第一篇：00届,全国普通高等学校招生统一考试（新课程）数学试题及答案
2000年全国普通高等学校招生统一考试(新课程卷)数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至10页．共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)设集合A和B都是坐标平面上的点集，映射把集合A中的元素映射成集合B中的元素，则在映射下，象的原象是()(A)(B)(C)(D)(2)在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是()(A)2(B)(C)(D)3(3)一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，这个长方体对角线的长是()(A)2(B)3(C)(D)6(4)设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ① ② ③不与垂直 ④ 中，是真命题的有()(A)①②(B)②③(C)③④(D)②④(5)函数的部分图像是()(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：
全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分 15% … … 某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于()(A)800~900元(B)900~1200元(C)1200~1500元(D)1500~2800元(7)若，P=，Q=，R=，则()(A)RPQ(B)PQ R(C)QPR(D)PRQ(8)右图中阴影部分的面积是()(A)(B)(C)(D)(9)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是()(A)(B)(C)(D)(10)过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是()(A)(B)(C)(D)(11)过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则等于()(A)(B)(C)(D)(12)如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为()(A)(B)(C)(D)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.(13)某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，其中次品数的概率分布是 0 1 2(14)椭圆的焦点为、，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是________.(15)设是首项为1的正项数列，且(=1，2，3，…)，则它的通项公式是=________.(16)如图，E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是_______.(要求：把可能的图的序号都填上)三、解答题：本大题共6小题,共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分10分)甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.甲、乙二人依次各抽一题.(I)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？(II)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 注意：考生在(18甲)、(18乙)两题中选一题作答，如果两题都答，只以(18甲)计分.(18甲)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC-，底面ΔABC中，CA=CB=1，∠BCA=，棱=2，M、N分别是、的中点.(I)求的长；
(II)求，的值；
(III)求证.(18乙)(本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且===.(I)证明：⊥BD；
(II)假定CD=2，=，记面为，面CBD为，求二面角 的平面角的余弦值；
(III)当的值为多少时，能使平面？请给出证明.(19)(本小题满分12分)设函数，其中.(I)解不等式；
(II)求的取值范围，使函数在区间上是单调函数.(20)(本小题满分12分)用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.(21)(本小题满分14分)(I)已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数.(II)设、是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列.(22)(本小题满分14分)如图，已知梯形ABCD中，点E满足=，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点.当时，求双曲线离心率的取值范围.2000年全国普通高等学校招生统一考试江西、天津卷 数学试题（理工农医类）参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）B（2）B（3）C（4）D（5）D（6）C（7）B（8）C（9）A(10)C(11)C(12)D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.（13）0 1 2 0.9025 0.095 0.0025（14）（15）（16）②③ 三、解答题（5）本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力.满分10分.解：（I）甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有个；
又甲、乙依次抽一题的可能结果有个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为，所求概率为；
