浅谈计算极限的方法与技巧（五篇范文）

第一篇：浅谈计算极限的方法与技巧

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浅谈计算极限的方法与技巧

作者：徐向东

来源：《学园》2013年第11期

【摘 要】掌握极限的计算是高等数学教学的基本要求，本文归纳了极限计算的一些特别的方法与技巧。

【关键词】极限 方法与技巧 导数 定积分 级数

【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）11-0056-02

极限的计算不仅是高等数学的基本计算之一，同时又是解决许多实际问题中不可缺少的工具，它在物理学、工程学等相关学科上有广泛的应用，因此，求极限是学生必须练好的一门基本功。然而面对许多错综复杂的极限题，许多学生感到茫然失措，本文从高等数学教学目的出发，为了使学生学好极限，总结了求解极限的一些特别的方法与技巧。计算极限的常用的基本方法有下列几种：（1）利用极限定义及极限四则运算法则计算极限；（2）利用连续函数的性质计算极限；（3）利用两个重要极限计算极限；（4）利用洛比塔法则计算极限；（5）利用夹逼定理计算极限；（6）利用单调有界定理计算极限；（7）利用等价无穷小量替代法计算极限；（8）利用“无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量”这一性质计算极限；（9）利用因式分解、通分、三角公式恒等变形，有理化法计算极限。

十四 利用初等变形计算极限

用初等数学的方法将xn变形，然后求极限。要么分子、分母同乘一个因子，利用初等公式化简，使之出现连锁反应，要么拆通项，或者分解因式使之成为两因式乘积形式，使得中间项相消，从而化简使其易求极限。

参考文献

[1]高文杰等.高等数学全程辅导[M].天津：天津大学出版社，2005

〔责任编辑：肖薇〕

第二篇：计算技巧及方法总结

计算技巧及方法总结一、一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做

1、二阶行列式

2、三阶行列式

=

例1计算三阶行列式

解

但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。

计算上三角形行列式

下三角形行列式

对角行列式

二、用行列式的性质计算

1、记住性质，这是计算行列式的前提

将行列式的行与列互换后得到的行列式,称为的转置行列式,记为或,即若

则

.性质1

行列式与它的转置行列式相等,即

注

由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2

交换行列式的两行(列),行列式变号.推论

若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零.性质3

用数乘行列式的某一行(列),等于用数乘此行列式,即

第行(列)乘以,记为(或).推论1

行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论2

行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.性质4

若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如,.则

.性质5

将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数后加到另一行(列)对应位置的元素上,行列式不变.注:

以数乘第行加到第行上,记作;

以数乘第列加到第列上，记作.2、利用“三角化”计算行列式

计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算.例如化为上三角形行列式的步骤是:

如果第一列第一个元素为0,先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0;

然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;

再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例2若,则

例3（1）（第一、二行互换）.（2）（第二、三列互换）

（3）（第一、二两行相等）

（4）（第二、三列相等）

例4（1）因为第三行是第一行的倍.（2）因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例5若,则

又

.例6

设

求

解

利用行列式性质，有

例7（1）

（2）.例8

因为而.因此.注:

一般来说下式是不成立的.例9（1）,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去,其值不变.（2）,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去,其值不变.例10计算行列式.解

先将第一行的公因子3提出来：

再计算

例11

计算

解

例12计算

解

注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.注：仿照上述方法可得到更一般的结果:

例13

计算

解

根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使中的零元素增多.例14

计算

解

从第4行开始，后一行减前一行：

三、行列式按行(列)展开（降阶法）

1、行列式按一行(列)展开

定义1

在阶行列式中,去掉元素所在的第行和第列后,余下的阶行列式,称为中元素的余子式,记为,再记

称为元素的代数余子式.引理（常用）

一个n阶行列式D,若其中第i行所有元素除外都为零，则该行列式等于与它的代数余子式的乘积，即

定理1

行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即

或

推论

行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即

或

2、用降价法计算行列式（常用）

直接应用按行(列)展开法则计算行列式,运算量较大,尤其是高阶行列式.因此,计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素,再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式,如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.3、拉普拉斯定理（一般少用）

定义2

在阶行列式中,任意选定行列,位于这些行和列交叉处的个元素,按原来顺序构成一个阶行列式,称为的一个阶子式,划去这行列,余下的元素按原来的顺序构成阶行列式,在其前面冠以符号,称为的代数余子式,其中为阶子式在中的行标,为在中的列标.注：行列式的阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质.定理2

(拉普拉斯定理)

在阶行列式中,任意取定行(列),由这行(列)组成的所有阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式.例15求下列行列式的值:

（1）

（2）

解

(1)

(2)

例16计算行列式

解

例17计算行列式

解

例18求证

.证

例19设

D中元素的余子式和代数余子式依次记作和,求及.解

注意到等于用代替的第1行所得的行列式,即

又按定义知,例20

用拉普拉斯定理求行列式的值.解

按第一行和第二行展开

第三篇：极限的计算、证明

极限的论证计算，其一般方法可归纳如下

1、直接用定义N,等证明极限

0例、试证明limn1n

证：要使0，只须n，故 

11nN0，N，有10 n1n12、适当放大，然后用定义或定理求极限或证明极限

an

0，a0例、证明：limnn!

