6 圆的面积(一)
圆的面积(一)主要引导学生推导出圆的面积计算公式,是在三年级的下册学习了面积的一般概念以及平行四边形、三角形、梯形的面积计算,并且对圆已有初步认识的基础上进行学习的。由于以前学生所学的平面图形都是由线段组成的多边形,而计算像圆这样的曲线图形,学生还是第一次遇到,所以教材力图通过一系列的操作活动,让学生在观察、分析、归纳中理解圆面积的含义,通过“化曲为直”“化圆为方”的数学思想方法,找出圆与所拼成的平行四边形之间的联系,从而推导出圆面积的计算公式。同时渗透了曲线图形与直线图形的关系,感受极限思想。圆的面积的计算是学生第一次接触曲线图形的面积计算,为学生探究圆柱、圆锥的表面积、体积奠定了良好基础。
1.结合实例认识圆的面积,掌握圆的面积计算公式。
2.探索圆的面积与平行四边形面积之间的关系,经历圆的面积计算公式的推导过程。
3.在估一估和探索圆的面积公式的活动中,体会“以直代曲”的数学思想,初步感受极限思想。
【重点】 经历圆的面积计算公式的推导过程,掌握圆的面积计算公式。
【难点】 探索圆的面积与平行四边形面积之间的关系,圆的面积公式推导过程。
【教师准备】 PPT课件、等分好的圆形纸板。
【学生准备】 完全相同的多个圆形纸板。
1.每个小方格的面积是1
cm2,数一数下面图形的面积各是多少。
2.写出下面各图形的面积计算公式。
长方形面积计算公式:()。
平行四边形面积计算公式:()。
3.计算下面图形的面积。
【参考答案】 1.21
cm2 15
cm2 12
cm2 2.长方形的面积=长×宽 平行四边形面积=底×高 3.4×3=12(cm2)5×2=10(cm2)
方法一
1.(PPT课件出示)在草地的一个木桩上拴着一只羊,想一想这只羊能吃到草的最大范围是多少?
学生观察并讨论,然后指名回答。
预设
生1:我发现羊能吃到草的最大范围刚好能围成一个圆形。
师:半径和圆心分别是什么?
生2:这个圆形的半径就是绳子的长度。
生3:这个圆形的中心就是木桩所在的地方。
师:同学们说得很好。请大家说说这个圆形的面积指的是哪部分呢?
生4:羊能吃到的草形成的圆形的面积。
(课件演示羊吃草形成的圆形)
2.引出课题。
这个圆形的面积是多少?怎样计算?计算圆的面积需要哪些圆的要素呢?今天这节课我们就来学习圆的面积。
板书课题:圆的面积(一)。
[设计意图] 由生活中的实际问题引入新知,激发学生学习兴趣。利用实例直观地展现出圆的面积,帮助学生建立圆的面积的形象特征,为学习新知打下基础。
方法二
1.PPT课件出示公园里的圆形花坛。
师:这是公园里的圆形花坛,现在要把这个花坛里种上草坪,要铺多大面积的草坪呢?对于这个问题你是怎样理解的?你想怎样解决?说说你的想法。
预设
生1:解决铺多大面积的草坪的问题,就是求花坛的面积。
生2:花坛是圆形的,实际就是求圆形花坛的面积。
教师追问:你知道圆的面积是什么吗?你做的圆形纸板的面积是多少?和同桌比较一下谁做的圆形纸板面积大。
学生比较,发现圆的面积大小。
得出结论:圆所占平面的大小叫作圆的面积。
2.引出课题。
师:我们只能通过比较知道做出的圆形面积有大有小,但究竟面积多大并不知道,通过这节课的学习就会知道了。
板书课题:圆的面积(一)。
[设计意图] 通过学生熟悉的实际情境和动手摸一摸、比一比等,使学生了解圆的面积的含义,同时激发学生学习新知的兴趣。
一、圆的面积的度量
师:圆是封闭的曲线图形,它与正方形、长方形一样都是有面积的,那么什么是圆的面积,怎样计算圆的面积呢?
1.课件出示教材第14页问题一情境图:
提出问题:
观察这幅图,怎样才能知道图中圆形的面积?
2.学生观察主题图,小组共同讨论,探究圆的面积度量方法。
学生小组合作,用合适的方式,如画一画、拼一拼、量一量等方法度量,教师巡视指导。
3.汇报圆的面积度量方法。
方法一:画正多边形。
师:你用什么办法度量的圆形面积?
预设
生:我采用在圆中画正方形的方法。
师:采用这种方法的同学,请将你画出的图形举起来。(学生展示画出的图形,老师观察)圆的面积比正方形面积大还是小呢?为什么?
