网络查找和参看了许多有关Matlab的资料，对其中一些基本知识和有关随机信号处理的章节作了详细了解和练习。同时也向老师同学请教，经过实验课上和平时的练习，渐渐地有了一些好的进展，这个过程很漫长，但是很值得我们花时间和精力去了解。

问题

2、对Matlab中与统计信号处理随机过程中的某些函数的运用很有困难。

解决方法：也是查找Matlab的书籍中有关内容，然后在Matlab上学会用help中的相关辅助、查找功能。

问题

3、运用Matlab编程时编写的程序经过运行之后有错，而且很难发现其中错误。

解决方法：充分利用Matlab运行出错之后的英文提示进行分析和改正，然后也要比较Matlab语言与C语言的差异和共同点，这样比较学习有利于我们更好地了解这门语言。

五、实验总结及心得体会 实验总结：

本实验是运用Matlab作为工具来对随机过程中的功率谱（相关函数）和概率分布函数进行模拟和验证，由于随机过程中涉及的数据和运运算往往比较繁多和复杂，运用Matlab这个软件的强大的数据、运算和图像处理功能可以很好的解决随机过程中的一些问题。

此外，这个实验也从实际动手的角度加深了我们对随机过程特征估计的理解，运用Matlab处理的图形也可以很深刻的帮助我们理解相关知识。心得体会：

这次实验对于同学和我来说刚开始时是很不容易的，但是经过和同学的协作、查找参看一些相关资料，我们对Matlab的实际操作之后，我们还是有一些收获的，我们对Matlab有了进一步认识，对于随机过程这一重要内容也有所了解，对于统计信号分析的一些知识也不仅仅只是再停留在理论方面了，这次实验让我们以实际动手的方式去认知感受统计信号的知识。更重要的是我觉得，这次实验也在一定程度上，锻炼、提高我们通信工程专业学生的根据理论分析和实验工具来设计分析实验的思维和能力。

此外，我们发现做实验时理论知识也是很重要的，只有对理论知识有了很深的理解，这样才有可能运用课堂所学内容去指导实践，也只有这样的实践才会加强我们对知识的掌握程度。

实验3 随机过程的特征估计

一、实验目的

1、了解随机过程特征估计的基本概念和方法；

2、学会运用Matlab 函数对随机过程进行特征估计；

3、通过实验了解不同估计方法所估计出来结果之间的差异。

二、实验原理

设随机序列 X(n)、Y(n)为各态历经过程，样本分别为x(n)、y(n)（n=0,1,....N-1）。

1、均值的估计

2、方差的估计

方差估计有两种情况，如果均值 mx 已知，则

如果均值未知，那么

3、相关函数估计

4、功率谱估计

功率谱的估计有几种方法，（1）自相关法:先求相关函数的估计，然后对估计的相关函数做傅立叶变换，（2）周期图法:先对序列 x(n)做傅立叶变换，则功率谱估计为

周期图法是一种非参数谱估计方法，另外还有一种修正的周期图方法，也叫Welch 法，MATLAB 有周期图和Welch 法的谱估计函数。（3）现代谱估计技术

现代谱估计主要有参数谱估计和子空间谱估计。参数谱估计法是假定待估计功率谱的信号是白噪声驱动线性系统的输出，常用的方法有基于最大墒估计的伯格算法和Yuler-Walk自回归(AR)方法，这些方法是估计线性系统的参数，通常会得到比经典谱估计方法更好的估计。子空间法也称为高分辨率谱估计或超分辨率谱估计，常用的方法有MUSIC 法和特征矢量法，这些方法是根据相关矩阵的特征分析或特征分解得到对信号的频率分量的估计，特别适合于线谱（即正弦信号）的估计，是低信噪比环境下检测正弦信号的有效方法。MATLAB 有许多估计数字特征的统计函数：

1.均值与方差mean(A)，返回序列的均值，序列用矢量A 表示。VAR(X)，返回序列X 的方差。

2.互相关函数估计xcorr用法： c = xcorr(x,y)c = xcorr(x)c = xcorr(x,y,'option')c = xcorr(x,'option')xcorr(x,y)计算X 与Y 的互相关，矢量X 表示序列x(n)，矢量Y 表示序列y(n)。xcorr(x)计算X 的自相关。option 选项是： 'biased'：有偏估计

'unbiased':：无偏估计

'coeff'：m=0 的相关函数值归一化为1。'none'：不作归一化处理。

3.功率谱估计：MATLAB 提供了许多功率铺估计的函数：

三、实验内容

1、产生一组均值为1，方差为4 的正态分布的随机序列（1000 个样本），估计该序列的均值与方差。程序及图形为：

clc,clear N=1000;alp=1;sig=1;delt=1;a=1;mm=zeros(1,N);x1=rand(1,N);x2=rand(1,N);x3=a.*sqrt(-2*log(x1)).*cos(2*pi*x2)+mm;

