第一篇：97届,普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案（文）
1997年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题共65分)注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本大题共15小题；
第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)设集合M={x|0≤x<2}，集合N={x|x2－2x－3<0}，集合M∩N=()(A){x|0≤x<1}(B){x|0≤x<2}(C){x|0≤x≤1}(D){x|0≤x≤2}(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0平行，那么系数a=()(A)－3(B)－6(C)－(D)(3)函数y=tg在一个周期内的图像是()(4)已知三棱锥D—ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是()(A)(B)(C)(D)(5)函数y=sin(－2x)+sin2x的最小正周期是()(A)(B)π(C)2π(D)4π(6)满足tg a≥ctg a的角a的一个取值区间是()(A)(B)(C)(D)(7)设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x－1)与y=f(1－x)的图像关于()(A)直线y=0对称(B)直线x=0对称(C)直线y=1对称(D)直线x=1对称(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是()(A)20π(B)25π(C)50π(D)200π(9)如果直线l将圆：x2+y2－2x－4y=0平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是()(A)[0，2](B)[0，1](C)[0，](D)(10)函数y=cos2x－3cosx+2的最小值为()(A)2(B)0(C)－(D)6(11)椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是()(A)(B)(C)(D)(12)圆台上、下底面积分别为π、4π，侧面积为6π，这个圆台的体积是()(A)(B)(C)(D)(13)定义在区间(－∞，+∞)的奇函数f(x)为增函数；
偶函数g(x)在区间的图像与f(x)的图像重合．设a>b>0，给出下列不等式()① f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)；
② f(b)－f(－a)< g(a)－g(－b)；
③ f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)；
④ f(a)－f(－b) 1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：本大题共4小题； 每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(16)已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为___________(17)已知直线x－y=2与抛物线y2=4x交于A、B两点，那么线段的中点坐标是_______(18)的值为__________(19)已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题： ①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α； ②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线； ③若mα，lβ，且l⊥m，则α⊥β； ④若lβ，且l⊥α，则α⊥β； ⑤若mα，lβ，且α∥β，则m∥l． 其中正确的命题的序号是___________(注：把你认为正确的命题的序号都填上)三、解答题：本大题共6小题； 共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(20)(本小题满分10分)已知复数，．求复数的模及辐角主值．(21)(本小题满分11分)设Sn是等差数列{an}前n项的和．已知与的等比中项为，与的等差中项为1．求等差数列{an}的通项an．(22)(本小题满分12分)甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，且比例系数为b； 固定部分为a元．(Ⅰ)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (Ⅱ)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？(23)(本小题满分12分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．(Ⅰ)证明AD⊥D1F； (Ⅱ)求AE与D1F所成的角； (Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1； (Ⅳ)设AA1=2，求三棱锥E－AA1F的体积．(24)(本小题满分12分)已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图像交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的y=log2x的图像交于C、D两点．(Ⅰ)证明点C、D和原点O在同一条直线上； (Ⅱ)当BC平行于x轴时，求点A的坐标．(25)(本小题满分12分)已知圆满足：①截y轴所得弦长为2； ②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1； ③圆心到直线l：x－2y=0的距离为．求该圆的方程． 1997年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准 说明： 一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分．满分65分．