高等数学基础期末考试复习试题及答案
一、单项选择题
1-1下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．
A.，B.，C.，D.，1-⒉设函数的定义域为，则函数的图形关于（C）对称．
A.坐标原点
B.轴
C.轴
D.设函数的定义域为，则函数的图形关于（D）对称．
A.B.轴
C.轴
D.坐标原点
.函数的图形关于（A）对称．
(A)
坐标原点
(B)
轴
(C)
轴
(D)
1-⒊下列函数中为奇函数是（B）．
A.B.C.D.下列函数中为奇函数是（A）．
A.B.C.D.下列函数中为偶函数的是（D）．
A
B
C
D
2-1
下列极限存计算不正确的是（D）．
A.B.C.D.2-2当时，变量（C）是无穷小量．
A.B.C.D.当时，变量（C）是无穷小量．A
B
C
D
.当时，变量（D）是无穷小量．A
B
C
D
下列变量中，是无穷小量的为（B）
A
B
C
D.3-1设在点x=1处可导，则（D）．
A.B.C.D.设在可导，则（D）．
A
B
C
D
设在可导，则（D）．
A.B.C.D.设，则（A）
A
B.C.D.3-2.下列等式不成立的是（D）．
A.B
C.D.下列等式中正确的是（B）．A.B.C.D.4-1函数的单调增加区间是（D）．
A.B.C.D.函数在区间内满足（A）．
A.先单调下降再单调上升
B.单调下降
C.先单调上升再单调下降
D.单调上升
.函数在区间（－5，5）内满足（A）
A
先单调下降再单调上升
B
单调下降
C先单调上升再单调下降
D
单调上升
.函数在区间内满足（D）．
A.先单调下降再单调上升
B.单调下降
C.先单调上升再单调下降
D.单调上升
5-1若的一个原函数是，则（D）．
A.B.C.D..若是的一个原函数，则下列等式成立的是（A）。
A
B
C
D
5-2若，则（B）．
A.B.C.D.下列等式成立的是（D）．
A.B.C.D.（B）．
A.B.C.D.（D）
A
B
C
D
⒌-3若，则（B）．
A.B.C.D.补充：,无穷积分收敛的是
函数的图形关于
y
轴
对称。
二、填空题
⒈函数的定义域是（3，+∞）
．
函数的定义域是
（2，3）
∪
（3，4
函数的定义域是（－5，2）
若函数，则
．
2若函数，在处连续，则 e
．
.函数在处连续，则
函数的间断点是 x=0
．
函数的间断点是
x=3。
函数的间断点是
x=0
3-⒈曲线在处的切线斜率是 1/2
．
曲线在处的切线斜率是
1/4
．
曲线在（0，2）处的切线斜率是
．
.曲线在处的切线斜率是
．
3-2
曲线在处的切线方程是 y
=
．切线斜率是
0
曲线y
=
sinx
在点
(0,0)处的切线方程为
y
=
x
切线斜率是
4.函数的单调减少区间是（－∞，0）
．
函数的单调增加区间是（0，+∞）
．
.函数的单调减少区间是
（－∞，－1）
．
.函数的单调增加区间是
（0，+∞）
．
函数的单调减少区间是
（0，+∞）
．
5-1
．
.．
tan
x
+C
．
若，则 －9
sin
3x
．
5-2
．
0
．
0
下列积分计算正确的是（B）．
A
B
C
D
三、计算题
（一）、计算极限（1小题，11分）
（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。
（2）利用连续函数性质：有定义，则极限
类型1：
利用重要极限，计算
1-1求．
解：
1-2
求
解：
1-3
求
解：=
类型2：
因式分解并利用重要极限，化简计算。
2-1求．
解：
=
2-2
解：
2-3
解：
类型3：因式分解并消去零因子，再计算极限
3-1
解：
=
3-2
3-3
解
其他：，（0807考题）计算．
解：
=
（0801考题.）计算．
解
（0707考题.）=
（二）求函数的导数和微分（1小题，11分）
（1）利用导数的四则运算法则
（2）利用导数基本公式和复合函数求导公式
类型1：加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算。
1-1
解：＝
1-2
解：
1-3
设，求．
