2021-2022学年江苏省无锡市丁蜀中考数学模仿测试试题（一模）
（原卷版）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只要一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1.
－5的相反数是（
）
A.
B.
±5
C.
5
D.
－
2.
函数中自变量x的取值范围是（
）
A.
x≠2
B.
x≥2
C.
x≤2
D.
x＞2
3.
分式可变形为（
）
A.
B.
C.
D.
4.
已知A样本的数据如下：72，73，76，76，77，78，78，78，B样本的数据恰好是A样本数据每个都加2，则A，B两个样本的下列统计量对应相反的是（
）
A.
平均数
B.
标准差
C.
中位数
D.
众数
5.
若点A(3，－4)、B(－2，m)在同一个反比例函数图像上，则m的值为
（
）
A.
6
B.
－6
C.
12
D.
－12
6.
下列图形中，是轴对称图形但不是对称图形的是（ ）
A.
等边三角形
B.
平行四边形
C.
矩形
D.
圆
7.
如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是
（
）
A
∠1＝∠3
B.
∠2＋∠3＝180°
C.
∠2＋∠4＜180°
D.
∠3＋∠5＝180°
8.
如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是(
)
A.
35°
B.
140°
C.
70°
D.
70°或140°
9.
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，AD=1，BC=4，则△AOD与△BOC面积比等于
A.
B.
C.
D.
10.
如图，平行四边形ABCD中，AB∶BC=3∶2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE∶EB=1∶2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP∶DQ等于（
）
A.
3∶4
B.
∶
C.
∶
D.
∶
二、填
空
题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需求写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的地位）
11.
分解因式：___
12.
去年，财政安排资金8200000000元，免除城市义务教育先生学杂费，支持进城务工人员随迁子女公平接受义务教育，这个数据用科学记数法可表示为_______元
13.
函数y＝2x－6的图像与x轴的交点坐标为_____．
14.
命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”）
15.
如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于_______．
16.
如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于_______．
17.
如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为__．
18.
在如图正方形方格纸中，每个小的四边形都是相反的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．
三、解
答
题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字阐明、证明过程或演算步骤）
19.
计算：
(1)；
(2)(x+1)2－(x+2)(x－2)．
20.
（1）解方程：．
（2）解不等式组：
21.
如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．
22.
某区教研部门对本区初二年级的先生进行了随机抽样问卷调查，其中有这样一个成绩：老师在课堂上放手让先生发问和表达（
）
A．从不
B．很少
C．有时
D．常常
E．总
答题的先生在这五个选项中只能选择一项．上面是根据先生对该成绩的答卷情况绘制的两幅不残缺的统计图．
根据以上信息，解答下列成绩：
（1）该区共有
名初二年级的先生参加了本次问卷调查；
（2）请把这幅条形统计图补充残缺；
（3）在扇形统计图中，“总是”的圆心角为
．（到度）
23.
（1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．求第二次传球后球回到甲手里的概率．（请用“画树状图”的方式给出分析过程）
（2）如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中异样的游戏，那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是
（请直接写出结果）．
24.
如图，OA=2，以点A为圆心，1为半径画⊙A与OA的延伸线交于点C，过点A画OA的垂线，垂线与⊙A的一个交点为B，连接BC
（1）线段BC的长等于___________；
（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答成绩：
①以点___________为圆心，以线段___________的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于；
②连OD，在OD上画出点P，使OP的长等于，请写出画法，并阐明理由．
25.
某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．
（1）求每个篮球和每个足球的售价；
（2）如果学校计划购买这两种球共50个，总费用不超过5500元，那么最多可购买多少个足球？
26.
如图，直线x=-4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x=-4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3．
（1）求点A的坐标；
（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．
27.
如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的工夫为t（s）．△APQ的面积S（cm2）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．
（1）求点Q运动的速度；
（2）求图2中线段FG的函数关系式；
（3）问：能否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请阐明理由．
28.
