摩擦力课外拓展（推荐阅读）

第一篇：摩擦力课外拓展

一、摩擦小史

人类很早就对摩擦现象有了认识并加以利用，许多早期的文献里，都有把摩擦的影响减至最小的多种尝试的记载．2000多年前的亚里士多德就已经提到摩擦力的概念．但是真正对摩擦进行定量的研究，则始于15世纪的文艺复兴时期．500多年的漫长而曲折的历史大致可划分为五个时期来讨论．

（一）达芬奇的早期研究时期

1508年，达芬奇（1452——1519）使用石头和木头开始了对固体摩擦的实验研究，测量了水平和斜面上物体间的摩擦力，测量了半圆形槽与滚筒间的摩擦，进行了表面接触面积对摩擦阻力影响的实验研究，发现了等重物体之间的摩擦力与接触面积无关的重要结论．

达芬奇首先引入了摩擦系数的概念．他将该系数定义为摩擦力和垂直载荷的比值。他的结论是：“每一个摩擦物体所具有的摩擦阻力等于自身重量的四分之一．”当时他使用的材料大多为硬木或铁与硬木的组合，他的结论对于这些材料来说还是比较符合实际的．

达芬奇还研究了摩擦面间有润滑油和其它介质时对摩擦的影响．他认为“所有东西，不管它如何薄，当它放入两个互相摩擦的物体之间时，摩擦都会减少．”

（二）阿蒙顿的进一步研究时期

进入16世纪后，由于水力和风力能源的广泛应用，机器大量增加．特别是磨的发展，大大推进了对摩擦的研究．许多科学家进行了各种各样的摩擦实验，其中最有成就者当推法国实验物理学家阿蒙顿（1663——1705）．作为一个永动机的积极倡导者，他自然对摩擦产生的损失特别感兴趣．他通过多次实验后，于1699年12月19日向皇家科学院提交了一分经典论文．在文中提出了摩擦力的经典规律，这就是后来人们所熟知的阿蒙顿定律．

①静摩擦定律：两接触物体间的最大静摩擦力，跟接触面上的正压力成正比，并与接触面的性质及状态有关；但与接触面的面积及形状无关．即：f静＝μ0·N．

②滑动摩擦定律：滑动摩擦力跟摩擦物体接触面上的正压力成正比，跟外表的接触面积无关．即：f滑＝μ·N．

（三）库仑对摩擦的总结时期 进入18世纪的法国，在经济、军事、工业等方面有了很大的发展．机器的大量使用，使得机械的效率和耐磨问题成为了一大难道．为此，巴黎科学院于1781年以“摩擦定律和绳的倔强性”为题，进行了一次有奖竞赛．库仑（1736——1806）研究总结了达芬奇和阿蒙顿的实验和理论之后，又进一步做了大量的实验．最终以《简单的机械理论》为题的论文赢得了这次竞赛的优胜奖，提出了他的摩擦理论——库仑摩擦定律．

①库仑摩擦第一定律：摩擦力跟作用在摩擦面上的正压力成正比，跟外表的接触面积无关．这实际上就是阿蒙顿定律，也就是现在称谓的静摩擦定律和滑动摩擦定律．

②库仑摩擦第二定律：滑动摩擦力和滑动速度大小无关．

这一结论，若作为普遍法则是不正确的．实际上滑动摩擦力和滑动速度的关系是相当复杂的．

③库仑摩擦第三定律：最大静摩擦大于滑动摩擦力，即f静＞f滑． ④库仑二项式定律：这是反映摩擦力和负载之间的关系．即滑动摩擦力f＝μN＋A．

库仑认为“常数A”跟正压力的平方根成正比，但它都没有反映出A的物理意义．这一定律也只适用于干摩擦和边界摩擦．

库仑对摩擦的研究，总结了从达芬奇到阿蒙顿的理论，提出了他的库仑摩擦定律．但是，实际上这些定律只能是经典的经验公式，对于实际情况也仅仅是近似的、粗浅的描述．

（四）19世纪对摩擦的研究时期

19世纪，随着蒸汽机进入实用阶段，工业革命迅速普及，为了防止机器的高速转动而带来的轴承烧焦和磨损，润滑成了这个时期摩擦研究的特征．

1883年，英国的托尔（1845——1904）在研究轴承的润滑中发现油膜具有高压力；同时代的雷诺（1842——1912）根据托尔的发现，利用流体力学的原理，从理论上证明了因旋转而在油膜中产生高压力的现象，说明了轴与轴承的间隙能支持载荷的道理．

