【精品分析】广西防城港市2021-2022学年中考数学模仿预测卷（一模）
（原卷版）
一.选一选：
1.如果+20%表示添加20%，那么﹣6%表示（）
A.添加14%
B.添加6%
C.减少6%
D.减少26%
2.图①是由五个完全相反的小正方体组成的立体图形．将图①中的一个小正方体改变地位后如图②，则三视图发生改变的是（）
A.主视图
B.俯视图
C.左视图
D.主视图、俯视图和左视图都改变
3.下列各数：（-3）2，0，，（-1）2009，-22，-（-8），中，负数有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
4.下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是对称图形的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5.如图所示，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=72°，∠ACB=40°，那么∠BDC等于（）
A.78°
B.90°
C.88°
D.92°
6.甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均成绩都相反，方差分别是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则射箭成绩最波动的是（）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
7.计算2x3÷x2的结果是（）
A
B.C.D.8.下列各选项中的y与x的关系为反比例函数的是（）
A.正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系
B.圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系
C.如果直角三角形中一个锐角度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系
D.一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米
9.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（）
A.3
B.4
C.6
D.5
10.已知实数a，b分别满足，且a≠b，则的值是（）
A.7
B.－7
C.11
D.－11
11.如图：将一个矩形纸片，沿着折叠，使点分别落在点处.若，则的度数为（）
A.B.C.D.12.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
二、填
空
题：
13.某冷库的室温为-4℃，有一批食品需求在-28℃冷藏，如果每小时降3℃，______小时能降到所要求的温度．
14.当x=______时，二次根式取最小值，其最小值_______.15.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同窗担任校艺术节文艺上演专场的掌管人，则选出的恰为一男一女的概率是
．
16.如图，中，CD⊥AB，垂足为D．下列条件中，能证明是直角三角形的有_____（多选、错选不得分）．
①∠A+∠B=90°；②AB2=AC2+BC2；③；④CD2=AD•BD．
17.如图，在⊙O中，点A为的中点，若∠BAC=140°，则∠OBA的度数为_____．
18.将一些半径相反的小圆按如图所示的规律摆放，请细心观察，第n
个图形
有________个小圆.（用含
n的代数式表示），三、计算综合题：
19.计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．
20.如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长．
21.某中学需在短跑、长跑、跳远、跳高四类体育项目中各选拔一名同窗参加市中会．根据平时成绩，把各项目进入复选的先生情况绘制成如下不残缺的统计图：
（1）参加复选的先生总人数为
人，扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为
°；
（2）补全条形统计图，并标明数据；
（3）求在跳高项目中男生被选中的概率．
22.如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E在上，连接DE，AE，连接CE并延伸交AB于点F，∠AED=∠ACF．
（1）求证：CF⊥AB；
（2）若CD=4，CB=4，cos∠ACF=，求EF长．
23.为了的管理西流湖水质，保护环境，市治污公司决定购买
台污水处理设备．现有
A、B
两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：
A
型
B
型
价格（万元/台）
a
b
处理污水量（吨／月）
240
200
经调查：购买一台
A
型设备比购买一台
B
型设备多
万元，购买
台
A
型设备比购买
台
B
型设备少
万元．
（1）求
a，b
值；
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过
万元，你认为该公司
有哪几种购买；
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理西流湖的污水量不低于
2040
吨，为了节
约资金，请你为治污公司设计一种最的购买．