解：
类型2：加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导
2-1，求
解：
2-2，求
解：
2-3，求，解：
类型3：
乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导，求。
解：
其他：，求。
解：
0807.设，求
解：
0801.设，求
解：
0707.设，求
解：
0701.设，求
解：
（三）积分计算：（2小题，共22分）
凑微分类型1：
计算
解：
0707.计算．
解：
0701计算．
解：
凑微分类型2：
.计算．
解：
0807.计算．
解：
0801.计算
解：
凑微分类型3：，计算
解：
.计算
解：
定积分计算题，分部积分法
类型1：
计算
解：，计算
解：，计算
解：，=
0807
0707
类型2
（0801考题）
类型3：
四、应用题（1题，16分）
类型1：
圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
l
解：如图所示，圆柱体高与底半径满足
圆柱体的体积公式为
求导并令
得，并由此解出．
即当底半径，高时，圆柱体的体积最大．
类型2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。
2-1（0801考题）
某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
解：设容器的底半径为，高为，则其容积
表面积为，由得，此时。
由实际问题可知，当底半径与高
时可使用料最省。
一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？
解：
本题的解法和结果与2-1完全相同。
生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
解：设容器的底半径为，高为，则无盖圆柱形容器表面积为，令，得，由实际问题可知，当底半径与高
时可使用料最省。
2-2欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（0707考题）
解：
设底边的边长为，高为，用材料为，由已知，表面积，令，得，此时=2
由实际问题可知，是函数的极小值点，所以当，时用料最省。
欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：
本题的解法与2-2同，只需把V=62.5
代入即可。
类型3
求求曲线上的点，使其到点的距离最短．
曲线上的点到点的距离平方为，3-1在抛物线上求一点，使其与轴上的点的距离最短．
解：设所求点P（x，y），则满足，点P
到点A的距离之平方为
令，解得是唯一驻点，易知是函数的极小值点，当时，或，所以满足条件的有两个点（1，2）和（1，－2）
3-2求曲线上的点，使其到点的距离最短．
解：曲线上的点到点A（2，0）的距离之平方为
令，得，由此，即曲线上的点（1，）和（1，）到点A（2，0）的距离最短。
08074
求曲线上的点，使其到点A（0，2）的距离最短。
解：
曲线上的点到点A（0，2）的距离公式为
与在同一点取到最大值，为计算方便求的最大值点，令
得，并由此解出，即曲线上的点（）和点（）到点A（0，2）的距离最短
一、单项选择题
1.设函数的定义域为，则函数+的图形关于（C）对称。
A.B.轴
C.轴
D.坐标原点
2.当时，变量（D）是无穷小量。
A．
B.C.D.3．下列等式中正确的是（B）．
A．
B.C.D.4．下列等式成立的是（A）．
A．
B.C.D.5．下列无穷积分收敛的是（C）．
A．
B.C.D.二、填空题
1．函数的定义域是．
2．函数的间断点是．
3．曲线在点（1，1）处的切线的斜率是．
4．函数的单调增加区间是．
5．=．
三、计算题
1．计算极限．
解：原式===．
2．设，求．
解：=
3．设，求．
解：=
4．设，求．
解：=
=
5．设，求．
解：=
=
6.设，求
解：=
=
7．设，求．
解：==．
