16.2二次根式的乘除第二课时
一、教学目标
1.核心素养:
通过对最简二次根式和二次根式除法法则的学习,培养学生逻辑推理和运算能力.
2.学习目标
(1)理解和,并能利用它们进行计算;
(2)理解最简二次根式的定义,知道二次根式运算的结果必须是最简二次根式.
3.学习重点
理解和,并能利用它们进行计算和化简.4.学习难点
利用和进行计算和化简.
二、教学设计
(一)课前设计
1.预习任务
任务1
二次根式的除法法则是怎样的?
任务2
什么叫最简二次根式?
2.预习自测
1.式子成立的条件是()
A.
B.
C.
D.
2.下列根式中不是最简二次根式的是()
A.B.C.D.3.计算的值为()
A.B.C.D.预习自测
1.B
2.B
3.B
(二)课堂设计
1.知识回顾
(1)二次根式的乘法法则:;
(2)积的算数平方根的性质:.2.问题探究
问题探究一
二次根式的除法法则是怎样的?▲
活动一
从特殊到一般探究法则
计算下列各式:
(1),;
(2),;
(3),;
观察上面的计算结果,你的发现的规律是
(文字表达);
总结二次根式的除法法则:
(用字母表达).活动二
反思法则
巩固提升
为什么中要对的取值进行限制?与二次根式的乘法法则进行比较,的取值有什么变化?
(因为既要考虑二次根式本身有意义,还得考虑整个式子是否有意义,因此,与二次根式的乘法法则比较,的取值变化是这里的,所以)
活动三
逆向思维
类比迁移
如何对二次根式的化简?
类比积的算术平方根的性质我们可以得到商的算术平方根的性质论:
.结论:商的算术平方根的性质
例1
计算:
(1);
(2)
【知识点:二次根式的除法】
详解:(1);
(2)
【点拨】按照二次根式的除法法则运算即可.例2
化简:
(1);
(2)
=;
(3)
=
.(4)
=
.【知识点:二次根式的除法】
详解:(1);
(2);(3);(4).【点拨】如果被开方数是带分数,则先将带分数化为假分数,再利用商的算术平方根的性质进行计算,如果被开方数是小数,则可先将小数化为分数,再直接利用商的算术平方根的性质计算即可.问题探究二
什么样的式子是最简二次根式?▲
观察与思考
下列各式中的被开方数有何共同特点?,,特点:(1)被开方数不含;
(2)被开方数不含;
结论:我们把满足以上两个条件的二次根式叫做最简二次根式.温馨提示:在二次根式的运算中,一般要把二次根式化为最简二次根式.例3
化简(1)
;(2).【知识点:二次根式的除法】
详解:(1);
(2).【点拨】被开方数是带分数的要先化成假分数后,再进行乘除,计算的结果含有分母时,要乘以分母的有理化因式,使其被开方数不含分母和开得尽方的因数或因式,达到最后结果是最简二次根式的目的.3.课堂小结
【知识梳理】
(1)二次根式的除法法则:
(2)最简二次根式的条件:①被开方数不含分母;②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.【重难点突破】
(1)在运用二次根式除法法则时,注意被开方数的取值范围,即
0,0,要特别注意,因为当时,分式没有意义;当被开方数是带分数时,应先化成假分数,如必须先化成,避免出现
=这样的错误.(2)只有当
0,0时,才能成立.
(3)二次根式的运算结果都必须是最简二次根式,把二次根式化成最简二次根式需满足以下两个条件:①被开方数不含分母;②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
(4)当二次根式的被开方数是不能再约分的分数(包括小数)或分式时,化简方法一,利用商的算术平方根的性质化简:①“化”,将根号下的数化成分数形式,如果是带分数,则将其化为假分数的形式;②“写”,利用商的算术平方根的性质将写成的形式;③“乘”,分子、分母都同时乘以一个适当的数,化去分母中的根号;④“约”,即约去分子、分母中的公因式,如:.方法二,先直接去分母再化简:①将根号下的数化成分数形式,如果是带分数,则将其化为假分数的形式;②将分子、分母都同时乘以一个适当的数或式,使分母变成一个数的平方数;③将分母进行开方,直接作为化简后的分母,再对分子利用积的算术平方根的性质进行化简.如:.4.随堂检测
1.设一个长方形的面积为,一边长为,则另一边长为()
A.
B.
C.
D.
【知识点:二次根式的除法】
【答案】B
【思路点拨】长方形的面积除以其中一边长就等于另一边长.2.下列二次根式中,是最简二次根式的是
()
A.
B.
C.
D.
【知识点:最简二次根式】
【答案】C
【思路点拨】
3.等式成立的条件是
()
A.B.C.D.且
【知识点:二次根式的除法】
【答案】C
【思路点拨】由题意可得,所以.4.化简:=
_________.【知识点:二次根式除法】
【答案】
【思路点拨】中,被开方数的分子、分母同时乘以就可实现分母有理化.《二次根式的除法法则》预习导学
学习目标
1.经历探究二次根式除法法则的过程,能熟练地进行二次根式除法运算.
2.知道最简二次根式的概念,能将二次根式进行化简.
3.能运用二次根式乘、除法则解决实际问题.l
重点:二次根式的除法法则.
l
难点:容易忽略二次根式化简过程中变量的取值范围.预习导学
问题导入
之前,我们学习过整式、分式的乘除运算,上一课,我们又学习了二次根式的乘法运算,这节课,我们来看看二次根式的除法运算.你想不想知道二次根式的除法与整式、分式的除法有什么相同点和不同点呢?
知识点一
二次根式的除法法则
阅读课本本课时“例6”之前的内容,回答下列问题.
1.比较大小:;
;
.
2.猜想:与(a≥0,b>0)相等吗?与相等吗?
归纳总结
二次根式的除法法则:=
(a≥0,b>0).3.讨论:在“例5”中,化简二次根式,将化为什么形式?为什么?
知识点二
最简二次根式
阅读课本本课时“例6”至“练习”之间的内容,思考下列问题.
1.讨论:(1)在“例4、5、6”中的二次根式,分母是否为有理数?是否可以将分母变成有理数?
(2)=是否可以化简?=是否可以化简?
2.思考:将二次根式化简,应注意哪些方面?怎样的形式才是最后结果?
3.揭示概念:符合①被开方数不含
;②被开方数中不含能开得尽方的的二次根式叫.