李嘉图等价定理论文（汇编）

第一篇：李嘉图等价定理论文

一、举债与征税：凯恩斯主义

凯恩斯主义认为，政府通过举债或者征税进行融资的效应是不同。举债而不是减税意味着消费者可支配收入的相对增加。一方面，国债购买者持有的国债可以作为支付手段使用，购买债券并不影响其生产或消费；另一方面，在举债额与征税额相等条件下，税收负担在即期完成，而因为举债而增加税收负担分摊于债券存续期的若干年内。因此消费者可支配收入相对增加。于是增加消费，并产生扩张效应。税收则直接减少消费者可支配收入，于是减少消费。因此对国民经济有收缩作用。

理性预期学派利用李嘉图关于通过举债或征收一次性税收筹措经费对生产或消费具有相同效应的阐述，企图证明财政政策的无效性。

二、李嘉图等价:初始思想

李嘉图的有关理论来自当时关于如何偿还英国债务的争论。英国在英法战争中借了大量债务，战后英国议会对如何偿还债务发生了争论。一派认为应该提高税收，用税收偿还债务；另一派认为征收高税对经济发展不利，应该发行债券偿还债务。李嘉图认为，这两种做法对经济的影响是一样的。李嘉图在《政治经济学及赋税原理》第十七章《农产品以外的其他商品税》中表述了如下思想：政府为筹措战争或其他经费，采用征税还是发行公债的影响是等价的。这是“李嘉图等价”思想的来源。

“一个国家为筹划战争经费或政府一般开支而课征的税，以及主要用来维持非生产性劳动者的税，都是从该国的生产性劳动中取得的。这种开支每有节省，即使不是增加到纳税人的资本之中，一般也会增加到他们的收入当中。如果为了一年的战费支出而以发行公债的办法征集二千万镑，这就是从国家的生产资本中取去了二千万镑。每年为偿付这种公债利息而征课的一百万镑，只不过是由付这一百万镑的人手中转移到收这一百万镑的人手中，也就是由纳税人手中转移到公债债权人手中。实际开支的是那二千万镑，而不是为那两千万必须支付的利息。付不付利息都不会使国家增富或变穷。政府可以通过赋税的方式一次征收二千万镑；在这种情形下，就不必每年征课一百万镑。但这样并不会改变这一唯一的性质。”

李嘉图的表述包含以下内容：其一，在政府筹措财政经费中，无论征税还是举债，都使生产资本同样减少2000万英镑；其二，为公债支付利息不会使国民财富增加或减少；“公债只是右手欠左手的债，不会损害身体。” 其三，无论征税还是举债，都减少了居民的消费支出。

其实，在征税还是举债以筹措政府经费的选择上，李嘉图明显倾向于征税而反对举债。在他看来，举债“这种办法会使我们不知节俭，使我们不明白自己的真实处境。” 如果战争经费4000万英镑，征税的话每人每年缴纳100英镑，他会从收入中节省下来。战争结束，课税就结束。如果举债，每年只付利息5镑，人们会认为自己和以前一样富足。本来可以节约4000万镑，现在只节约了200万镑。这样，生产资本的损失就不仅仅是4000万镑，而是还要加上3800万镑。而且，在举债的情况下，还会导致资金外流，“终至使携资外迁、另觅可以免除这种负担的国家的念头变得难以抗拒。”

三、巴罗：一个阐述

巴罗（Robert Barro）在其1974年发表地《政府债券是净财富吗?》一文中，用现代经济学理论对李嘉图的上述思想进行重新阐述。

巴罗提出，在一个跨时新古典增长模型中，在特定假设（例如完备的资本市场、一次总付税、代际利他和债券增长不能超越经济增长）下，如果公众是理性预期的，那么不管是债券融资还是税收融资，政府所采用的融资方式并不会影响经济中的消费、投资、产出和利率水平。原因是当政府为弥补赤字而发行债券时，具有理性预期的公众明白债券变现最终还是要靠增税来完成，即现期债券相当于未来税收，政府债券融资只不过是移动了增税的时间。而且，消费者具有“利他主义”的遗产动机，即他不仅从自己的消费中获得效用，而且从子女的消费中获得效用；他不仅关心自己的消费，也会间接关心子女的消费。尽管举债具有的减税效应使消费者收入增加，但在理性地预期到将来税收将增加从而子女消费水平将收到不利影响时，消费者就不会因为现行收入的增加而增加消费。消费者不会将政府发行公债融资引起的财政扩张及收入增加看作是幸运的意外收获，他们宁愿将一部分收入储蓄起来以支付未来（甚至子女）的税收负担，因此消费需求不会上升，更不会出现消费支出的乘数效应。