8．设是由方程确定的函数，求．
解：方程两边同时对求导得：
移项合并同类项得：
再移项得：
9．计算不定积分．
解：原式==
10．计算定积分．
解：原式=====
11．计算定积分．
解：原式===1
四、应用题
1．求曲线上的点，使其到点的距离最短．
解：设曲线上的点到点的距离为，则
==
求导得：
令得驻点，将带入中得，有实际问题可知该问题存在最大值，所以曲线上的点和点到点的距离最短．
五、证明题
当时，证明不等式．
证明：设
∵
时，求导得：=
当，即为增函数
∴
当时，即
成立
一、单项选择题
1．设函数的定义域为，则函数-的图形关于（D）对称．
A.B.轴
C.轴
D.坐标原点
2．当时，变量（C）是无穷小量。
A．
B.C.D.3．设，则=（B）．
A．
B.C.D.4．（A）．
A．
B.C.D.5．下列无穷积分收敛的是（B）．
A．
B.C.D.二、填空题
1．函数的定义域是．
2．函数的间断点是．
3．曲线在点（1,2）处的切线斜率是．
4．曲线在点处的切线斜率是．
5．函数的单调减少区间是．
6．=．
三、计算题
1．计算极限．
解：原式===
2．计算极限．
解：原式===
3．计算极限．
解：原式===
4．计算极限．
解：原式===
5．设，求．
解：==
6．设，求．
解：==
7．设是由方程确定的函数，求．
解：方程两边同时对求导得：
移项合并同类项得：
再移项得：
所以
==
8．计算不定积分．
解：设，则，所以由分部积分法得
原式==
9．计算定积分．
解：原式====
四、应用题
1．圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径和高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解：假设圆柱体的底半径为，体积为，则高为，所以圆柱体的体积为
=
求导得：
==
令=0得驻点（）
又由实际问题可知，圆柱体的体积存在着最大值，所以当底半径和高分别为和时，圆柱体的体积最大．
五、证明题
当时，证明不等式．
证明：设
∵
时，求导得：=
当，即为增函数
∴
当时，即
成立
一、单项选择题
1．下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．
A．，B．，C．，D．，2．当时，下列变量中（A）是无穷小量．
A．
B．
C．
D．
3．当时，下列变量中（A）是无穷小量．
A．
B．
C．
D．
4．当时，下列变量中（A）是无穷小量．
A．
B．
C．
D．
5．函数在区间（2，5）内满足（D）．
A．先单调下降再单调上升
B．单调下降
C．先单调上升再单调下降
D．单调上升
6．若的一个原函数是，则=（B）．
A．
B．
C．
D．
7．若的一个原函数是，则=（A）．
A．
B．
C．
D．
8．下列无穷积分收敛的是（D）．
A．
B．
C．
D．
二、填空题
1．若函数，则
．
2．函数，在处连续，则
．
2．函数，在内连续，则
．
3．曲线在点（2，2）处的切线斜率是．
4．函数的单调增加区间是．
5．．
三、计算题
1．计算极限．
解:原式====6
2．设，求．
解：
2’
．设，求．
解：
3．设，求．
解：==
4．设是由方程确定的函数，求．
解：方程两边同时对求导得：
移项合并同类项得：
再移项得：
所以
==
5．计算不定积分．
解：
原式==
6．计算定积分．
解：利用分部积分法得
原式====
四、应用题
1．在抛物线上求一点，使其与轴上的点的距离最短．
解：设曲线上的点到点的距离为，则
==
求导得：=
令得驻点，将带入中得，由实际问题可知该问题存在最大值，所以曲线上的点和点到点的距离最短．
五、证明题
1．证明：若在上可积并为奇函数，则=0．
证明：∵
在上可积并为奇函数，即有
∴
设，则，当时，；时，则上式中的右边第一式计算得：
====
代回上式中得，证毕．
一、单项选择题
1．函数的图形关于（A）对称．
A.坐标原点
B.轴
C.轴
D.1．函数的图形关于（C）对称．
A.B.轴
C.轴
D.坐标原点
2．在下列指定的变化过程中，（C）是无穷小量．
