剖析逆向思维作用[精选5篇]

第一篇：剖析逆向思维作用

剖析逆向思维的作用

导读：我根据大家的需要整理了一份关于《剖析逆向思维的作用》的内容，具体内容：SEO 是大家耳熟能详的一个词语，是推广网站中一个常用的方法，那么怎么样才能做好 SEO 呢，下面是我为你们整理的内容，希望你们喜欢。SEO 是大家耳熟能详的一个词语，是推广网...SEO 是大家耳熟能详的一个词语，是推广网站中一个常用的方法，那么怎么样才能做好 SEO 呢，下面是我为你们整理的内容，希望你们喜欢。

SEO 是大家耳熟能详的一个词语，是推广网站中一个常用的方法，那么怎么样才能做好 SEO 呢，如果我们站在搜索引擎的角度考虑问题，如果我们的网站是帮助搜索引擎在为用户提供服务，那么 SEO 是不是将会变得更加自然和快速呢?这种换角度思考问题方法就是逆向思维。今天与大家浅谈逆向思维在 SEO 中的运用。

其一、能顺利打开的网页是好网页：站长搜索引擎的立场上，被搜索到的网页打开速度应该足够理想，不能出现持续打不开或者间断性的打不开，因为网速会影响排名。如果排名靠前的网页网速打开缓慢，那么用户就会对搜索引擎产生不信任感，关于网速影响关键词排名，Google 官方已经正式承认和发表声明。

其二、图文并茂的文章更获得用户喜爱：大家思考一个问题，作为普通用户，是喜欢看单一的图片呢，还是喜欢单纯的文字呢?我想两者应该都不是，能兼之最好，即精美的图片并配合适当的文字，这才是用户的最爱，所以在早期的搜狐搜索中图文并茂的权重是最高的，排名也是最靠前的。

其实现在的搜索引擎也是如此，这点也是王通老师力赞的观点，并希望大家做实验对比验证。

其三、大家都在用的是最好的：平时我们买东西的时候有个很重要的参考标准，那就是销量火爆的产品一般都是不错的产品，因为群众的眼睛是雪亮的。如果站在搜索引擎的角度，一个被众多用户浏览的网页应该也是有价值的网页，而如果这个网站中的很多网页均有众多用户浏览，那么这个网站就非常有价值，因此你网站的流量也决定了你网站的质量，很多作弊手法也是通过做流量来提高关键词排名的，同时，从近几年来百度十分重视百度统计也可以想象的到。

其四、获得高流量的前提是有高数量：这个道理相对简单，如果你想获得 100w 的流量，那么你至少要有 300w 的收录或者更多，从一些门户网站我们就可以发现，它们海量的收录最终为它们带去了海量的流量，这些流量如果付费推广的话是需要大量资金的。因此，我们想要高流量，就要有高数量作为前提，要大量的创造新的长尾关键词，从网页中深度挖掘将变成一个非常重要的工作重点。

其五、网页内部必须合理优化：让搜索引擎的蜘蛛爬行你海量的网页，如果内部结构不合理的话，就好比一个公司内部十分混乱，大家勾心斗角，没有办法团结一致，超同一个目标共同奋斗。所以，内部一定要做基础的SEO 优化，内功先做扎实，再去做外部链接的工作。“攘外必先安内”同样适用于互联网。

其六、外部链接不能只看页脚：搜索引擎给予外部链接足够的权重，但是很多人就会利用这个办法作弊，所以页脚的链接权重会逐步降低，会逐

渐重视在正文中提到的链接。就像平时在谈话中，不经意间、很自然举出的例子才是真正的好。搜索引擎自然会注意这一点，并逐步调整。

说到这里，如果用六个词语来总结的话分别是“速度”、“图文并茂”、“流量”、“收录数量”、“内部 SEO”、“正文链接”，其实这六个词语很多站长也都了解，但未必都做的很好。利用逆向思维，站长搜索引擎的角度，做好这六点，或许你的网站就会得到理想的提升。

第二篇：逆向思维在数学分析中的作用

摘 要

数学分析是数学殿堂的基石性学科,其内容的广泛性与深刻性包含着形式多样的数学思想与方法,而逆向思维在解决数学分析问题时别开生面.因此,本文就逆向思维在数学分析中作用进行初探.本论文中,首先阐述逆向思维的内涵及其特征;其次将以数学分析为载体,选取逆向思维作为研究切入点,主要以举例子的形式叙述了逆向思维在数学分析中的具体作用.无论其深化定义、定理的理解,高效的强化解题,批判性命题验证,还是创新性数学品质,无不渗透出笔者最后总结性论述,即逆向思维在数学分析中具有举足轻重的地位.二十一世纪的信息时代日新月异.数学思维无处不在,无时不有,而逆向思维就是在对数学文化素养的思想研究的基础上,提高数学新意,感受理性美誉,体会数学文化品位,这已成为国内外数学发展的重要趋势.关键词:逆向思维,作用,数学分析,重要性

The function of reverse thought in mathematical

analysis

Abstract:Mathematical analysis is the cornerstone of the temple mathematical discipline,breadth and depth of its content contains a variety of mathematical ideas and methods,and the spectacular reverse thinking in solving mathematical analysis of the problem.Therefore,this paper analyzes the role of reverse thought in mathematics carried study.In this thesis,first expounded the connotation and characteristics of reverse thought ,mathematical analysis will be followed by the carrier,select reverse thinking as a research starting point,mainly in the examples given in the form of reverse thought described in mathematical analysis of the specific role.Whether its deepening definitions,theorems understanding and efficient strengthen problem-solving,critical proposition verification,or innovative mathematical quality permeates the author concludes discourse, reverse thought plays a decisive role in the mathematical analysis.Information era of the 21st century rapidly.Mathematical thinking is everywhere and at all times there , but the reverse thought is based on the study of mathematics literacy ideas on improving mathematical ideas, feelings rational reputation,experience culture grade math,which has become an important trend in the development of mathematics at home and abroad.Keywords: reverse thought, function, mathematical analysis,important.目 录

