计算技巧及方法总结一、一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做
1、二阶行列式
2、三阶行列式
=
例1计算三阶行列式
解
但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。
计算上三角形行列式
下三角形行列式
对角行列式
二、用行列式的性质计算
1、记住性质，这是计算行列式的前提
将行列式的行与列互换后得到的行列式,称为的转置行列式,记为或,即若
则
.性质1
行列式与它的转置行列式相等,即
注
由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2
交换行列式的两行(列),行列式变号.推论
若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零.性质3
用数乘行列式的某一行(列),等于用数乘此行列式,即
第行(列)乘以,记为(或).推论1
行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论2
行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.性质4
若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如,.则
.性质5
将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数后加到另一行(列)对应位置的元素上,行列式不变.注:
以数乘第行加到第行上,记作;
以数乘第列加到第列上，记作.2、利用“三角化”计算行列式
计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算.例如化为上三角形行列式的步骤是:
如果第一列第一个元素为0,先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0;
然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;
再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例2若,则
例3（1）（第一、二行互换）.（2）（第二、三列互换）
（3）（第一、二两行相等）
（4）（第二、三列相等）
例4（1）因为第三行是第一行的倍.（2）因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例5若,则
又
.例6
设
求
解
利用行列式性质，有
例7（1）
（2）.例8
因为而.因此.注:
一般来说下式是不成立的.例9（1）,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去,其值不变.（2）,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去,其值不变.例10计算行列式.解
先将第一行的公因子3提出来：
再计算
例11
计算
解
例12计算
解
注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.注：仿照上述方法可得到更一般的结果:
例13
计算
解
根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使中的零元素增多.例14
计算
解
从第4行开始，后一行减前一行：
三、行列式按行(列)展开（降阶法）
1、行列式按一行(列)展开
定义1
在阶行列式中,去掉元素所在的第行和第列后,余下的阶行列式,称为中元素的余子式,记为,再记
称为元素的代数余子式.引理（常用）
一个n阶行列式D,若其中第i行所有元素除外都为零，则该行列式等于与它的代数余子式的乘积，即
定理1
行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
或
推论
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即
或
2、用降价法计算行列式（常用）
直接应用按行(列)展开法则计算行列式,运算量较大,尤其是高阶行列式.因此,计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素,再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式,如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.3、拉普拉斯定理（一般少用）
定义2
在阶行列式中,任意选定行列,位于这些行和列交叉处的个元素,按原来顺序构成一个阶行列式,称为的一个阶子式,划去这行列,余下的元素按原来的顺序构成阶行列式,在其前面冠以符号,称为的代数余子式,其中为阶子式在中的行标,为在中的列标.注：行列式的阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质.定理2
(拉普拉斯定理)
在阶行列式中,任意取定行(列),由这行(列)组成的所有阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式.例15求下列行列式的值:
（1）
（2）
解
(1)
(2)
例16计算行列式
解
例17计算行列式
解
例18求证
.证
例19设
D中元素的余子式和代数余子式依次记作和,求及.解
注意到等于用代替的第1行所得的行列式,即
又按定义知,例20
用拉普拉斯定理求行列式的值.解
按第一行和第二行展开
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