2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设,则下列各不等式一定成立的是
(▲)
A.
B.
C.
D.
2.已知向量=(0,1,1),=(1,-2,1).若向量+与向量=(m,2,n)平行,则实数n的值是(▲)
A.6
B.-6
C.4
D.-4
3.已知椭圆C:,若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为(▲)
A.B.C.D.4.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士,凡五人,共猎得五鹿,欲以爵次分之,问各得几何?”其意思:“共有五头鹿,5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述,一般表示等差分配,在本题中表示等差分配).”在这个问题中,若大夫得“一鹿、三分鹿之二”,则簪裹得(▲)
A.一鹿、三分鹿之一
B.一鹿
C.三分鹿之二
D.三分鹿之一
5.已知等比数列为单调递增数列,设其前n项和为,若,则的值为
(▲)
A.16
B.32
C.8
D.
6.下列不等式或命题一定成立的是(▲)
①lg(x2+)⩾lg x(x>0);
②sin x+⩾2(x≠kπ,k∈Z);
③x2+1⩾2|x|(x∈R);
④
(x∈R)最小值为2.A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
7.已知关于x的不等式的解集为空集,则实数a的取值范围是(▲)
A.B.C.D.8.设为数列的前项和,满足,则
(▲)
A.192
B.96
C.93
D.189
9.若正数a、b满足,设,则y的最大值是(▲)
A.12
B.-12
C.16
D.-16
10.正四面体ABCD的棱长为2,E、F分别为BC、AD的中点,则的值为(▲)
A.-2
B.4
C.2
D.1
11.已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若椭圆上存在点P,使得,则该离心率e的取值范围是(▲)
A.B.C.D.12.当n为正整数时,定义函数表示n的最大奇因数。如,,则
(▲)
A.342
B.345
C.341
D.346
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.命题p:“,都有”的否定:
▲
.14.不等式的解集是___▲_______.
15.已知双曲线的离心率为2,焦点与椭圆的焦点相同,那么
双曲线的渐近线方程为
▲
16.已知,那么的最小值为____▲
______
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)
已知等差数列的前n项和为,且,.(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和Tn.▲▲▲
18.(本题满分12分)
已知,函数.(1)若对恒成立,求实数a的取值范围。
(2)当a=1时,解不等式.▲▲▲
19.(本题满分12分)
在平面直角坐标系xoy中,曲线C上的动点到点的距离减去M到直线的距离等于1.(1)求曲线C的方程;
(2)若直线与曲线C交于A,B两点,求证:直线FA与直线FB的倾斜角互补.▲▲▲
20.(本题满分12分)
某种汽车购买时费用为14.4万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元,汽车的维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,…,依等差数列逐年递增.
⑴.设使用年该车的总费用(包括购车费用)为f(n),试写出f(n)的表达式;
⑵.求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少).
▲▲▲
21.(本题满分12分)
如图1,在高为6的等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=6,AB=12,将它沿对称轴OO1折起,使平面ADO1O⊥平面BCO1O.如图2,点P为BC中点,点E在线段AB上(不同于A,B两点),连接OE并延长至点Q,使AQ∥OB.(1)证明:OD⊥平面PAQ;
(2)若BE=2AE,求二面角C−BQ−A的余弦值。
▲▲▲
22.(本小题满分12分)
已知椭圆C1:,F为左焦点,A为上顶点,B(2,0)为右顶点,若,抛物线C2的顶点在坐标原点,焦点为F.
(1)求C1的标准方程;
(2)是否存在过F点的直线,与C1和C2交点分别是P,Q和M,N,使得S△OPQ=S△OMN?如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.