一、引言.......................................................3

二、逆向思维内涵及特征.........................................1

（一）逆向思维的内涵.......................................1

（二）逆向思维的特征.......................................1

三、逆向思维在数学分析中的重要性...............................2

四、逆向思维在数学分析中四种作用...............................3

（一）深化定义、定理理解...................................3

（二）高效强化解题.........................................6

（三）批判性命题验证......................................11

（四）创新性数学品质......................................15

五、结束语....................................................15

六、参考文献..................................................17

一、引言

司马光“砸缸救小孩”是一个古老而又优美的传说,机智的将常规的

“救人离水”转变成“让水离人”.他揭示了一个真理:逆向思维有时比正向思维更能高效解决实际问题,数学思维方法亦同.由于许多数学定义,数学公式,数学定理,数学运算以及解题过程均有可逆性,其作为可逆性理论为逆向思维提供理论依据.它不拘泥常规、常法、善于开拓、变异,极有利于打破旧框框的束缚,解放人们的思想,培养思维的灵活性,使主观能动性得以充分发挥,改变注入式数学思维应变能力不足的缺陷,产生认识上的新飞跃.这样,就能使学生在亲身的探索中,掌握数学分析知识间的内在联系,透彻地理解教材,巩固所学知识,并能培养学生探索能力,打破思维定势,激发学习兴趣,开阔知识视野.二、逆向思维内涵及特征

（一）逆向思维的内涵

逆向思维又称反向思维,通俗地讲,就是在解决问题时,“一计不成，又生一计”,若把AB的连续思维看作正向联结,并称这个心理过程为正向思维,那么就把相反的连续BA看作为逆向联结,并称这一心理过程为逆向思维.逆向思考是思维向相反方向重建的过程.它是人们在研究过程中有意识地去做与习惯性思维方向完全相反的探索,就是站在对立角度上考虑、解剖问题,得到与公理、定理相悖的结论,或得到与条件相矛盾的结果,从反面达到解决问题的目的.思维的可逆性,使人们在认识客观事物时,不仅可以顺向思考,而且可以逆向思考;不仅可以从正面看,而且可以从反面看;不仅可以从因到果,而且还能执果索因,正是这种逆向功能决定了逆向思维在创造活动中具有独特的作用.（二）逆向思维的特征

爱因斯坦在论述自己科学活动时,曾多次提到“采取相反路线”,“反过来加以考虑”,即逆向思维,其具有以下本质特征: 普遍性:逆向思维在各种领域中都有其独到的适用性,由于对立统一规律是普遍适用的,而对立统一的形式又是多种多样,有一种对立统一形式就有一种逆向思维的角度.怀疑性:逆向思维在某种程度上是以怀疑为手段,以扫除传统偏见和谬误,追求真理,发展科学为目的.批判性:逆向思维是与正向思维相比较而言的,正向思维是指常规的、常识的、公认的或习惯的想法与做法.逆向思维则恰恰相反,是对传统、惯例、常识的反叛,是对常规的挑战,它能够克服思维定势,破除由经验和习惯造成的僵化的认识模式,要求多方位探究,有批判的吸收、有批判的选择、有批判的理解.新颖性:循规蹈矩的思维和按传统方式解决问题虽然简单,但容易使思路僵化、刻板、摆脱不掉习惯的束缚,得到的往往是一些司空见惯的答案,其实,任何事物都具有多方面属性,由于受过去经验的影响,人们容易看到熟悉的一面,而对另一面却视而不见,逆向思维克服这一障碍,能够随机应变,触类旁通,不受某种固定的思维模式的局限,往往是出人意料,给人耳目一新的感觉.创新性:逆向思维所追求的是创新和独到,它不满足于一般思维所研究的已知领域,主要注重于探求人类未知天地.将以前所未有的新角度、新观点去观察分析问题,思维方法创新独特,能够提出超常的想象.想别人所未想、求别人所未求、做别人所未做的事情.深刻性:它表现为深入思考问题,细致分析问题,不放过任何蛛丝马迹来钻研探索复杂问题背后的本质属性.此外,还有独特性、灵活性和探究性.[1]

三、逆向思维在数学分析中的重要性

逆向思维重要性之一:常规思维难以解决的问题,通过逆向思维却可能轻松破解.逆向思维重要性之二:逆向思维会使你独辟蹊径,在别人没有注意到的地方有所发现,有所建树,从而制胜于出人意料.逆向思维重要性之三:逆向思维会在多种解决问题的方法中获得最佳方法和途径.逆向思维重要性之四:自觉运用逆向思维,会将复杂问题简单化,从而使效率和效果成倍提高.逆向思维重要性之五:逆向思维可运用在各个领域.逆向思维最可宝贵的价值,是它对人们认识的挑战,是对事物认识的不断深化,帮助我们克服正向思维中出现的困难,寻求新的思路,新的方法深化知识,开拓新的知识领域,在探索中敢于离径叛道,大胆立异,并由此而产

生“原子弹爆炸”般的威力.再遇到新问题时就不会只走“华山一条路”了,而是“水路不通走旱路,条条大道通罗马”,它是开拓型人才必备的思维品质.四、逆向思维在数学分析中四种作用