1896年，金斯伯里（1863——1943）证明了用空气代替润滑油的设想，在一次美国军事系统的展览会上进行了空气轴承的公开表演．这种轴承后来在高速磨床、高级陀螺仪上得到了广泛的应用．

滑在这一时期，雷尼（1791——1866）、莫伦（1795——1880）等人测定了许多物体间的摩擦系数，迄今仍在广泛应用．

总之，进入19世纪，由于摩擦的实验定律大体已确立完毕，只是在研究如何减小摩擦方面进行了一系列工作．但仍然没有对摩擦的物理机制给以科学的、满意的解释．

（五）从经典理论到近现代理论时期

①早在达芬奇、阿蒙顿、库仑等人在研究摩擦定律的同时，就对摩擦的物理机制提出了一个凹凸说．他们认为摩擦的根源在于两表面的凹凸相互啮合，当一个物体在另一个物体表面上滑动时，互相啮合的凹凸部分，就会相互撞碰，并且被破坏，阻碍物体运动，就产生了滑动摩擦．但是这一理论无法解释为什么表面越光滑，反而摩擦越大，新生成的结晶表面在空气中停留时间一长，摩擦系数会急剧减小等现象的产生．

②1734年，贝萨克利基于光滑铅柱的粘合实验，认为摩擦的物理机制在于相互摩擦的表面分子间的相互作用力．因而提出了一种分子说．他预言：“只要把平面无止境地研磨得很光滑，摩擦迟早会增大的．”这一理论得到了英国物理学家文斯（1749——1821）的赞同．到了本世纪还被哈迪的实验所证实．

凹凸说认为摩擦源于凹凸体间的相互挤压、剪切的机械阻力；而分子说则认为摩擦来源于接触面上晶体分子间电性引力．其是非焦点在于前者认为摩擦是凹凸间的斥力，后者认为是接触面间的粘着引力．

③1939年，克拉格尔斯基统一了争论很久的凹凸说和分子说．认为摩擦具有二重性：它不仅要克服两表面分子相互吸引所决定的作用力，还要克服由于表面粗糙互相啮合而发生变形所引起的机械阻力．从而提出了一套分子—机械理论学说．

④1950年，包登等人认为两物体个别接触区产生的高压引起局部热熔而粘为一体，这样形成的连结又因表面相对滑动而剪断．粘着点的形成和剪断在接触表面上交替进行，构成摩擦的粘着分量；较硬表面的微凸体犁削较软材料的基体，构成摩擦的变形分量．总的摩擦力是二者之和．这种理论被称为粘着说，被普遍承认适用于金属间的摩擦． ⑤近年来，由于表面技术加工的发展，半导体工业所带来的高真空、高洁净环境技术的发展等有利条件，相继又出现了表面微凸体的塑性作用学说和热活化分子动力交换学说．这些学说也能在一定范围内说明摩擦所产生的物理机制． 但是，由于影响摩擦的因素相当复杂，现有的这些学说都不是包罗万象的，无法完整和圆满地将摩擦的物理机制说清楚．一句话，摩擦的原因到现在还没有完全研究清楚．

二、力气大的队拔河一定赢吗？

拔河比赛比的是什么？很多人会说：当然是比哪一队的力气大喽！实际上，这个问题并不那么简单。

根据牛顿第三定律（即当物体甲给物体乙一个作用力时，物体乙必然同时给物体甲一个反作用力，作用力与反作用力大小相等，方向相反，且在同一直线上），对于拔河的两个队，甲对乙施加了多大拉力，乙对甲也同时产生一样大小的拉力。可见，双方之间的拉力并不是决定胜负的因素。