如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC＝6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．
（1）若∠AOB＝60º，OM＝4，OQ＝1，求证：CN⊥OB．
（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ一直保持为菱形．
①问：的值能否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请阐明理由．
②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求的取值范围．
2021-2022学年江苏省无锡市丁蜀中考数学模仿测试试题（一模）
（解析版）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只要一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1.
－5的相反数是（
）
A.
B.
±5
C.
5
D.
－
【答案】C
【解析】
【详解】解：﹣5的相反数是5．故选C．
2.
函数中自变量x的取值范围是（
）
A.
x≠2
B.
x≥2
C.
x≤2
D.
x＞2
【答案】A
【解析】
【详解】试题解析：根据题意得：2﹣x≠0，
解得：x≠2．
故函数中自变量x的取值范围是x≠2．
故选A．
考点：函数自变量的取值范围．
3.
分式可变形为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：根据分式性质，分子分母都乘以﹣1，分式的值不变，可得答案：
分式的分子分母都乘以﹣1，得.
故选D．
考点：分式的基本性质．
4.
已知A样本的数据如下：72，73，76，76，77，78，78，78，B样本的数据恰好是A样本数据每个都加2，则A，B两个样本的下列统计量对应相反的是（
）
A.
平均数
B.
标准差
C.
中位数
D.
众数
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据样本A，B中数据之间的关系，众数，平均数，中位数和标准差的定义即可得到结论：
设样本A中的数据为xi，则样本B中的数据为yi=xi+2，
则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差2，只要标准差没有发生变化.
故选B.
考点：统计量的选择．
5.
若点A(3，－4)、B(－2，m)在同一个反比例函数的图像上，则m的值为
（
）
A.
6
B.
－6
C.
12
D.
－12
【答案】A
【解析】
【分析】反比例函数的解析式为，把A（3，﹣4）代入求出k=﹣12，得出解析式，把B的坐标代入解析式即可．
【详解】解：设反比例函数的解析式为
把A（3，﹣4）代入得：k=﹣12
即
把B（﹣2，m）代入得：m=﹣=6，
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，纯熟掌握反函数的性质是解题的关键．
6.
下列图形中，是轴对称图形但不是对称图形的是（ ）
A.
等边三角形
B.
平行四边形
C.
矩形
D.
圆
【答案】A
【解析】
【详解】试题解析：A、只是轴对称图形，不是对称图形，符合题意；
B、只是对称图形，不合题意；
C、D既是轴对称图形又是对称图形，不合题意．
故选A．
考点：1.对称图形；2.轴对称图形．
7.
如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是
（
）
A.
∠1＝∠3
B.
∠2＋∠3＝180°
C.
∠2＋∠4＜180°
D.
∠3＋∠5＝180°
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：根据平行线的性质对各选项分析判断利用排除法求解：
A、∵OC与OD不平行，∴∠1=∠3不成立，故本选项错误；
B、∵OC与OD不平行，∴∠2+∠3=180°不成立，故本选项错误；
C、∵AB∥CD，∴∠2+∠4=180°，故本选项错误；
D、∵AB∥CD，∴∠3+∠5=180°，故本选项正确．
故选D．
考点：平行线的性质．
8.
如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是(
)
A.
35°
B.
140°
C.
70°
D.
70°或140°
【答案】B
【解析】
【详解】∵A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，
∴根据同弧所对圆周角是它所对圆周角的一半，得∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°．
故选B．
9.
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，AD=1，BC=4，则△AOD与△BOC的面积比等于
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB．
∴．
∵AD=1，BC=4，
∴．
故选D．
10.
如图，平行四边形ABCD中，AB∶BC=3∶2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE∶EB=1∶2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP∶DQ等于（
）
A.
3∶4
B.
∶
C.
∶
D.