（一）深化定义、定理理解

数学分析这门课程研究的对象是函数,所用的研究方法是极限方法,这种抽象又严谨的理论体系要求必须深度掌握数列极限的定义,为数学分析的继续学习打下坚实基础.1.定义 设有数列an,a是有限常数,若对任意0,总存在正整数N,对任意正整数nN,有 ana, 则称数列an的极限是a(或a是数列an的极限)或数列an收敛于a(an是收敛数列),表为

limana或ana(n).n数列an的极限是a,用逻辑符号可简要表为: limana0,NN,nN,有ana[2]

n思考 ①如何理解N不唯一? ②若0,N0,当nN时,an中有无穷多个项满足ana,是否limana? n1(1)n 首先,举反例说明并计算N不是唯一的.n1(1)n虽然数列an1(1)n满足对0,N

2其次,分析数列当n2kN时(k为自然数),虽然an中有无穷多个项满足a2k0,但liman不存在.n

这样,即可对数列极限的N语言有了本质的认识和更精确的理解.[3]

函数极限与数列极限定义的不同,形式上的无关联性造成不可相互转化的假象,海涅定理恰恰证明了其本质的相通性,构建起函数极限与数列极限之间的桥梁,所以理解海涅定理的证明极其重要.而其充分性的证明则采取反证法(从命题的反面入手，通过合理论证找出矛盾,从而确认命题的真实性的一种间接证法,其基本依据是逻辑学中的矛盾与排中律,推知假设错误,故结论成立.其思维特点是逆向思维)推得.2.海涅定理 limf(x)b对于任意数列an,ana且limana

xa n有limf(an)bn

分析 必要性,应用函数极限定义和数列极限定义可得极限limf(an)bn

充分性,因为在已知条件中,这样的数列an是任意的,当然是无限多的,所以从已知条件出发直接证明有limf(x)b是困难,运用反证法.xa证明 必要性 已知limf(x)b,即0,0,x:0xaxa

有 f(x)b

n对于任意数列an,ana且limana,根据数列极限定义,对上述

0,NN,nN,有0ana 从而,nN,有f(an)b,即limf(an)b

n 充分性 应用反证法.假设limf(x)b,根据函数极限的否定叙述

xa 00,0,x:0xa

有 取 1,a1:0a1a1,有f(a1)b0，11,a2:0a2a,有f(a2)b0, 22

..............

11,an:0ana,有f(an)b0，nn

..............于是，构造出一个数列an,ana,因为n 所以limanan

10(n)n显然，limf(an)b,与已知矛盾.n

著名的Lagrange中值定理的论证,其辅助函数的构造,即用分析法(从结论着手进行推证,推得符合条件或易证命题,推证的每一步均可逆,是原命题得证的一种逆向思维解题法)推得.3.Lagrange中值定理

若函数f(x)满足下列条件:（1）在闭区间[a,b]上连续;（2）在开区间(a,b)可导.则在开区间（a,b）内至少存在一点c,使 f(c)f(b)f(a).ba分析 观察发现,Lagrange中值定理中的两个条件与Rolle定理中的前两个条件相同,当f(a)f(b)时,Lagrange中值定理就是我们所学过的Rolle定理.也就是说,Rolle定理是Lagrange中值定理的特例,基于这种关系,自然会想到是否能够引用Rolle定理去证明Lagrange中值定理的结论,如何利用Rolle定理,如何构造满足Rolle定理的辅助函数?观察图像

由拉格朗日中值定理结论f(c)斜率,故可设k

f(b)f(a),其右端是一个常数,即点c的baf(b)f(a),则有f(b)f(a)k(ba),即

baf(b)kbf(a)ka,仔细观察上式的特点,不难发现一个能使F(a)F(b)的新函数:F(x)f(x)kx.故,F(x)就是证明中所需要的辅助函数.证明 令F(x)f(x)kx,其中 kf(b)f(a),由题设可知,F(x)在ba

[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)F(b),即F(x)满足罗尔定理的全部条件,故在(a,b)内至少存在一点c,使得F(c)0, 即f(c)f(b)f(a),证毕.ba

（二）高效强化解题

许多关于数学分析的计算、证明题,难以解决的是如何去观察和分析问题的条件与结论,如何寻找条件与结论之间的联系,如何证明才是正确的,而又怎么进行证明过程的论述,更为甚者不知如何才算证明完毕?此时,逆向思维就是解决数学分析问题一种行之有效的方法.234例

一、证明:数列极限limn3nnn4 1n分析 若直接证明此数列极限为4,没有公式可以套用,此时可以考虑判断极限存在性的两个重要准则:两边夹定理和单调有界准则.这样我们把要证明的极限与存在准则有机地联系在一起,设所求数列为xn,目的是证明

xn4(n),那么,根据两边夹定理,需构造两个数列yn和zn,使ynxnzn,且共同极限为4,这样就转化为如何构造这两个数列yn、zn的问题.4444z证明 设 yn,n33nnn1nnnn, 1n显然ynxnzn,且limynlimzn4,有4xn4

234 所以,limn3例

二、计算 ①limnnnn4 1nn(n1)(n2)(nn)

n ②limnn(a1)an分析 两题看似复杂,实则巧妙.①可转化为定积分定义形式,这类题目的特点是:先把极限转化为某一函数在区间0,1上的定积分,再把区间0,1进行等分,从而把求极限问题转化为求一个特定结构的和式极限.②可利用级数

收敛的必要条件(若级数un收敛,则limun0)来解决问题,二者均为逆

n1n向思维实例.解 ①limnn(n1)(n2)(nn)12nlimn(1)(1)(1)nnnnnn1nk lim1

nk1n1kln(1)nk1n limenn

e01ln(1x)dxe2ln21

1nnn11 则级数n是收敛的②由lim(n)nan1aa 根据收敛函数的必要条件, 则limnn0 na例

三、设a1c0,an1anc,证明:liman存在并求其值.[4]

n分析 用数学归纳法容易证明数列an是单调递增的,为找到an的上界,采用逆向推理方法,先设limana,代入递推关系式an1anc,得

na2ac,由于liman非负,因此an114c,从而对任何自然数n, 2必有an114cc1,然后用数学归纳法证明这一等式成立.2证明 用归纳法证明数列an严格增加有上界,显然 当n1时,有a1a2,设nk时,有akak1,则akcak1c, 即akcak1c,有ak1ak2,即数列严格增加.显然,当n1时,有a1cc1,设nk时，akc1，则ak1cakcc1c2c1c1,即数列an有上界(上界是c1),根据公理,数列an收敛.2设limana,已知an1can,有liman1climan,即a2ca.nnn2解得a(114c).由极限保号性，a不能是负数，2(114c)2则数列an的极限是a例