对拔河的两队进行受力分析就可以知道，只要所受的拉力小于与地面的最大静摩擦力，就不会被拉动。因此，增大与地面的摩擦力就成了胜负的关键。首先，穿上鞋底有凹凸花纹的鞋子，能够增大摩擦系数，使摩擦力增大；还有就是队员的体重越重，对地面的压力越大，摩擦力也会增大。大人和小孩拔河时，大人很容易获胜，关键就是由于大人的体重比小孩大。

另外，在拔河比赛中，胜负在很大程度上还取决于人们的技巧。比如，脚使劲蹬地，在短时间内可以对地面产生超过自己体重的压力。再如，人向后仰，借助对方的拉力来增大对地面的压力，等等。其目的都是尽量增大地面对脚底的摩擦力，以夺取比赛的胜利。

三、摩擦三兄弟

摩擦三兄弟就是指静摩擦、滑动摩擦和滚动摩擦，它们都是摩擦家族的成员。

说起摩擦，大家一定不陌生，因为摩擦是我们生活中司空见惯的现象，我们每时每刻都在和摩擦打交道。我们走路、吃饭、洗衣服依靠摩擦；各种车辆的行使依靠摩擦，机器运转离不开摩擦；就是建造房子也离不开摩擦。

假如没有了摩擦，世界将会变成什么样？真是不可想象。可以说，摩擦是我们人类离不开的好朋友。但是在很多场合，摩擦三兄弟扮演着“不受欢迎”的角色。

在现代汽车中，20％的功率要用来克服摩擦；飞机上的活塞式发动机因摩擦损耗的功率要占10％，就是最先进的涡轮喷气发动机也要为克服摩擦损耗2％的功率。世界上有数以万计的汽车、数以万架的飞机，这样每年要有多少燃料被白白浪费掉，真是可惜。

但更为严重的是，摩擦还会造成机器零部件的磨损。据报道，英国在这方面损失每年要超过20亿美元。摩擦除了导致磨损之外，还会使航空和航天器过度发热，这更是现代科技遇到的又一难题。

当飞机着陆的时候，闸阀和闸轮会摩擦产生红热现象，这样的高温使机闸材料变软、变质，一幅价格昂贵的闸瓦和闸轮，往往只使用了几次就报废了。

当宇宙飞船返回地面的时候，由于高速船体与空气之间的摩擦，会使整个船体成为一个通红的火球，为了保护飞船里的宇航员和各种仪器设备，人们不得不付出昂贵的代价，用耐高温的特种合金制造船体，并且还在外面加装了耐高温材料。

为了能驾驭摩擦，让摩擦三兄弟为人类更好地服务，人们一直进行着艰苦的研究和探索。早在15世纪，达·芬奇就开始了对摩擦的研究。到17、18世纪，法国形成了一股摩擦研究热，库仑根据达·芬奇的想法完成了摩擦起因的凹凸说。到了18世纪上半叶，有人又创立了分子说。进入20世纪后又出现了粘合说。

可以说有关摩擦起因的争论还在进行着，凹凸说、分子说和粘合说都持之有理，言之有据，究竟怎样圆满地解释摩擦的起因，还一直是一个很活跃的研究课题。

四、摩擦力的本质

两个物体接触，接触面越平滑摩擦力越小”的观点是否正确呢，首先探究一下摩擦力的本质：

1．凹凸啮合说．是从15世纪至18世纪，科学家们提出的一种关于摩擦本质的理论，啮合说认为摩擦是由于互相接触的物体表面粗糙不平产生的．两个物体接触挤压时，接触面上很多凹凸部分就相互啮合．如果一个物体沿接触面滑动，两个接触面的凸起部分相碰撞，产生断裂、摩损，就形成了对运动的阻碍．  2．粘附说．这是继凹凸啮合说之后的一种关于摩擦本质的理论．最早由英国学者德萨左利厄斯于1734年提出，他认为两个表面抛得很光的金属，摩擦会增大，可以用两个物体的表面充分接触时它们的分子引力将增大来解释．