(1)B(2)B(3)A(4)C(5)B(6)C(7)D(8)C(9)A(10)B(11)A(12)D(13)C(14)C(15)B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)4(17)(4，2)(18)2－(19)①，④ 注：第(19)题多填、漏填和错填均给0分． 三、解答题(20)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识，考查利用三角公式进行变形的技能和运算能力．满分10分． 解法一：将已知复数化为复数三角形式：，依题意有zω+zω3 =(cos+isin)+(cos+isin)=(cos+cos)+i(sin+sin)=2cos(cos+isin)故复数zω+zω3的模为，辐角主值为． 解法二：zω+zω3 = zω(1+ω2)=(+i)(+i)(1+i)=(－i+i)=(cos+isin)(21)本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识，考查运算能力．满分11分． 解：设等差数列{an}的首项a1=a，公差为d，则通项为 an =a+(n－1)d，前n项和为，依题意有 其中S5≠0． 由此可得 整理得 解方程组得 由此得 an=1； 或 an=4－(n－1)=－n． 经验证知时an=1，S5=5，或时，S5=－4，均适合题意． 故所求等差数列的通项为an=1，或．(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．满分12分． 解：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为 y=a·+bv2·=S(+bv)故所求函数及其定义域为 y = S(+bv)，v∈(Ⅱ)依题意知S、a、b、v都为正数，故有 S(+bv)≥2． 当且仅当，即时上式中等号成立． 若，则当时，全程运输成本y最小． 若，当时，有 S(+bv)－S(+bc)= S[(－)+(bv－bc)]=(c－v)(a－bcv)． 因为c－v≥0，且a>bc2，故有 a－bcv≥a－bc2>0，所以S(+bv)≥S(+bc)，且仅当v=c时等号成立． 也即当v=c时，全程运输成本y最小． 综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为； 当时行驶速度应为．(23)本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查逻辑推理和空间想象能力．满分12分． 解：(Ⅰ)∵ AC1是正方体，∴ AD⊥面DC1． 又D1F面DC1，∴ AD⊥D1F．(Ⅱ)取AB中点G，连结A1G，FG． 因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F． 设A1G与AE相交于点H，∠AHA1是AE与D1F所成的角． 因为E是BB1的中点，所以 Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90º，也即直线AE与D1F所成的角为直角．(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F，由(Ⅱ)知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED． 又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1．(Ⅳ)∵ 体积，又FG⊥面ABB1A1，三棱锥F－AA1E的高FG=AA1=2，面积 =S□=×22=2． ∴=××FG=×2×2=(24)本小题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力，满分12分． 解：(Ⅰ)设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知，x1>1，x2>1．则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2． 因为A、B在过点O的直线上，所以，点C、D坐标分别为(x1，log2x1)，(x2，log2x2)． 由于log2x1=－3 log8x1，log2x2==3log8x2 OC的斜率，OD的斜率 ． 由此可知，k1=k2，即O、C、D在同一条直线上．(Ⅱ)由于BC平行于x轴知 log2x1= log8x2，即得 log2x1=log2x2，∴ x2=． 代入x2log8x1=x1log8x2得 log8x1=3x1log8x1． 由于x1>1知log8x1≠0，∴ =3x1． 考虑x1>1解得x1=． 于是点A的坐标为(，log8)．(25)本小题主要考查轨迹的思想，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．满分12分． 解：设圆P的圆心为P(a，b)，半径为，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90º，知圆P截x轴所得的弦长为．故 r2=2b2 又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有 r2=a2+1． 从而得2b2－a2=1． 又因为P(a，b)到直线x－2y=0的距离为，所以，即有 a－2b=±1，由此有 解方程组得 于是r2=2b2=2，所求圆的方程是(x+1)2+(y+1)2=2，或(x－1)2+(y－1)2=2． 1978年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （理科考生五，六两题选做一题文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题） 一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x2-4xy+4y2-4z2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z) 2.已知正方形的边长为，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积 解：设底面半径为r，则底面周长2πr= 则 3．