24.如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．
(1)求教学楼AB的高度；
(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．
(参考数据：sin22º≈，cos22º≈，tan22º≈)
25.已知直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．
（1）如图，当点M与点A重合时，求：
①抛物线的解析式；
②点N的坐标和线段MN的长；
（2）
抛物线在直线AB上平移，能否存在点M，使得△OMN与△AOB类似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请阐明理由．
【精品分析】广西防城港市2021-2022学年中考数学模仿预测卷（一模）
（解析版）
一.选一选：
1.如果+20%表示添加20%，那么﹣6%表示（）
A.添加14%
B.添加6%
C.减少6%
D.减少26%
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”绝对，所以如果+20%表示添加20%，那么﹣6%表示减少6%．故选C．
考点：负数和负数．
2.图①是由五个完全相反的小正方体组成的立体图形．将图①中的一个小正方体改变地位后如图②，则三视图发生改变的是（）
A.主视图
B.俯视图
C.左视图
D.主视图、俯视图和左视图都改变
【答案】A
【解析】
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图对两个组合体进行判断，可得答案．
【详解】解：①的主视图是层三个小正方形，第二层两头一个小正方形；左视图是层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是层两头一个小正方形，第二层三个小正方形；
②的主视图是层三个小正方形，第二层左边一个小正方形；左视图是层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是层两头一个小正方形，第二层三个小正方形；
所以将图①中的一个小正方体改变地位后，俯视图和左视图均没有发生改变，只要主视图发生改变，故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，处理此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图．
3.下列各数：（-3）2，0，，（-1）2009，-22，-（-8），中，负数有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【答案】C
【解析】
【详解】解：(−3)
²=9，=−14，（-1）2009=−1，-22=−4，−(−8)=8，=，则所给数据中负数有：，（-1）2009，-22，共4个
故选C
4.下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是对称图形的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据轴对称图形和对称图形的概念可知：
第2、4两个图形既是轴对称图形又是对称图形，故选：B．
5.如图所示，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=72°，∠ACB=40°，那么∠BDC等于（）
A.78°
B.90°
C.88°
D.92°
【答案】C
【解析】
【详解】分析：先根据CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，求出∠BCD的度数，再由三角形内角和定理便可求出∠BDC的度数．
解答：解：∵CD是∠ACB的平分线，∠B=72°，∠ACB=40°，∴∠BCD=20°，在△BCD中，∠B=72°，∠BCD=20°，∴∠BDC=180°-72°-20°=88°．
故选C．
6.甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均成绩都相反，方差分别是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则射箭成绩最波动的是（）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【答案】D
【解析】
【详解】∵射箭成绩的平均成绩都相反,方差分别是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，∴S2甲>S2乙>S2丙>S2丁，∴射箭成绩最波动的是丁；
故选D．
7.计算2x3÷x2的结果是（）
A.B.C.D.【答案】B
【解析】
【详解】2x3÷x2=2x3-2=2x，故选B.8.下列各选项中的y与x的关系为反比例函数的是（）
A.正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系
B.圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系
C.如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系
D.一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米
【答案】A
【解析】