∶
【答案】B
【解析】
【分析】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积是平行四边形面积的一半，可推出AF×DP=CE×DQ，根据线段比例关系设出AB=3a，BC=2a，然后在Rt△AFN和Rt△CEM中，利用勾股定理计算出AF、CE，再代入AF×DP=CE×DQ可得结果.
【详解】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：
，即．
∴AF×DP=CE×DQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC
∵∠DAB=60°，∴∠CBN=∠DAB=60°．∴∠BFN=∠MCB=30°
∵AB：BC=3：2，∴设AB=3a，BC=2a
∵AE：EB=1：2，F是BC的中点，∴BF=a，BE=2a，BN=a，BM=a
由勾股定理得：FN=a，CM=a
∴
∴．∴，故选B．
【点睛】本题考查平行四边形中勾股定理的运用，关键是作出正确的辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理计算出AF、CE.
二、填
空
题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需求写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的地位）
11.
分解因式：___
【答案】
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的普通步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察能否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】解：．
故答案为：．
12.
去年，财政安排资金8200000000元，免除城市义务教育先生学杂费，支持进城务工人员随迁子女公平接受义务教育，这个数据用科学记数法可表示为_______元
【答案】8.2×109
【解析】
【分析】科学记数法的表示方式为a×10n的方式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的值与小数点挪动的位数相反．当原数值≥10时，n是负数；当原数的值＜1时，n是负数．
【详解】解：将8 200 000 000 用科学记数法表示为8.2×109．
故答案为：8.2×109．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示方式为a×10n的方式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.
函数y＝2x－6图像与x轴的交点坐标为_____．
【答案】（3，0）
【解析】
【详解】试题分析：把y=0代入y＝2x－6得x=3，所以函数y＝2x－6的图像与x轴的交点坐标为（3，0）.
考点：函数的图像与x轴的交点坐标.
14.
命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”）
【答案】假
【解析】
【详解】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题．
故答案为：假．
15.
如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于_______．
【答案】8
【解析】
【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．
【详解】解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，
∴DE=AC=5，
∴AC=10．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，
则根据勾股定理，得
．
故答案为：8．
16.
如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于_______．
【答案】4
【解析】
【详解】如图，在直角△AOE中，
，
∴．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
17.
如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为__．
【答案】5．
【解析】
【详解】试题分析：当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：直线x=1与x轴交于点D，直线x=4与x轴交于点E，根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA∥BC，OA=BC，∴∠AOD=∠CBE，在△AOD和△CBE中，∵∠AOD=∠CBE，∠ADO=∠CEB，OA=BC，∴△AOD≌△CBE（AAS），∴OD=BE=1，∴OB=OE+BE=5；故答案为5．
考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质．
18.
在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相反的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．
【答案】3
【解析】
【详解】试题解析：平移CD到C′D′交AB于O′，如图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B=，O′D′=，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE=，
∴O′E=，
∴taO′E=，
∴tan∠BOD=3.
考点：解直角三角形．
三、解
答
题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字阐明、证明过程或演算步骤）
19.
计算：
(1)；
(2)(x+1)2－(x+2)(x－2)．
【答案】（1）0（2）2x+5
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据实数的运算顺序依次计算即可；（2）根据整式的混合运算顺序依次计算即可.
试题解析：
（1）原式=3﹣4+1=0；
（2）原式=x2+2x+1﹣x2+4=2x+5．
20.
（1）解方程：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）x=13；（2）﹣1＜x≤6
【解析】
【详解】试题分析：（1）方程两边乘以（2x-1）（x+2），化分式方程为整式方程，解整式方程求得x的值，再检验即可；（2）分别求得这两个不等式的解集，这两个不等式解集的公共部分即为不等式组的解集.
试题解析：
（1）由题意可得：5（x+2）=3（2x﹣1），
解得：x=13，
检验：当x=13时，（x+2）≠0，2x﹣1≠0，
故x=13是原方程的解；
（2）解①得：x＞﹣1，
解②得：x≤6，
故不等式组的解集为：﹣1＜x≤6．
21.
