2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设，则下列各不等式一定成立的是
(▲)
A．
B．
C．
D．
2．已知向量＝(0，1，1)，＝(1，－2，1)．若向量+与向量＝(m，2，n)平行，则实数n的值是（▲）
A．6
B．－6
C．4
D．－4
3.已知椭圆C：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（▲）
A.B.C.D.4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（▲）
A．一鹿、三分鹿之一
B．一鹿
C．三分鹿之二
D．三分鹿之一
5.已知等比数列为单调递增数列，设其前n项和为，若，则的值为
（▲）
A．16
B．32
C．8
D．
6.下列不等式或命题一定成立的是（▲)
①lg(x2+)⩾lg x(x>0);
②sin x+⩾2(x≠kπ,k∈Z)；
③x2+1⩾2|x|(x∈R);
④
(x∈R)最小值为2.A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
7．已知关于x的不等式的解集为空集,则实数a的取值范围是(▲)
A.B.C.D.8.设为数列的前项和,满足，则
（▲）
A．192
B．96
C．93
D．189
9.若正数a、b满足，设，则y的最大值是（▲）
A.12
B.-12
C.16
D.-16
10．正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则的值为（▲）
A．-2
B．4
C．2
D．1
11．已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若椭圆上存在点P,使得，则该离心率e的取值范围是（▲）
A.B.C.D.12．当n为正整数时，定义函数表示n的最大奇因数。如，，则
（▲）
A.342
B.345
C.341
D.346
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．命题p：“，都有”的否定：
▲
.14．不等式的解集是___▲_______．
15.已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么
双曲线的渐近线方程为
▲
16．已知，那么的最小值为____▲
______
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）
已知等差数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和Tn.▲▲▲
18.（本题满分12分）
已知，函数.（1）若对恒成立，求实数a的取值范围。
（2）当a=1时，解不等式.▲▲▲
19.（本题满分12分）
在平面直角坐标系xoy中，曲线C上的动点到点的距离减去M到直线的距离等于1.(1)求曲线C的方程；
(2)若直线与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补.▲▲▲
20.（本题满分12分）
某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．
⑴．设使用年该车的总费用(包括购车费用)为f(n)，试写出f(n)的表达式；
⑵．求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)．
▲▲▲
21.（本题满分12分）
如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=6，AB=12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O.如图2，点P为BC中点，点E在线段AB上(不同于A,B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB.(1)证明：OD⊥平面PAQ；
(2)若BE=2AE，求二面角C−BQ−A的余弦值。
▲▲▲
22.（本小题满分12分）
已知椭圆C1：，F为左焦点，A为上顶点，B(2,0)为右顶点，若，抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点为F．
(1)求C1的标准方程；
(2)是否存在过F点的直线，与C1和C2交点分别是P，Q和M，N，使得S△OPQ=S△OMN？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．
▲▲▲
2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题
一、选择题
B
D
A
B
A
C
C
D
A
D
A
A
二、填空题
13.使得
14.15.16.10
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）
已知等差数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和Tn.17.（1）在等差数列中，，解得,………………………………………………………………………….3分
综上所述，数列的通项公式是……………………………………….5分
（2）由(1)知：，又因为，……………………………………….7分
………………………………………………………………..10分
综上所述，数列的前n项和是.………………………………………..10分
18.（本题满分12分）
已知，函数.（1）若对恒成立，求实数a的取值范围。
（2）当a=1时，解不等式.18.(1)∵f(x)⩽2x对x∈(0,2)恒成立，∴a⩽+2x对x∈(0,2)恒成立，……………………………………………………………….2分
∵x>0∴+2x⩾2，当且仅当=2x，即x=时等号成立，…………………….....4分
∴a⩽2…………………………………………………………………………………….....6分