%产生随高斯分布的随机数 y(1)=sig*x3(1);for

n=2:N

y(n)=exp(-alp)*y(n-1)+sig*sqrt(1-exp(-2*alp*delt))*x3(n);end i=1:N;plot(i,y);hold on;plot(i,mm,'-');title('正态分布随机序列')M=0;for i=1:N

M=M+y(i);endM=M/ND=0;for i=1:N

D=D+(y(i)-M)^2;end D=D/N for m=1:N

%计算自相关函数正半轴%

for n=1:N-m+1

rr(n)=y(n)*y(n+m-1);

end

r2(m)=sum(rr)/N;end

M =-0.0061 D = 0.8837

2、按如下模型产生一组随机序列： x(n)=0.8x(n-1)+w(n)其中w(n)为均值为1，方差为4 的正态分布白噪声序列。估计过程的自相关函数与功率谱。程序及图形为：

N=500;u=randn(N,1);w=1+2.*u;x(1)=w(1);for i=2:N;x(i)=0.8*x(i-1)+w(i);end subplot(2,2,1);plot(x);subplot(2,2,3);R=xcorr(x,'coeff');plot(R);subplot(2,2,4);P=periodogram(x);plot(P);

3、设信号为x(n)=sin(2πf1n)+2cos(2πf2n)+w(n)，n=1,2,....,N，其中f1=0.05，f2=0.12，w(n)为正态白噪声，试在N=356 和1024 点时，分别产生随机序列x(n)、画出x(n)的波形并估计x(n)的相关函数和功率谱。程序及图形为：

Fs=1000;n=0:1/Fs:1;

xn=sin(2*pi*0.05*n)+2*cos(2*pi*0.12*n)+randn(size(n));nfft=356;subplot(3,1,1)

plot(n,abs(xn))title('x(n)=sin(2pi*f1*n)+2cos(2pi*f1*n)+w(n)')cxn=xcorr(xn,'unbiased');CXk=fft(cxn,nfft);Pxx=abs(CXk);

index=0:round(nfft/2-1);k=index*Fs/nfft;

plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));subplot(3,1,2)

plot(k,plot_Pxx)title('相关函数')

window=boxcar(length(xn));[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs);Subplot(3,1,3)plot(f,10*log10(Pxx))title('功率谱')

四、实验中所遇到问题及解决方法

问题

1、对Matlab软件很生疏、编程也不熟悉。解决方法：我和同学利用学校资源和网络查找和参看了许多有关Matlab的资料，对其中一些基本知识和有关随机信号处理的章节作了详细了解和练习。同时也向老师同学请教，经过实验课上和平时的练习，渐渐地有了一些好的进展，这个过程很漫长，但是很值得我们花时间和精力去了解。

问题

2、对统计信号处理随机过程中的相关函数及功率谱的概念及算法不是特别熟悉。解决方法：查找相关资料和认真参看课本，多次和同学讨论之后就对相关函数和功率谱的熟悉程度逐渐增加。

问题

3、对Matlab中与统计信号处理随机过程中的均值、方差、相关函数及功率谱的函数的运用很有困难。

解决方法：也是查找Matlab的书籍中有关内容，然后在Matlab上学会用help中的相关辅助、查找功能。

五、实验总结及心得体会

实验总结：

本实验是运用Matlab作为工具来对随机过程中的一些特征值进行计算和估计，由于随机过程中涉及的数据和运运算往往比较繁多和复杂，运用Matlab这个软件的强大的数据、运算和图像处理功能可以很好的解决随机过程中的一些问题。随机过程特征估计主要包括均值、方差、相关函数及功率谱的估计，这些值可以很全面很简要的概括描述随机过程的一些特征。

此外，这个实验也从实际动手的角度加深了我们对随机过程特征估计的理解，运用Matlab处理的图形也可以很深刻的帮助我们理解相关知识。

心得体会：

这次实验对队员和我来说刚开始时是很不容易的，但是经过和同学的协作、查找参看一些相关资料，我们对Matlab的实际操作之后，我们还是有一些收获的，我们对Matlab有了进一步认识，对于随机过程这一重要内容也有所了解，对于统计信号分析的一些知识也不仅仅只是再停留在理论方面了，这次实验让我们以实际动手的方式去认知感受统计信号的知识。更重要的是我觉得，这次实验也在一定程度上，锻炼、提高我们通信工程专业学生的根据理论分析和实验工具来设计分析实验的思维和能力。