上世纪以来，随着工业和技术的发展，对摩擦理论的研究进一步深入，到上世纪中期，诞生了新的摩擦粘附论．

新的摩擦粘附论认为，两个互相接触的表面，无论做得多么光滑，从原子尺度看还是粗糙的，有许多微小的凸起，把这样的两个表面放在一起，微凸起的顶部发生接触，微凸起之外的部分接触面间有10-8 m或更大的间隙．这样，接触的微凸起的顶部承受了接触面上的法向压力．如果这个压力很小，微凸起的顶部发生弹性形变；如果法向压力较大，超过某一数值（每个凸起上约千分之几牛顿），超过材料的弹性限度，微凸起的顶部便发生塑性形变，被压成平顶，这时互相接触的两个物体之间距离变小到分子（原子）引力发生作用的范围，于是，两个紧压着的接触面上产生了原子性粘合．这时要使两个彼比接触的表面发生相对滑动，必须对其中的一个表面施加一个切向力，来克服分子（原子）间的引力，剪断实际接触区生成的接点，这就产生了摩擦．

在现代摩擦理论中，还加进了静电作用。光滑表面摩擦过程中可能带上异号电荷，它们之间的静电作用，也是摩擦力的一个原因。

综上所述，摩擦现象的机理是复杂的，是必须在分子尺度内才能加以说明的。由于分子力的电磁本性，摩擦力说到底也是由于电磁相互作用引起的。

上述理论，已经否定了“物体表面越光滑，摩擦力越小”的说法。在非常平滑的物体表面之间，摩擦力是存在的。老师在教学中经常使用“表面光滑”，其含义是指无摩擦或摩擦因数等于零的表面，即没有摩擦力。这是教学中的一种约定，而并非真的是说两个表面光滑。在平玻璃板上推木块很容易，而在平玻璃板上推与木块相同质量的玻璃时就不容易了，这说明摩擦力增大了。

第二篇：摩擦力课外拓展课

摩擦力的课外拓展教学

一、教学目标：

1、知识与技能：知道改变摩擦力大小的方法（重点）。

2、过程与方法：培养严谨的科学态度。

3、情感·态度·价值观：培养解决问题的能力。

二、教学器材：

（1）“甘碧”矿泉水瓶一个，切去上半部分，留下下半部分；（2）普通大米适量；（3）普通筷子一根。

技巧是：在瓶中加满（过满）米，用手盖住杯口，压紧，然后微张开手指，将筷子插入米中，缓慢提起筷子。实验成功，转动筷子，杯子和米也不会掉下。

三、教学过程：

向同学们表演小魔术“筷子提米”。将大米导入杯中，将筷子插入米中，提起筷子（显然是提不起米的），问学生:为什么提不起？接着再增加适量米，让杯中米过满再试一试。自主探究，直到实验成功。

让学生思考三个问题：

1、筷子靠什么力提起米？

2、为什么第一次提不起？

3、为什么第二次提起了？

4、做了怎样处理？

5、什么原理？

引导学生（1）对杯（杯和米视为整体）画图进行受力分析，筷子靠摩擦力提起米。

（2）Ff < G，筷子提不起米。

（3）当Ff >G，米被提起。为什么Ff会变大？是改变了那个因素？压紧米后，再将筷子插入，筷子与米发生挤压，米对筷子的压力增大，从而增大了筷子与米之间的摩擦力。

（4）再问：静止在空中后，摩擦力与重力什么关系？

原理揭秘：物体和物体之间有静摩擦力，当物体受力要运动时，摩擦力就会以相反方向阻碍物体的运动。在实验中，由于杯子内米粒与筷子之间的挤压，使杯子、筷子和米粒紧紧地挤在一起，这样杯子、筷子和米粒之间的摩擦力增大。将筷子向上提起，米粒和杯子由于摩擦力的作用阻碍筷子向上运动，结果反而将米粒和杯子一起提了起来。

生活中还有很多关于摩擦力的应用：

1、鞋底探秘

从记事时算起，你穿过的鞋有多少？恐怕你没有认真统计过吧！这些鞋的鞋底各有什么特色，人们很少去注意．其实，鞋底也隐藏着许多有趣的物理知识。通过图片展示所有的平底鞋，鞋底都会有凹凸不平的花纹。

这不是为了美观，而是为了增大鞋底与地面间的摩擦。让学生观察自己的鞋底。一双塑料底的棉鞋，鞋底花纹已磨平，冬天穿上这双棉鞋到冰面上走一走，你就能体会到鞋底有花纹是多么必要。展示一双田径鞋，让学生观察它的鞋底。思考：这样的鞋底设计有什么好处？