四、设函数f(x)在[0,)内二阶可导,且f(x)0,f(0)0,证 明:x10,x20,有fx1x2f(x1)f(x2).分析 这是一道未知函数表达式,且仅给出函数导数性质的证明题.首先,明确利用函数的单调性来证明函数不等式是一种基本方法,而证明函数的单调性又需要构造辅助函数,求导判断其增减性.其次,如何构造辅助函数？

欲证不等式fx1x2f(x1)f(x2),如题中所给出的两个具有任意性的x1和x2,将其中一个暂时固定,另一个自由变化,如:暂时固定x2,将x1改为x,令F(x)f(xx2)f(x)f(x2)作为辅助函数,求导得

F(x)f(xx2)f(x),由此很难判断该表达式是大于0还是小于0.观察表达式f(xx2)f(x)，表示函数f(x)的导数在x与xx2两点处的函数值之差，联系Lagrange中值定理，有f(b)f(a)f(c)(ba)，其中c(a,b),于是,有f(xx2)f(x)f(c)xx2x.此时,方可判断F(x)的增减性.证明 令F(x)f(xx2)f(x)f(x2),其中x,x20, 求导得F(x)f(xx2)f(x)又函数f(x)在[0,)内二阶可导，导函数 F(x)f(xx2)f(x)在x,xx2上连续,在(x,xx2)内可导,根据Lagrange中值定理,至少存在一点c(x,xx2),使得

F(x)f(xx2)f(x)f(c)xx2xf(c)x20

F(x)在x,xx2上单调递减,从而有F(x)F(0)即,f(xx2)f(x)f(0x2)f(0)f(x2).由x的任意性,可将x换成x1,既得fx1x2f(x1)f(x2),其中

x10,x20.分析 以下两道典型题若应用综合证法直接从已知条件去证明将会很难入手,此时考虑反证法,证明两题将会很显然.例

五、设f(x)在a,b上连续,且f(x)0,证明:若f(x)dx0,则f(x)在aba,b上恒等于零.证明 反证法 假设f(x)在a,b上不恒等于零,则必x0a,b, 使f(x0)0不妨设f(x0)0,又f(x)在x0连续,由连续函数的局部保号性知,0,当xx0,x0a,b时,有f(x)0.设f(x)在x0,x0上的最小值为m,则m0.由定积分的可加性及f(x)0,有f(x)dxabx0af(x)dxx0x0x0f(x)dxbx0f(x)dx

bx0x0f(x)dxx0mdx2m0

这与已知条件f(x)dx0矛盾,所以f(x)在a,b上恒等于零.a例

六、设f(x)在0,上连续,并且f(x)dx0,f(x)cosxdx0,试证明:

00在(0,)内至少存在两个不同的点1,2,使f(1)f(2)0.证明 假设f(x)在(0,)内无零点,则由介值定理知,f(x)在(0,)内不变号,与f(x)dx0矛盾,故至少存在1,使f(1)0;0又若f(x)在(0,)内仅有一个零点1,则由介值定理及f(x)dx0知

0f(x)在区间(0,1)和(1,)内必异号,而cosxcos1在(0,1)和(1,)内也异号,于是f(x)(cosxcos1)不变号,从而f(x)(cosxcos1)dx0，0矛盾.所以,在(0,)内至少存在两个不同的点1,2,使f(1)f(2)0.例

七、计算曲面积分

I[Sxxxzxf()x3]dydz[f()y3]dzdx[f()z3]dxdy yyyyy其中S是球面x2y2z22Rz(方向为内侧),f(u)具有连续导数.分析 本题被积函数复杂,正向计算实属曲面积分难题,但是可考虑尝试增加一面,再减去此面,应用奥—高公式(设V是R3中双侧闭曲面S所围成的xy型(同时既是yz型,又是zx型)有界闭体.若三元函数P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z)及其偏导数在包含V的区域上连续,则

PdydzQdzdxRdxdy(sVPQR)dxdydz,其中曲面S的外侧 xyz为正).看似加减面将问题复杂化,但是会使计算更为简便.解 V为S所围成球体, 设p(x,y,z)xxxzxf()x3,q(x,y,z)f()y3,r(x,y,z)f()z3 yyyyyp1xxxf()2f()3x2 xyyyy则p(x,y,z),q(x,y,z),r(x,y,z)及

r1xqxx2f()3y2,f()3z2,在y0连续，zyyyyy由奥——高公式,I3(x2y2z2)dxdydz,设

Vxrsincos,yrsinsin,zRrcos,(02,0,0rR)则(x,y,z)r2sin, (r,,)I3(x2y2z2)dxdydzV3dd(r22RrcosR2)r2sindr

0002RR5R33223(22R22)R5535

（三）批判性命题验证

心理学家盖耶说过:“谁不考虑尝试错误,不允许学生犯错误,就将错过富有成效的学习时刻.” 持批判性的态度,应用逆向思维真正理解命题的思想,消化命题,克服思维绝对化、表面化,彻底改变不求甚解的习惯.例