【详解】试题解析：A、依题意得到y=4x，所以正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系成反比例函．故本选项正确；
B、依题意得到y=πx2，则y与x是二次函数关系．故本选项错误；
C、依题意得到y=90-x，则y与x是函数关系．故本选项错误；
D、依题意，得到y=3x+60，则y与x是函数关系．故本选项错误；
故选A．
9.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（）
A.3
B.4
C.6
D.5
【答案】D
【解析】
【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB＋S△ADC＝S△ABC得到×4×7＋×4×AC＝24，然后解方程即可．
详解】作DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝4，∵S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，∴×4×7＋×4×AC＝24，∴AC＝5，故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程处理成绩，属于中考常考题型．
10.已知实数a，b分别满足，且a≠b，则的值是（）
A.7
B.－7
C.11
D.－11
【答案】A
【解析】
【详解】∵a，b分别满足，且a≠b，∴a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根．∴根据一元二次方程根与系数的关系，得a+b=6，ab=4．
∴则．故选A．
11.如图：将一个矩形纸片，沿着折叠，使点分别落在点处.若，则的度数为（）
A.B.C.D.【答案】B
【解析】
【详解】解：设∠ABE=x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．
故选B．
12.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的图象可判断a、b、c的符号，可判断①；由x=-1和x=2时对应的函数值可判断②、③；由对称轴可得b=-2a分别代入a-b+c，借助函数图象可判断④；可以比较当x=m和x=1时的函数值的大小可判断⑤，可求得答案．
【详解】解：∵图象开口向下，与y轴的交点在x轴的上方，∴a＜0，c＞0，∵对称轴为x=1，∴，∴b=-2a＞0，∴abc＜0，故①错误；
当x=-1时，可知y＜0，∴a-b+c＜0，∴a+c＜b，故②错误；
∵抛物线与x的一个交点在-1和0之间，∴另一个交点在2和3之间，∴当x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，故③正确；
∵b=-2a，∴a=，且a-b+c＜0，∴，即，∴2c＜3b，故④正确；
∵抛物线开口向下，∴当x=1时，y有值，∴a+b+c＞am2+bm+c，∴a+b＞m（am+b），故⑤正确；
综上可知正确的有3个，故选：B．
【点睛】本题次要考查二次函数图象与系数的关系，掌握y=ax2+bx+c（a≠0）中各系数与其图象的关系是解题的关键．
二、填
空
题：
13.某冷库的室温为-4℃，有一批食品需求在-28℃冷藏，如果每小时降3℃，______小时能降到所要求的温度．
【答案】8
【解析】
【详解】此题考查了有理数的混合运算的运用
由如今的温度减去食品需求的温度，求出应将的温度，除以每小时能降温4℃，即可求出需求的工夫．
由题意得：（小时），答：需求8小时才能降到所需温度．
14.当x=______时，二次根式取最小值，其最小值为_______.【答案】
①.-1
②.0
【解析】
【详解】根据二次根式有意义的条件，得x+1⩾0，则x⩾−1.所以当x=−1时，该二次根式有最小值，即为0.故答案为−1，0.15.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同窗担任校艺术节文艺上演专场的掌管人，则选出的恰为一男一女的概率是
．
【答案】
【解析】
【详解】解：某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同窗担任校艺术节文艺上演专场的掌管人，假如所选同窗全是男生有3种情况，全是女生有1种，一男一女有=6种情况；则选出的恰为一男一女的概率=
考点：概率
点评：本题考查概率，本题的关键是搞清楚总共有好多中可能，其中满足要求的有多少种可能，概率题都比较简单
16.如图，中，CD⊥AB，垂足为D．下列条件中，能证明是直角三角形的有_____（多选、错选不得分）．
①∠A+∠B=90°；②AB2=AC2+BC2；③；④CD2=AD•BD．
【答案】①②④．
【解析】
【详解】试题解析：①∵三角形内角和是180°，由①知∠A+∠B=90°，∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，∴△ABC是直角三角形．故选项①正确．
②AB，AC，BC分别为△ABC三个边，由勾股定理的逆定理可知，②正确．
③标题所给的比例线段不是△ACB和△CDB的对应边，且夹角不相等，无法证明△ACB与△CDB类似，也就不能得到∠ACB是直角，故③错误；
④若△ABC是直角三角形，已知CD⊥AB，又∵CD2=AD•BD，（即）
∴△ACD∽△CBD
∴∠ACD=∠B
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90°
△ABC是直角三角形
∴故选项④正确；
故答案为①②④．
17.如图，在⊙O中，点A为的中点，若∠BAC=140°，则∠OBA的度数为_____．