——5分（II）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为，所求概率为.或，所求概率为.——10分 注意：考生在（18甲）、（18乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18甲）计分.（18甲）本小题主要考查空间向量及运算的基本知识.满分12分.如图，以C为原点建立空间直角坐标系O.（I）解：依题意得B，N，∴ ——2分（II）解：依题意得，B，C，.∴，.，.——5分 ∴ ——9分（III）证明：依题意得，M，∴，∴，∴A1B⊥C1M.——12分（18乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力.满分12分.（I）证明：连结、AC，AC和BD交于O，连结.∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，BC=CD.又∵，∴，∴，∵ DO=OB，∴ BD，——2分 但 AC⊥BD，AC∩=O，∴ BD⊥平面.又平面，∴ BD.——4分（II）解：由（I）知AC⊥BD，BD，∴ 是二面角的平面角.在中，BC=2，，∴.——6分 ∵ ∠OCB=，∴ OB=BC=1.∴，∴ 即.作⊥OC，垂足为H.∴ 点H是OC的中点，且OH，所以.——8分（III）当时，能使⊥平面.证法一：
∵，∴ BC=CD=，又，由此可推得BD=.∴三棱锥C-是正三棱锥 ——10分 设与相交于G.∵∥AC，且∶OC=2∶1，∴∶GO=2∶1.又是正三角形的BD边上的高和中线，∴点G是正三角形的中心，∴CG⊥平面.即⊥平面 ——12分 证法二：
由（I）知，BD⊥平面，∵平面，∴BD⊥.——10分 当时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD⊥的证法可得⊥.又 BD∩=B，∴⊥平面.——12分（19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识、分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力.满分12分.思路1：（I）不等式即，由此得，即，其中常数.所以，原不等式等价于 即 ——3分 所以，当时，所给不等式的解集为；
当时，所给不等式的解集为.——6分（II）在区间上任取，使得<..——8分（i）当时，∵，∴，又，∴，即.所以，当时，函数在区间上是单调递减函数.——10分（ii）当时，在区间上存在两点，满足，即，所以函数在区间上不是单调函数.综上，当且仅当时，函数为区间上的单调函数.——12分 思路2：
——4分(i)当时，有，此时.函数在区间（—∞,+∞）上是单调递减函数.但f(0)=1,因此，当且仅当x≥0时 f(x)≤1 ——8分(ii)当０＜a＜1时：
解不等式得，f(x)在区间上是单调递减函数；
同理，解不等式得，f(x)在区间上是单调递增函数.解方程f(x)=1得.因为，所以，当且仅当.综上：(Ⅰ)当a≥1时，的解集为；
当０＜a＜1时 的解集为.(Ⅱ)当且仅当a≥1时，f(x)在区间[0,+∞]上是单调函数.——12分（20）本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识.满分12分.解：设容器底面短边长为m，则另一边长为 m，高为 ． 由和，得，设容器的容积为，则有 ． 整理，得，——4分 ∴． ——6分 令，有，即，解得，（不合题意，舍去）.——8分 从而，在定义域（0，1.6）内只有在处使.由题意，若过小（接近0）或过大（接近1.6）时，值很小（接近0），因此，当时取得最大值，这时，高为.答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为.——12分（21）本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力.满分12分.解：（I）因为是等比数列，故有，将代入上式，得 = ——４分 即 =，整理得，解得=2或=3.——８分（II）设、的公比分别为、，≠,.为证不是等比数列只需证.事实上，.——12分 由于，又、不为零，因此，故不是等比数列.——14分（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.满分14分.解：如图，以AB的垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD⊥轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称.——2分 依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高.由，即得 ． ——５分 设双曲线的方程为，则离心率.由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线的方程得 ② ——7分 ① 由①式得，③ 将③式代入②式，整理得，故.——10分 由题设得，.解得.所以，双曲线的离心率的取值范围为.——14分
第二篇：78版 普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案
1978年普通高等学校招生全国统一考试
数学
（理科考生五，六两题选做一题文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题）
一．（下列各题每题4分，五个题共20分）
1．分解因式：x2-4xy+4y2-4z2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)
2.已知正方形的边长为，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积
解：设底面半径为r，则底面周长2πr=
则
3．求函数的定义域
解：
∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.故x≥-1为其定义域
4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值
解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=
