2021—2022学年北京市八年级上册数学期中数学试题（含答案解析）

2021—2022学年北京市八年级上册数学期中数学试题

一、选一选（本题共30分，每小题3分）

1.月球的平均亮度只有太阳的0.00000215倍,0.00000215用科学记数法可表示为（）

A.B.C.D.【答案】B

【解析】

【详解】0.00000215=.故选B.2.计算的结果是（）．

A.B.C.D.【答案】D

【解析】

【详解】根据负整数指数幂的运算法则进行计算

4-2=，故选D

3.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）.A.B.C.D.【答案】D

【解析】

【详解】A选项中，从左至右的变形是整式乘法运算，没有是因式分解，所以没有能选A；

B选项中，等式右边是两个整式的差，所以从左至右的变形没有是因式分解，没有能选B；

C选项中，等号左右两边没有相等，所以从左至右的变形没有是因式分解，没有能选C；

D选项中，从左至右的变形是因式分解，所以可以选D.故选D.4.下列各式中，正确的是（）．

A.B.C.D.【答案】D

【解析】

【详解】解：A．已经是最简分式，故本选项错误；

B．，故本选项错误；

C．，故本选项错误；

D．利用分式的基本性质在分式的分子与分母上同时乘以x+y即可得到，故本选项正确；

故选D．

5.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）

A.B.C.D.【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形全等的判定方法求解即可．

【详解】解：A、∵，，∴，选项没有符合题意；

B、∵，，∴，选项没有符合题意；

C、∵由，，∴无法判定，选项符合题意；

D、∵，，∴，选项没有符合题意．

故选：C．

【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．

6.下列各式没有能分解因式的是（）

A.B.C.D.【答案】C

【解析】

【详解】选项A.=2x(x-2)

.选项B.=(x+)2

.选项C.,没有能分.选项D.=(1-m)(1+m).故选C.7.分式有意义，则x的取值范围是（）

A.B.C.D.【答案】A

【解析】

【分析】分式的分母没有为零，即x-1≠0．

【详解】当分母x-1≠0，即x≠1时，分式有意义；

故选A．

【点睛】从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义⇔分母为零；

（2）分式有意义⇔分母没有为零；

（3）分式值为零⇔分子为零且分母没有为零．

8.到△ABC的三边距离相等的点是△ABC的（）

A.三边中线的交点

B.三条角平分线的交点

C.三边上高的交点

D.三边垂直平分线的交点

【答案】B

【解析】

【分析】到三角形三边都相等的点应该在三角形三个内角的角平分线上，可得出答案．

【详解】解：设这个点为点P，∵点P到AB、AC两边的距离相等，∴点P在∠BAC平分线上，同理可得点P在∠ABC、∠ACB的平分线上，∴点P为三个内角的角平分线的交点，故选：B．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．

9.在数学课上，小明提出这样一个问题：如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB的度数是（）

A.65°

B.55°

C.45°

D.35°

【答案】D

【解析】

【详解】解：过点E作EF⊥AD，∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，∴CE=EB=EF，又∠B=90°，且AE=AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠EAB=∠EAF．

又∵∠CED=35°，∠C=90°，∴∠CDE=90°-35°=55°，即∠CDA=110°，∠DAB=70°，∴∠EAB=35°．

故选D．

10.若把一个正方形纸片按下图所示方法三次对折后再沿虚线剪开,则剩余部分展开后得到的图形是（）

上折

右折

右下折

沿虚线剪开

剩余部分

A.B.C.D.【答案】A

【解析】

【详解】动手操作后可知选A.二、填

空

题（本题共20分）

11.当__________时，分式值0．

【答案】-1

【解析】

【详解】由题意得x+1=0,x=-1.故答案为-1.12.如果，则=______.【答案】0

【解析】

【详解】=xy(x+y)=-7=0.故答案为0.13.若分式的值为正数，则x的取值范围为______.【答案】且

【解析】

【详解】由题意得x+1,且x所以x且

x.14.计算：的结果是_____．

【答案】-1．

【解析】

【详解】试题解析：原式===-1．

考点：分式的加减法．

15.约分：=________.【答案】

【解析】

【详解】==.故答案为.16.如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为______

【答案】3

【解析】

【详解】△ABE≌△ACF,所以AC=AB=5，AE=2，所以CE=5-2=3.故答案为3.17.如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB=，CD=，则△ADB的面积为______________

．

【答案】

【解析】

【详解】过D作DE于E,由角平分线的性质有DC=DE,△ADB的面积=

故答案为.18.如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有______种．

【答案】3

【解析】

【详解】在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形，故涂法有3种，故答案为3．

19.已知，则______．

【答案】

【解析】

【分析】将根据平方差公式变形，将代入即可得出答案．

【详解】解：∵，∴，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差的结构特点是解本题的关键．

20.在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标_________．

【答案】，【解析】

【详解】如图所示：有3个点，当E在E、F、N处时，△ACE和△ACB全等，点E的坐标是：（1，5），（1，-1），（5，-1），故答案（1，5）或（1，-1）或（5，-1）．