求函数的定义域 解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.故x≥-1为其定义域 4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值 解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450= 5.化简： 二 .（本题满分14分） 已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图 解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y轴上，半长轴=2，半短轴=; ②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x轴上，半长轴=，半短轴=2 Y Y Y k=2 A k=1 (0,2) k=1/4 O A X O B X O X 如图： 2)k=0时，方程为y2=4图形是两条平行于x轴的直线 如图 3）k<0时，方程为 Y Y y=2 k=-4 A O O X B X y=-2 这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上如图： 三．（本题满分14分） （如图）AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点，求证：1)CD=CM=CN.2)CD2=AM·BN M C N A B D 1)证：连CA，CB，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC ∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN 2）∵CD⊥AB，∠ACD=900 ∴ CD2=AD·DB 由1）知AM=AD，BN=BD ∴CD2=AM·BN 四．（本题满分12分） 五．（本题满分20分） 已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小又已知顶点C的对边c上的高等于求三角形各边,b,c的长（提示：必要时可验证） 六．（本题满分20分） 七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题） 已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m为实数） 1）m是什么数值时，y的极值是0？ 2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论 3）平行于L1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于L1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等 解：用配方法得： 3.设L：x-y=为任一条平行于L1的直线 与抛物线y=x2+(2m+1)x+m2-1方程联立求解，消去y，得 x2+2mx+m2-1+=0∴（x+m)2=1- 因而当1-≥0即≤1时，直线L与抛物线相交，而＞1时，直线L与抛物线不相交 而这与m无关 因此直线L被各抛物线截出的线段都相等 一九七八年副题 1．（1）分解因式：x2-2xy+y2+2x-2y-3 解：原式=(x-y-1)(x-y+3) (2)求 解：原式=3/4 （4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积 解： 解：原式=30 2．已知两数x1,x2满足下列条件： 1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项; 2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和 求根为的方程 略解：x1 +x2=39，x1x2=-40故：1/x1+1/x2=-39/40 1/x1·1/x2=-1/40 所求方程为：40x2+39x-1=0.3.已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证： A B E C D 证：因为AD是△ABC的外接圆的切线，所以 ∠B=∠1∴△ABD∽△CAD 作AE⊥BD于点E，则 A M N α B E F D 4．（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=，DM与AB，AC分别交于M点和N点，且∠BDM=α 求证： 证：作ME⊥DC于E，由△ABC是等边三角形，在直角△MBE中，类似地，过N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中，可证： 5．设有f(x)=4x4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p≠0）求证： 1）如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方 2）如果f(x)与F(x)=(2x2+x+b)2表示同一个多项式，那么 p2-4q-4(m+1)=0 6．已知：sinx+bcosx =0.………………………………① Asin2x+Bcos2x=C.………………………………② 其中,b不同时为0 求证：2bA+(b2-2)B+(2+b2)C=0 则①可写成cosysinx-sinycosx=0,∴sin(x-y)=0∴x-y=kπ(k为整数)，∴x=y+kπ 又sin2x=sin2(y+kπ)=sin2y=2sinycosy= cos2x=cos2y=cos2y-sin2y= 代入②，得 7．已知L为过点P而倾斜角为300的直线，圆C为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点在的抛物线设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点 1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图 2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式 3）设P＇、B＇依次为从P、B到x轴的垂足求由圆弧AB和直线段BB＇、B＇P＇、P＇P、PA所包含的面积 Y O X B Q L P A C 解：1）直线L、圆C和抛物线Q的方程为 2)由 Y P＇ B＇ O X B A C Q L P 1983年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 （这份试题共九道大题，满分120分） 一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分 1．