(2)当a=1时，f(x)=1−，∵f(x)⩾2x，∴1−⩾2x，①若x>0，则1−⩾2x可化为：2x2−x+1⩽0，所以x∈∅；………………………………...8分
②若x<0，则1−⩾2x可化为：2x2−x−1⩾0，解得：x⩾1或x⩽−，∵x<0，∴x⩽−，………………………………………………………………………….....10分
由①②可得1−⩾2x的解集为：(−∞,−]………………………………..…………….....12分
19.（本题满分12分）
在平面直角坐标系xoy中，曲线C上的动点到点的距离减去M到直线的距离等于1.(1)求曲线C的方程；
(2)若直线与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补.19(1)曲线C上的动点M(x,y)(x>0)到点F(2,0)的距离减去M到直线x=−1的距离等于1，所以动点M到直线x=−2的距离与它到点F(2,0)的距离相等，故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线y2=8x.…………..………………………………………….....4分
(2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2).联立,得k2x2+(4k2−8)x+4k2=0,(k≠0).……………………………………6分
∴△>0，,x1x2=4………………………………………………………8分
∴直线FA与直线FB的斜率之和=
=
==
因为x1x2=4∴直线FA与直线FB的斜率之和为0，……………………………………11分
∴直线FA与直线FB的倾斜角互补。……………………………………………………12分
20.（本题满分12分）
【解】
⑴．依题意f(n)＝14．4(0．20．40．6…0．2n)0．9n…………………2分
＝14．40．1n(n＋1)0．9n
＝0．1n2＋n＋14．4，n∈N*……………………………………………5分(没有定义域扣1分)
⑵．设该车的年平均费用为S万元，则有
S＝f(n)＝(0．1n2＋n＋14．4)＝n＋14．4＋1………………………………………7分
∵n是正整数，故n＋14．4＋1≥2．4＋1＝3．4，……………………………10分
当且仅当n＝(14．4)，即n＝12时，等号成立．………………………………11分
故汽车使用12年报废为宜．……………………………………………………………12分
21.（本题满分12分）
(1)解法一(几何法)
证明：取OO1的中点为F,连接AF,PF;
∴PF∥OB，∵AQ∥OB,∴PF∥AQ，∴P、F.A.Q四点共面，又由图1可知OB⊥OO1，∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，且平面ADO1O∩平面BCO1O=OO1，∴OB⊥平面ADO1O，∴PF⊥平面ADO1O，又∵OD⊂平面ADO1O，∴PF⊥OD.………………………………………………..2分
在直角梯形ADO1O中,..,OF=O1D,∠AOF=∠OO1D,∴△AOF≌△OO1D,∴∠FAO=∠DOO1，∴∠FAO+∠AOD=∠DOO1+∠AOD=90∘，∴AF⊥OD.………………………………………………..4分
∵AF∩PF=F，且AF⊂平面PAQ，PF⊂平面PAQ，∴OD⊥平面PAQ.………………………………………………..6分
解法二(向量法)
由题设知OA,OB,OO1两两垂直,所以以O为坐标原点,OA,OB,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m，则相关各点的坐标为O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0).∵点P为BC中点,∴P(0，3)，∴=(3,0,6),=(0,m,0)
=(6,m−,−3)，…………………………………………………………………………..2分
∵·=0,·=0
∴⊥,⊥且与不共线，………………………………
……….4分
∴OD⊥平面PAQ.…………………………………………………………………………...6分
(2)∵BE=2AE,AQ∥OB,∴AQ=OB=3，则Q(6,3,0),∴
=(−6,3,0),=(0,−3,6).设平面CBQ的法向量为
=(x,y,z)，∵∴
令z=1,则y=2,x=1,则=(1,2,1)，……………………………………………………………..8分
又显然,平面ABQ的法向量为=(0,0,1)，……………………………………..………….10分
设二面角C−BQ−A的平面角为θ，由图可知，θ为锐角，则cosθ==.…………………………………………………..………………….12分
22（本题满分12分）
(1)
依题意可知，即
由右顶点为B(2,0)，得a=2，解得b2=3，所以C1的标准方程为．………………………………………………..3分
(2)
依题意可知C2的方程为y2=−4x，………………………………………………..4分
假设存在符合题意的直线，设直线方程为x=ky−1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x3,y3)，N(x4,y4)，联立方程组得(3k2+4)y2−6ky−9=0，由韦达定理得y1+y2=，y1y2=，则|y1−y2|==，……………………………………………...6分
（写出PQ长度也可以）
联立方程组，得y2+4ky−4=0，由韦达定理得y3+y4=−4k，y3y4=−4，所以|y3−y4|==，…………………………………………....8分
（写出MN长度也可以）
若S△OPQ=S△OMN，则PQ=2MN，…………………………….…………………………..10分
则|y1−y2|=|y3−y4|，即=，解得k=，所以存在符合题意的直线方程为x+y+1=0或x−y+1=0．………………….....12分
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