八、若数列an、数列bn都是收敛数列,且存在自然数N,当nN时,有anbn,则limanlimbn.nn 若条件anbn改为anbn,其结论仍为limanlimbn

nn而不能断言limanlimbn[5] nn分析 若正向分析,则会无从下手,而举一反例来说明该命题不成立将轻而1111易举.如:,但是limlim0.nnnnnn 数学分析中,继了解极限后,应用极限方法研究,无论在理论上或是在应用中都常见的连续函数,进而研究一致连续,区分一致连续与连续的区别,真正地领会一致连续的本质及其与连续的关系,对后面的学习中遇到一致收敛、一致有界等概念也有重要作用.一致连续是函数的整体性质,它反映了函数在区间上的更强的连续性,而连续是函数的局部性质,函数f(x)在区间I上一致连续则一定连续,反之不一定.定理 f(x)在a,b内或a,b上一致连续f(x)在a,b内或a,b上连续.这个定理的逆命题是不成立的.分析 通过举一反例f(x)x2在0,上连续,但非一致连续.取xnn1,xnn,n1,2,,当n时, xnxnn1n0 但是f(xn)f(xn)1

于是,取定差01,则无论取得多么小,当n足够大时, 那些xn与xn的差小于,但是函数数值之差不会小于0, 因此得出f(x)x2在0,上连续,但非一致连续.拓展:[6]

定理1 设f(x)在有限开区间a,b上连续,则f(x)在a,b上一致连续的充要条件是limf(x)与limf(x)存在并有限.xaxb注:①若f(x)在有限开区间a,b上有连续的导函数,且limf(x)与xaxblimf(x)均存在且有限,可以推出limf(x)与limf(x)都存在并有限,因此xaxbf(x)在a,b上一致连续.②当函数f(x)在区间(,)上连续,定理的必要性不再成立,如

f(x)x在(,)上一致连续,但在端点无极限,对于无穷区间充分

性仍然是对的.定理2 设f(x)在区间[a,)上连续,则下列条件之一满足时f(x)在[a,)上一致连续.(I)limf(x)A(有限)x(II)若存在[a,)上一致连续函数(x),使得limf(x)(x)0

x(III)f(x)在区间[a,)上可导，并且导函数有界(IV)f(x)在区间[a,)上满足Lipschitz条件(V)f(x)在区间[a,)上单调有界.定理3 若f(x)是区间(,)上的连续函数,若也是周期函数,则必一致连续.2例

九、证明:若an收敛,则an也收敛,反之是否成立? n1n12分析 欲证an收敛,则an也收敛,这只需要用到比较判别法即可证得而欲证逆命题是否成立,则应从两方面考虑:一是证逆命题成立,一是证逆命题不成立,无论证哪方面,直接法都很难.于是,我们可以举反例去否定,这样会收到事半功倍之效.证明 已知an收敛,则liman0,即01,NN,nN,有

n1n1n1n

an1,从而有anan,不妨设nN,有anan.22设级数an与an的部分和分别是An和Bn.已知nN,有 2n1n1nnAnakakBn.2k1k1已知级数an收敛,则limBnB(常数).显然数列An是单调增加有

n1n2上界(B就是它的一个上界).于是,数列An收敛,即an收敛.n1112反之不成立,例如:级数()收敛,而级数却发散.n1nn1n例

十、判断: ①若f(x)在点x0连续,则f(x)在x0连续;②若f(x)在点x0连续,则f(x)在x0可导;③若f(x)在点x0可积,则f(x)在x0可积;④若多元函数在某点连续且偏导数存在,则函数在该点可微.1,x0解 ①可以举出反例:设f(x),则f(x)在x00处连续,而

1,x0 f(x)在x00处不连续,所以错.②可以举出反例:函数f(x)x在x0处连续,但是它在x0不可导，1xsin,x0 同样,函数f(x),在x0连续,但是 x0,x0 不可导,所以错.③可以举出反例:Dirichlet函数

1,当x为有理数 D(x),此函数的绝对值是可积的

0,当x为无理数

但是其本身并不可积,所以错.0,(x,y)0 ④可以举出反例:f(x,y)x2y,在(0,0)点连续且偏导数

x2y2,(x,y)0 存在,但是,在(0,0)点不可微,所以错.2z2z 定理 如果函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区

yxxy域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.[7]

该定理是说,在连续的条件下二阶混合偏导数与求导的次序无关.更一般 地,在连续的条件下,多元函数的高阶混合偏导数与求导的次序无关.而如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点是连续.这时,自然会想到一个问题:这个定理的逆命题是否成立?即是否有如下命题:

2z2z命题 如果函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内

yxxy存在且相等,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数连续.分析 虽然易得一函数,使其两个二阶混合偏导数存在相等,并且连续(如

zexy),但是难得函数zf(x,y),使其两个二阶混合偏导数存在相等,却不连续.此时,可利用逆向思维的方式,先找到一个不连续的二元函数，如：xy22x2y2,xy0g(x,y), 0,x2y20这个分段函数在(0,0)点不连续.可以把g(x,y)作为zf(x,y)的二阶混合偏导数，在通过微分的逆运算积分计算出zf(x,y).再求zf(x,y)的偏导数时,是将一个变量看成常量,对另一个变量求导数,故我们可以通过先对x积分得 u(x,y)g(x,y)dxyln(x2y2)C1 2

再将x看成常量对y积分得

x2y2(x2y2)22 v(x,y)u(x,y)dyln(xy)C1yC2

44其中C1,C2为任意常数.当任意常数C1,C2取不同的值时,就会得到不同的函数,这样的函数会有无穷多个.考虑到求二阶混合偏导时,函数v(x,y)的后三项最终为0,所以不妨只取第一项,并补充定义其在(0,0)点的值为0,即有

(x2y2)ln(x2y2),x2y20, f(x,y) 40,x2y20.可以验证分段函数zf(x,y)在(0,0)点不连续,即命题不成立.所以,该定理为充分条件,而不是必要条件.（四）创新性数学品质