鞋底的前后掌花纹并不一样，前掌是锯齿形花纹，后掌则是粗宽的横条形花纹。这种特殊的设计与田径运动技术的特点有密切关系，田径运动员下肢蹬离地面或着地的动作，都和前脚掌与地面的相互作用有关，它要求鞋底具有良好的抓着力和防滑性能，并且需要鞋底有增大地面对人体运动的反作用力的功能等等。田径鞋前掌的锯齿形花纹，恰可以满足上述要求。

例如运动员在蹬离地面的瞬间，前脚掌对地面的压力较大，鞋底的前掌花纹会产生定向倾角，而锯齿形花纹所产生的定向倾角较小，因此使花纹的弹性形变增大，从而增大了地面对人体运动的反作用力。在穿着过程中，锯齿形花纹可使脚掌的着地面积逐渐增大，使鞋底始终保持较强的抓着力和防滑性能，至于鞋底后掌，在运动中受力面积较小，因而压力就集中，容易磨损。刻上粗宽的横条形花纹，可以使后掌的面积增大，从而使压力分散，提高鞋底的耐磨程度。

2、摩擦与自行车

没有摩擦自行车也就无法存在了。由于存在摩擦，我们才能用螺丝把自行车组装起来，形成一个完整的、能够使用的整体。车把套、脚蹬子、轮胎上的花纹都是利用摩擦防止打滑的例子。自行车上的闸也是利用摩擦力刹车的，刹车时闸皮对车轮的压力增大，同时闸皮与轮子间摩擦力也随之增大，使车子尽快停下来。

在另外一些情况下，我们不希望有摩擦力。在自行车前轴、中轴、后轴都要加滚珠、润滑油来减小摩擦力。

按照上述分析问题的方法，你还可以研究一下家里的缝纫机，还有汽车、拖拉机等机械或器械，在构造和工作原理上，哪些地方是应用摩擦的，哪些地方是需要减小摩擦的。

第三篇：课外拓展

课外拓展

进货次数问题探讨

题目 某公司某年需要某种计算机元件8000个，在一年内连续作业组装成整机卖出（每天需同样多的元件用手组装，并随时运出整机至市场），该元件向外购买进货，每次（不论购买多少件）须花手续费500元，如一次进货，可少花手续费，但8000个元件的保管费很可观，如果多次进货，手续费多了，但可节省保管费，请你帮该公司出个主意，每年进货几次为宜，该公司的库存保管费可按下述方法计算：每个元件每年2元，并可按比例折算成更短的时间：如每个元件保管一天的费用为件的买价、运输费及其他费用假设为一常数．

元（一年按360天计算）．每个元解： 设购进8000个元件的总费用为F，一年总保管费为E，手续费为H，元件买价、运输费及其他费用为C（C为常数），则 F=E＋H＋C.如果每年进货n次，则每次进货个，用完这些元件的时间是年．进货后，因连续作业组装，一年后保管数量只有（－a）个（a为一天所需元件），两天后只有（－2a）个，……，因此年中个元件的保管费可按平均数计算，即相当于个保管了年，每个元件保管年须元，在这年中个元件的保管费为.每进货一次，花保管费En元，一共n次，故

当且仅当为宜．

=n·500，即n=4时，总费用最少，故以每年进货4次说明： 这道寻求最佳进货次数的问题，是北京市首届“方正杯”中学生数学知识应用竞赛初赛试题（1993.11），求解的关键数学知识是“的极小值是”.周知识概述

本周学习第六章不等式的性质和算术平均数与几何平均数两部分内容，前一部分中，主要用于讲述实数运算性质和大小顺序之间的关系，从而掌握比较两个实数大小关系的方法；在此基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了证明．不等式的其他性质都可由它们推导出来．第二部分中课本首先证明了一个重要的不等式a＋b≥2ab，通过这一公式，得出了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理．利用均值不等式求函数的最值问题，这是均值不等式的一个重要应用。最后通过例题，说明此定理在解决数学问题和实际问题中的应用.二、重难点知识选讲

