第六章
将军饮马
“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题,会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合,在近年的中考和竞赛中经常出现,而且大多以压轴题的形式出现。
模型1
定直线与两定点
模型
作法
结论
当两定点A、B在直线异侧时,在直线上找一点P,使PA+PB最小。
连接AB交直线于点P,点P即为所求作的点。
PA+
PB的最小。
当两定点A、B在直线同侧时,在直线上找一点P,使PA+PB最小。
作点B关于直线的对称点B′,连接AB′交直线于点P,点P即为所求作的点。
PA+PB的最小值为AB′。
当两定点A、B在直线同侧时,在直线上找一点P,使最大。
连接AB并延长交直线于点P,点P即为所求作的点。的最大值为AB。
当两定点A、B在直线同侧时,在直线上找一点P,使最大。
作点B关于直线的对称点B′,连接AB′并延长交直线于点P,点P即为所求作的点。的最大值为AB′。
当两定点A、B在直线同侧时,在直线上找一点P,使最小。
连接AB,作AB的垂直平分线交直线于点P,点P即为所求作的点。的最小值为0。
模型实例
例1.如图,正方形ABCD的面积是12,△ABE是等边三角形,点E
在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,则PD+PE的最小值为。
例2.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,AC=BC=4,∠BCD=15°,P为CD
上的动点,则的最大值是多少?
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1.如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB-90°,D是BC边的中点,E是AB边
上一动点,则EC+ED的最小值是。
2.如图,点C的坐标为(3,),当△ABC的周长最短时,求的值。
3.如图,正方形ABCD中,AB-7,M是DC上的一点,且DM-3,N是AC上的一
动点,求的最小值与最大值。
模型2
角到定点
模型
作法
结论
点P在∠AOB的内部,在OB上找点D,在OA上找点C,使得△PCD周长最小。
分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P“,连接
P′P“,交OA、OB于点C、D,点C、D即为所求。
△PCD周长最小为P′P“。
点P在∠AOB的内部,在OB上找点D,在OA上找点C,使得PD+CD最小。
作点P关于OB的对称点P′,过点P′作P′C⊥OA交OB于点C,点C、D即为所求。
PC+CD的最小值为P′C。
点P、Q在∠AOB的内部,在OB上找点D,在OA上找点C,使得四边形PQDC周长最小。
分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′,连接P′Q′,交OA、OB于点C、D,点C、D即为所求。
PC+CD+DQ的最小值为P′Q′,所以四边形PQDC的周长的最小值为P′Q′+PQ。
模型实例
例1.如图,∠AOB=30°,∠AOB内有一定点P,且OP=10,在OA上有一
点Q,OB上有一点R。若△PQR周长最小,则最小周长是多少?
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1.如图,∠MON=40°,P为∠MON内一定点,A为OM上的点,B为ON上的点,当△PAB的周长取最小值时:
(1)找到A、B点,保留作图痕迹;
(2)求此时∠APB等于多少度。如果∠MON=,∠APB又等于多少度?
2.如图,四边形ABCD中,∠BAD=110°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别
找一点M、N,使△AMN周长最小,并求此时∠AMN+∠ANM的度数。
3.如图,在轴上找一点C,在轴上找一点D,使AD+CD+BC最小,并
求直线CD的解析式及点C、D的坐标。
4.如图∠MON=20°,A、B分别为射线OM、ON上两定点,且OA=2,OB=4,点P、Q分别为射线OM、ON上两动点,当P、Q运动时,线段
AQ+PQ+PB的最小值是多少?
模型3
两定点一定长
模型
作法
结论
如图,在直线上找M、N两
点(M在左),使得AM+MN+NB最小,且MN=。
将点A向右平移个单位到A′,作A′关于直线的对称点A“,连接A“B交直线于点N,将点N向左平移个单位到M,点M、N即为所求。
AM+MN+NB最小为A“B。
如图,∥,之间距离为,在,分别找M、N两点,使得MN⊥,且AM+MN+NB最小。
将点A向下平移个单位到A′,连接A′B交直线于点N,将点N向上平移个单位到M,点M、N即为所求。
AM+MN+NB的最小值为A′B+。
模型实例
例1.在平面直角坐标系中,矩形OABC如图所示,点A在轴正半轴上,点C在轴正半轴上,且OA=6,OC=4,D为OC中点,点E、F在线段
OA上,点E在点F左侧,EF=2。当四边形BDEF的周长最小时,求点E的坐标。
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1.在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在,轴、轴的正半轴上,A(3,0),B(0,4),D为边OB的中点。
(1)若E为边OA上的一个动点,求△CDE的周长最小值;
(2)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=1,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标。
2.村庄A和村庄B位于一条小何的两侧,若河岸彼此平行,要架设一座与河岸垂直的桥,桥址应如何选择,才使A与B
之间的距离最短?