两条异面直线，指的是 （D） （A）在空间内不相交的两条直线 （B）分别位于两个不同平面内的两条直线 （C）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 （D）不在同一平面内的两条直线 2．方程x2-y2=0表示的图形是 （A） （A）两条相交直线 （B）两条平行直线 （C）两条重合直线 （D）一个点 3．三个数a,b,c不全为零的充要条件是 （D） （A）a,b,c都不是零 （B）a,b,c中最多有一个是零 （C）a,b,c中只有一个是零（D）a,b,c中至少有一个不是零 4．设则的值是 （C） （A） （B） （C） （D） 5．这三个数之间的大小顺序是 （C） （A） （B） （C） （D） 二．（本题满分12分） 1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程的图形，并写出它们交点的坐标 2．在极坐标系内，方程表示什么曲线？画出它的图形 解： Y O X P 1.图形如左图所示 交点坐标是：O（0，0），P（1，-1） O X (,0) 2．曲线名称是：圆 图形如右所示 三．（本题满分12分） 1．已知，求微分 2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法 解：1.2． 或： 四．（本题满分12分） 计算行列式（要求结果最简）： 解：把第一列乘以加到第2列上，再把第三列乘以加到第2列上，得 五．（本题满分15分） 1．证明：对于任意实数t，复数的模 适合2．当实数t取什么值时，复数的幅角主值适合？ 1．证：复数（其中t 是实数）的模为 要证对任意实数t，有，只要证对任意实数t，成立 对任意实数t，因为，所以可令 且，于是 2．因为复数的实部与虚部都是非负数，所以z的幅角主值一定适合从而 显然因为 由于 这就是所求的实数t的取值范围 六．（本题满分15分） 如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成的角等 S M P C A N D B 于∠NSC，求证SC垂直于截面MAB 证：因为SN是底面的垂线，NC是斜线SC在底面上的射影，AB⊥NC，所以AB⊥SC（三垂线定理） 连结DM因为AB⊥DC，AB⊥SC，所以AB垂直于DC和SC所决定的平面又因DM在这个平面内，所以AB⊥DM ∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC 在△MDC和△NSC中，因为∠MDC=∠NSC，∠DCS是公共角，所以∠DMC=∠SNC=900从而DM⊥SC从AB⊥SC，DM⊥SC，可知SC⊥截面MAB 七．（本题满分16分） 如图，已知椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M，N设∠F2F1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？ Y M α A1 F1 O F2 A X N 解一：以椭圆焦点F1为极点，以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系 由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=，短半轴b=1，离心率e=，中心到准线距离=,焦点到准线距离p=.椭圆的极坐标方程为 解得 以上解方程过程中的每一步都是可逆的，所以当或时，|MN|等于短轴的长 解二：以椭圆的中心为原点，F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为 MN所在直线方程为 解方程组 消去y得.下同解法一 解三：建立坐标系得椭圆如解二，MN所在直线的参数方程为 代入椭圆方程得 设t1,t2是方程两根，则由韦达定理，下同解一 解四：设|F1M|=x,则|F2M|=6-x|F1F2|=，∠F2F1M=α 在△MF1F2中由余弦定理得 同理，设|F1N|=y，则|F2N|=6-y在△F1F2N中，由余弦定理得 下同解一 八．（本题满分16分） 已知数列{an}的首项a1=b(b≠0），它的前n项的和Sn=a1+a2+…+an (n≥1),并且S1，S2，Sn，…是一个等比数列，其公比为p（p≠0且|p|＜1） 1．证明：a2,a3,a3,…an,…(即{an}从第二项起）是一个等比数列 2．设Wn=a1S1+a2S2+a3S3+…+anSn(n≥1),求（用b,p表示） 1．证：由已知条件得S1=a1=b.Sn=S1pn-1=bpn-1(n≥1） 因为当n≥2时，Sn=a1+a2+…+an-1+an=Sn-1+an,所以 an=Sn-Sn-1=bpn-2(p-1)(n≥2)从而 因此a2,a3,a3,…an,…是一个公比为p的等比数列 2．解：当n≥2时，且由已知条件可知p2<1，因此数列a1S1，a2S2，a3S3，…anSn…是公比为p2<1的无穷等比数列于是 从而 九．（本题满分12分） 1．已知a,b为实数，并且e 1．证：当e 考虑函数因为但时，所以函数内是减函数 因为e 2．证一：由ab=ba，得blna=alnb，从而 考虑函数，它的导数是 因为在（0，1）内，所以f(x)在（0，1）内是增函数 由于0 所以a=b 证二：因为0 假如a 矛盾 所以a不能小于b 假如a>b，则，而，这也与矛盾 所以a不能大于b因此a=b 证三：假如a 即ab 假如b 因此a=b 1982年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科） 一．（本题满分6分） 填表： 函 数 使函数有意义的x的实数范围 {0} R R [-1,1] (0,+∞） R 解：见上表 二．（本题满分9分） 1．求（-1+i)20展开式中第15项的数值; 2．求的导数 解：1.第15项T15= 2.三．