5.化简：
二
.（本题满分14分）
已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图
解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y轴上，半长轴=2，半短轴=;
②k=1时,为半径r=2的圆;
③k<1时,长轴在x轴上，半长轴=，半短轴=2
Y
Y
Y
k=2
A
k=1
(0,2)
k=1/4
O
A
X
O
B
X
O
X
如图：
2)k=0时，方程为y2=4图形是两条平行于x轴的直线
如图
3）k<0时，方程为
Y
Y
y=2
k=-4
A
O
O
X
B
X
y=-2
这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上如图：
三．（本题满分14分）
（如图）AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点，求证：1)CD=CM=CN.2)CD2=AM·BN
M
C
N
A
B
D
1)证：连CA，CB，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC
∠ACD=∠ABC
∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC
∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN
2）∵CD⊥AB，∠ACD=900
∴
CD2=AD·DB
由1）知AM=AD，BN=BD
∴CD2=AM·BN
四．（本题满分12分）
五．（本题满分20分）
已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小又已知顶点C的对边c上的高等于求三角形各边,b,c的长（提示：必要时可验证）
六．（本题满分20分）
七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题）
已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m为实数）
1）m是什么数值时，y的极值是0？
2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论
3）平行于L1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于L1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等
解：用配方法得：
3.设L：x-y=为任一条平行于L1的直线
与抛物线y=x2+(2m+1)x+m2-1方程联立求解，消去y，得
x2+2mx+m2-1+=0∴（x+m)2=1-
因而当1-≥0即≤1时，直线L与抛物线相交，而＞1时，直线L与抛物线不相交
而这与m无关
因此直线L被各抛物线截出的线段都相等
一九七八年副题
1．（1）分解因式：x2-2xy+y2+2x-2y-3
解：原式=(x-y-1)(x-y+3)
(2)求
解：原式=3/4
（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积
解：
解：原式=30
2．已知两数x1,x2满足下列条件：
1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项;
2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和
求根为的方程
略解：x1
+x2=39，x1x2=-40故：1/x1+1/x2=-39/40
1/x1·1/x2=-1/40
所求方程为：40x2+39x-1=0.3.已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：
A
B
E
C
D
证：因为AD是△ABC的外接圆的切线，所以
∠B=∠1∴△ABD∽△CAD
作AE⊥BD于点E，则
A
M
N
α
B
E
F
D
4．（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=，DM与AB，AC分别交于M点和N点，且∠BDM=α
求证：
证：作ME⊥DC于E，由△ABC是等边三角形，在直角△MBE中，类似地，过N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中，可证：
5．设有f(x)=4x4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p≠0）求证：
1）如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方
2）如果f(x)与F(x)=(2x2+x+b)2表示同一个多项式，那么
p2-4q-4(m+1)=0
6．已知：sinx+bcosx
=0.………………………………①
Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②
其中,b不同时为0
求证：2bA+(b2-2)B+(2+b2)C=0
则①可写成cosysinx-sinycosx=0,∴sin(x-y)=0∴x-y=kπ(k为整数)，∴x=y+kπ
又sin2x=sin2(y+kπ)=sin2y=2sinycosy=
cos2x=cos2y=cos2y-sin2y=
代入②，得
7．已知L为过点P而倾斜角为300的直线，圆C为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点在的抛物线设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点
1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图
2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式
3）设P＇、B＇依次为从P、B到x轴的垂足求由圆弧AB和直线段BB＇、B＇P＇、P＇P、PA所包含的面积
Y
O
X
B
Q
L
P
A
C
解：1）直线L、圆C和抛物线Q的方程为
2)由
Y
P＇
B＇
O
X
B
A
C
Q
L
P