19世纪中叶,数学界长期认为对于一个区间上的任意连续函数,总认为存在可微点的直觉想象,但是1860年数学家魏尔斯特拉斯却极为精巧地构造了一可以被称为“数学中的艺术品”的反例: f(x)ancos(bnx),其中0a1,ab1,b为奇数.2n0这是一个在实数轴上点点连续点点不可微的函数,从而严格弄清楚了函数的连续性与可微性之间的关系,推翻了流行很长时间的谬误,可见反例在数学发展史中的重要地位.[8]反例就是逆向思维的一种表现形式,也就是说,逆向思维在数学发展史的崇高地位,这种发散性思维是创造性人才必备的一种思维品质.五、结束语

从以上的例子我们看到,在数学分析学习中,将逆向思维解题方法进行适当的归类和分类.如考虑间接方法,考虑递推,考虑研究逆否命题,逆向应用公式,考虑问题的不可能性,反证法,分析法,复杂化等,可以开辟新的解题途径,避开繁杂的计算,使问题简化而得以顺利解决.这对优化学生的思

维结构,培养他们的创新能力大有裨益.本文作者通过阅读大量有关逆向思维在数学分析中的作用文献,根据自己的学习、研究、理解、体会、分析,深刻体会到逆向思维是21世纪数学教学所提倡的思维模式.数学问题千变万化,解题方法灵活多样,虽然我们不可能归纳出题目的一切类型,更不可能找到解题的神方妙法,但是,人们在长期的解题实践中,总结了丰富的经验,寻找了一些更为科学、更为严谨的解题方法与技巧.逆向思维作为发散思维的一种,必将起到重要作用.我们应当自觉地运用逆向思维方法,创造更多的奇迹.本文简要的叙述,望为读者研究和学习数学分析中有关逆向思维问题提供一定的帮助.六、参考文献

1逆向思维（反向思维）【J】，华东科技 2008，（10）

2刘玉琏 傅沛仁 林玎 范德馨 刘宁 数学分析讲义.（第五版）高等教育出

版社

3朱红英 王金华 湘南学院学报.2012:第二期

4梁经珑 娄底师专学报.2003:第二期 5马建珍 宜宾学院学报.2006:第十二期

6裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 [M].北京:高等教育出版社，2009.631-635 7B.R.Gail Baum，J.M.H.Olmstead.In the analysis of the case [M].Shanghai;Shanghai Scientific and Technical Publishers,1980.4.2 8凌建 科技风:2009年10月（下）

第三篇：读书笔记__逆向思维

读书笔记：“逆向思维，出奇制胜”

人类的思维具有方向性，存在着正向与反向之差异，由此产生了正向思维与反向思维两种形式。

正反向思维起源于事物的方向性，客观世界存在着互为逆向的事物，由于事物的正反向，才产生思维的正反向，两者是密切相关的。人们解决问题时，习惯于按照熟悉的常规的思维路径去思考，即采用正向思维，有时能找到解决问题的方法，收到令人满意的效果。然而，实践中也有很多事例，对某些问题利用正向思维却不易找到正确答案，一旦运用反向思维，常常会取得意想不到的功效。这说明反向思维是摆脱常规思维羁绊的一种具有创造性的思维方式。

逆向思维能令学生打破常规的束缚，立新创意，起到柳暗花明的教学效果。经典案例：

我国著名教育家叶圣陶大师对如何启发学生的逆向思维方面就颇有研究。

我们来看看叶先生在作文教学中的精彩片断。

叶先生问学生：“你们谁能说说„飞蛾扑火‟这个成语的意思？” 这个问题太小儿科了，学生们纷纷举手。

“太简单了，自取灭亡。”、“自不量力。”

“不就是明知山有虎，偏向虎山行的意思吗？”

……

学生们你一言我一语争先恐后地回答。

叶先生微微一笑：“大家都说对了。但是，我们能不能从另外一个角度去解释这个成语呢？”

学生们面面相觑、抓耳搔腮。“另外一个角度？”

“怎么解释啊？”

大师不急不忙：“我给大家一个提示，就是从另一个相反的角度去考虑，或者说，换位思考，站在第三立场上思考这个成语。”

还是没有学生举手发言。

叶先生耐心地说道：“我刚才听见有同学在解释„飞蛾扑火‟时，说„明知山有虎，偏向虎山行‟。这个解释很好。你们再想想，这只飞蛾明知前方有危险，但还是勇敢地冲上去，这是一种什么精神？”

学生们恍然大悟：“啊。„飞蛾扑火‟可以理解成„不怕牺牲、舍生取义‟。” 叶先生吁了一口气：“对，你们真是太聪明了。”

学生们终于找到了感觉“就是从反义的角度考虑考虑啊。”“还可以理解成„追求光明‟，是吗？” ……

学生们的思维拓展的越来越宽。

叶先生十分高兴：“飞蛾扑火本来是个贬义词，但我们却通过某种客观分析，把它变成了褒义词。”这就是我今天要讲的„在作文写作中如何应用逆向思维‟的内容。逆向思维就是突破常规、常识，从一个相反的角度去写，往往使作文写起来比较有新意。有些同学所写的作文当中，几乎是千篇一律，根源就在于我们学生不能突破常识，不能从新的角度去挖掘……”

学生们豁然开朗，很快就明白了老师的用意。

叶先生见学生们都理解得差不多了，便道：“如果我让大家写一篇以„我看狐假虎威‟命题的作文，你们准备怎么去写？”

很快就有学生举起了手：“老师，这篇作文可以从以下几个方面着手。一是从狐狸的聪明才智上着手，它为了能在动物中混得一席之地，借力打力应该是个很不错的方法。二是从老虎的虚荣心上着手，它只是为了排场，以显示百兽之王的威风……”