▲▲▲
2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题
一、选择题
B
D
A
B
A
C
C
D
A
D
A
A
二、填空题
13.使得
14.15.16.10
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)
已知等差数列的前n项和为,且,.(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和Tn.17.(1)在等差数列中,,解得,………………………………………………………………………….3分
综上所述,数列的通项公式是……………………………………….5分
(2)由(1)知:,又因为,……………………………………….7分
………………………………………………………………..10分
综上所述,数列的前n项和是.………………………………………..10分
18.(本题满分12分)
已知,函数.(1)若对恒成立,求实数a的取值范围。
(2)当a=1时,解不等式.18.(1)∵f(x)⩽2x对x∈(0,2)恒成立,∴a⩽+2x对x∈(0,2)恒成立,……………………………………………………………….2分
∵x>0∴+2x⩾2,当且仅当=2x,即x=时等号成立,…………………….....4分
∴a⩽2…………………………………………………………………………………….....6分
(2)当a=1时,f(x)=1−,∵f(x)⩾2x,∴1−⩾2x,①若x>0,则1−⩾2x可化为:2x2−x+1⩽0,所以x∈∅;………………………………...8分
②若x<0,则1−⩾2x可化为:2x2−x−1⩾0,解得:x⩾1或x⩽−,∵x<0,∴x⩽−,………………………………………………………………………….....10分
由①②可得1−⩾2x的解集为:(−∞,−]………………………………..…………….....12分
19.(本题满分12分)
在平面直角坐标系xoy中,曲线C上的动点到点的距离减去M到直线的距离等于1.(1)求曲线C的方程;
(2)若直线与曲线C交于A,B两点,求证:直线FA与直线FB的倾斜角互补.19(1)曲线C上的动点M(x,y)(x>0)到点F(2,0)的距离减去M到直线x=−1的距离等于1,所以动点M到直线x=−2的距离与它到点F(2,0)的距离相等,故所求轨迹为:以原点为顶点,开口向右的抛物线y2=8x.…………..………………………………………….....4分
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2).联立,得k2x2+(4k2−8)x+4k2=0,(k≠0).……………………………………6分
∴△>0,,x1x2=4………………………………………………………8分
∴直线FA与直线FB的斜率之和=
=
==
因为x1x2=4∴直线FA与直线FB的斜率之和为0,……………………………………11分
∴直线FA与直线FB的倾斜角互补。……………………………………………………12分
20.(本题满分12分)
【解】
⑴.依题意f(n)=14.4(0.20.40.6…0.2n)0.9n…………………2分
=14.40.1n(n+1)0.9n
=0.1n2+n+14.4,n∈N*……………………………………………5分(没有定义域扣1分)
⑵.设该车的年平均费用为S万元,则有
S=f(n)=(0.1n2+n+14.4)=n+14.4+1………………………………………7分
∵n是正整数,故n+14.4+1≥2.4+1=3.4,……………………………10分
当且仅当n=(14.4),即n=12时,等号成立.………………………………11分
故汽车使用12年报废为宜.……………………………………………………………12分
21.(本题满分12分)
(1)解法一(几何法)
证明:取OO1的中点为F,连接AF,PF;
∴PF∥OB,∵AQ∥OB,∴PF∥AQ,∴P、F.A.Q四点共面,又由图1可知OB⊥OO1,∵平面ADO1O⊥平面BCO1O,且平面ADO1O∩平面BCO1O=OO1,∴OB⊥平面ADO1O,∴PF⊥平面ADO1O,又∵OD⊂平面ADO1O,∴PF⊥OD.………………………………………………..2分
在直角梯形ADO1O中,..,OF=O1D,∠AOF=∠OO1D,∴△AOF≌△OO1D,∴∠FAO=∠DOO1,∴∠FAO+∠AOD=∠DOO1+∠AOD=90∘,∴AF⊥OD.………………………………………………..4分
∵AF∩PF=F,且AF⊂平面PAQ,PF⊂平面PAQ,∴OD⊥平面PAQ.………………………………………………..6分
解法二(向量法)
由题设知OA,OB,OO1两两垂直,所以以O为坐标原点,OA,OB,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设AQ的长度为m,则相关各点的坐标为O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0).∵点P为BC中点,∴P(0,3),∴=(3,0,6),=(0,m,0)
=(6,m−,−3),…………………………………………………………………………..2分
∵·=0,·=0
∴⊥,⊥且与不共线,………………………………
……….4分
∴OD⊥平面PAQ.…………………………………………………………………………...6分
(2)∵BE=2AE,AQ∥OB,∴AQ=OB=3,则Q(6,3,0),∴
=(−6,3,0),=(0,−3,6).设平面CBQ的法向量为
=(x,y,z),∵∴
令z=1,则y=2,x=1,则=(1,2,1),……………………………………………………………..8分
又显然,平面ABQ的法向量为=(0,0,1),……………………………………..………….10分
设二面角C−BQ−A的平面角为θ,由图可知,θ为锐角,则cosθ==.…………………………………………………..………………….12分
22(本题满分12分)
(1)
依题意可知,即
由右顶点为B(2,0),得a=2,解得b2=3,所以C1的标准方程为.………………………………………………..3分
(2)
依题意可知C2的方程为y2=−4x,………………………………………………..4分
假设存在符合题意的直线,设直线方程为x=ky−1,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),联立方程组得(3k2+4)y2−6ky−9=0,由韦达定理得y1+y2=,y1y2=,则|y1−y2|==,……………………………………………...6分
(写出PQ长度也可以)
联立方程组,得y2+4ky−4=0,由韦达定理得y3+y4=−4k,y3y4=−4,所以|y3−y4|==,…………………………………………....8分
(写出MN长度也可以)
若S△OPQ=S△OMN,则PQ=2MN,…………………………….…………………………..10分
则|y1−y2|=|y3−y4|,即=,解得k=,所以存在符合题意的直线方程为x+y+1=0或x−y+1=0.………………….....12分