第三篇：普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 83届
1983年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
（这份试题共九道大题，满分120分）
一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分
1．两条异面直线，指的是
（D）
（A）在空间内不相交的两条直线
（B）分别位于两个不同平面内的两条直线
（C）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
（D）不在同一平面内的两条直线
2．方程x2-y2=0表示的图形是
（A）
（A）两条相交直线
（B）两条平行直线
（C）两条重合直线
（D）一个点
3．三个数a,b,c不全为零的充要条件是
（D）
（A）a,b,c都不是零
（B）a,b,c中最多有一个是零
（C）a,b,c中只有一个是零（D）a,b,c中至少有一个不是零
4．设则的值是
（C）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．这三个数之间的大小顺序是
（C）
（A）
（B）
（C）
（D）
二．（本题满分12分）
1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程的图形，并写出它们交点的坐标
2．在极坐标系内，方程表示什么曲线？画出它的图形
解：
Y
O
X
P
1.图形如左图所示
交点坐标是：O（0，0），P（1，-1）
O
X
(,0)
2．曲线名称是：圆
图形如右所示
三．（本题满分12分）
1．已知，求微分
2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法
解：1.2．
或：
四．（本题满分12分）
计算行列式（要求结果最简）：
解：把第一列乘以加到第2列上，再把第三列乘以加到第2列上，得
五．（本题满分15分）
1．证明：对于任意实数t，复数的模
适合2．当实数t取什么值时，复数的幅角主值适合？
1．证：复数（其中t
是实数）的模为
要证对任意实数t，有，只要证对任意实数t，成立
对任意实数t，因为，所以可令
且，于是
2．因为复数的实部与虚部都是非负数，所以z的幅角主值一定适合从而
显然因为
由于
这就是所求的实数t的取值范围
六．（本题满分15分）
如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成的角等
S
M
P
C
A
N
D
B
于∠NSC，求证SC垂直于截面MAB
证：因为SN是底面的垂线，NC是斜线SC在底面上的射影，AB⊥NC，所以AB⊥SC（三垂线定理）
连结DM因为AB⊥DC，AB⊥SC，所以AB垂直于DC和SC所决定的平面又因DM在这个平面内，所以AB⊥DM
∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC
在△MDC和△NSC中，因为∠MDC=∠NSC，∠DCS是公共角，所以∠DMC=∠SNC=900从而DM⊥SC从AB⊥SC，DM⊥SC，可知SC⊥截面MAB
七．（本题满分16分）
如图，已知椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M，N设∠F2F1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？
Y
M
α
A1
F1
O
F2
A
X
N
解一：以椭圆焦点F1为极点，以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系
由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=，短半轴b=1，离心率e=，中心到准线距离=,焦点到准线距离p=.椭圆的极坐标方程为
解得
以上解方程过程中的每一步都是可逆的，所以当或时，|MN|等于短轴的长
解二：以椭圆的中心为原点，F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为
MN所在直线方程为
解方程组
消去y得.下同解法一
解三：建立坐标系得椭圆如解二，MN所在直线的参数方程为
代入椭圆方程得
设t1,t2是方程两根，则由韦达定理，下同解一
解四：设|F1M|=x,则|F2M|=6-x|F1F2|=，∠F2F1M=α
在△MF1F2中由余弦定理得
同理，设|F1N|=y，则|F2N|=6-y在△F1F2N中，由余弦定理得
下同解一
八．（本题满分16分）
已知数列{an}的首项a1=b(b≠0），它的前n项的和Sn=a1+a2+…+an
(n≥1),并且S1，S2，Sn，…是一个等比数列，其公比为p（p≠0且|p|＜1）
1．证明：a2,a3,a3,…an,…(即{an}从第二项起）是一个等比数列
2．设Wn=a1S1+a2S2+a3S3+…+anSn(n≥1),求（用b,p表示）
1．证：由已知条件得S1=a1=b.Sn=S1pn-1=bpn-1(n≥1）
因为当n≥2时，Sn=a1+a2+…+an-1+an=Sn-1+an,所以
an=Sn-Sn-1=bpn-2(p-1)(n≥2)从而
因此a2,a3,a3,…an,…是一个公比为p的等比数列
2．解：当n≥2时，且由已知条件可知p2<1，因此数列a1S1，a2S2，a3S3，…anSn…是公比为p2<1的无穷等比数列于是
从而
九．（本题满分12分）
1．已知a,b为实数，并且e
1．证：当e
考虑函数因为但时，所以函数内是减函数
因为e
2．证一：由ab=ba，得blna=alnb，从而
考虑函数，它的导数是
因为在（0，1）内，所以f(x)在（0，1）内是增函数