一次看电视，有一位教授讲了一个故事，让我铭记在心。说的是众人皆知的“兔子和乌龟赛跑”的故事。第一天，兔子因为中途睡了觉，结果兔子吸取了教训，中途没有睡觉，一口起跑到终点，兔子赢了；第三天，乌龟不服气，说要重新选择路线，它选了一条有大河的路，兔子不会游泳，过不去，结果乌龟慢慢地游了过去，乌龟赢了；第四天，兔子和乌龟商量，陆地上我背着你跑，在大河里你驮着我游。乌龟心眼小，担心兔子中途使坏，把自己摔个鼻青脸肿，所以没有同意；第五天，乌龟又提出重新跑，兔子心想：即便是跑到天边，我也不怕你，于是，欣然答应。谁知兔子刚跑到终点，发现乌龟早在终点等着它，兔子那里知道，乌龟让它的弟弟提前在终点等候，乌龟长相都差不多，兔

子那里知道这是计策，只好认输。这个故事让我悟出许多道理。还有人们常说的„愚翁移山‟是破坏了大山的环境和植被，人们因为挖山，穷得连个媳妇都娶不上，那里来的子子孙孙？；打虎的武松竟被公安局抓起来了，因为他打死了国家的一级保护动物；„一个和尚有水吃，三个和尚没水吃‟也被进行了改编，说的是三个和尚搞技术革新，直接把水从山上引到庙里，水多得吃不完的故事。人们常说的„孔融让梨‟也成了问题，因为孔融知道，大梨是化学药品催大的，所以才要了最小的梨；大家熟知的司马光砸缸救人的故事，其实他砸的缸是国家一级保护文物，理应判刑等等。这些故事虽近荒唐，但是说明了一个道理，任何事物都有几重性，遇事最好是多问几个为什么才好。吕淑湘先生说：“如果说一种教法是一把钥匙，那么，在各种教法之上还有一把总钥匙，他的名字叫做„活‟。”成功的教师之所以成功，就是因为他把课教“活”了。叶圣陶老先生还认为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学。教是为了不需要教。……就是说咱们当教师的人要引导他们，使他们能够自己学，自己学一辈子，学到老。教育改革，首先要改革的便是教育工作者的工作方式，撤销掉禁锢学生的思想篱笆，让学生海阔天空、百花齐放！让他们的逆向思维也来个百家争鸣！当然，逆向思维立意的目的不是鼓励学生们面面猎奇，不是乱发议论，不是任何情况都可以使用，他同样要求论之有理，述之有据，要有说服力。这才能达到有利发展学生智力，使学生的思维如万马奔腾般活跃的目的。

第四篇：逆向思维----教案

逆向思维

一、教学目标

了解逆向思维方法，通过对活动的探究，培养学生综合运用知识的思维的能力。在学生自己操作、发现、总结、解决问题的尝试过程中，培养学生逆向思维能力、探究能力。通过学生参与、体验、交流、合作，增强学生逆向思考学习的成功心理，激发学习学习、思考的兴趣。

二、教学重难点

重点：培养学生逆向思维能力，渗透转化变换的思想方法以及解决问题的能力。

难点：寻找解决问题的途径可以是执因索果，也可以执果索因，即不仅可以从正面入手，也可以逆向思维考虑。

三、教学方法

启发式教学法 探究教学法

四、教学过程设计 【导入新课】

活动一：出谋划策

教师活动：（给出条件，请同学们来出谋划策，解决问题）

话说：“阿拉伯有一个大财主，在去世前对两个儿子说：“你们去赛马，终点是沙漠中的绿洲，谁的马后到，我的全部财产就给谁。”

假设两个人的马实力相当并且他们的水和粮食都是有限的，他们要怎么做才能既不会惨死沙漠又能得到父亲的财产？”

学生活动：„„„„

根据学生回答，具体进行引导。并给出逆向思考的一个设计“两人换马骑”： “因为父亲说要看哪匹马后到，两人一换马，比慢的赛马就变成了比快的赛马。换了马，骑的是对方的马，对方的马先到了，自己的马就会后到。”

教师活动：那么我们来看这个思路与同学们所想的有什么不同呢？我们会发现大家所思考的方向是围绕用怎样的方式使得谁的马后到来解决问题，从这个方向入手是很难找到合适的方法达成目标的；而我们所给出的思路，却是反其道而行，如何让谁的马后到转换为谁的马先到，由此交换双方的马就使得问题迎刃而解。这种思路就是我们今天所要学习的“逆向思维”的思考方式。

----逆向思维（板书）【讲授新课】

一、逆向思维的含义

教师活动：那么逆向思维是什么呢？

•逆向思维也称反向思维或求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。

•世界上的事物都有正反两个方面，人们也应该从正反两个方面认识事物。但是长期的思维习惯往往使人们只看到其中的一面，使思维的过程和结果越来越雷同，没有新意。利用事物的另一面，逆向思考可以获得意想不到的效果。

二、逆向思维训练

活动二：看一看

给出一张图片（正面：老太婆，反面：漂亮少女）

教师活动：有时候换一种思维，事物将会呈现另一番景象。

活动三：想一想

教师活动：现在假设你在这样一种场景中，你也是其中的一个应聘人员，你会如何来解决这个问题呢？

“某警局招聘侦探，为考察应聘人员的应变能力，特设计考题如下：将应聘人员关入一间没有窗户而仅有一扇门的房间内，门外有荷枪实弹的军人把守，要求应聘人员逃离该房间。如果你前来应聘，你能走出这个房间吗？”