【答案】70°．
【解析】
【详解】试题解析：在优弧BC上取一点P，连接BP，CP，OA，OC，∵∠BAC=140°，∴∠P=180°-140°=40°，∴∠BOC=2∠P=80°，∴∠OBA+∠OCA=360°-140°-80°=140°．
∵点A为的中点，∴AB=AC．
在△OAB与△OAC中，∵，∴△OAB≌△OAC（SSS），∴∠OBA=∠OCA==70°．
故答案为70°．
18.将一些半径相反的小圆按如图所示的规律摆放，请细心观察，第n
个图形
有________个小圆.（用含
n的代数式表示），【答案】或（）
【解析】
【详解】解：第1个图有1×2+4个小圆；
第2个图有2×3+4个小圆；
第3个图有3×4+4个小圆；
…
第n个图形有或个小圆．
故答案为：或（）.三、计算综合题：
19.计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．
【答案】.【解析】
【分析】将角的三角函数值代入tan30°cos60°+tan45°cos30°即可计算出结果．
【详解】tan30°cos60°+tan45°cos30°
=
=
=
20.如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）8
【解析】
【分析】（1）先证四边形ABEF为平行四边形，继而再根据AB＝AF，即可得四边形ABEF为菱形；
（2）由四边形ABEF为菱形可得AE⊥BF，BO＝FB＝3，AE＝2AO，在Rt△AOB中，求出AO的长即可得答案．
【详解】（1）由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF为菱形；
（2）∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO＝FB＝3，AE＝2AO，在Rt△AOB中，AO＝＝4，∴AE＝2AO＝8
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，纯熟掌握相关知识是解题的关键．
21.某中学需在短跑、长跑、跳远、跳高四类体育项目中各选拔一名同窗参加市中会．根据平时成绩，把各项目进入复选的先生情况绘制成如下不残缺的统计图：
（1）参加复选的先生总人数为
人，扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为
°；
（2）补全条形统计图，并标明数据；
（3）求在跳高项目中男生被选中概率．
【答案】（1）25，72；
（2）补全图形见解析；
（3）跳高项目中男生被选中的概率为．
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用条形统计图以及扇形统计图得出跳远项目的人数和所占比例，即可得出参加复选的先生总人数；用短跑项目的人数除以总人数得到短跑项目所占百分比，再乘以360°即可求出短跑项目所对应圆心角的度数；
（2）先求出长跑项目的人数，减去女生人数，得出长跑项目的男生人数，根据总人数为25求出跳高项目的女生人数，进而补全条形统计图；
（3）用跳高项目中的男生人数除以跳高总人数即可．
试题解析：（1）由扇形统计图和条形统计图可得：
参加复选的先生总人数为：（5+3）÷32%=25（人）；
扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为：×360°=72°．
故答案为25，72；
（2）长跑项目的男生人数为：25×12%﹣2=1，跳高项目的女生人数为：25﹣3﹣2﹣1﹣2﹣5﹣3﹣4=5．
如下图：
（3）∵复选中的跳高总人数为9人，跳高项目中的男生共有4人，∴跳高项目中男生被选中的概率=．
考点：概率公式；扇形统计图；条形统计图．
22.如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E在上，连接DE，AE，连接CE并延伸交AB于点F，∠AED=∠ACF．
（1）求证：CF⊥AB；
（2）若CD=4，CB=4，cos∠ACF=，求EF的长．
【答案】(1)详见解析；（2）2.【解析】
【详解】试题分析：（1）连接BD，由AB是
O的直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质得到∠CFA=180°-（DAB+∠3）=90°，于是得到结论；
（2）连接OE，由∠ADB=90°，得到∠CDB=180°-∠ADB=90°，根据勾股定理得到DB==8解直角三角形得到CD=4，根据勾股定理即可得到结论．
试题解析：（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠1=90°，∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴∠DAB+∠3=90°，∴∠CFA=180°﹣（DAB+∠3）=90°，∴CF⊥AB；
（2）连接OE，∵∠ADB=90°，∴∠CDB=180°﹣∠ADB=90°，∵在Rt△CDB中，CD=4，CB=4，∴DB==8，∵∠1=∠3，∴cos∠1=cos∠3==，∴AB=10，∴OA=OE=5，AD==6，∵CD=4，∴AC=AD+CD=10，∵CF=AC•cos∠3=8，∴AF==6，∴OF=AF﹣OA=1，∴EF==2．
23.为了的管理西流湖水质，保护环境，市治污公司决定购买
台污水处理设备．现有
A、B
两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：
A
型
B
型
价格（万元/台）
a
b
