最短路径问题
——将军饮马问题及延伸
最短路径问题
教学内容解析：
本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。
本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。
教学目标设置：
1、能利用轴对称解决最短路径问题。
2、在解题过程能总结出解题方法，能进行一定的延伸。
3、体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。
教学重点难点：
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
学情分析：
1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。
2、学生已经学习过
“两点之间，线段最短。”以及“垂线段最短”。以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。
教学条件分析:
在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用PPT动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。
教具准备：直尺、ppt
教学过程：
环
节
教师活动
学生活动
设计意图
一
复
习
引
入
1.【问题】：看到图片，回忆如何用学过的数学知识解释这个问题？
2.这样的问题，我们称为“最短路径”问题。
1、两点之间，线段最短。
2、两边之和大于第三边。
从学生已经学过的知识入手，为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。
二
探
究
新
知
1.探究一：
【故事引入】：唐朝诗人李颀在《古从军行》中写道：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中就隐含着一个有趣的数学问题，古时候有位将军，每天从军营回家，都要经过一条笔直的小河。而将军的马每天要到河边喝水，那么问题来了，问题：怎样走才能使总路程最短呢？
认真读题，仔细思考。
将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象线段和最小问题。
从异侧问题入手，由简到难，逐步深入。
二
探
究
新
知
2.探究二：
【变换情境】：后来将军把家搬到了河的对面，若还是要带马先到河边喝水，然后再回家，应该怎样走，才能使总路程最短呢？
（1）【转化】：你能将实际问题抽象为数学问题吗？
（2）【展示】：
让学生猜想，并画出图形。
巡视发现学生不同的作法（尽可能多），分别展示各小组的作法。
给予学生一定的提示。
（3）【度量】：如何才能判断哪种猜想是正确的呢？（测量一下）在几何画板中分别度量出AC,BC的长度，并计算AC+BC。让学生观察数值如何变化。并反思各自的作法是否正确。
【回答】：学生思考并回答，如何将实际问题转化为数学问题。
已知：直线L和同侧两点A、B
求作：直线L上一点C，使C满足AC+BC的值最小。
【学生展示】：
作法1：
作法2：：
作法3：
【学生反思】：第1种作法是利用“垂线段最短”，得到AC最短，利用“两点之间线段最短”，得到BC最短，但不能确定AC+BC是最短的。
第2种作法只能说明在河l上取一点，到A、B两地的距离相等，也就是AC＝BC。不能说明AC+BC最短
第3种作法应该是正确的。
学生主动探索，充分发挥学生的主动性。
展示多种方法，产生思维冲突，引发学生进一步探究的学习欲望。
二
探
究
新
知
3.解决问题
【追问】用第3种作法的同学，你们是怎样想到作点B关于直线L的对称点的？为什么要作对称点？
如果做点B关于直线L的对称点，就是把点B移到了另一侧，而且满足了BC＝BC’。其实直线L上所有点到B和B’的距离都相等。
也可是根据垂直平分线的性质，L就是线段BB’的垂直平分线，而垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
利用轴对称将同侧线段和最短转化为异侧线段和最短问题。借助轴对称，把折线转化为线段的长来求解。
让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维能力。
让学生在反思的过程中，体会轴对称的作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验。
（4）【推理论证】：如何证明AC+BC最短呢？
【提示】：没有比较就不会产生大小。通常我们要在直线上任另取一点C＇（与点C不重合），只要证明AC＇+BC＇〉AC+BC即可。
老师动手操作，验证结论的正确性。
（1）学生自主证明，教师纠错。
（2）师生共同分析，学生说明证明过程，教师版书。
（3）共同完成证明过程。
认真观察，思考，要想确认AC+BC最短，可以在直线l上任取一点C’（不与点C重合）
1.独立纠错
2.兵教兵
让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力。
通过动画演示，从特殊到一般地验证了前面的结论。
三
发
散
思
维
除了作点B关于直线l的对称点以外，还有没有别的作法？
还可以作点A关于直线l的对称点。
发散思维，培养学生一题多解的能力。
四
得
出
结
论
【问题】：我们是如何解决将军饮马问题的？
先将实际问题转化为数学问题。然后作其中一个点关于直线l的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置。
让学生反思刚才的探究过程。培养数学思维，和及时总结所学的知识的好习惯。
五
变式巩固
【问题】：如图，已知：P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？
在具体问题中实践已有模型，固化已有模型。为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。
六
拓展提升
【问题】：如图,一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地
OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A问：这位将军怎样走路程最短？
【问题】：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。
七
巩
固
练
习
1.【题目】：如图，已知：
MON内两点A、B.求作：点C和点D,使得点C在OM上，点D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。
2.【题目】：如图，如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？
习题难度，由易到难，逐步深入。让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法。
八
课
堂
小
结
1.【问题】：本节课研究问题的基本过程是什么？
当我们遇到一个实际问题，首先，我们要将实际问题变成一个数学问题（群答），也就是抽象成一个数学模型，这样可以帮助我们进行实验观察，进而运用合情推理得到一个猜想，然后我们可以通过严谨的逻辑证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。
2.【问题】：今天我们学习了最短路径的相关问题，我们应该怎么样找到它们的最短路径呢？
先确定对称轴，找出定点的对称点。然后连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各对称点确定所求位置点）。
我们要先将实际问题变成一个数学问题，然后观察实验，提出猜想，之后通过证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。
如何求解
培养学生总结在课题学习的基本思路。
九
课
后
拓
展
【问题】：在矩形ABCD中，在边和对角线AD、BD上有两个动点M、N,当M、N运动到何处时，BM+MN最短？
根据解题方法进行深度拓展（难度大）
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