（本题满分9分） Y X O Y O X 在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形 1．2． 解：1.得2x-3y-6=0图形是直线 2.化为图形是椭圆 四．（本题满分12分） 已知圆锥体的底面半径为R，高为H 求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h（如图） A D c H h B E O 2R 解：设圆柱体半径为r高为h 由△ACD∽△AOB得 由此得 圆柱体体积 由题意，H＞h＞0，利用均值不等式，有 （注：原“解一”对h求导由驻点解得） 五．（本题满分15分） （要写出比较过程） 解一：当>1时，解二： 六．（本题满分16分） A M P（ρ，θ） X O N B 如图：已知锐角∠AOB=2α内有动点P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四边形PMON的面积等于常数c2今以O为极点，∠AOB的角平分线OX为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线 解：设P的极点坐标为（ρ，θ）∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，OM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ),ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ),四边形PMON的面积 这个方程表示双曲线由题意，动点P的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB内的一部分 七．（本题满分16分） 已知空间四边形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点（如图）求证MNPQ是一个矩形 B M R A N Q D K S P C 证：连结AC，在△ABC中，∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC 在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，∴QP∥AC∴MN∥QP 同理，连结BD可证MQ∥NP ∴MNPQ是平行四边形 取AC的中点K，连BK，DK ∵AB=BC，∴BK⊥AC，∵AD=DC，∴DK⊥AC因此平面BKD与AC垂直 ∵BD在平面BKD内，∴BD⊥AC∵MQ∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP为直角故MNPQ是矩形 八．（本题满分18分） Y x2=2qy y2=2px A1 O A2 A3 X 抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与x2=2qy相切 解：不失一般性，设p>0,q>0.又设y2=2px的内接三角形顶点为 A1（x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3) 因此y12=2px1，y22=2px2，y32=2px3 其中y1≠y2,y2≠y3,y3≠y1 .依题意，设A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，要证A3A1也与抛物线x2=2qy相切 因为x2=2qy在原点O处的切线是y2=2px的对称轴，所以原点O不能是所设内接三角形的顶点即（x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，都不能是（0，0）;又因A1A2与x2=2qy相切，所以A1A2不能与Y轴平行，即x1≠x2,y1≠-y2,直线A1A2的方程是 同理由于A2A3与抛物线x2=2qy相切，A2A3也不能与Y轴平行，即 x2≠x3,y2≠-y3,同样得到 由（1）（2）两方程及y2≠0,y1≠y3,得y1+y2+y3=0.由上式及y2≠0,得y3≠-y1，也就是A3A1也不能与Y轴平行今将y2=-y1-y3代入（1）式得： (3)式说明A3A1与抛物线x2=2qy的两个交点重合，即A3A1与抛物线x2=2qy相切所以只要A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，则A3A1也与抛物线x2=2qy相切 九．（附加题，本题满分20分，计入总分） 已知数列和数列其中 1．用p,q,r,n表示bn，并用数学归纳法加以证明; 2．求 解：1.∵1=p,n=pn-1,∴n=pn.又b1=q,b2=q1+rb1=q(p+r),b3=q2+rb2=q(p2+pq+r2),… 设想 用数学归纳法证明： 当n=2时，等式成立; 设当n=k时，等式成立，即 则bk+1=qk+rbk= 即n=k+1时等式也成立 所以对于一切自然数n≥2，都成立 1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 （这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分 1．数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k1）π，k是整数}之间的关系是 （C） （A）XY （B）XY （C）X=Y （D）X≠Y 2．如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（C） （A）F=0，G≠0，E≠0.（B）E=0，F=0，G≠0.（C）G=0，F=0，E≠0.（D）G=0，E=0，F≠0.3.如果n是正整数，那么的值 （B） （A）一定是零 （B）一定是偶数 （C）是整数但不一定是偶数 （D）不一定是整数 4.大于的充分条件是 （A） （A） （B） （C） （D） 5．如果θ是第二象限角，且满足那么 （A）是第一象限角 （B）是第三象限角 （B） （C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果） 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答： 2.函数在什么区间上是增函数？ 答：x＜-2.3．求方程的解集 答： 4．求的展开式中的常数项 答：-20 5．