证：已知a0是一个常数

正整数k，使得ak aaa0，n n!n!k!k1nk!nk!nanakaaakk1

ak11，当nN时，有 0,Nk!

an0 n!

3、用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限

例、求limn352n1 2462n解：1352n13572n11462n12462n1 2462n2462n22n352n12n1352n14n

1352n11  2462n4n2

两边开2n次方：

11352n11211

1

2462n4n22n

1352n11

2462n由两边夹：limn

4、利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问

题

例、设Snl0n，p0为常数，求证：Snln

p

p

证：0SnlSnl0，得 Snln记 Snln，其中 n0n

n

再记Snlnl1l



p

p



l1n，其中nn0n l

则有Snl1np。若取定自然数Kp，则当n1时1n1np1n

K

K

l1nl1npSnl1n

p

K

p

p

p

K

由两边夹得证。

5、通过分子有理化或分子分母同时有理化将表达式变形使之易

求极限

例、求极限limsinn21

n



sinnn21n解：limsinn21lim

n

n



1sinn1n lim1sinlimn

n



n

2

n1n

n

06、换变量后利用复合函数求极限法则求极限例、求极限lim

x0

1x

x

1K

1，其中K是自然数

解：令 y1x1

当x1时，有 1x1x1x，所以x0y0利用复合函数求极限法则可得lim

x0

1K

1K

1x

x

1K

1

lim

y0

y

1yK1

lim

y0

y

Ky

KK1y2yKK7、进行恒等变形化成已知极限进行计算

xx2

例、lim

1cosx2sin2sinx0x2limx0x2

lim1x021 x22

8、用等价无穷小量进行变量替换后求极限例、求极限lim

1cosx

x0

1cos

x2

解：1cosx～12x2，1cosx2～12x

2

x0

lim1cosx

x

x01cosxlimx01x24 222

9、利用存在性定理确定极限的存在性并求极限例、x1xn

n1

x，n1,2,，x1a0 n2

证明：limn

xn存在，并求此极限。证明：xn0x1n1

xxn21xn

2 n2xnx1x

2x2

nn1xnnx2xn2x0，xn1xn

nn

且 xn2，limn

xn存在令 llimxn，有 l1ln

l2，l22，l2

10、利用海涅定理解决极限问题

例、试证明函数fxsin1x

当x0时极限不存在证：取x1n，yn

2n2n

0 n 

02

而 fxn1，fyn0，得证

11、把求极限问题化为导数问题计算例、求极限lim

1x

1K

1

x0x，其中K是自然数

1解：lim

1xK

1

x0

x

1

xK'1x1K 

12、利用洛必达法则求极限

例、limtgx2x

x

0解：令Alimtgx2x

x

0lnAlnlimtgx2xlimlntgx2x

x

 2

0x2

0

lim2xlntgxlimlntgx

sec2xx

2

0x2

0

2x1

lim

x

0

22x2

tgx

lim12x2

142xx202sinxcosx2lim0x20sin2x



所以limtgx2x

Ae01 x

013、把求极限的表达式化为积分和的形式，用定积分进行计算

例、设Sn

1n11n21

2n，求limnSn解：S111

n11nn1n22n，lim

S11ni1n1in01x

ln2 n14、利用第一积分中值定理处理定积分的极限问题

例、求lim

xn

n

01xdx解：由第一积分中值定理

1

xn1

01xdx

1n



n0

xdx

11，0n1 nn1

所以lim

xn

n

01xdx0

15、利用收敛级数的必要条件求极限

例、求xn

limnn!

解：已知指数函数的幂级数展开式x



xn

e!

对于一切xR收敛n0n而收敛级数的一般项趋于0，故得lim

xn

nn!

0

16、用带有皮亚诺余项的泰勒展开式求函数或序列的极限

例、limxx2ln1

x



1x

解：xx2

ln11xxx2111011o1

2x2xx2x

2x2

原式

1、利用柯西收敛准则处理极限问题

例、用Cauchy收敛准则证明xn1证:取00,N0,任取nN,pn,有

xnpxnx2nxn

2n12n3



1135



无极限.2n1

1nn1

.4n14n14n4

故由Cauchy收敛准则知,xn为发散数列.