三、计算题(共26分)

21.分解因式：（1）

（2）

【答案】（1）；（2）

【解析】

【详解】试题分析：(1)先提取公因式，再用公式法分解因式.(2)公式法分解因式.试题解析：（1）

=y(x2-4x+4)=.（2）

.点睛：因式分解的方法：（1）提取公因式法.ma+mb+mc=m(a+b+c).（2）公式法:完全平方公式，平方差公式.（3）十字相乘法.因式分解的时候，要注意整体换元法的灵活应用，训练将一个式子看做一个整体,利用上述方法因式分解的能力.22.化简计算：(1)；(2).【答案】(1)

；(2)x

【解析】

【详解】试题分析：(1)(2)先因式分解，再通分，化简.试题解析：

(1)原式=.(2)原式=

23.先化简，再求值：，其中．

【答案】原式＝.【解析】

【详解】试题分析：先因式分解，再通分，约分，化简，求出m值，代入求值.试题解析：

解：原式

当m=-2时，原式=-5.24.解方程：

（1）；

（2）.【答案】（1）x=0;(2)原方程无解

【解析】

【分析】(1)（2）先去分母，把分式方程化为一元方程，再合并同类项，解方程，要检验.【详解】(1)解:

两边同乘，x=0，检验:当x=0

时，所以

x=0

是原方程的解

.(2)，方程两边同时乘以（x-1）(x+1),(x+1)2-4=x2-1,(x2+2x+1)-4=x2-1,解得x=1,检验：代入（x-1）(x+1)=0，原方程无解.四、作图题.（本题3分）

25.尺规作图题：保留作图痕迹，没有写作法

如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河道AB(线段)上修一座水厂M，要求M到铁路OA、OB的距离相等，作出M在图中的位置．

【答案】见解析

【解析】

【详解】试题分析：利用角平分线的性质作图.试题解析：

作∠AOB的平分线交AB于M，即M为水厂的位置.五、解

答

题（共21分）

26.如图，点在线段上，，.求证：.【答案】证明见解析

【解析】

【分析】若要证明∠A=∠E，只需证明△ABC≌△EDB，题中已给了两边对应相等，只需看它们的夹角是否相等，已知给了DE//BC，可得∠ABC=∠BDE，因此利用SAS问题得解.【详解】∵DE//BC

∴∠ABC=∠BDE

在△ABC与△EDB中，∴△ABC≌△EDB（SAS)

∴∠A=∠E

27.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．

【答案】15千米/时．

【解析】

【分析】根据时间来列等量关系．关键描述语为：“过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达”；等量关系为：骑自行车同学所用时间-乘车同学所用时间=．

【详解】设骑车同学的速度为x千米/时．

则：．

解得：x＝15．

检验：当x＝15时，6x≠0，∴x＝15是原方程的解．

答：骑车同学的速度为15千米/时．

【点睛】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

28.如图，点E在外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若，试说明：的理由．

【答案】证明见详解．

【解析】

【分析】根据已知，利用三角形的内角和得到∠E=∠C，再由已知可得∠BAC=∠DAE，又因为AC=AE，所以根据AAS可判定△ABC≌△ADE．

【详解】∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，∴∠C=∠E；

∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAF=∠2+∠DAF

即：∠BAC=∠DAE．

又∵AC=AE，∠C=∠E，∴△ABC≌△ADE．

【点睛】此题考查三角形内角和及全等三角形的判定的理解及运用，准确识图，熟练掌握和运用相关知识是解题的关键．

29.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．

【答案】见解析

【解析】

【分析】先在线段BC上截取BE=BA,连接DE,根据BD平分∠ABC,可得∠ABD=∠EBD,根据,可判定△ABD≌△EBD,根据全等三角形的性质可得:AD=ED,∠A=∠BED．再根据AD=CD,等量代换可得ED=CD,根据等边对等角可得:∠DEC=∠C．

由∠BED+∠DEC=180°,可得∠A+∠C=180°．

【详解】证明:在线段BC上截取BE=BA,连接DE,如图所示,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠EBD,在△ABD和△EBD中，∴△ABD≌△EBD（SAS）,∴AD=ED,∠A=∠BED．

∵AD=CD,∴ED=CD,∴∠DEC=∠C．

∵∠BED+∠DEC=180°,∴∠A+∠C=180°．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定和性质.30.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（没有与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE

=∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；

（2）设，．

①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；

②当点在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

【答案】（1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β．

【解析】

【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题；

（2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题；

②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题．

【详解】（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）

∴∠ABC=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：；

（2）①．

理由：∵，∴．

即．

又，∴．

∴．

∴．

∴．

∵，∴．

②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，即：∠BCE+∠BAC=180°，∴α+β=180°，如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，∴∠BAC=∠BCE．

∴α=β；

综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β．

【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点．