由于0 所以a=b 证二：因为0 假如a 矛盾 所以a不能小于b 假如a>b，则，而，这也与矛盾 所以a不能大于b因此a=b 证三：假如a 即ab 假如b 因此a=b 1982年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科） 一．（本题满分6分） 填表： 函 数 使函数有意义的x的实数范围 {0} R R [-1,1] (0,+∞） R 解：见上表 二．（本题满分9分） 1．求（-1+i)20展开式中第15项的数值; 2．求的导数 解：1.第15项T15= 2.三．（本题满分9分） Y X O Y O X 在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形 1．2． 解：1.得2x-3y-6=0图形是直线 2.化为图形是椭圆 四．（本题满分12分） 已知圆锥体的底面半径为R，高为H 求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h（如图） A D c H h B E O 2R 解：设圆柱体半径为r高为h 由△ACD∽△AOB得 由此得 圆柱体体积 由题意，H＞h＞0，利用均值不等式，有 （注：原“解一”对h求导由驻点解得） 五．（本题满分15分） （要写出比较过程） 解一：当>1时，解二： 六．（本题满分16分） A M P（ρ，θ） X O N B 如图：已知锐角∠AOB=2α内有动点P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四边形PMON的面积等于常数c2今以O为极点，∠AOB的角平分线OX为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线 解：设P的极点坐标为（ρ，θ）∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，OM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ),ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ),四边形PMON的面积 这个方程表示双曲线由题意，动点P的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB内的一部分 七．（本题满分16分） 已知空间四边形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点（如图）求证MNPQ是一个矩形 B M R A N Q D K S P C 证：连结AC，在△ABC中，∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC 在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，∴QP∥AC∴MN∥QP 同理，连结BD可证MQ∥NP ∴MNPQ是平行四边形 取AC的中点K，连BK，DK ∵AB=BC，∴BK⊥AC，∵AD=DC，∴DK⊥AC因此平面BKD与AC垂直 ∵BD在平面BKD内，∴BD⊥AC∵MQ∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP为直角故MNPQ是矩形 八．（本题满分18分） Y x2=2qy y2=2px A1 O A2 A3 X 抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与x2=2qy相切 解：不失一般性，设p>0,q>0.又设y2=2px的内接三角形顶点为 A1（x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3) 因此y12=2px1，y22=2px2，y32=2px3 其中y1≠y2,y2≠y3,y3≠y1 .依题意，设A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，要证A3A1也与抛物线x2=2qy相切 因为x2=2qy在原点O处的切线是y2=2px的对称轴，所以原点O不能是所设内接三角形的顶点即（x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，都不能是（0，0）;又因A1A2与x2=2qy相切，所以A1A2不能与Y轴平行，即x1≠x2,y1≠-y2,直线A1A2的方程是 同理由于A2A3与抛物线x2=2qy相切，A2A3也不能与Y轴平行，即 x2≠x3,y2≠-y3,同样得到 由（1）（2）两方程及y2≠0,y1≠y3,得y1+y2+y3=0.由上式及y2≠0,得y3≠-y1，也就是A3A1也不能与Y轴平行今将y2=-y1-y3代入（1）式得： (3)式说明A3A1与抛物线x2=2qy的两个交点重合，即A3A1与抛物线x2=2qy相切所以只要A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，则A3A1也与抛物线x2=2qy相切 九．（附加题，本题满分20分，计入总分） 已知数列和数列其中 1．用p,q,r,n表示bn，并用数学归纳法加以证明; 2．求 解：1.∵1=p,n=pn-1,∴n=pn.又b1=q,b2=q1+rb1=q(p+r),b3=q2+rb2=q(p2+pq+r2),… 设想 用数学归纳法证明： 当n=2时，等式成立; 设当n=k时，等式成立，即 则bk+1=qk+rbk= 即n=k+1时等式也成立 所以对于一切自然数n≥2，都成立 1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 （这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分 1．数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k1）π，k是整数}之间的关系是 （C） （A）XY （B）XY （C）X=Y （D）X≠Y 2．如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（C） （A）F=0，G≠0，E≠0.（B）E=0，F=0，G≠0.（C）G=0，F=0，E≠0.（D）G=0，E=0，F≠0.3.如果n是正整数，那么的值 （B） （A）一定是零 （B）一定是偶数 （C）是整数但不一定是偶数 （D）不一定是整数 4.大于的充分条件是 （A） （A） （B） （C） （D） 5．如果θ是第二象限角，且满足那么 （A）是第一象限角 （B）是第三象限角 （B） （C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果） 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答： 2.函数在什么区间上是增函数？ 答：x＜-2.3．求方程的解集 答： 4．求的展开式中的常数项 答：-20 5．