巴罗提出“李嘉图等价定理”实际上是为了证明财政政策的无效性。巴罗提出的这一命题激起了整整一代经济学家持续的考察、攻击和验证，他在1974年那篇论文是迄今为止被引用最多的经济学文献之一。

四、莫迪利阿尼、托宾和曼昆：质疑和反对

巴罗假说一提出就遭到新古典综合派和新凯恩斯主义的质疑和批评。对李嘉图等价定理的疑问之一就是人们是否有动机为超出生命界限的未来增税因素而储蓄。莫迪利阿尼（Modiligani）在有限期界理论中提出，人们并不关心生命以外的事情，因此，由于发债带来的减税效应会带来消费需求的增加，这样，民间储蓄在这种情况下的增加就不足以抵补政府储蓄的减少，所以总储蓄下降，即使消费需求增加能够刺激短期经济增长，但总储蓄下降也会影响长期经济增长。

托宾（Tobin）也认为李嘉图等价定理限制条件太多，与现实不符。托宾认为国债发行引起的纳税相对减少会减轻人们的即期预算约束，相对增加的收入不会完全用于增加遗产形式的储蓄，消费的增加是显然的。与此同时，国债发行也能够吸收私人储蓄，也就能够对总需求产生影响。特别是当经济处于非充分就业状态时，民间投资小于民间储蓄，则产生民间储蓄剩余，这时就有必要通过政府发债吸收民间储蓄剩余，并通过政府投资的增加保持总投资率的稳定甚至上升。因此，以国债融资支持的政府支出对经济的稳定增长是有利的。

曼昆（Gregory Mankiw）从消费者的短视、借债约束和代际财富在分配三个角度分析了李嘉图等价定理不成立的原因。

1，短视。“李嘉图等价”的赞成者认为，人们在作出消费和储蓄决策时具有充分的知识和先见之明，即人们的决策行为是建立在理性基础上的。因此，理性的消费者能够预见现在政府举债意味着将来要增加税收。

曼昆认为，人的理性是有限的，甚至，人们在作出消费和储蓄决策时是短视的。人们往往是依据将来税收与现在税收相同的假设采取行动，而不会考虑现在的财政政策会引起将来税收的变化。因此，债务融资的减税效应将导致人们误以为永久收入增加（其实并没有增加），从而导致其增加消费。

2，借债约束。“李嘉图等价”的赞成者认为，消费不仅取决于当前收入，更重要的是取决于永久收入（包括当前收入和预期收入）。因此债务融资的减税会增加当前收入，但永久收入不变，从而消费不变。

曼昆认为，永久收入假说是靠不住的，因为某些消费者面临着借债约束，无法顾及永久收入问题。对这样的消费者，当前收入具有重要意义。是当前收入而不是永久收入决定其消费。债务融资的减税增加当前收入，从而增加消费。

3，代际财富在分配。“李嘉图等价”的赞成者认为，消费者具有利他主义的行为倾向，不仅从自己消费中而且从子女消费中得到效用，不仅关心自己的消费而且关心子女的消费。对减税后的增税预期使消费者对增加储蓄而不是消费以应对将来（甚至子女）的税收负担。

曼昆认为，人们所具有的是普遍的利己主义行为动机。举债导致将来税收的增加会落在下一代人身上。举债代表一种财富的转移，从下一代人向当代人的转移。当代人会以下一代人消费减少为代价而增加自己的消费。

对“李嘉图等价定理”有效性的争论仍然在持续着，还看不到哪一方的观点更具有说服力。对它的争论就像“宏观经济政策是否有效”甚至“是否存在宏观经济学”一样引人入胜。

第二篇：李嘉图《政治经济学及赋税原理》读书笔记

政治经济学及赋税原理读书笔记

全书分为32章，每章都好像一篇篇独立的论文并没有严密的逻辑性，似乎大多沿袭了亚当.斯密的观点，但也不乏作者自己独特的见解。前两章主要是对基本原理的阐述，后面的主要内容有分配理论、自由贸易理论、赋税理论、经济发展理论等。