求的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答： 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设画出函数y=H(x-1)的图象 2．画出极坐标方程的曲线 2．O X 解： 1．Y 0 O X 四．（本题满分12分） 已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行 证：设三个平面为α，β，γ，且 从而c与b或交于一点或互相平行 1．若c与b交于一点，设 ∴所以,b,c交于一点（即P点） P b αβ γ c b α β γ c 2.若c∥b,则由所以,b,c互相平行 五．（本题满分14分） 设c,d,x为实数，c≠0，x为未知数讨论方程在什么情况下有解有解时求出它的解 解：原方程有解的充要条件是： 由条件（4）知，所以再由c≠0，可得 又由及x＞0，知，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中 再由条件（3）及，知因此，原条件可简化为以下的等价条件组： 由条件（1）（6）知这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c＞0,1-d＞0,即c＞0,d＜1; ②c＜0,1-d＜0,即c＜0,d＞1.再由条件（1）（5）及（6）可知 从而，当c＞0,d＜1且时，或者当c＜0,d＞1且时，原方程有解，它的解是 六．（本题满分16分） 1．设，实系数一元二次方程有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是Z1，Z2求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分） 2．求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分） 解：1.因为p,q为实数，z1,z2为虚数，所以 由z1,z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，所以椭圆短轴在x轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点 根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|,焦距离=2c=|z1-z2|=,长轴长=2a= 2.因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴 设椭圆左顶点为A（x,y），因为椭圆的离心率为，所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的，从而左焦点F的坐标为 设d为点M到y轴的距离，则d=1 根据及两点间距离公式，可得 这就是所求的轨迹方程 七．（本题满分15分） 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为,b,c，且c=10，P为△ABC的内切圆上的动点求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值 解：由，运用正弦定理，有 因为A≠B，所以2A=π-2B，即A+B= 由此可知△ABC是直角三角形 由c=10，如图，设△ABC的内切圆圆心为O＇，切点分别为D，E，F，则 Y B（0，6） D E O＇ P（x,y) X O C（0，0） A（8，0） AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，所以内切圆半径r=EC=2.如图建立坐标系，则内切圆方程为: (x-2)2+(y-2)2=4 设圆上动点P的坐标为(x,y),则因为P点在内切圆上，所以，S最大值=88-0=88，S最小值=88-16=72 解二：同解一，设内切圆的参数方程为 从而 因为，所以 S最大值=80+8=88，S最小值=80-8=72 八．（本题满分12分） 设＞2，给定数列{xn},其中x1=,求证： 1．2． 3．1．证：先证明xn＞2(n=1,2,…）用数学归纳法 由条件＞2及x1=知不等式当n=1时成立 假设不等式当n=k(k≥1)时成立 当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知 再由归纳假设知不等式成立，所以不等式也成立从而不等式xn＞2对于所有的正整数n成立 (归纳法的第二步也可这样证： 所以不等式xn>2(n=1,2,…）成立） 再证明由条件及xn>2(n=1,2,…）知 因此不等式也成立 （也可这样证：对所有正整数n有 还可这样证：对所有正整数n有 所以） 2．证一：用数学归纳法由条件x1=≤3知不等式当n=1时成立 假设不等式当n=k(k≥1)时成立 当n=k+1时，由条件及知 再由及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式也成立，从而不等式对所有的正整数n成立 证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法： 由条件知再由及归纳假设可得 3．证：先证明若这是因为 然后用反证法若当时，有则由第1小题知 因此，由上面证明的结论及x1=可得 即，这与假设矛盾所以本小题的结论成立 九．（附加题，本题满分10分，不计入总分） ⌒ 如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线L相切于点A，一动点P自切点A沿直线L向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M又知当AP=时，点P的速度为V求这时点M的速度 M O D θ C A P L ⌒ 解：作CD⊥AM，并设AP=x，AM=y，∠COD=θ由假设，AC的长为，半径OC=1，可知θ 考虑 ∵△APM∽△DCM，而 （有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）第二篇：78版 普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案
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