求的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答： 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设画出函数y=H(x-1)的图象 2．画出极坐标方程的曲线 2．O X 解： 1．Y 0 O X 四．（本题满分12分） 已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行 证：设三个平面为α，β，γ，且 从而c与b或交于一点或互相平行 1．若c与b交于一点，设 ∴所以,b,c交于一点（即P点） P b αβ γ c b α β γ c 2.若c∥b,则由所以,b,c互相平行 五．（本题满分14分） 设c,d,x为实数，c≠0，x为未知数讨论方程在什么情况下有解有解时求出它的解 解：原方程有解的充要条件是： 由条件（4）知，所以再由c≠0，可得 又由及x＞0，知，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中 再由条件（3）及，知因此，原条件可简化为以下的等价条件组： 由条件（1）（6）知这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c＞0,1-d＞0,即c＞0,d＜1; ②c＜0,1-d＜0,即c＜0,d＞1.再由条件（1）（5）及（6）可知 从而，当c＞0,d＜1且时，或者当c＜0,d＞1且时，原方程有解，它的解是 六．（本题满分16分） 1．设，实系数一元二次方程有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是Z1，Z2求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分） 2．求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分） 解：1.因为p,q为实数，z1,z2为虚数，所以 由z1,z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，所以椭圆短轴在x轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点 根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|,焦距离=2c=|z1-z2|=,长轴长=2a= 2.因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴 设椭圆左顶点为A（x,y），因为椭圆的离心率为，所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的，从而左焦点F的坐标为 设d为点M到y轴的距离，则d=1 根据及两点间距离公式，可得 这就是所求的轨迹方程 七．（本题满分15分） 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为,b,c，且c=10，P为△ABC的内切圆上的动点求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值 解：由，运用正弦定理，有 因为A≠B，所以2A=π-2B，即A+B= 由此可知△ABC是直角三角形 由c=10，如图，设△ABC的内切圆圆心为O＇，切点分别为D，E，F，则 Y B（0，6） D E O＇ P（x,y) X O C（0，0） A（8，0） AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，所以内切圆半径r=EC=2.如图建立坐标系，则内切圆方程为: (x-2)2+(y-2)2=4 设圆上动点P的坐标为(x,y),则因为P点在内切圆上，所以，S最大值=88-0=88，S最小值=88-16=72 解二：同解一，设内切圆的参数方程为 从而 因为，所以 S最大值=80+8=88，S最小值=80-8=72 八．（本题满分12分） 设＞2，给定数列{xn},其中x1=,求证： 1．2． 3．1．证：先证明xn＞2(n=1,2,…）用数学归纳法 由条件＞2及x1=知不等式当n=1时成立 假设不等式当n=k(k≥1)时成立 当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知 再由归纳假设知不等式成立，所以不等式也成立从而不等式xn＞2对于所有的正整数n成立 (归纳法的第二步也可这样证： 所以不等式xn>2(n=1,2,…）成立） 再证明由条件及xn>2(n=1,2,…）知 因此不等式也成立 （也可这样证：对所有正整数n有 还可这样证：对所有正整数n有 所以） 2．证一：用数学归纳法由条件x1=≤3知不等式当n=1时成立 假设不等式当n=k(k≥1)时成立 当n=k+1时，由条件及知 再由及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式也成立，从而不等式对所有的正整数n成立 证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法： 由条件知再由及归纳假设可得 3．证：先证明若这是因为 然后用反证法若当时，有则由第1小题知 因此，由上面证明的结论及x1=可得 即，这与假设矛盾所以本小题的结论成立 九．（附加题，本题满分10分，不计入总分） ⌒ 如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线L相切于点A，一动点P自切点A沿直线L向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M又知当AP=时，点P的速度为V求这时点M的速度 M O D θ C A P L ⌒ 解：作CD⊥AM，并设AP=x，AM=y，∠COD=θ由假设，AC的长为，半径OC=1，可知θ 考虑 ∵△APM∽△DCM，而 （有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）第四篇：普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 82届
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