李嘉图最先明确的就是劳动价值论，认为商品的价值取决于生产必需的相对劳动量，这也是他全书的理论基础。在详细论述这个观点时，劳动衡量的标准是劳动时间，同时根据劳动者的相对熟练程度和劳动强度来确定，可以分为简单劳动和复杂劳动，附加在商品上的价值是由直接劳动和间接劳动共同作用的。认为商品价值的源泉有两个，一个是稀缺性，另一个是劳动量，前者的商品价值大小由消费者的购买力和喜欢程度决定，后者与投入的劳动量成正比。

他的分配理论认为，地租、工资、利润分别为地主、工人和资本家所获得，三者共同瓜分劳动创造的价值，他们之间的关系是对立、此消彼长的。地租是由土地的有限性、肥沃程度和位置远近产生的，决定于最差土地与最优土地产出量的差额（即级差地租）。因为随着人口的增长，对农产品需求也增加，就会扩大对土地的需求，拉大土地等级获得更多的地租，所以地租的趋势是增长的。工资是对工人劳动的报酬，决定于工人必要的生活资料价值，通过区分自然价格和市场价格（由供给决定）来说明两者在人口繁殖的自动调节下变动相一致的趋势。工资的趋势是上升的，因为随着人口的增加，生活必需品的价格上升，导致工资上升。利润是劳动创造价值中扣除地租和工资

剩下的那部分，由于后两者的上升，利润的趋势是会下降的。

李嘉图主张对外自由贸易，这样能够扩大利润，保障整体的利益。其中的相对优势原理打破了斯密的绝对优势学说，通过对英国和葡萄牙制造的毛呢和葡萄酒的例子来论证了“两利相权取其重，两弊相权取其轻”的原理。

他的赋税内容几乎占了全书的1/3以上的篇幅，其中认为税是一个国家和劳动的产品中由政府支配的部分，最终是由资本或收入中支出的。其中农产品税是由消费者从提高的价格中支出的，地租税完全又地主负担，对土地税、黄金税、利润税等一一进行了论述。虽然承认税收有存在的必要，但会对资本的积累和生产发展有阻碍作用，主张不要征收落在资本上的税。

还有一些是关于经济发展的理论，如承认局部性的生产过剩，但通过调节是不会有普遍生产过剩的可能性；资本积累是经济发展的基本条件，可以通过增加利润和减少非生产性消费来满足；将国家收入分为了总收入和纯收入，以纯收入为标准来划分工资；论机器中承认机器的使用会代替劳动，引起人口过剩，工人阶段的生活状况将会恶化等。李嘉图作为资产阶级的代表，其理论有很大一部分是维护资产阶级利益的，所以在成就背后就有了一定的局限性。

有一个一直困扰我的问题是，为什么认为李嘉图的资本与劳动的交换不符合他的价值规律呢？根据他创建的理论体系应该是符合的。因为一件产品出来，资本家定会有预先付出的成本（如工具、预付的租金、厂房等），不然劳动者定会选择自己生产商品，不会甘心被雇

佣而没法获得其劳动应得的全部价值。这样的话，产品的价值中不就有一部分是资本家的报酬了吗？而不是新创造的价值都是由工人付出劳动得到的。如果撇开这个问题，马克思给出的解决方法是区分了劳动和劳动力，劳动能力是由劳动这段时间内维持工人及其家人生活所必需的生活资料价值衡量的，劳动是工人一生的所需生活资料价值衡量的，但这又与解决上述问题有什么联系呢？

第三篇：三角函数、极限、等价无穷小公式

三角函数公式整合：

两角和公式

sin(A+B)= sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)= sinAcosB-cosAsinB 

cos(A+B)= cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)= cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式

Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

和差化积

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ =-2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差

sinαsinβ =-1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]

cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]