A.B.C.D.3．设在处可导，则（C）．
A.B.C.D.4．若=，则=（B）．
A.B.C.D.5．下列积分计算正确的是（D）．
A.B.C.D.6．下列积分计算正确的是（D）．
A.B.C.D.二、填空题
1．函数的定义域是．
2．函数的定义域是．
3．若函数，在处连续，则．
4.若函数，在处连续，则．
5．曲线在处的切线斜率是．
6．函数的单调增加区间是．
7．若，则．
8.若，则．
9．若，则．
三、计算题
1．计算极限．
解：原式=＝
2．设，求．
解：
3．计算不定积分．
解：原式=
4．计算定积分．
解：由分部积分法得
原式===1
四、应用题
1．某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
解：本题含义是求有盖圆柱形容器表面积最小问题，现假设容器的底半径为R，则高为，容器的表面积为S，所以
=
求导得：==
令=0得驻点：
由实际问题可知，圆柱形容器的表面积存在最小值，所以当容器的底半径与高各为和时用料最省。
一、单项选择题
1．下列函数中为奇函数的是（C）．
A.B.C.D.2．在下列指定的变化过程中，（A）是无穷小量．
A.B.C.D.3．在下列指定的变化过程中，（A）是无穷小量．
A.B.C.D.4．设在处可导，则（D）．
A.B.C.D.5．下列等式成立的是（A）．
A．
B.C.D.6．（C）．
A．
B.C.D.7．下列积分计算正确的是（B）．
A.B.C.D.二、填空题
1．函数的定义域是．
2．函数的间断点是．
3．曲线在处的切线斜率是．
4．函数的单调减少区间是．
5．若是的一个原函数，则．
6．若是的一个原函数，则．
三、计算题
1．计算极限．
解：原式====
1．计算极限。
解：原式====
2．设，求．
解：
3．设，求．
解：
4．设，求．
解：
5．设，求．
解：
6．计算不定积分．
解：原式==
7．计算定积分．
解：由分部积分法得：
原式===
四、计算题
1．欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：假设长方体的底面边长为，高为，长方体的表面积为，则
=
求导得：
令得驻点：(m)
此时高为=4m
所以，当长方体开口容器的底面边长为4m，高为2m时用料最省。
1．欲做一个底为正方形，容积为32cm3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：假设长方体的底面边长为，高为，长方体的表面积为，则
=
求导得：
令得驻点：(cm)．
此时高为=2cm
所以，当长方体开口容器的底面边长为4cm，高为2cm时用料最省。
1’．欲做一个底为正方形，容积为62.5cm3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：假设长方体的底面边长为，高为，长方体的表面积为，则
=
求导得：
令得驻点：(cm)．
所以，当长方体开口容器的底面边长为5cm，高为2.5cm时用料最省。
一、单项选择题
1．下列函数中为偶函数的是（D）．
A.B.C.D.2．下列极限中计算不正确的是（B）．
A.B.C.D.3．函数在区间（-5,5）内满足（A）．
A．先单调下降再单调上升
B．单调下降
C．先单调上升再单调下降
D．单调上升
4．若函数，则（A）．
A.B.C.D.5．=（D）．
A.0
B.π
C.1
D.2
5’．=（A）．
A.0
B.π
C.1
D.2
二、填空题
1．若函数，则
1’．若函数，则
．
2．函数的间断点是．
3．曲线在处的切线斜率是．
4．函数的单调减少区间是．
5．若，则．
三、计算题
1．计算极限．
解：原式==
2．设，求．
解：=
3．计算不定积分．
解：原式==
4．计算定积分．
解：由分部积分法得：
原式===
四、应用题
某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
解：本题含义是求有盖圆柱形容器表面积最小问题，现假设容器的底半径为R，则高为，容器的表面积为S，所以
=
求导得：==
令=0得驻点：
