2021—2022学年北京市八年级上册数学中考试数学试题
一、选一选（每小题3分，共30分）
1.下列四个汽车标志图中，没有是轴对称图形的是（）
A.B.C.D.【答案】B
【解析】
【详解】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．对各图形分析后即可得解A、是轴对称图形，故没有符合题意；B、没有是轴对称图形，故符合题意；C、是轴对称图形，故没有符合题意；D、是轴对称图形，故没有符合题意
2.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）．
A.B.C.D.【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．然后对各选项逐个判断即可．
【详解】解：A、两因式之间用加号连结，是和的形式没有是因式分解，故本选项没有符合题意；
B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、将积化为和差形式，是多项式乘法运算，没有是因式分解，故本选项没有符合题意；
D、两因式之间用加号连结，是和的形式，没有是因式分解，故本选项没有符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键
．
3.在平面直角坐标系中中，A、B两点关于y轴对称，若A的坐标是，则点B的坐标是（）
A.B.C.D.【答案】D
【解析】
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标没有变．
【详解】∵点A，点B关于y轴对称，点A的坐标是(2，−8)，∴点B的坐标是(−2，-8)，故选D．
【点睛】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标没有变．
4.已知x=3是分式方程=3的解，那么实数k的值为（）.A.1
B.C.6
D.9
【答案】C
【解析】
【详解】根据分式方程的根为x=3，可直接代入原方程=3得，解这个方程可得k=6.故选C.5.如图，已知≌，，那么下列结论中错误的是（）．
A.B.C.D.【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形全等的性质，及三角形内角和判定即可．
【详解】∵≌，,∴AB=CD=10，∠A=∠D=60°，∠ACB=∠DBC=180°-∠A-∠ABC=40°，AC=BD，∴BE，故选D．
【点睛】本题考查三角形全等的性质，三角形内角和．
6.下列算式中，你认为正确的是（）.A.B.1÷.=l
C.D.【答案】D
【解析】
【详解】A.=，错误；
B 1÷.=，错误；
C.=，错误；
D.，正确．
故选D.7.到△ABC的三边距离相等的点是△ABC的（）
A.三边中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边上高的交点
D.三边垂直平分线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】到三角形三边都相等的点应该在三角形三个内角的角平分线上，可得出答案．
【详解】解：设这个点为点P，∵点P到AB、AC两边的距离相等，∴点P在∠BAC平分线上，同理可得点P在∠ABC、∠ACB的平分线上，∴点P为三个内角的角平分线的交点，故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
8.某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20％，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x米，则根据题意可列方程为（）.A.B.C.D.【答案】A
【解析】
【详解】设原计划每天修建道路xm,则实际每天修建道路为(1+20%)xm，由题意得,.故选A.9.对于非零实数，规定，若，则的值为
A.B.C.D.【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：∵，∴．
又∵，∴．
解这个分式方程并检验，得．故选A．
10.如图，AD为∠CAF的角平分线，BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠DCA=∠ABD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD.其中正确的结论有（）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【答案】A
【解析】
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，然后求出CE=AB+AE；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠DCE，然后求出A、B、C、D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC=∠BAC；∠DAE=∠CBD，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠DAF，然后求出∠DAF=∠CBD．
【详解】解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，在Rt△CDE和Rt△BDF中，∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴CE=AF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，,∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF，∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正确；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，∴∠DBF=∠DCE
∴A、B、C、D四点共圆，∴∠BDC=∠BAC，故③正确；
∠DAE=∠CBD，∵Rt△ADE≌Rt△ADF，∴∠DAE=∠DAF，∴∠DAF=∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④共4个．
故选A．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．
二、填
空
题（每小题2分，共16分）
11.若分式的值为0，则x的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据分式值为零的条件：分子为零，分母没有为零即可求解．
【详解】依题意可得x-2=0，x+1≠0
∴x=2
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查分式值为零的条件，解题的关键是熟知分式的值为零的条件．
12.__________；用科学记数法表示__________．
【答案】
①.；
②.【解析】
【详解】
(1),(2)..故答案为
(1).；
(2)..13.化简：=___________.【答案】
【解析】
【详解】
=
=
故答案为:
.14.若，则__________．