处理污水量（吨／月）
240
200
经调查：购买一台
A
型设备比购买一台
B
型设备多
万元，购买
台
A
型设备比购买
台
B
型设备少
万元．
（1）求
a，b的值；
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过
万元，你认为该公司
有哪几种购买；
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理西流湖的污水量不低于
2040
吨，为了节
约资金，请你为治污公司设计一种最的购买．
【答案】（1）；（2）①A型设备0台，B型设备10台；②A型设备1台，B型设备9台；③A型设备2台，B型设备8台.；（3）为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台.【解析】
【分析】（1）根据“购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元”即可列出方程组，继而进行求解；
（2）可设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10-x）台，则有12x+10（10-x）≤105，解之确定x的值，即可确定；
（3）由于每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，所以有240x+200（10-x）≥2040，解之即可由x的值确定，然后进行比较，作出选择．
【详解】(1)根据题意得：，∴；
(2)设购买污水处理设备A型设备x台,B型设备(10−x)台，则：12x+10(10−x)⩽105，∴x⩽2.5，∵x取非负整数，∴x=0，1，2，∴有三种购买：
①A型设备0台，B型设备10台；
②A型设备1台，B型设备9台；
③A型设备2台，B型设备8台
(3)由题意：240x+200(10−x)⩾2040，∴x⩾1，又∵x⩽2.5，x取非负整数，∴x为1，2.当x=1时,购买资金为：12×1+10×9=102(万元)，当x=2时,购买资金为：12×2+10×8=104(万元)，∴为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台.【点睛】此题考查一元不等式的运用，二元方程组的运用，解题关键在于理解题意列出方程.24.如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．
(1)求教学楼AB的高度；
(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．
(参考数据：sin22º≈，cos22º≈，tan22º≈)
【答案】（1）12m（2）27m
【解析】
【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用，求出即可．
（2）利用Rt△AME中，求出AE即可．
【详解】解：（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M．
设AB为x．
在Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF＋FC=x＋13．
在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB－BM=AB－CE=x－2，又∵，∴，解得：x≈12．
∴教学楼的高12m．
（2）由（1）可得ME=BC=x+13≈12+13=25．
在Rt△AME中，∴AE=MEcos22°≈．
∴A、E之间的距离约为27m．
25.已知直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．
（1）如图，当点M与点A重合时，求：
①抛物线解析式；
②点N的坐标和线段MN的长；
（2）抛物线在直线AB上平移，能否存在点M，使得△OMN与△AOB类似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请阐明理由．
【答案】（1）①②N（，－4），（2）存在．点M的坐标为（2，－1）或（4，3）
【解析】
【分析】（1）①由直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，求出点A、B坐标，由顶点M与点A重合，根据二次函数的性质求出顶点解析式．
②联立和，求出点N的坐标，过N作NC⊥x轴，由勾股定理求出线段MN的长．
（2）根据类似三角形的性质，可得关于m或n的方程，可得M点的坐标，要分类讨论，以防遗漏．
【详解】解：（1）①∵直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，∴A（，0），B（0，－5）．
当顶点M与点A重合时，∴M（，0）．
∴抛物线的解析式是：，即．
②∵N是直线与在抛物线的交点，∴，解得或．
∴N（，－4）．
如图，过N作NC⊥x轴，垂足为C．
∵N（，－4），∴C（，0）
∴NC=4．MC=OM－OC=．
∴．
（2）设M（m，2m-5），N（n，2n-5）．，则OB=2OA，当∠MON=90°时，∵AB≠MN，且MN和AB边上的高相等，因此△OMN与△AOB不能全等，∴△OMN与△AOB不类似，不满足题意．
当∠OMN=90°时，即，解得，则m2+（2m-5）2=（）2，解得m=2，∴M（2，-1）；
当∠ONM=90°时，即，解得，则n2+（2n-5）2=（）2，解得n=2，解得：m=4，则M的坐标是M（4，3）．
故M的坐标是：（2，-1）或（4，3）．
点击咨询