实验5 典型时间序列AR模型分析

一、实验目的

1,、熟悉一种典型的时间序列模型：AR 模型；

2、理解并分析AR模型的原理；

3、学会运用 Matlab工具对AR模型进行统计特性分析；

4、通过对模型的仿真分析，探讨该模型的适用范围，并且通过实验分析理论分析与实验结果之间的差异。

二、实验原理

在生产和科学研究中，对某一个或一组变量x(t)进行观察测量，将在一系列时刻t1, t2, „, tn(t为自变量且t1

AR模型，即自回归（AutoRegressive, AR）模型又称为时间序列模型，数学表达式为AR : y(t)=a1y(t-1)+...any(t-n)+e(t)其中，e(t)为均值为0，方差为某值的白噪声信号。AR模型是一种线性预测，即已知N个数据，可由模型推出第N点前面或后面的数据（设推出P点），所以其本质类似于插值，其目的都是为了增加有效数据，只是AR模型是由N点递推，而插值是由两点（或少数几点）去推导多点，所以AR模型要比插值方法效果更好。

时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论和方法。它一般采用曲线拟合和参数估计方法（如非线性最小二乘法）进行。

时间序列建模基本步骤是：

①用观测、调查、统计、抽样等方法取得被观测系统时间序列动态数据。②根据动态数据作相关图，进行相关分析，求自相关函数。相关图能显示出变化的趋势和周期，并能发现跳点和拐点。跳点是指与其他数据不一致的观测值。如果跳点是正确的观测值,在建模时应考虑进去,如果是反常现象，则应把跳点调整到期望值。拐点则是指时间序列从上升趋势突然变为下降趋势的点。如果存在拐点，则在建模时必须用不同的模型去分段拟合该时间序列，例如采用门限回归模型。

③辨识合适的随机模型,进行曲线拟合,即用通用随机模型去拟合时间序列的观测数据。对于短的或简单的时间序列，可用趋势模型和季节模型加上误差来进行拟合。对于平稳时间序列，可用通用ARMA模型（自回归滑动平均模型）及其特殊情况的自回归模型、滑动平均模型或组合-ARMA模型等来进行拟合。当观测值多于50个时一般都采用ARMA模型。对于非平稳时间序列则要先将观测到的时间序列进行差分运算，化为平稳时间序列，再用适当模型去拟合这个差分序列。

AR 模型分析

首先要依据给定二阶的 AR 过程，用递推公式得出最终的输出序列，或者按照一个白噪声通过线性系统的方式得到，依据函数产生相应的样本函数，并画出波形；然后，估计均值和方差，画出理论的功率谱密度曲线；最后，运用Yule-Walker方程可以求出理论的 AR 模型的自相关序列，估计自相关函数和功率谱密度。

三、实验内容

1、熟悉实验原理，将实验原理上的程序应用 matlab 工具实现；

2、设有AR(2)模型，x(n)=W(n)+0.3W(n-1)+0.2W(n-2)W(n)是零均值正态白噪声，方差为4。（1）用MATLAB 模拟产生X(n)的500 观测点的样本函数，并绘出波形。（2）用产生的500 个观测点估计X(n)的均值和方差。（3）画出理论的功率谱。

（4）估计X(n)的相关函数和功率谱。

分析：给定二阶的 AR 过程，可以用递推公式得出最终的输出序列。或者按照一个白噪声通过线性系统的方式得到，这个系统的传递函数为：

110.3z10.2z2

这是一个全极点的滤波器，具有无限长的冲激响应。对于功率谱，可以这样得到

可以看出，P（ω）x 完全由两个极点位置决定。对于 AR 模型的自相关函数

这称为Yule-Walker方程，当相关长度大于p 时，由递推式求出：

这样，就可以求出理论的 AR 模型的自相关序列。具体步骤：

1.产生样本函数，并画出波形

题目中的 AR 过程相当于一个零均值正态白噪声通过线性系统后的输出，可以按照上面的方法进行描述。

程序及仿真图形依次如下：

clear all;

b=[1];a=[1 0.3 0.2];% 由描述的差分方程，得到系统传递函数

h=impz(b,a,20);% 得到系统的单位冲激函数，在20点处已经可以认为值是0 randn('state',0);

w=normrnd(0,2,1,500);% 产生题设的白噪声随机序列，标准差为2

x=filter(b,a,w);% 通过线形系统，得到输出就是题目中要求的2阶AR过程

plot(x,'r');ylabel('x(n)');title('产生的AR随机序列');grid

2.估计均值和方差

可以首先计算出理论输出的均值和方差，对于方差可以先求出理论自相关输出，然后取零点的值。

并且，代入有

可以采用上面介绍的方法，对式中的卷积进行计算。在最大值处就是输出的功率，也就是方差，为

对实际数据进行估计，均值为mean(x)=-0.0703，而方差为var(x)= 5.2795，两者和理论值吻合的比较好。3.画出理论的功率谱密度曲线 理论的功率谱为，相关程序及仿真图形如下：

delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1000;

w=w_min:delta:w_max;% 得到数字域上的频率取样点，范围是[-pi,pi] Gx=4*(abs(1./(1+0.3*exp(-i*w)+0.2*exp(-2*i*w))).^2);% 计算出理论值