由实际问题可知，圆柱形容器的表面积存在最小值，所以当容器的底半径与高各为和时用料最省。
一、单项选择题
1．设函数的定义域为，则函数的图形关于（C）对称．
A.B.轴
C.轴
D.坐标原点
2．函数在处连续，则（）．
A.1
B.5
C.D.0
3．下列等式中正确的是（C）．
A.B.C.D.4．若是的一个原函数，则下列等式成立的是（A）．
A.B.C.D.5．下列无穷限积分收敛的是（D）．
A.B.C.D.6．下列无穷限积分收敛的是（D）．
A.B.C.D.7．下列无穷限积分收敛的是（D）．
A.B.C.D.8．下列无穷限积分收敛的是（D）．
A.B.C.D.二、填空题
1．函数的定义域是．
2．已知，当时，为无穷小量．
3．曲线在(π，0)处的切线斜率是．
4．函数的单调减少区间是．
5．=
0
．
三、计算题
1．计算极限
解：原式====2
2．设，求．
解：
3．计算不定积分．
解：原式==
4．计算定积分．
解：由分部积分法得：
原式====
4’．计算定积分．
解：由分部积分法得：
原式====
四、计算题
1．求曲线上的点，使其到点A（0，2）的距离最短．
解：设曲线上的点到点A（0，2）的距离为，则
==
求导得：
令得驻点，将代入中得，由实际问题可知该问题存在最大值，所以曲线上的点和点到点A（0，2）的距离最短．
一、单项选择题
1．设函数的定义域为，则函数-的图形关于（D）对称．
A.B.轴
C.轴
D.坐标原点
2．当时，下列变量中（C）是无穷大量．
A．
B.C.D.3．设在点处可导，则（B）．
A.B.C.D.4．函数在区间（2，4）内满足（A）．
A．先单调下降再单调上升
B．单调上升
C．先单调上升再单调下降
D．单调下降
5．=（B）．
A.0
B.π
C.2π
D.二、填空题
1．函数的定义域是．
2．函数的定义域是．
2．函数的间断点是．
3．函数的单调减少区间是．
4．函数的驻点是．
4．函数的驻点是．
5．无穷积分，当
>1
时是收敛的．
三、计算题
1．计算极限．
解：原式===
2．设，求．
解：==
3.计算不定积分．
解：原式==
4．计算定积分．
解：原式====1
一、单项选择题
1．下列各函数中，（B）中的两个函数相等．
A.B.C.D.2．当时，变量（C）是无穷大量．
A．
B.C.D.3．设在点处可导，则（A）．
A.B.C.D.5．下列无穷限积分收敛的是（C）．
A.B.C.D.二、填空题
1．若，则=．
2．函数的间断点是．
3．已知，则=
0
．
4．函数的单调减少区间是．
5．=．
三、计算题
1．计算极限．
解：原式====
2．设，求．
解：=
则
==
3．计算不定积分．
解：原式==
4．计算定积分．
解：设，则，所以由分部积分法得
原式====
四、应用题
1．圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径和高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解：假设圆柱体的底半径为，体积为，则高为，所以圆柱体的体积为
=
求导得：
==
令=0得驻点（）
又由实际问题可知，圆柱体的体积存在着最大值，所以当底半径和高分别为和时，圆柱体的体积最大．
一、单项选择题
1．设函数的定义域为，则函数-的图形关于（A）对称．
A.坐标原点
B.轴
C.轴
D.2．当时，变量（D）是无穷小量．
A.B.C.D.3．设在处可导，则（C）．
A.B.C.D.4．若=，则=（B）．
A.B.C.D.5．=（A）．
A.2π
B.π
C.D.0
二、填空题
1．函数的定义域是．
2．=．
3．曲线在(1，3)处的切线斜率是．
4．函数的单调增加区间是．
5．若，则=．
三、计算题
1．计算极限．
解：原式===
1．计算极限．
解：原式===
1．计算极限．
解：原式===
2．设求．
解：
3．计算不定积分．
解：原式==
4．计算定积分．
解：设，则，所以由分部积分法得
原式====
四、应用题
1．某制罐厂要生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