1、实数的运算性质与大小顺序之间的关系

不等式的等价性：两个实数、b比较大小，有大于、等于、小于之别，且有，（1）＞b －b＞0；（2）=b

－b=0；（3）＜b

－b＜0.2

2等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式以及解不等式的主要依据.本周学习的另一重点是用作差法比较两实数的大小.用作差法比较两实数的大小，其步骤为①作差；②变形；③判断差的正负．在解题中应加强化归意识，把比较大小与实数减法运算联系起来，利用实数的运算性质解决比较大小的问题.例

1、已知，b∈R+ ,求证：[分析与解答] 分析：

比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.证明此题要注意分类讨论。证明：nn

＋b≥

nn-

1b＋b

n-1

．（nN）

＋b －(nn-1b＋b)=(n-1n-1

－b)－b（n-1n-1

－b)=(－b)（n-1n-1

－b)

n-1 若＞b

若=b(－b)(n-1－b)=0.若＜bn-1

综上,≥O,即

n

＋b

－(n-1b＋b n-1)≥O∴

nn

＋b ≥

nn-1

b＋b ．

n-1小结： 比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.2、不等式的性质、推论及证明

不等式的五个性质和三个推论是不等式这一章的理论依据。

（1）＞b

（3）＞bb＜；（反身性）

（2）＞b，b＞c

＞c；（传递性）

＋c＞b＋c；（两边同加数号不变）；推论：移项法则.（4）；（两边同乘正数号不变）；

（5）；（两边同乘负数号改变）；推论：去系数法则.（6）；（同向相加）（7）；（异向相减）

（8）；（同向相乘）

（9）；（异向相除）

（10）＞b（倒数关系）

（11）＞b＞0n＞b n（nN+）；（不等式的幂）

（12）＞b＞0

2（nN+）；（不等式的方根）

例

2、已知f(x)=px－q，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.[分析与解答] 分析：

本题可考虑将f(3)写成f(1)，f(2)的线性组合，即f(3)=mf(1)＋nf(2)的形式，然后用不等式的运算性质推算f(3)的取值范围.解答：依题意，有

点评：

（1）这种类型题目常见的错误是：

由，加减消元得0≤p≤3，1≤q≤7，从而得－7≤f(3)＝9p－q≤26，事实上，f(3)不可能取到[－7，26]上的一切值.p，q是两个相互联系，相互制约的量，在得出0≤p≤3，1≤q≤7后，并不意味着p、q可以独立地取得区间[0，3]及[1，7]上的一切值，例如p=0，q=7时，p－q=－7已不满足－4≤p－q≤－1.（2）依不等式的性质求变量的范围是一种常见的题型，变形不等式时要防止扩大了变量的范围.例

3、（1）已知30

[分析与解答] 分析：（1）同向不等式不能相除，应先求出的取值范围.（2）注意运用取倒法则，优化解题过程.解：

（1）

（2）．

小结：不等式的性质中讲了加法和乘法运算，对于减法和除法必须转化为加法和乘法来运算，千万不能把等式的减、除法运算平移到不等式的运算中来.3、算术平均数与几何平均数

若a、b∈R，那么a＋b≥2ab（当且仅当a=b时取等号）通常称为重要不等式．两正数a，b的算术平22均数，几何平均数，平方平均数，调和平均数的大小关系为H≤G≤A≤Q（等号当且仅当a=b时取得），这也称作均值不等式.运用重要不等式和均值不等式，可以比较大小，证明不等式，求最值．

基本不等式有：

①，；

②，；

③，；

④，；

⑤，；

⑥，.例

4、已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c=1，求证：

[分析与解答] 分析：

在不等式证明中，几个正数的和为1，常常作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键.证明：

（1）∵ a＋b＋c=1，且a＋b＋c∈R.＋

＋

（2）∵ a，b，c∈R且a＋b＋c=1.（3）∵ a，b，c∈R且a＋b＋c=1.＋

小结：

以上各小题在证题过程中，或是将分子的1看作a＋b＋c，然后拆项，或是将原代数式乘以一个值为1 的因式（a＋b＋c）以利用整理变形，这些常用的“1”的变换技巧很重要.2利用基本不等式求最值：