【答案】4
【解析】
【详解】
(a-1)2+(b-3)2=0,a=1,b=3,所以a+b=4.故答案为4.15.如图，，请你添加一个适当的条件：_____，使得
【答案】AB=DE（答案没有）．
【解析】
【详解】解：添加条件是：AB=DE，在△ABC与△DEC中，∴△ABC≌△DEC．
故答案为AB=DE．本题答案没有．
16.如图，中，，是边上的中线，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，则的面积为__________．
【答案】4
【解析】
【详解】∵，，∴，∵，∴，∴≌．
∴，∵，∴．
故答案为4.17.若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是____．
【答案】m＜6且m≠2.【解析】
【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出没有等式，解没有等式即可．
【详解】，方程两边同乘（x-2）得，x+m-2m=3x-6，解得，x=，由题意得，＞0，解得，m＜6，∵≠2，∴m≠2，∴m＜6且m≠2.【点睛】要注意的是分式的分母暗含着没有等于零这个条件，这也是易错点．
18.下面是“已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线l和l外一点P．（如图1）
求作：直线l的垂线，使它点P．
作法：如图2
（1）在直线l上任取两点A，B；
（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；
（3）作直线PQ．
所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是_________________________________________．
【答案】到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）
【解析】
【详解】由尺规作图过程可知AP=AQ，BP=BQ，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B也在线段PQ的垂直平分线上，∴AB⊥PQ，∴作图依据是到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.连接PQ的依据是两点确定一条直线.故答案为到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线
点睛:
本题考查作图−基本作图，解题的关键是理解到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，属于中考常考题型．
三、解
答
题
19.将下列各式因式分解：
（）．
（）．
【答案】（）；（）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）先提取公因式，再利用公式法因式分解.(2)提取公因式，再利用公式法因式分解.试题解析：（）=；
（）=（a+b）(x2-1)=．
点睛：因式分解的方法：（1）提取公因式法.ma+mb+mc=m(a+b+c).（2）公式法:完全平方公式，平方差公式.（3）十字相乘法.因式分解的时候，要注意整体换元法的灵活应用，训练将一个式子看做一个整体,利用上述方法因式分解的能力.20.先化简（1-）÷，再选一个适当的数代入求值.【答案】；当时，值为4（答案没有）
【解析】
【分析】先通分再计算，然后将分母没有为0的值代入即可．
【详解】解：，∵且，∴且，取时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练进行分式计算是基础，解题时代入求值时，要使原分式有意义．
21.解分式方程：.【答案】x=3
【解析】
【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
试题解析：解：去分母得：3+x2﹣x=x2，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．
点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22.如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD，求证：AE=FC.【答案】证明见解析.【解析】
【详解】由已知条件BE∥DF，可得出∠ABE=∠D，再利用ASA证明△ABE≌△FDC即可．
证明：∵BE∥DF，∴∠ABE=∠D，在△ABE和△FDC中，∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F
∴△ABE≌△FDC（ASA），∴AE=FC．
“点睛”此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等．
23.【阅读材料】
下面是某同学对多项式（x2−4x+2）（x2−4x+6）+4进行因式分解的过程．
设x2−4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2−4x+4）2（第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？
___（填“彻底”或“没有彻底”）．若没有彻底，请直接写出因式分解的结果．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（a2−2a）（a2−2a+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）没有彻底．原式
=（x−2）4；（2）原式=（a−1）4．
【解析】
【分析】（1）根据因式分解的步骤进行解答即可；
（2）设a2﹣2a＝y，再根据完全平方公式把原式进行分解即可．
【详解】解：（1）∵（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4，∴该同学因式分解结果没有彻底．
故答案为：没有彻底，（x﹣2）4．
（2）设a2﹣2a＝y，原式＝y（y+2）+1
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（a2﹣2a+1）2
＝（a﹣1）4．
【点睛】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式的应用．
24.如图，中，的平分线与的垂直平分线相交于点．
（）请你利用尺规作图作出点．
（）过点作于，于，若，则__________．
【答案】1.5
【解析】
【详解】试题分析：（1）先作角平分线，再作直线垂直平分线.(2)先利用HL证明,所以BE=CF,所以可以得到BE与已知两的关系，从而求得BE长.试题解析：
（）如图：
（）解：连接，∵为的平分线，，∴，∴，∴，∵为的垂直平分线，∴，∴≌，∴，∴．
∵，∴．
25.列方程或方程组解应用题：
为了响应市政府“绿色出行”的号召，小张上下班由自驾车方式改为骑自行车方式.已知小张单位与他家相距20千米，上下班高峰时段，自驾车的平均速度是自行车平均速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多小时.求自驾车平均速度和自行车平均速度各是多少?