解：本题含义是求无盖圆柱形容器表面积最小问题，现假设容器的底半径为R，则高为，容器的表面积为S，所以
=
求导得：==
令=0得驻点：
由实际问题可知，圆柱形容器的表面积存在最小值，所以当容器的底半径与高各为和时用料最省。
一、单项选择题
1．函数的定义域是（D）．
A.B.C.D.2．若函数，在处连续，则（B）．
A.B.C.D.3．下列函数中，在（-∞，+∞）内是单调减少的函数是（A）．
A.B.C.D.4．下列函数在区间（-∞，+∞）上单调减少的是（A）．
A.B.C.D.5．若的一个原函数是，则=（A）．
A.B.C.D.6．下列无穷限积分收敛的是（C）．
A.B.C.D.7．下列无穷限积分收敛的是（C）．
A.B.C.D.二、填空题
6．函数，则．
7．函数的间断点是．
8．已知，则
0
．
9．函数的单调减少区间是．
10．若的一个原函数为，则．
三、计算题
11．计算极限．
解：原式===
12．设，求．
解：===
12’．设，求．
解：==
12’’．设，求．
解：==
==
13．计算不定积分．
解：原式==
14．计算定积分．
解：原式=====
1、求函数的定义域：1）含有平方根的：被开方数≥0，2）含分式的：分母≠0
含对数的：真数＞0
例： 1.函数的定义域是
2、函数的对应规律
例：设求
解：由于中的表达式是x+1，可将等式右端表示为x+1的形式
或：令
3、判断两个函数是否相同：定义域相同及对应规律相同
例：1、下列各函数对中，（B）中的两个函数相同
A、B、C、D、4、判断函数的奇偶性：若，则为偶函数；若，则为奇函数，也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数奇函数、奇函数偶函
数仍为奇函数；偶函数偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”的性质来判断。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
例：下列函数中，（A）是偶函数
A．
B．
C．
D．
5、无穷小量：极限为零的变量。性质：无穷小量和有界变量的积仍是无穷小量
例1）:
当时，下列变量为无穷小量的是（B）
A、cosx
B、ln(1+x)
C、x+1
D、2）
06、函数在一点处极限存在的充要条件是左右极限存在且相等
（D)
A、1
B、—1
C、1
D、不存在7、极限的计算：对于“”形
例1）
2）=
8、导数的几何意义：；
例：曲线在处的切线斜率是
．
解：=
9、导数的计算：复合函数求导原则：由外向内，犹如剥笋，层层求导
例1）设，求．
解：
例2）设，求dy
解;
10、判断函数的单调性：
例：.函数的单调减少区间是
11、应用题的解题步骤：1）根据题意建立函数关系式，2）求出驻点（一阶导数=0的点），3）根据题意直接回答
例1）
求曲线上的点，使其到点的距离最短．
解：曲线上的点到点的距离公式为
与在同一点取到最小值，为计算方便求的最小值点，将代入得
令
令得．可以验证是的最小值点，并由此解出，即曲线上的点和点到点的距离最短．
2）某制罐厂要生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
解：设容器的底半径为，高为，则其表面积为
因为
所以
由，得唯一驻点，此时，由实际问题可知，当底半径和高时可使用料最省．
12、不定积分与原函数的关系:
设，则称函数是的原函数.,例1）若的一个原函数为，则（B）
A、B、C、D、解：
2）已知，则
（答案：C）
A.B.C.D.解：
13、性质：
例1）（B）．
A.B.C.D.例2）+C14、不定积分的计算：1）凑微分；2）分部积分
1）
常用凑微分：
例1）若，则（B）．
A.B.C.D.解：
例2）计算．
解：
例3)计算．
解;
2）
分部积分的常见类型：，再根据分部积分公式计算
例1）计算
解：
例2）计算不定积分
解：
例3）计算
=
15、定积分的牛顿莱布尼兹公式：设F（x）是f(x)的一个原函数，则
例：若是的一个原函数，则下列等式成立的是（B）
