第一篇：统计建模实训 周冰洁
盐 城 师 范 学 院 《统计建模实训》 期末实验报告
2017－2018学年度
《统计建模实训》期末论文
最终求出未来几年全国人口预测值。
3模型求解
根据所给数据和《中国统计年鉴 2006》，整理出模型中要求的老龄化指数、出生人口性别比、妇女生育率、人口城镇化四项指标1995年——2005年的相关数据，利用spss[1]作人口增长率与四项指标的多元线性回归，得出：
p(t)0.0230.01w(t)0.001k(t)0.052d(t)0.021h(t)
其中判定系数R20.964。老龄化指数为0.01、出生人口性别比为-0.001、人口城镇化率为-0.052、妇女生育率为0.021。指标系数为正，表示人口增长率与其呈正相关；指标系数为负，表示人口增长率与其呈负相关。
运用灰色预测方法预测四项指标未来几年变化情况，根据模型方程最终得出我国人口的中短期走势，具体步骤如下：
STEP1：将与四项指标有关的数据分为两组：1995年——2005年11维数据和2001年——2005年的5维数据；
STEP2：分别用5维数据和11维数据对四项指标作灰色预测[2]，并作精度检验，选出精度高的维数所预测的数据衡量该指标中短期变化情况；
STEP3：将各指标中短期预测情况带入模型方程中，求解出人口增长速度的中短期（2006年——2020年）变化情况；
STEP4：根据预测的未来几年人口增长速度利用迭代方法求出我国中短期人口变化趋势。
按照上面的方法，利用VC编程（程序见附录）得出如下中短期我国人口相关指标：
4结论
人口增长率与各影响因素的回归函数是
p(t)0.0230.01w(t)0.001k(t)0.052d(t)0.021h(t)
人口老龄化指数的趋势逐年递增到2020年已达到3.079.农村人口城镇化的趋势也是逐年递增，到2020年达到0.806.由逐步迭代得到人口在2020年达到14.24亿，也是中间逐年递增。
《统计建模实训》期末论文
参考文献
[1]李志辉 罗平，SPSS for Windows 统计分析教程，北京，电子工业出版社，2003 [2]邓聚龙，灰预测与灰决策，武汉：华中科技大学出版社，2000 [3]姜启源 谢金星 叶俊，《数学模型（第三版）》，北京：高等教育出版社，2003 [4]陈卫，中国未来人口发展趋势：2005-2050年，人口研究，第30卷，2006 [5]于义良，运筹学，北京，中国人民大学出版社，2006 [6]陈彦光 俞斌，人口增长的常用数学模型及其预测方法，华中师范大学学报，第40卷第3期
第二篇：黄洁--电算实训
会计电算化实训总结报告
实习是每一个学生必须拥有的一段经历，它使我们在实践中了解社会，让我们学到了很多在课堂上根本就学不到的知识,也打开了视野，增长了见识，为我们以后进一步走向社会打下坚实的基础。根据学习计划安排，我专门到一家已实施了会计电算化的单位进行了为期一个月的实习，此次实习的具体内容为：
一、根据经济业务填制原始凭证和记账凭证。
二、根据会计凭证登记日记帐。
三、根据记账凭证及所附的原始凭证登记明细帐。
四、根据记账凭证及明细帐计算产品成本。
五、根据记账凭证编科目汇总表。
六、根据科目汇总表登记总帐。
七、对帐（编试算平衡表）。
八、根据给出的相关内容编制本月的负债表和损益表。
通过此次实习，不仅培养了我的实际动手能力，增加了实际的操作经验，缩短了抽象的课本知识与实际工作的距离，对实际的财务工作的有了一个新的开始，同时也让我认识到了传统手工会计和会计电算化的有共同之处和不同之处。会计电算化是会计史上崭新的一页。电子计算机的应用，首先带来数据处理工具的改变，也带来了信息载体的变化，电算化会计后对传统会计方法、会计理论都将发生巨大的影响，从而引起会计制度、会计工作管理体制的变革。会计电算化促进着会计的规范化、标准化，通用化促进着管理的现代化。作为自身而言，处在这个与时俱进的经济大潮时代，作为一名财会专业的学员，在校学习期间应更好的学好财会专业里的专业知识，打好理论基础，在财务实习的时候按要求认真参与每一个实习的机会，总结实际操作中的经验和积累学习中自身的不足，密切关注和了解会计工作发展的最新动向，为以后即将从事的会计工作打下坚实的基础，当自己走出校园，成为一名名副其实的财会专业人才，在大浪淘沙中让自己能够找到自己屹立之地，让自己的所学为社会经济作出自己应有的贡献。
第三篇：统计实训新要求.