如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．
【答案】证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．
试题解析：证明：△ABC中，∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM.
∵M是BC的中点，∴BM=CM.
在△BDM和△CEM中，∵，
∴△BDM≌△CEM（SAS）.∴MD=ME．
考点：1.等腰三角形的性质；2.全等三角形的判定与性质.
22.
某区教研部门对本区初二年级的先生进行了随机抽样问卷调查，其中有这样一个成绩：老师在课堂上放手让先生发问和表达（
）
A．从不
B．很少
C．有时
D．常常
E．总是
答题的先生在这五个选项中只能选择一项．上面是根据先生对该成绩的答卷情况绘制的两幅不残缺的统计图．
根据以上信息，解答下列成绩：
（1）该区共有
名初二年级的先生参加了本次问卷调查；
（2）请把这幅条形统计图补充残缺；
（3）在扇形统计图中，“总是”的圆心角为
．（到度）
【答案】（1）3200（2）答案见解析（3）151°
【解析】
【详解】试题分析：（1）用“从不”的人数除以“从不”人数所占的百分比即可得总人数；（2）用总人数减去“从不”、“很少”、“常常”、“总是”的人数即可得“有时”的人数，在条形统计图上画出即可；（3）用“总是”的人数除以总人数即可得“总是”所占的百分比.
试题解析：（1）96÷3%=3200（人）；（2）“有时”的人数为3200-96-320-736-1344=704（人），图见下；（3）×=42%.
考点：条形统计图；扇形统计图.
23.
（1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．求第二次传球后球回到甲手里的概率．（请用“画树状图”的方式给出分析过程）
（2）如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中异样的游戏，那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是
（请直接写出结果）．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）画树状图求出第二次传球后一切结果，再找出第二次传球后球回到甲手里的结果，即可求得第二次传球后球回到甲手里的概率；
（2）由题意即可知第三次传球共有种可能，其中种可能传给甲．再由概率公式计算即可．
【详解】（1）画树状图如图所示：
由图可知共有9种等可能的结果，其中第二次传球后球回到甲手里的结果有3种，
∴P（第2次传球后球回到甲手里）＝＝；
（2）根据题意可知，次甲随机传给除甲外的另外n个人，
第二次，另外n个人随机传给除本人外的另外n（含甲）个人，共有种可能，其中n种可能传给甲，
第三次，拿球的n个人还是随机传给除本人外的另外n个人，共有种可能，其中种可能传给甲．
故第三次传球后球回到甲手里的概率是；
故答案为：．
【点睛】本题考查用树状图法求概率，掌握概率=所求情况数与所无情况数的比是解题关键．
24.
如图，OA=2，以点A为圆心，1为半径画⊙A与OA的延伸线交于点C，过点A画OA的垂线，垂线与⊙A的一个交点为B，连接BC
（1）线段BC的长等于___________；
（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答成绩：
①以点___________为圆心，以线段___________的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于；
②连OD，在OD上画出点P，使OP的长等于，请写出画法，并阐明理由．
【答案】（1）；
（2）①A；BC；②答案见解析．
【解析】
【分析】（1）由圆的半径为1，可得出AB=AC=1，勾股定理即可得出结论；
（2）①勾股定理求出AD的长度，从而找出点D的地位，根据画图的步骤，完成图形即可；
②根据线段的三等分点的画法，OA=2AC，即可得出结论．
【小问1详解】
解：在Rt△BAC中，AB=AC=1，∠BAC=90°，
∴BC==．
故答案为．
【小问2详解】
解：①在Rt△OAD中，OA=2，OD=，∠OAD=90°，
∴AD===BC，
∴以点A为圆心，以线段BC的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于．
依此画出图形，如图1所示．
故答案A；BC．
②∵OD=，OP=，OC=OA+AC=3，OA=2，
∴．
故作法如下：
连接CD，过点A作APCD交OD于点P，P点即是所要找的点．
依此画出图形，如图2所示．
【点睛】此题考查了圆的基本定义，勾股定理，平行线分线段成比例，基本作图方法，正确掌握勾股定理及平行线分线段成比例是解题的关键．
25.