A.B.C.D.16、奇偶函数在对称区间上的积分：
若是奇函数，则有
若是偶函数，则有
例1)：
分析：为奇函数，所以0
例2）
分析：为偶函数
故：
17、定积分的计算：1）凑微分，2）分部积分；
定积分的凑微分和不定积分的计算相同。
例1）
计算
解：利用凑微分法，得
例2）
计算定积分
解：利用凑微分法，得
定积分的分部积分与不定积分的计算基本相同：
定积分的分部积分公式：
例1）
计算
解：
=
例2）
计算
解：
例3）
计算
解：
1、求函数的定义域：1）含有平方根的：被开方数≥0，2）含分式的：分母≠0
含对数的：真数＞0
例： 1.函数的定义域是
2、函数的对应规律
例：设求
解：由于中的表达式是x+1，可将等式右端表示为x+1的形式
或：令
3、判断两个函数是否相同：定义域相同及对应规律相同
例：1、下列各函数对中，（B）中的两个函数相同
A、B、C、D、4、判断函数的奇偶性：若，则为偶函数；若，则为奇函数，也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数奇函数、奇函数偶函
数仍为奇函数；偶函数偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”的性质来判断。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
例：下列函数中，（A）是偶函数
A．
B．
C．
D．
5、无穷小量：极限为零的变量。性质：无穷小量和有界变量的积仍是无穷小量
例1）:
当时，下列变量为无穷小量的是（B）
A、cosx
B、ln(1+x)
C、x+1
D、2）
06、函数在一点处极限存在的充要条件是左右极限存在且相等
（D)
A、1
B、—1
C、1
D、不存在7、极限的计算：对于“”形
例1）
2）=
8、导数的几何意义：；
例：曲线在处的切线斜率是
．
解：=
9、导数的计算：复合函数求导原则：由外向内，犹如剥笋，层层求导
例1）设，求．
解：
例2）设，求dy
解;
10、判断函数的单调性：
例：.函数的单调减少区间是
11、应用题的解题步骤：1）根据题意建立函数关系式，2）求出驻点（一阶导数=0的点），3）根据题意直接回答
例1）
求曲线上的点，使其到点的距离最短．
解：曲线上的点到点的距离公式为
与在同一点取到最小值，为计算方便求的最小值点，将代入得
令
令得．可以验证是的最小值点，并由此解出，即曲线上的点和点到点的距离最短．
2）某制罐厂要生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
解：设容器的底半径为，高为，则其表面积为
因为
所以
由，得唯一驻点，此时，由实际问题可知，当底半径和高时可使用料最省．
12、不定积分与原函数的关系:
设，则称函数是的原函数.,例1）若的一个原函数为，则（B）
A、B、C、D、解：
2）已知，则
（答案：C）
A.B.C.D.解：
13、性质：
例1）（B）．
A.B.C.D.例2）+C14、不定积分的计算：1）凑微分；2）分部积分
3）
常用凑微分：
例1）若，则（B）．
A.B.C.D.解：
例2）计算．
解：
例3)计算．
解;
4）
分部积分的常见类型：，再根据分部积分公式计算
例1）计算
解：
例2）计算不定积分
解：
例3）计算
=
15、定积分的牛顿莱布尼兹公式：设F（x）是f(x)的一个原函数，则
例：若是的一个原函数，则下列等式成立的是（B）
A.B.C.D.16、奇偶函数在对称区间上的积分：
若是奇函数，则有
若是偶函数，则有
例1)：
分析：为奇函数，所以0
例2）
分析：为偶函数
故：
17、定积分的计算：1）凑微分，2）分部积分；
定积分的凑微分和不定积分的计算相同。
例3）
计算
解：利用凑微分法，得
例4）
计算定积分
解：利用凑微分法，得
定积分的分部积分与不定积分的计算基本相同：
定积分的分部积分公式：
例4）
计算
解：
=
例5）
计算
解：
例6）
计算
解：
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