【答案】自行车速度为15km/h，汽车的速度为30km/h．
【解析】
【分析】设自行车平均速度为xkm/h，自驾车平均速度为2x km/h，就可以求出表示出骑自行车的时间和自驾车的时间，根据时间之间的等量关键建立方程求出其解即可；
【详解】自行车平均速度为x
km/h，自驾车平均速度为2x
km/h，由题意，得
解方程得：x=15，经检验：x=15是所列方程的解，且符合实际意义，∴自驾车的速度为：2x=30．
答：自行车速度为15km/h，汽车的速度为30km/h．
26.如图，，，直线与交于点，与交于点，连接．
（）和的大小关系是__________，位置关系是__________；请给出证明．
（）求证：平分．
【答案】（1）；；证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用SAS证明BCD与ACE全等.可得=，证明∠AFG=90°，可得BD.（2）过C作BF与AE的垂线，得到全等三角形，从而j角平分线上的点到两边的距离相等.试题解析：
（）∵，∴，∴，∴，在和中，∴≌，∴，∵，∴，∴，∴．
（）过作于，于，∵≌，∴，∴，∴平分．
点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.①垂两边：如图（1），已知平分，过点作，则.②截两边：如图（2），已知平分，点上，在上截取，则≌.③角平分线+平行线→等腰三角形：
如图（3），已知平分，则；
如图（4），已知平分，则.(1)(2)(3)(4)
④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）：
如图（5），已知平分，且，则，.(5)
27.三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是．是等边三角形，点在所在直线上运动，连接，在所在直线的右侧作，交的外角的角平分线所在直线于点．
（）如图，当点在线段上时，请你猜想与的大小关系，并给出证明．
（）如图，当点在线段的反向延长线上，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（）；（）成立．
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用等边三角形的条件，证明ABD和ACE全等，AD=AE.试题解析：
（）证明：∵为等边三角形，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴≌，∴．
（）成立．
证明：∵为等边三角形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴≌，∴．
四、附加卷（20分）
28.分解因式：
（）__________．
（）__________．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）应用两次公式法因式分解.(2)先利用公式法，再用十字相乘法因式分解.试题解析：（）
．
（）
．
29.若关于x的分式方程无解，则实数m=_______．
【答案】3或7．
【解析】
【详解】解：方程去分母得：7+3（x﹣1）=mx，整理得：（m﹣3）x=4．①当整式方程无解时，m﹣3=0，m=3；
②当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，∴m﹣3=4，m=7．
综上所述：∴m的值为3或7．
故答案为3或7．
30.阅读下面材料，并解答问题.将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.解：由分母为x2-1，可设x4+x2-3=（x2-1）（x2+a）+b.则x4+x2-3=（x2-1）（x2+a）+b=x4-x2+ax2-a+b=x4+（a-1）x2-a+b
∴,∴
∴
这样，分式被拆分成了一个整式x2+2与一个分式-的和.根据上述作法，将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）和的形式．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析:
由分母为x2-1，可设x4+6x2-8=（x2-1）（x2+a）+b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；
试题解析:
由分母为−x²+1,可设x4+6x2-8=（x2-1）（x2+a）+b
x4+6x2-8=（x2-1）（x2+a）+b
=
x4+ax
²-x
²-a+b=
x4+（a-1）x2-a+b
∵对应任意x，上述等式均成立，∴
∴a=7，b=1，∴===
31.如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠＝∠DBO．
（1）求证：AC＝BC；
（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长；
（3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当H在FC上移动，点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）GH＝OG+FH，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据角平分线得出∠ACD=∠BCD，进而判断出△ACD≌△BCD，即可得出结论；
（2）过点D作DM⊥AC于M，根据角平分线得出DO=DM，进而判断出△BOD≌△AMD，得出OB=AM，进而判断出Rt△DOC≌Rt△DMC，得出OC=MC，再判断出OB=EM，即可得出结论；
（3）在GO的延长线上取一点N，使ON=FH，再判断出DO=DF，进而判断出△DON≌△DFH，得出DN=DH，∠ODN=∠FDH，进而判断出∠GDH=∠GDN，进而判断出△DGN≌△DGH，得出GH=GN，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，在△ACD和△BCD中，∴△ACD≌△BCD（AAS），∴AC=BC；
（2）如图2，过点D作DM⊥AC于M，∵CD平分∠ACB，OD⊥BC，∴DO=DM，在△BOD和△AMD中，∴△BOD≌△AMD（AAS），∴OB=AM，在Rt△DOC和Rt△DMC中，∴Rt△DOC≌Rt△DMC，∴OC=MC，∵∠=∠DBO，∠DEA=∠DBO，∴∠DAE=∠DEA，∵DM⊥AC，∴AM=EM，∴OB=EM，∵C(4，0)，∴OC=4，∴BC+CE=OB+OC+MC-EM=2OC=8；
（3）GH=OG+FH；
证明：如图3，在GO的延长线上取一点N，使ON=FH，∵CD平分∠ACO，DF⊥AC，OD⊥OC，∴DO=DF，在△DON和△DFH中，∴△DON≌△DFH（SAS），∴DN=DH，∠ODN=∠FDH，∵∠GDH=∠GDO+∠FDH，∴∠GDH=∠GDO+∠ODN=∠GDN，在△DGN和△DGH中，∴△DGN≌△DGH（SAS），∴GH=GN，∵ON=FH，∴GH=GN=OG+ON=OG+FH．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，做题时添加了辅助线，正确作出辅助线是解决问题的关键．
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