第四篇：极限满分方法

的题目是以直接求极限的形式出现，例如2011年数学一的15题：求极限也有的题目是间接涉及到求极限问题，例如2012年数学一的1题是要求曲线渐近线的条数，求曲线渐进线最终还是通过求函数极限来达到的。这两类题目在历年考研数学试题中出现的频率都很高，求极限的方法一定要熟记于心、熟练掌握，不可轻视！

??? 求极限的方法不只限于两三种，概括来讲共分为下面八大类：

??? 1.定义法。此法一般用于极限的证明题，计算题很少用到，但仍应熟练掌握，不重视基础知识、基本概念的掌握对整个复习过程都是不利的。

??? 2.洛必达法则。此法适用于解型等不定式极限，但要注意适用条件（不只是使用洛必达法则要注意这点，数学本身是逻辑性非常强的学科，任何一个公式、任何一条定理的成立都是有使其成立的前提条件的，不能想当然的随便乱用），如出现的极限是形如，则都可以转化为型来求解。

??? 3.对数法。此法适用于指数函数的极限形式，指数越是复杂的函数，越能体现对数法在求极限中的简便性，计算到最后要注意代回以e为底，不能功亏一篑。

??? 4.定积分法。此法适用于待求极限的函数为或者可转化为无穷项的和与一个分数单位之积，且这无穷项为等差数列，公差即为那个分数单位。例如《2013无师自通考研数学复习大全》第26页末尾的一道题：极限

?

??? 5.泰勒展开法。待求极限函数为分式，且用其他方法都不容易简化时使用此法会有意外收获。当然这要求考生能熟记一些常见初等函数的泰勒展开式且能快速判断题目是否适合用泰勒展开法，坚持平时多记多练，这都不是难事。

??? 6.等价替换法。此法能快速简化待求极限函数的形式，也需要考生熟记一些常用的等价关系，才能保证考试时快速准确地解题。注意等价替换只能替换乘除关系的式子，加减关系的不可替换。

??? 7.放缩法（夹逼定理）。此法较简单，就是对待求极限的函数进行一定的扩大和缩小，使扩大和缩小后的函数极限是易求的，例如《2013考研数学接力题典1800》第4页的56题：求极限，该题即是用放缩法求解，具体解法可参见书内答案。

??? 8.重要极限法。高数中的两个重要极限：及其变形要熟记并学会应用。

??? 掌握了以上八大方法还是不够的，要学会融会贯通，因为考研题的综合性很强，不是一道题只用一种方法就能够解出来的，往往是同时用到两三种甚至更多才能顺利解答。这就需要考生平时多想多练，做到熟能生巧，才能在最后的考试决战中胜人一筹。

第五篇：函数极限题型与解题方法

函数极限题型与解题方法2011/11/3

毕原野 整理

一．极限的证明

1.趋近于无穷 P19 例8（1）

2.趋近于正无穷 P19 例8（2）

3.趋近于负无穷 P19 例8（3）（4）

4.趋近于某一定值 P21 例9（1）（2）（3）

极限的证明说白了就是找两个值，对于趋近于无穷的极限来说是ε和X，而对于趋近于某一定值的极限来说就是ε和δ。因此，证明过程中，无论哪种先得出ε，然后把x用ε表示出来（如果是趋近于某一定值的就是把|x-a|用ε表示出来），这样，就明确了X（δ），之后直接套格式就好了。

关键就在于表示过程，这需要一定的计算和技巧，比如放缩、变形等。由于ε的无限小，可以为其设定任何范围，以简化计算，但是要使原试有意义。

二．求极限

1.趋近于无穷（包括正负无穷）

（1）上下同除高次项 P22 例11（3）

（2）有理化 P25 例3（5）

（3）换元 P25 例13（2）

（4）应用 无穷小×有界=无穷小 P25 例13（3）（4）

2.趋近于某一定值

（1）应用法则直接带入 P22 例11（1）（2）

（2）有理化 P22 例11（4）

（3）等价无穷小定理 P28 例14（1）（2）（3）

（4）变形后应用重要极限

换元 P24 例12（1）（3）

倍角公式 P24 例12（2）

其他变形 P24 例12（4）

通分 P34 23.（9）（10）

3.分段函数

应用1.、2.的方法得出左右极限即可。

书写过程注意格式，写明左右极限。P21 例10 P35 29.函数的极限求法可以类比数列的求法，只是要注意其方向和保证原式的有意义。

三．证明极限存在与否

首先确定是否能求出左右极限。不能，则无极限；能，则进一步看是否相等。不等，则无极限；等，则有极限。P35 30.（2）（3）

四．求参数

应用定理lim f（x）/g（x）=c（c≠0），分子分母中任意一个为0，则另一个也为0。P35 35.通分整理，提出相消的项，令参数与同次项系数互为相反数即可。P35 34.为此稿做过贡献的同学在此依次注明信息吧！~