预设
生:圆的面积比正方形面积大,因为四周还有空白的地方。
师:用正方形可以测量出圆中间部分的面积,但四周还有很多没有测量出来,会有很大的误差,怎么办呢?课件出示下图,学生再次观察,思考解决办法。
预设
生:可以画正八边形。
师:是的,你的办法真好!这样圆周围的部分就会减小,减少误差,请同学们看屏幕。课件出示下图:
师:同学们能不能再想想办法,使这种度量圆的面积方法产生的误差更小一些?
预设
生:再增加正多边形的边数。
师:这种办法确实能够使度量圆的面积更精确些,请看这幅图,圆中是正12边形。课件出
示下图:
师:通过这三幅图的对比,你发现了什么?
预设
生1:正多边形的边数越多,度量圆的面积误差就越小。
生2:如果无限增大正多边形的边数,测量就会更精确。
方法二:圆内画三角形。
学生展示测量方法,并说一说是怎样测量的。
预设
生1:在圆内画同样大小的三角形,使每个三角形的一个顶点与圆心重合。
生2:测量出三角形的底和高,计算出一个三角形的面积,再把所有三角形的面积加起来,大约就是圆的面积。
教师追问:用这种测量方法,测量的圆的面积比实际面积大还是小呢?
学生通过观察会发现:三角形与圆四周有一部分面积没有计算,测量出圆的面积比实际面积要小。
方法三:数方格法。
师:还有其他办法度量圆的面积吗?
预设
生:我采用的是在圆里面画方格的方法。
师:采用这种方法的同学请把画出的图形举起来给大家看。
学生展示画的图,师生共同观察,然后利用课件展示下图:
师:同学们观察并想一想用这种方法能准确地测量出圆的面积大小吗?为什么?
预设
生:不能,因为四周有不是整格的。
师:这种方法能不能十分精确地测量出圆的面积呢?有什么办法更准确呢?
预设
生:可以把小正方形画得小一些,这样四周不完整的部分面积就小些。
4.师生小结。
采用度量的方法只能估计圆的面积的大约数值,无法精确地知道面积大小。圆内正多边形的边数越多,估计的结果越准确。
[设计意图] 本环节主要引导学生根据以往的知识经验利用在圆内画正方形或数方格的方法,掌握度量圆的面积的策略,同时在逐步设疑、解疑及对比中,体会如何使度量更加接近圆的实际面积。
二、探究圆的面积公式的推导
1.回顾旧知、提出疑问。
师:还记得这些图形的面积公式是怎样推导的吗?
学生描述,教师课件演示。
师:对于圆的面积公式的探索,我们是否也可以采用这种方法呢?圆形的面积可能由什么图形面积转化而来?
[设计意图] 创设问题情境,启发学生回忆平行四边形、三角形和梯形面积计算公式的推导过程。激起学生用旧知探索新知的兴趣,并明确用转化的数学思想方法。
2.探索圆面积公式。
师:拿出我们剪好的图形拼一拼,看看能成为一个什么图形,并想一想拼成图形的每部分分别是原来圆形的哪一部分?
(1)剪一剪,拼一拼。
同学们操作交流,教师巡视指导,并记住哪些学生把圆平均分成了8份、16份或32份,为接下来的问答做准备。
(2)反馈汇报,推导公式。
预设
生:我把一个圆形平均分成了8份,4份为一组,两组拼成的图形接近平行四边形。
师:你的办法真不错,请同学们看屏幕(PPT课件出示8等分的圆,并做讲解)同学们看一看等分后的每一部分像什么?
预设
生:像一把扇子。
师:这个叫扇形,我们在以后的学习中会学到它。采用这种转化方法的同学请把拼成的图
形举起来给大家看。
学生展示后,引导学生观察拼成的图形中的每部分与原来圆的哪部分相同。
预设
生:平行四边形的高是圆的半径,底是圆形周长的一半。(如果学生发现这两种关系有困难,教师可以适当提示)
学生回答后,教师将课前准备好的学具(平均分成8份的圆,拼成接近平行四边形的图形)张贴在黑板上,引导学生再次观察,明确平行四边形的高、底和圆形半径、周长的关系。
师:刚才这几位同学把圆形平均分成了8份,还有其他同学把圆分成更多份数的吗?
预设
生1:我把圆形平均分成了16份。
生2:我把圆形平均分成了32份。
师:你们的想法和老师一样,我也把圆平均分成了16份和32份。
教师把准备好的教具拼成平行四边形张贴在黑板上。
师:同学们观察对比这三张拼成的图形,你们有什么感受?
预设
生:把圆平均分成32份,拼成的图形更接近平行四边形。
师:想一想,如果把圆平均分成更多份,比如64份、128份会怎样?