Gx=Gx/max(Gx);% 归一化处理

f=w*Fs/(2*pi);% 转化到模拟域上的频率

plot(f,Gx,'b'),grid on;

那么可以看出这个系统是带通系统。4.估计自相关函数和功率谱密度

依据原理估计相关函数和功率谱，相关程序及仿真图形如下： % 计算理论和实际的自相关函数序列

Mlag=20;% 定义最大自相关长度

Rx=xcorr(x,Mlag,'coeff');m=-Mlag:Mlag;stem(m,Rx,'r.');grid on;

由仿真图形可以分析出它和上面的理论输出值基本一致。实际的功率谱密度的程序及仿真图形如下：

window=hamming(20);% 采用hanmming窗，长度为20 noverlap=10;% 重叠的点数

Nfft=512;% 做FFT的点数

Fs=1000;% 采样频率，为1000Hz

[Px,f]=pwelch(x,window,noverlap,Nfft,Fs, 'onesided');% 估计功率谱密度

f1=[-fliplr(f)f(1:end)];% 构造一个对称的频率，范围是[-Fs/2, Fs/2] Px=[-fliplr(Px)Px(1:end)];% 对称的功率谱

plot(f1,10*log10(Px),'b');grid on;

四、实验中所遇到问题及解决方法

问题

1、对一些典型的时间序列模型不了解。

解决方法：通过对实验原理的分析，还有课本内容及查找的相关资料的参阅，以及与同学们的讨论，慢慢地就建立了一些有关时间序列的很基础的观念。

问题

2、运用 Matlab工具对AR模型进行统计特性分析很棘手。

解决方法：也是查找Matlab的书籍中有关内容，然后在Matlab上学会用help中的相关辅助、查找功能。

问题

3、运用Matlab编程时编写的程序经过运行之后有错，而且很难发现其中错误。

解决方法：充分利用Matlab运行出错之后的英文提示进行分析和改正，同时也要学会运用Matlab上一些有用的学习资源。

五、实验总结及心得体会

实验总结：

本实验是用解Yule-Walker方程估计法来实现AR模型的求解，是一种AR模型参数的直接估计法。

时间序列一靠数据顺序，二靠数据大小，蕴含着客观世界及其变化的信息，表现着变化的动态过程，因此，时间序列也往往称为“动态数据”，对动态数据建立模型就是数据建模。因此，从系统角度来考察，某一时间序列表现着客观世界的某一动态过程，换而言之，表现着某一系统的某一行为及其变化过程，也可以说，某一时间序列就是某一相应系统的有关输出或响应。

现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱，主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的，应用最广的是AR参数模型。现代谱估计的参数模型有自回归滑动平均（ARMA）模型、自回归（AR）模型、滑动平均（MA）模型，Wold分解定理阐明了三者之间的关系：任何有限方差的ARMA或MA模型的平稳随机过程可以用无限阶的AR模型表示，任何有限方差的ARMA或MA模型的平稳随机过程可以用无限阶的AR模型表示。但是由于只有AR模型参数估计是一组线性方程，而实际的物理系统往往是全极点系统，因而AR应用最广。实验总结：

刚刚开始做实验时我们确实是一点头绪也没有，不知道该如何下手，只是查找和参看一些Matlab和统计信号分析的书籍，但是也实验好像都没有进展。对于我来说，首先要解决的问题就是要学着运用Matlab这个有很实用的工具，不仅要基本认识Matlab而且还要学会编写程序。这个过程是不容易的，要参看大量资料而且还要花大量时间来自己编写程序。其次还要很认真的反复看课本上的相关内容也要看一些书籍。

总之，这次实验对我来说刚开始时是很不容易的，但是经过和同学的协作、查找参看一些相关资料之后，最后还是有一些收获的，毕竟我付出了时间和精力。也许我做得不是特别好，但是通过努力之后，不可否认的，我们对Matlab有了进一步认识，对于AR模型确实有了一定的认知和理解，对于统计信号分析的一些知识也不仅仅只是再停留在理论方面了，这次实验让我们以实际动手的方式去认知感受统计信号的知识。更重要的是我觉得，这次实验也在一定程度上，锻炼、提高我们通信工程专业学生的根据理论分析和实验工具来设计分析实验的思维和能力。因为面对老师布置的实验任务，我们必须有一个对于实验的全面的认知和大体的结构把握才有可能去一步步的去实现，否则我们是无从下手的。也许，这种遇到问题所需要的思维方法和能力才是这次实验的精华，也是对我们最有益处的。