初中数学复习 双曲线上的反向等角与将军饮马

双曲线上的反向等角与“将军饮马”

杜桥实验中学

徐君斌

双曲线上关于原点对称的两个点与任意的第三个点，必能构成反向等角的关系.如图，点与关于原点对称.当或时，能形成横向的反向等角；

当时，则能形成纵向的反向等角.上述两图中，均有，即形成反向等角，或称为“反射”模型，而初中

数学中的“反射”模型，最常见于“将军饮马”问题.下面就是本人原创的一系列，反向

等角与“将军饮马”相结合的问题.典型例题

如图，点(，)在双曲线上，点与关于原点对称，直线与双曲线

交于点，为直线上的一个动点.(1)当时.①；

②的最小值为；

(2)当时，且保证的值最小.请问点是否定点，若是定点，请求出

该点坐标；若不是定点，请说明理由.例题精析

(1)①；

②的最小值为；

解题后的猜想：

(2)参数法：

设的解析式为，其中(，)，(，)，得，则，当时，(即为定点).相似法1：，即，则……

相似法2：，即，……

反向等角法2：，三点共线，则点与重合(即为定点).配套练习

1.如图，点(，)在双曲线上，点与关于原点对称，直线与双曲线

交于点，为直线上的一个动点.(1)当时，的最小值为；

(2)当时，且保证的值最小.请问

点是否定点，若是定点，请求出该点坐标；

若不是定点，请说明理由.2.如图，点(，)在双曲线上，点与关于原点对称，点(，)在轴

上运动(且)，过点作轴的垂线，为直线上的一个动点.(1)当时，的最小值为；

(2)若点从(，)位置出发向右平移，且要保证的值最小.请问点的运

动路径有何特征？

3.如右图，点(，)，(，)，(，)在轴上运动(且)，过点

作轴的垂线，为直线上的一个动点.若点从(，)位置出发向右平移，且要保证的值最小，则点的运动路径大致正确的是（）

4.如图，点(，)在双曲线上，点与关于原点对称，点(，)在轴

上运动(且)，过点作轴的平行线，为直线上的一个动点.(1)当时，的最小值为；

(2)若点从(，)位置出发向右平移，且要保证的值最小.请问点的运

动路径有何特征？

5.如图，点(，)，(，)，(，)在轴上运动(且)，过点作

轴的平行线，为直线上的一个动点，连接.若点从(，)位置出发

向上平移，且要保证的值最小.(1)点必在某个函数的图象上运动，则该函数的图象应该是（）

A.直线

B.射线

C.一段双曲线

D.一段抛物线

(2)在点的运动过程中，的面积变化规律是（）

A.始终不变

B.不断增大

C.不断减小

D.先增大后减小