预设
生:分的份数越多,拼成的图形越接近平行四边形。
师:无论分成多少份,圆形的面积都没有改变。根据以上的转化思路,你能否得到圆形的面积计算公式呢?并说出你的理由。
生1:因为拼成的平行四边形的底也就是圆形周长的一半,平行四边形的高就是圆形的半径,而平行四边形面积=底×高,那么圆形面积=圆周长÷2×半径。
师:能不能根据圆的周长和半径的关系,继续整理这个公式呢?
预设
生:圆的周长=半径×2×π,周长的一半是半径×π,所以圆的面积=π×半径×半径。
师:用字母怎么表示圆面积公式呢?
预设
生:S=πr2。
师:这是已知圆的半径表示出圆的面积,如果已知圆的直径怎样表示圆的面积呢?
生:圆的半径是直径的一半,所以圆的面积=π×d22。
(3)小结:圆的面积公式是:S=πr2或S=πd22。
[设计意图] 本环节首先引导学生利用学具动手操作、交流,将圆形转化为平行四边形,经历转化的过程,体会到平行四边形与原来圆形的关系,进而推导出圆形面积计算公式。
教材第15页第2题。
【参考答案】 圆内外的正多边形边数越多,越接近圆形,圆形的面积比圆内的正多边形面积大,比圆外正多边形面积小。
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?
学生反馈汇报。
预设
生:这节课我学会了利用工具或画图度量圆的面积,采用画正多边形的方法时,正多边形边数越多,度量的越准确,采用画方格度量时,画的方格越多,度量越准确。我还学会了圆的面积公式,知道圆的面积公式推导方法。
作业1
教材第15页第3题。
【参考答案】
作业1:3.面积相等 圆的周长的一半等于长方形的长 半径等于长方形的宽
长方形的面积=
长
×
宽
‖
‖ ‖
圆的面积 =
周长2×半径,即S圆=C2×r=2πr2×r=πr2,所以S圆=πr2。
圆的面积(一)
圆的面积度量:画正多边形、画小方格
边数越多越接近圆形、方格越小度量越准
圆的面积计算公式:
S=πr2或S=π12d2
本课教学重点是理解圆面积的推导过程。圆面积公式推导过程中隐含着一种重要的“转化”与“极限”数学思想方法。教学时先引导学生探究圆的面积度量方法,使学生体会到度量的基本策略,同时感受到即使用最优的度量方法也无法确切知道圆的面积,从而引发探究圆的面积计算公式必要性的思考。之后在教师的启发引导下,通过学生的动手操作、观察,将圆转化为近似平行四边形,从而推导出圆的面积,培养学生“转化”“以曲代直”的数学思想。
(1)本节课拓展延伸不够,比如在探究圆的面积度量过程中,仅限于教材介绍的两种度量方法,没有给学生机会去探究其他方法,限制了学生的思维。
(2)学生利用学具动手操作的活动安排较少,没有给学生充分的活动时间,为了课堂整体效果,很多活动只有少部分学生操作完成。
(1)注重拓展延伸的设计,以达到锻炼学生思维能力的目的。在探究教材问题的基础上进行类题拓展,举一反三。如:度量圆的面积可以在圆内画三角形,把圆放在方格纸上等。
(2)给学生充分的合作探究的时间,通过组内同学共同操作,让学生自己去发现问题,寻找解决的办法,使学生的思维能动性和创造性得到充分激发,探索能力、分析问题和解决问题的能力得到提高。
利用转化的方法,把圆转化成三角形,推导出圆的面积计算公式。
[名师点拨](1)转化演示。
发现:将圆平均分成16个近似的等腰三角形,拼成的近似的三角形的底边长正好是圆周长的14,即14C,三角形的高是圆的半径的4倍,即4r。
(2)公式推导。
圆的面积=三角形的面积=底×高×12=14C×4r×12=14×2πr×4r×12=πr2。
[解答] 圆的面积=半径×半径×圆周率,即S=πr2。
圆周率
约2000年前,我国的古代数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的说法,意思是说圆的周长是它的直径的3倍。
早在一千七百多年前,我国古代数学家刘徽曾用割圆术求出圆周率是3.141024。继刘徽之后,我国古代数学家祖冲之在推求圆周率的研究方面又有了重要发展。他计算的结果共得到了两个数:一个数为3.1415927,另一个数为3.1415926。圆周率的值正好在这两个数之间。祖冲之采用了两个分数值:一个是227(约等于3.14)称为“约率”,另一个是355113(约等于3.1415929)称为“密率”。祖冲之求得的密率,比外国数学家求得这个值早一千多年。
我国古代计算圆的面积方法
在我国古代的数学名著《九章算术》中的方田章记载着这样一个求圆面积的方法:“周径相乘,四而一”,意思就是用圆的周长和直径相乘,再除以4,就可以得到圆的面积。
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