诱导公式

sin(-α)=-sinα

cos(-α)= cosα

sin(π/2-α)= cosα

cos(π/2-α)= sinα

sin(π/2+α)= cosα

cos(π/2+α)=-sinα

sin(π-α)= sinα

cos(π-α)=-cosα

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tanA= sinA/cosA

tan（π/2＋α）＝－cotα

tan（π/2－α）＝cotα

tan（π－α）＝－tanα

tan（π＋α）＝tanα

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

万能公式

1.极限的概念

（1）数列的极限：0，N（正整数），当nN时，恒有xnA

nlimxnA 或 xnA(n)

几何意义：在(A,A)之外，xn至多有有限个点x1,x2,,xN

（2）函数的极限

x的极限：0，X0，当xX时，恒有f(x)A

limf(x)A 或 f(x)A(x)

x几何意义：在（XxX)之外，f(x)的值总在(A,A)之间。

xx0的极限：0，0，当0xx0时，恒有f(x)A

xx0limf(x)A 或 f(x)A(xx0)

几何意义：在x(x0,x0)(x0,x0)邻域内，f(x)的值总在(A,A)之间。

（3）左右极限

左极限：0，0，当x0xx0时，恒有f(x)A

xx0limf(x)A 或 f(x0)f(x00)A

右极限：0，0，当x0xx0时，恒有f(x)A

xx0limf(x)A 或 f(x0)f(x00)A

xx0f(x)Alimf(x)极限存在的充要条件：limxx0（4）极限的性质

唯一性：若limf(x)A，则A唯一

xx0保号性：若limf(x)A，则在x0的某邻域内

xx0A0(A0) f(x)0(f(x)0)；f(x)0(f(x)0) A0(A0)

有界性：若limf(x)A，则在x0的某邻域内，f(x)有界

xx02.无穷小与无穷大

（1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以为极限的变量称无穷大量；同一极限 过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。

注意： 0是无穷小量；无穷大量必是无界变量，但无界变量未必是无穷大量。例如当x时，xsinx是无界变量，但不是无穷大量。

（2）性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为无穷小；xx0limf(x)A成立的充要条件是f(x)A（x(x0,x0)，lim0）

（3）无穷小的比较（设 lim0，lim0）： 若lim则称是比高阶的无穷小，记为o()；特别称为o()0，的主部

，则称是比低阶的无穷小； 若limC，则称与是同阶无穷小；

若lim1，则称与是等价无穷小，记为~；

若limkC，（C0,k0）则称为的k阶无穷小；

若lim（4）无穷大的比较： 若limu，limv，且lim无穷大，记为o1(v)；特别u称为uvo1(v)v的主部

3.等价无穷小的替换

u，则称u是比v高阶的v若同一极限过程的无穷小量~，~，且lim存在，则 limf(x)f(x)limg(x)g(x)121cos~2111~2 ~ 11(1)n1~na1~lna常用等价无穷小(lim0)sintanarcsinarctanln(1)e111注意：（1）无论极限过程，只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换；

（2）无穷小的替换一般只用在乘除情形，不用在加减情形；

（3）等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用，即

若limf()f(0)，~，则f()~f()

4.极限运算法则（设 limf(x)A，limg(x)B）（1）limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB（2）limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB

特别地，limCf(x)Climf(x)，limf(x)limf(x)An

nn（3）limf(x)limf(x)A(B0)g(x)limg(x)B5.准则与公式（lim0，lim0）准则1：（夹逼定理）若(x)f(x)(x)，则

lim(x)lim(x)A  limf(x)A

准则2：（单调有界数列必有极限）

若xn单调，且xnM（M0），则limxn存在（xn收敛）

n准则3：（主部原则）

limo()o()o()lim； lim111lim11

2o1(2)o1(2)o()公式1： limsinsinx 11

 limx0x1xlim(1x)x0公式2： e



1lim(1)nnn1lim(1lim(11)e

)公式3： lim(1)elim，一般地，lim(1)felimf

0anxnan1xn1a0anxnan公式4：limlimm1xbxmbxbxmxbmm10mbm6.几个常用极限(a0,a1)（1）limnnmnm nmna1，limnn1；（2）limxx1，limxx；

nx0x（3）limex，limex0；（4）limlnx； x0x0x0110q11limarctanq1x0x2n（5）；（6）limq

nq1limarctan11x2x0不存在q1

第四篇：【论文提纲】等价无穷小函数求极限

等价无穷小函数求极限

1.绪论

1.1研究背景和意义

1.2研究现状

1.3文章结构

2.基础知识

2.1等价无穷小相关概念

2.2等价无穷小代换定理及证明

2.3等价无穷小代换定理推广及证明

3.等价无穷小求函数极限应用及推广

4.总结

第五篇：大学高等数学等价无穷小

这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。

1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。

如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x)= lim u(x)/v(x)。关键要记住道理 lim f(x)/g(x)= lim f(x)/u(x)* u(x)/v(x)* v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。

f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：

f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！

问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。

比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为 ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。但是如果碰到ln(1+x)-x，那么 ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。

碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似： ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么

ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。从上面的例子就可以看出来，余项很重要，不能直接扔掉，因为余项当中包含了一定的信息。而且只要保留余项，那么所做的就是恒等变换(注意上面我写的都是等式)而不是近似，这种方法永远是可行的，即使得到不定型也不可能得出错误的结论。等你学过带余项的Taylor公式之后对这一点就会有更好的认识。

高数教了一段时间了，对于等价无穷小量代换法求极限为什么只能在乘除中使用，而不能在加减的情况下使用的条件感到有些疑惑，于是找了一些资料，仔细的研究了这个问题，整理如下：

等价无穷小的定义及常用的等价无穷小

无穷小量是指某变化过程中极限为0的变量。而等价无穷小量是指在某变化过程中比值极限为1的两个无穷小量。

常用的等价无穷小有：

sinx∼tanx∼arctanx∼arcsinx∼ln(1+x)∼x(x→0)

sin⁡x∼tan⁡x∼arctan⁡x∼arcsin⁡x∼ln⁡(1+x)∼x(x→0)1−cosx∼x22,1+x−−−−−√n−1∼xn(x→0)1−cos⁡x∼x22,1+xn−1∼xn(x→0)等价无穷小量在求极限问题中非常重要。恰当的使用等价无穷小量代换常常使极限问题大大简化。但是有时却不能使用等价无穷小量代换。

等价无穷小替换原理

定理1：设α,α1,β,β1α,α1,β,β1是某一变化过程中的无穷小量，且α∼α1,β∼β1α∼α1,β∼β1，若limαβlimαβ存在，则limαβ=limα1β1limαβ=limα1β1。

例1： limx→0ln(1+3x)sin2x.limx→0ln⁡(1+3x)sin⁡2x.解：

limx→0ln(1+3x)sin2x=limx→03x2x=32.limx→0ln⁡(1+3x)sin⁡2x=lim

x→03x2x=32.例2：

limx→0tanx−sinxx3.limx→0tan⁡x−sin⁡xx3.错误解法：

limx→0tanx−sinxx3=limx→0x−xx3=0.limx→0tan⁡x−sin⁡xx3=limx→0x

−xx3=0.正确解法：

limx→0tanx−sinxx3=limx→0sinx(1−cosx)x3⋅cosx=limx→01−cosxx2⋅cosx=limx→012cosx=12.limx→0tan⁡x−sin⁡xx3=limx→0sin⁡x(1−cos⁡x)x3⋅cos⁡x=limx→01−cos⁡xx2⋅cos⁡x=limx→012cos⁡x=12.从上面的解法可以看出，该题分子不能直接用等价无穷小量替代来做，下面我们分析产生错误的原因：等价无穷小之间本身一般并不相等，它们之间一般相差一个较它们高阶的无穷小，由函数f(x)f(x)在点x=0x=0处的泰勒公式，即麦克劳林公式：

f(x)=f(0)+f′(0)x+f”(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+o(xn)f(x)=f(0)+f′(0)x+f”(0)2!

x2+⋯+f(n)(0)n!xn+o(xn)很容易有：

tanx=x+x33+2x515+o(x5).(x→0)tan⁡x=x+x33+2x515+o(x5).(x→0)sinx=x+x33!+x55!+x77!+⋯+(−1)m−1x2m−1(2m−1)!+o(x2m−1).(x→0)sin⁡x=x+x33!+x55!+x77!+⋯+(−1)m−1x2m−1(2m−1)!+o(x2m−1).(x→0)由此可知，sin{x}与tan{x}相差一个较xx的三阶无穷小，此三阶无穷小与分母x3x3相比不可忽略，因为把上述结论代入原式得

limx→0tanx−sinxx3=limx→0x33+x33!+o(x3)x3=12.limx→0tan⁡x−sin⁡xx3=limx→0x33+x33!+o(x3)x3=12.由此，我们可以得出：加减情况下不能随便使用等价无穷小。

