【教学论文】圆的切线教学设计 如何学好圆的切线

圆的切线教学设计

如何学好圆的切线?

圆的切线是圆这一章的重点内容之一，它的判定定理、性质定理及其推论，是学习其他有关圆的知识的理论基础，是进行圆内线段相等、角相等、弦相等、弦平行、线段成比例的证明与计算的主要依据.因此，要想学好圆的知识，学好圆的切线是关键.要想学好这部分知识，同学们应注意以下几个问题.一、正确理解切线的含义

切线的研究是从直线与圆的三种位置关系开始的，从而引出了切线的定义：直线与圆有唯一的公共点时，叫做直线与圆相切.这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.这一定义告诉我们，圆的切线是直线，它和圆有唯一的公共点，也就是有且只有一个公共点，与有一个公共点的含义不同.需要注意的是，如果直线和圆有一个公共点，那么直线和圆相切，这种说法是错误的.二、正确理解切线的定义、判定定理和性质定理的内在联系

判定一条直线是否是圆的切线，常用的方法有如下三种.（1）运用切线的定义：若直线与圆有唯一的公共点，则这条直线就是圆的切线.（2）运用圆心到直线的距离：若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线就是圆的切线.（3）运用切线的判定定理：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线.这三种判定方法，实质上均可用图1来表示.显然，三种判定方法是等价的，只是研究角度不同而已.解题时，可根据题目的不同特点，选择适当的判定方法.切线的判定定理中，经过半径外端和垂直于该半径这两个条件缺一不可，否则结论就不成立.如图2，直线AB经过半径外端，但不垂直于该半径，所以直线AB不是该圆的切线.如图3，直线AB与CD都垂直于半径，但都没有经过该半径的外端，所以直线AB与CD都不是该圆的切线.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.这一定理有两个推论.为了便于理解记忆，我们进行归纳整理.如果一条直线：

①垂直于切线；②过切点；③过圆心.由①和③可以推出②，这就是切线的性质定理的推论1；由①和②可以推出③，这就是切线的性质定理的推论2.综上所述，切线的主要性质可以归纳如下：

（1）切线和圆只有一个交点；

（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；

（3）切线垂直于过切点的半径；

（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点；

（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.其中，（1）是切线的定义；（2）是切线的判定定理的逆命题；（3）、（4）、（5）是切线的性质定理及推论.注意：切线的判定定理和性质定理是互逆的，它们有着截然不同的用途.切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切需要推出一些结论的时候使用.三、熟练掌握处理切线问题时所要添加的辅助线

在应用切线的判定定理和性质定理解题时，常常需要添加适当的辅助线，不少同学对此感到困惑.事实上，处理切线问题时辅助线的添加，还是有规律可循的，即“有点连圆心，无点作垂线”.1.已知一直线是某圆的切线时，切点的位置也确定，这时可以连结圆心和切点，得到半径，则有半径垂直于切线.例1如图4，AB是⊙O的直径，DC是切线，D为切点，OC∥AD.求证：BC是⊙O的切线.分析：观察图形可知，要证明BC是⊙O的切线，只需证明∠ABC=90°.连结OD，利用全等三角形即可获证.证明：连结OD.因为DC是⊙O的切线，D为切点，所以∠CDO=90°.因为OC∥AD，所以∠OAD=∠BOC，∠ODA=∠COD.又因为OA=OD，所以∠OAD=∠ODA，所以∠BOC=∠COD.又因为OC为公共边，OB=OD，所以△OBC≌△ODC，所以∠OBC=∠ODC=90°，故BC是⊙O的切线.说明：本题是切线的判定定理和性质定理的综合运用，显然，连结过切点的半径是求证的关键.2.要证明一直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某一点，则可以作出这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径；如果直线与圆的交点没有确定，则可以经过圆心作出直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径即可.例2如图5，在△ABC中，CD是AB边上的高，CD=1/2AB，E、F分别是AC、BC的中点.求证：以EF为直径的⊙O与AB相切.分析：欲证AB与⊙O相切，只需过圆心O作OG⊥AB于G，再证OG之长等于⊙O的半径即可.证明：过圆心O作OG⊥AB于G.因为E、F分别是AC、BC的中点，所以EF∥AB，EF=1/2AB.设EF与CD交于点H，则H也是CD的中点.又因为CD=1/2AB，所以HD=1/4AB，所以EF=2HD.因为CD是AB边上的高，OG⊥AB，EF∥AB，所以四边形OGDH是矩形，所以OG=HD，所以OG=1/2EF，故以EF为直径的⊙O与AB相切.说明：用切线的判定定理证明直线与圆相切时，首先找到圆心到直线的距离，然后推出这个距离等于该圆的半径.四、正确理解“直线切于圆”和“圆切于直线”

把“直线切于圆”和“圆切于直线”理解为相互的是可以的，但在画图中却有个先后顺序问题：“圆切于直线”是以直线为已知，而后画一个圆与这条直线相切，做法是：先画一条直线l，在直线上选定一点A（也可以是已知点），过点A作l的垂线AB，在AB上取半径AC=r，以C为圆心，r为半径的圆必与直线l相切，如图6.“直线切于圆”是以圆为已知，而后画直线与圆相切，做法是：先画一个

⊙O，在圆上选定一点A（也可以是已知点），作半径OA，过点A作半径OA的垂线l必与⊙O相切，如图7.五、会过圆外一点向圆引切线

如何从圆外一点向圆引切线？

我们不妨先做个假设：过⊙O外一点A的切线AB已经画好，B为切点，连结OB，则OB⊥AB，显然△AOB是一个直角三角形，其中AO是定长（点A为已知，AO的距离已经确定），即△AOB是一个斜边确定的直角三角形；它的直角顶点在⊙O上，并且就是切点.于是，就可以AO为直径画⊙D与⊙O相交，得到点B、C，点B、C就是我们要找的直角三角形的直角顶点，也就是切点.连结AB、AC，它们就是要求作的两条切线了.显然，过圆外一点引圆的切线有两条，如图8.至于为什么AB、AC就是⊙O的切线，理由是：因为OA是⊙D的直径，所以∠ABO=90°，即AB⊥OB；又因为AB过⊙O半径OB的外端，所以AB切⊙O于点B.同理可证AC切⊙O于点C.