某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．
（1）求每个篮球和每个足球的售价；
（2）如果学校计划购买这两种球共50个，总费用不超过5500元，那么最多可购买多少个足球？
【答案】（1）每个篮球和的售价为100元，每个足球的售价为120元；（2）最多可购买25个．
【解析】
【分析】（1）设每个篮球和每个足球的售价分别为x元，y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可；
（2）设篮球购买a个，则足球购买（50﹣a）个，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出最多购买的足球．
【详解】解：（1）设每个篮球和每个足球的售价分别为x元，y元，根据题意得：
，
解得：，
答：每个篮球和的售价为100元，每个足球的售价为120元；
（2）设足球购买a个，则篮球购买（50﹣a）个，根据题意得：
120a+100（50﹣a）≤5500，
整理得：20a≤500，
解得：a≤25．
答：最多可购买25个足球．
【点睛】本题考查了二元方程组的运用以及一元不等式组的运用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元不等式组．
26.
如图，直线x=-4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x=-4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3．
（1）求点A的坐标；
（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．
【答案】（1）点A坐标为（－2，0）．
（2）此抛物线的函数关系式为或．
【解析】
【详解】分析：（1）过点D作DF⊥x轴于点F，由抛物线的对称性可知OF=AF，则2AF+AE=4①，由DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，根据类似三角形对应边成比例得出
，即AE=2AF②，①与②联立组成二元方程组，解出AE=2，AF=1，进而得到点A的坐标．
（2）先由抛物线过原点（0，0），设此抛物线的交点式为，再根据抛物线过原点（0，0）和A点（－2，0），求出对称轴为直线x=-1，则由B点横坐标为-4得出C点横坐标为2，BC=6．再由OB＞OC，可知当△OBC是等腰三角形时，可分两种情况讨论：①当OB=BC时，设B（－4，y1），列出方程，解方程求出y1的值，将B点坐标代入，运用待定系数法求出此抛物线的解析式；②当OC=BC时，设C（2，y2），列出方程，解方程求出y2的值，将C点坐标代入，运用待定系数法求出此抛物线的解析式．
解：（1）如图，过点D作DF⊥x轴于点F，
由题意，可知OF=AF，则2AF+AE=4①．
∵DF∥BE，∴△ADF∽△ABE．
∴，即AE=2AF②．
①与②联立，解得AE=2，AF=1．
∴点A的坐标为（－2，0）．
（2）∵抛物线过原点（0，0）和点A（－2，0），
∴可设此抛物线的解析式为，且对称轴为直线x=－1．
∵B、C两点关于直线x=－1对称，B点横坐标为－4，∴C点横坐标为2．
∴BC=2－（－4）=6．
∵抛物线开口向上，∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC．
∴当△OBC是等腰三角形时，分两种情况讨论：
①当OB=BC时，设B（－4，y1），则，解得（负值舍去）．
∴B（－4，）．
将B（－4，）代入，得，解得．
∴此抛物线的解析式为，即．
②当OC=BC时，设C（2，y2），则，解得（负值舍去）．
∴C（2，）．
将A
C（2，）代入，得得，解得．
∴此抛物线的解析式为，即．
综上所述，若△OBC是等腰三角形，此抛物线的函数关系式为或．
27.
