高中数学必修1知识点
第一章集合与函数概念
【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念
把某些特定的对象集在一起就叫做集合.（2）常用数集及其记法
表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.（3）集合与元素间的关系
对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等
名称
记号
意义
性质
示意图
子集
（或
A中的任一元素都属于B
(1)AA
(2)
(3)若且，则
(4)若且，则
或
真子集
AB
（或BA），且B中至少有一元素不属于A
（1）（A为非空子集）
(2)若且，则
集合相等
A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A
(1)AB
(2)BA
（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集
名称
记号
意义
性质
示意图
交集
且
（1）
（2）
（3）
⑷
Α⊆B⟺A∩B=A
并集
或
（1）
（2）
（3）
⑷A⊆B⟺A∪B=B
补集
∁uA
⑴
（∁uA）∩A=∅,⑵
∁uA∪A=U,⑶
∁u∁uA=A,⑷
∁uA∩B=∁uA∪∁uB,⑸
∁u(A∪B)=(∁uA)∩(∁uB)
⑼
集合的运算律：
交换律：
结合律:
分配律:
0-1律：
等幂律：
求补律：A∩∁uA=∅
A∪CuA=U
∁uU=∅∁u∅=U
反演律：∁u(A∩B)=(∁uA)∪(∁uB)
∁u(A∪B)=(∁uA)∩(∁uB)
第二章函数
§1函数的概念及其表示
一、映射
1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合B中都有
元素和它对应，这样的对应叫做
到的映射，记作
.2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。
二、函数
1．定义：设A、B是，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的，记作
.2．函数的三要素为、、，两个函数当且仅当
分别相同时，二者才能称为同一函数。
3．函数的表示法有、、。
§2函数的定义域和值域
一、定义域：
1．函数的定义域就是使函数式的集合.2．常见的三种题型确定定义域：
①
已知函数的解析式，就是
.②
复合函数f
[g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的域是外函数f
(x)的域.③实际应用问题的定义域，就是要使得
有意义的自变量的取值集合.二、值域：
1．函数y＝f
(x)中，与自变量x的值的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑，取决于，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为
法和
法）
例如：①
形如y＝，可采用
法；②
y＝，可采用
法或
法；③
y＝a[f
(x)]2＋bf
(x)＋c，可采用
法；④
y＝x－，可采用
法；⑤
y＝x－，可采用
法；⑥
y＝可采用
法等.§3函数的单调性
一、单调性
1．定义：如果函数y＝f
(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、 (x)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个 ；②都有，则称f (x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 .若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为 .2．判断单调性的方法： (1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ .(2) 导数法，若函数y＝f (x)在定义域内的某个区间上可导，①若，则f (x)在这个区间上是增函数；②若，则f (x)在这个区间上是减函数.二、单调性的有关结论 1．若f (x),g(x)均为增(减)函数，则f (x)＋g(x) 函数； 2．若f (x)为增(减)函数，则－f (x)为； 3．互为反函数的两个函数有的单调性； 4．复合函数y＝f [g(x)]是定义在M上的函数，若f (x)与g(x)的单调相同，则f [g(x)]为，若f (x),g(x)的单调性相反，则f [g(x)]为 .5．奇函数在其对称区间上的单调性，偶函数在其对称区间上的单调性 .§4函数的奇偶性 1．奇偶性： ① 定义：如果对于函数f (x)定义域内的任意x都有，则称f (x)为奇函数；若，则称f (x)为偶函数.如果函数f (x)不具有上述性质，则f (x)不具有 .如果函数同时具有上述两条性质，则f (x) .② 简单性质： 1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.2） 函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称.2．与函数周期有关的结论： ①已知条件中如果出现、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为； ②的图象关于点中心对称或的图象关于直线 轴对称，均可以得到周期 第三章 指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质 1．正整数指数函数 函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作________指数函数；形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为________函数． 2．分数指数幂 (1)分数指数幂的定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的次幂，记作b＝； (2)正分数指数幂写成根式形式：＝(a>0)； (3)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝__________________(a>0，m、n∈N＋，且n>1)； (4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)aman＝________(a>0)； (2)(am)n＝________(a>0)； (3)(ab)n＝________(a>0，b>0)． §3 指数函数(一) 1．指数函数的概念 一般地，________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____． 2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质 a>1 0 图像 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性 质 过定点 过点______，即x＝____时，y＝____ 函数值的变化 当x>0时，______； 当x<0时，________ 当x>0时，________； 当x<0时，________ 单调性 是R上的________ 是R上的________ §4 对数(二) 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则： (1)loga(MN)＝________________； (2)loga＝________； (3)logaMn＝__________(n∈R)． 2．对数换底公式 logbN＝(a，b>0，a，b≠1，N>0)； 特别地：logab·logba＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)． §5 对数函数(一) 1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．________为常用对数函数；y＝________为自然对数函数.2．对数函数的图像与性质 定义 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0 图像 定义域 ______ 值域 ______ 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图像过点______，即loga1＝0 函数值 特点 x∈(0,1)时，y∈______； x∈[1，＋∞)时，y∈______.x∈(0,1)时，y∈______； x∈[1，＋∞)时，y∈______.对称性 函数y＝logax与y＝x的图像关于______对称 3.反函数 对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数． 第四章 函数应用 §1 函数与方程 1.1 利用函数性质判定方程解的存在2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标． 3．方程f(x)＝0有实数根 ⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________ ⇔函数y＝f(x)有________． 4．函数零点的存在性的判定方法 如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)____0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解． 1.2 利用二分法求方程的近似解 1．二分法的概念 每次取区间的中点，将区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来_________________________________________________________________． 2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε) (1)确定区间[a，b]，使____________． (2)求区间(a，b)的中点，x1＝__________.(3)计算f(x1)． ①若f(x1)＝0，则________________； ②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))； ③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))． (4)继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．
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