重庆理工大学2019年攻读硕士学位研究生入学考试试题
学院名称：理学院
学科、专业名称：数学
考试科目（代码）：高等代数（822）（A卷）
（试题共
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注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。
2.试题附在考卷内交回。
一、填空题（每题4分，共20分）
1.设为阶方阵,有非零解,则必有一个特征值是______.2.设3维列向量，线性无关,是3阶方阵,且，,则
=_______.3.已知阶方阵的特征值为，，则A的伴随矩阵的迹（主对角线元素之和）为________.4.在中,若线性变换关于基，的矩阵为,则关于基，的矩阵为________.5.设阶方阵的秩为1,则=__________.二、（15分）
（1）（7分）
证明：在有理数域上不可约；
（2）（8分）
求的全部有理根.第1
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三、（15分）
设,（1）（7分）
计算的值,其中是中元素的代数余子式；
（2）（8分）
问是否可逆？
若可逆，求，其中为的伴随矩阵.四、（20分）
设有向量组
：及向量,问为何值时
（1）（6分）
向量可由向量组线性表示，且表示式唯一；
（2）（7分）
向量可由向量组线性表示，但表示式不唯一；
（3）（7分）
向量不能由向量组线性表示.五、（20分）
设非齐次线性方程组,秩,（1）（10分）
若有一个解,是其导出组的一个基础解系,证明：
线性无关；
（2）（10分）
若
为的解，证明：
也是的解，其中
为实数,且.第2
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六、（20分）
已知、为阶方阵，,其中为阶单位矩阵,（1）（10分）
证明：可逆,并求其逆（用或表示）；
（2）（10分）
若,求矩阵.七、（20分）
已知二次型,且是矩阵的一个特征向量,（1）（6分）
求的值；
（2）（7分）
求正交变换,将二次型化为标准形；
（3）（7分）
当时,求的最大值.八、（20分）
设,是数域上所有2阶方阵构成的集合,（1）（8分）
证明：是的子空间；
（2）（12分）
求的一般形式、基和维数.第3
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