①当成立； ③若时，不等式为定值，不等式即为

成立； ②当且仅当，当且仅当

时，不等式时，有最小值

中，“等号”；

④若为定值，不等式即为，当且仅当时，有最大值；

注：以上简称“和小积大”；有否最值的关键为是否有定值，且当时，能否求出解来.例

5、已知a，b为正数，且，求的最大值以及达到最大值时a，b的值.[分析与解答] 分析：

分析条件与结论之间的关系是非常重要的解题步骤.本题条件，结论的最大值，所以必须把结论中a进入根号内，即是用条件的第一步，而条件中的的b系数为，还得继续变换结论解析式的形式，即：，再用均值不等式就完成了这一转化过程.解答：∵a，b为正数.当时，即时取等号.∴ 当时，的最大值为

点评：在求解过程中，不要急于运用均值不等式，使解答陷入僵局．

例

6、如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）

[分析与解答] 析：

先由面积列出a，b的方程，由题意将问题转化为使ab取最大值时a、b的值.解法一：

依题意，即所求的a，b值使ab最大.由题设知 4b＋2ab＋2a=60（a>0，b>0）

即 a＋2b＋ab=30（a>0，b>0）

当且仅当a=2b时，上式取等号.

第四篇：课外拓展

九年级（上）科学第三章第5节 物体的内能

班级 学号 姓名

【阅读与思考】

1、大型飞机在空中飞行时，为了使机舱内空气清新，必须用空气压缩机把空气从舱外压进来。虽然舱外空气温度一般低于零下40℃，但压缩机把空气压入舱内过程中，气体的温度可达50℃以上，其原因是 对 做功，使 能转化为 能。为了确保舱内气温适宜，飞机上同时还使用空调，空调的作用是（填降温或升温）。如果高压机舱出现裂缝，在高压气体向外喷射的过程中，舱内气体的温度将（下降或升高），原因是。

2、火箭发动机工作时，燃料在氧化剂的作用下在燃烧室里燃烧，产生高温燃气，燃气通过喷管向后高速喷出，对火箭产生推力，把火箭发射出去。请分析火箭发射过程中的能量转化。

【课外拓展】

1、热机是一种重要的动力机械。现代的各种交通工具，如汽车、火车、飞机、火箭等都是以热机作动力的。火力发电设备也主要是利用热机做动力。燃料直接在发动机气缸内燃烧产生动力的热机，叫内燃机。常用的有汽油机和柴油机。请你课外通过查找资料了解汽油机和柴油机是什么时候又是怎样点火的？

2、有这样一道驾驶员考试题：“压缩气体遇燃烧、爆炸等险情时，应向气瓶覆盖沙土，并及时将气瓶移出危险区域。”请你判断这种做法是否正确，如若不对，请说明正确的救险方法。

3、请你设计一款新型打气筒使它能达到括号内的一个或多个目的（使用更方便、更轻便、更牢固、使用寿命更长、效率更高、能显示气压、功能更多）

第五篇：课外拓展

数学家·韦达

韦达定理简史

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间存在着关系。他不仅发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，而且发现了一元n次方程的根与系数的关系：

如果一元n次方程

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0

的n个根是x1, x2, …, xn, 那么

人们为了纪念他，把这个关系称为韦达定理。

课本上讲的一元二次方程根与系数的关系，就是上述定理在n=2时的情况。

韦达，(Fran?ois Viète,1540-1603)1540年生于法国普瓦图地区[Poitou,今旺代省的丰特奈-勒孔特(Fontenay.-le-Comte)];1603年12月13日卒于巴黎。

韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。《分析方法入门》是韦达最重要的代数著作，他引入字母来表示量，并将这种代数称为“类的运算”以此区别于用来确定数目的“数的运算”。当韦达提出类的运算与数的运算的区别时，就已规定了代数与算术的分界。这样，代数就成为研究一般的类和方程的学问，这种革新被认为是数学史上的重要进步，它为代数学的发展开辟了道路，因此韦达被西方称为“代数学之父”。

他对数学贡献很大，而其中一成就是记载了著名的韦达定理，即方程的根与系数的关系式。