学生活动：„„„ 教师活动：有一种答案是这样的，即告诉面试官“我不应聘”。很多人往往会想到如何主动出去，而用逆向思维去思考的人就会想到怎样被动出去，即被放出去。

放弃应聘反而能应聘成功，所以有的时候失去也是一种获得。活动四：拼一拼

（给出一张图片，一面为世界地图，一面为人物画像，将其分解为几个部分，请同学们将其粘合）

教师活动：现在给大家一张图片，原为世界地图，而今它被分解为几个部分，请同学们将其粘合。

学生活动：…………….教师活动：很多同学根据正面的世界地图来拼，花费的时间比较多；而有的同学根据反面的人物来拼，花费时间较少。有的时候用逆向思维解决问题更有效率。

三、逆向思维给我们的启示

1.帮助我们转变心态

Eg1：我国古代有这样一个故事，一位母亲有两个儿子，大儿子开染布作坊，小儿子做雨伞生意。每天，这位老母亲都愁眉苦脸，天下雨了怕大儿子染的布没法晒干；天晴了又怕小儿子做的伞没有人买。一位邻居开导她，叫她反过来想：雨天，小儿子的伞生意做得红火；晴天，大儿子染的布很快就能晒干。逆向思维使这位老母亲眉开眼笑，活力再现。

2.帮助我们克服困难，找到解决问题的方法

Eg1:一对夫妻带着一个5岁的孩子决定搬去城里住，他们跑了一天才好不容易看到一张公寓出租的广告。于是就前去敲门询问，这时，温和的房东出来，遗憾地对他们说:“实在对不起，我们公寓不招有孩子的住户。” 丈夫和妻子听了，一时不知如何是好，于是，他们默默地走开 了。

那5岁的孩子，又去敲房东的大门。这时，丈夫和妻子已走出5米来远，都回头望着。门开了，房东又出来了。这孩子精神抖擞地说:“老爷爷，这个房子我租了。我没有孩子，我只带来两个大人。”房东听了之后，高声笑了起来，决定把房子租给他们住。

3.促进创新：促进新产品的开发、新技术的发明 Eg1：发电机----英国科学家法拉第，他在研究中注意到：既然线圈中有电流通过时线圈就会受力而运动，那么线圈在磁场中受外力运作时是否会产生电流呢？经过反复的研究和实验，终于在公元1831年发现了电磁感应原理，并建造了第一座发电机原型。

Eg2：留声机----爱迪生在改进电话机的过程中，因为右耳听力不好，就用一根钢针代替右耳来检验传话膜片的震动。当他用钢针触动膜片时，随着讲话声调的高低，送话器发出了有规律的颤音。爱迪生灵机一动，不由地想到：如果反过来，使短针颤动，能不能复原出声音呢？经过废寝忘食的研究，他终于发明出了留声机。

Eg3：吸尘器----1901年，伦敦举行了吹尘器的表演，它用强大的气流将灰尘吹走。吹尘器除尘后，地面是干净了，可吹起的灰尘却呛得人透不过气来。一位设计师却由此联想如果反过来吸尘是否可行呢？不久，一个简易的利用负压的吸尘器诞生了。我们今天使用的真空吸尘器，还是根据这一原理设计的。

第五篇：求职信：逆向思维写作

按照求职信的基本要求和格式，量身定做适度的自我推销信是求职基本要求。求职信一般包括标题、称呼、正文和落款几个部分。正文是自荐信的核心，形式多种多样，一般要求说明本人基本情况、信息来源和应聘岗位、自我条件展示、工作展望等内容。“味精”就应该撒在正文的“自我条件展示”中。

条件展示是自荐信的关键内容，主要应写清自己有本专业知识和工作经验，有本专业技能和成就，有与本工作相符的特长、兴趣、性格和有关能力。应该在这方面多下些功夫，甚至稍微有些创意。

第一，有的放矢。不要把求职信写成一种能到处撒网的求职信，然后大量复制，到处投递。这种不管三七二十一的狂轰滥炸，很少能击中目标。有效的求职信都具有很强的针对性，或针对公司的某一具体职位而写。特别提醒：在求职材料的封面、求职信的右上角清楚写明求职单位和求职岗位，用这种形式来强化求职的针对性。

第二，设置两个左右的兴趣点。写出你自己最关键的经历、最好的成绩、最重要的特长以及自己的愿望、心情和信心等。表明你所特有的教育、技能和个性特征将会为招聘单位做出的特殊贡献。

第三，特长词句加黑加粗。在求职信的格式上，对需要特别强调的词语用另外一种字体打出，例如，主要特长词句用加黑、加粗的字体显示，便于浏览。对特别的段落，采取两端各缩进两字的方法处理，更能吸引招聘者的目光。

第四，加个小故事或者事例。在每个人的成长过程中总有一些特别的经历，会对自己的人生道路和对人生的看法发生重要的影响，会改变一个人对于人类、机会、金钱和世界的看法。尤其是重大的挫折、人生的转变、或者一个悲剧，这样的事例往往最能打动招聘者的心弦，因为通过这些小故事能反映出自信、有责任感、不轻言放弃等人皆推崇的品质，而这些良好的品质正是招聘单位所需要的。

第五，逆向思维，胜人一筹。求职应聘不附和、不随俗、不从众，是有主见的表现。有一位同学这样写：“其实我并不觉得贵公司条件有多好，只是感觉比较适合我的专业。而且觉得最后能不能入选，关键在于实力而不在于运气。”这种写法往往能使招聘者眼前一亮，起到好的效果。

第六，适当地自负一些。“我虽刚刚毕业，但我年轻，有朝气，有能力完成任何工作。尽管我还缺乏一定的经验，但我会用时间和汗水去弥补。请领导放心，我定会保质保量地完成各项工作任务。”口气坚决，信心十足，给人以精力旺盛，“初生牛犊不怕虎”的感觉。

在给求职信加放“味精”的过程中，一定要记住，“味精”只能适当地加一点，如果把一碗味精都倒进锅里，后果就可想而知了。