下面我们给出一个在加减情况下使用等价无穷小的定理并加以证明。在这里我们只讨论减的情况，因为我们知道加上一个数可以看成减去这个数的负数。为方便，首先说明下面的定理及推论中的无穷小量其自变量都是xx，其趋近过程都相同：x→0x→0，在有关的极限中都省去了极限的趋近过程。

定理2：设α,α1,β,β1α,α1,β,β1是某一变化过程中的无穷小量，且α∼α1,β∼β1α∼α1,β∼β1，则α−β∼α1−β1α−β∼α1−β1的充分必要条件是limαβ=k≠1limαβ=k≠1。

证明：

1∘1∘充分性：

α∼α1,β∼β1⇒limαα1=limββ1=1α∼α1,β∼β1⇒limαα1=limββ1=1

又

limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1

则 limα−βα1−β1=limαβ1−ββ1α1β1−1=k−1k−1=1limα−βα1−β1=limαβ1−ββ

1α1β1−1=k−1k−1=1

即

α−β∼α1–β1.α−β∼α1–β1.2∘2∘必要性：

α∼β,α1∼β1⇒limα−βα1−β1=1α∼β,α1∼β1⇒limα−βα1−β1=1

即

lim(α−βα1−β1−1)=0lim(α−βα1−β1−1)=0

通分得

limα−α1α1−β1−limβ−β1α1−β1=0limα−α1α1−β1−limβ−β1α1−β1=0

所以

limαα1−11−βα1−lim1−ββ1α1β1−1=0limαα1−11−βα1−lim1−ββ1α1β1−1=0

又

limαα1=1,limββ1=1limαα1=1,limββ1=1

所以

lim01−βα1−lim0α1β1−1=0lim01−βα1−lim0α1β1−1=0

所以

limβ1α1=k≠1⇒limα1β1=k≠1limβ1α1=k≠1⇒limα1β1=k≠1

又

limαβ=limα1β1.limαβ=limα1β1.所以

limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1.limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1.由1∘,2∘1∘,2∘得，原命题成立。证毕。

这样一来，就得到了差形式无穷小量等价代换的充要条件。例3：

limx→01−cosx+2sinxarcsin2x−sinx.limx→01−cos⁡x+2sin⁡xarcsin⁡2x

−sin⁡x.解：

1−cosx∼x22,−2sinx∼−2x,2arcsinx∼2x,sinx∼x(x→0)1−cos⁡x∼x22,−2sin⁡x∼−2x,2arcsin⁡x∼2x,sin⁡x∼x(x→0)所以

limx→01−cosx−2sinx=0≠1,limx→02arcsinxsinx=2≠1limx→01−cos⁡x−2sin⁡x=0≠1,limx→02arcsin⁡xsin⁡x=2≠1

由定理2得

limx→01−cosx+2sinxarcsin2x−sinx=limx→x22+2xx=2.limx→01−cos⁡x+2sin⁡xarcsin⁡2x−sin⁡x=limx→x22+2xx=2.例4：

limx→0arctan2x+arcsin5xsin3x.limx→0arctan⁡2x+arcsin⁡5xsin⁡3x.解：

arctan2x∼2x,arcsin5x∼5x,sin3x∼3x(x→0)arctan⁡2x∼2x,arcsin⁡5x

∼5x,sin⁡3x∼3x(x→0)又

limarctan2x−arcsin5x=−25≠1limarctan⁡2x−arcsin⁡5x=−25≠1

由定理2得

limx→0arctan2x+arcsin5xsin3x=2x+5x3x=73.limx→0arctan⁡2x+ar

csin⁡5xsin⁡3x=2x+5x3x=73.总结

本文指出，在有加减的情况下不能随便运用等价无穷小代换求极限，并且指出了在有加减的情况下能够使用等价无穷小代换的充分必要条件。对于不满足条件的情况，根据给出的泰勒展开公式，可以求出。