如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的工夫为t（s）．△APQ的面积S（cm2）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．
（1）求点Q运动的速度；
（2）求图2中线段FG的函数关系式；
（3）问：能否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请阐明理由．
【答案】（1）由1（cm/s）
（2）FG段的函数表达式为：（6≤t≤9）．
（3）存在．理由见解析．
【解析】
【详解】分析：（1）根据函数图象中E点所代表的实践意义求解．E点表示点P运动到与点B重合时的情形，运动工夫为3s，可得AB=6cm；再由，可求得AQ的长度，进而得到点Q的运动速度．
（2）函数图象中线段FG，表示点Q运动至起点D之后中止运动，而点P在线段CD上继续运动的情形．如答图2所示，求出S的表达式，并确定t的取值范围．
（3）当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3所示，求出t的值．当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4所示，求出t的值．
解：（1）由题意，可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形，所用工夫为3s，则菱形的边长AB=2×3=6cm．
此时如图1所示，
AQ边上的高，
，解得AQ=3（cm）．
∴点Q的运动速度为：3÷3=1（cm/s）．
（2）由题意，可知题图2中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形，如图2所示，
点Q运动至点D所需工夫为：6÷1=6s，点P运动至点C所需工夫为12÷2=6s，至起点D所需工夫为18÷2=9s．
因此在FG段内，点Q运动至点D中止运动，点P在线段CD上继续运动，且工夫t的取值范围为：6≤t≤9．
过点P作PE⊥AD交AD的延伸线于点E，则
．
∴FG段的函数表达式为：（6≤t≤9）．
（3）存在．
菱形ABCD的面积为：6×6×sin60°=18．
当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如图3所示，
此时△APQ的面积．
根据题意，得，解得s．
当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如图4所示，
此时，有，
即，解得s．
综上所述，存在s和t=s，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分．
28.
如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC＝6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．
（1）若∠AOB＝60º，OM＝4，OQ＝1，求证：CN⊥OB．
（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ一直保持为菱形．
①问：的值能否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请阐明理由．
②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2）①
②
【解析】
【分析】（1）过P作PE⊥OA于E，易证四边形OMPQ为平行四边形．根据三角函数求得PE的长，再根据三角函数求得∠PCE的度数，即可得∠CPM＝90º，又因PM//OB，即可证明CN⊥OB．
（2）①设OM＝，ON＝，先证△NQP∽△NOC，即可得
，把，代入整理即可得的值.②过P作PE⊥OA于E，过N作NF⊥OA于F，可得S1＝OM·PE，S2＝OC·NF，所以．再证△CPM∽△CNO，所以，用表示出与的关系，根据二次函数的性质即可得的取值范围．
【小问1详解】
证明：如图1，过P作PE⊥OA于E．
∵
PQ//OA，PM//OB，
∴
四边形OMPQ为平行四边形．
∴
PM＝OQ＝1，∠PME＝∠AOB＝60º，
∴
PE＝PM·sin60º＝，ME＝，
∴
CE＝OC－OM－ME＝，
∴tan∠PCE＝＝，
∴
∠PCE＝30º，
∴∠CPM＝90º，
又∵
PM//OB，
∴
∠CNO＝∠CPM＝90
º，
即CN⊥OB．
【小问2详解】
解：①
－的值不发生变化．
理由如下：
设OM＝，ON＝．
∵
四边形OMPQ为菱形，
∴
OQ＝QP＝OM＝，NQ＝－．
∵
PQ//OA，
∴
∠NQP=∠O．
又∵∠QNP=∠ONC，
∴
△NQP∽△NOC，
∴
＝，
即＝，
∴
6－6＝．
两边都除以6，得－＝，
即
－＝．
②
如图2，过P作PE⊥OA于E，过N作NF⊥OA于F，
则S1＝OM·PE，S2＝OC·NF，
∴
＝．
∵
PM//OB，
∴∠PMC=∠O．
又∵∠PCM=∠NCO，
∴
△CPM∽△CNO．
∴
＝＝．
∴
＝＝－（x－3）2＋．
∵
0<<6，
由这个二次函数的图像可知，0＜≤．
【点睛】此题属于类似形综合题，涉及的知识有：类似三角形的判定与性质，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，以及菱形的性质，纯熟掌握类似三角形的判定与性质是解本题的关键．
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