江苏财经职业技术学院
2011 年 5月 第一步：分组研究讨论，设计研究方案，确定调查课题
1.利用1天时间，学生通过上网（也可以结合其他传媒方式），搜集社会热点问题，查阅社会经济统计信息，引导学生在了解社会经济统计信息内容的同时，理解统计的含义，明晰统计的意义与作用，增强学生学习统计的兴趣与热情。另外在查阅大量经济信息的同时，又可训练学生网上检索现代化信息的技能，提高学生运用现代化信息手段的能力。
2．训练内容
为使学生能够掌握查阅信息能力，我们拟定了如下6项参考信息内容。而学生可以依据兴趣锁定其中的一个或多个问题查阅，也可抛开这些信息内容，自行确定。通过登录相关信息网站或国家以及地方统计信息网站来做此项实训训练：
1.关注我国教育体制问题，如我国中小学生睡眠时间状况调查、高考文理分科情况调查等等。
2.关注我国大学生就业问题，如大学生就业专业对口状况调查、就业比例状况调查、专业工资状况调查等等。
3.关注与大学生日常生活密切相关的某些商品消费或使用状况问题，如化妆品消费调查、手机使用状况调查等等。
4.关注高职院校实施教学管理状况问题，如图书馆使用状况调查、大学生逃课状况及其原因调查等等。
5.关注我国社会经济问题，如城乡居民人均收入调查，社会零售商品价格调查，过桥过路费，房地产价格等等。
6.关注国际社会经济、文化、环境等问题，如经济危机状况调查、环境状况调查等等。
3．方法步骤
1.确定项目教学小组。学期伊始，统计学任课教师应组织授课班级的学生进行讨论分组，要求每3人为一项目小组，再据民意选出组长，有明确的分工。
2.以项目小组为单位，进行如下训练：
(1)搜索社会热点问题。在“百度”网站中，检索关键词，以搜索共同关注的社会热点问题，或登录国家或地方统计局网站搜索相关信息，国家和各省统计局网站中统计数据页面下有各自每年的统计年鉴，其中内容很丰富。另外，若想了解大学生生活费收支状况，就可以输入网址名“http：//www.xiexiebang.com”，登录到“百度”网站，再在搜索栏内输入“大学生生活费”关键词，就可以搜索到一系列与大学生生活费相关社会经济统计信息。
(2)阅读与社会热点问题相关的社会经济统计信息。搜索社会热点问题后，查阅相关的社会经济统计信息。
(3)电子文件处理。各项目小组将搜索到的相关电子信息，以Word文档形式另存，然后再对该电子文件进行必要文档格式处理（全文正文宋体；总标题：格式标题3号、字体黑体；正文小四宋体，全文段落行距：1.5倍行距）。2.8,2.5,2.5,2.5.4.选题要求：
（1）确定的统计项目内容要有充分的意义；
（2）对收集的数据必须丰富有力，能够满足进行相关统计分析的数据需求；（3）经过多种方法的分析后，要形成分析报告，能够反映统计对象的特点。（4）提醒：政府职能部分和统计局的数据大而全，自拟的数据收集难度较大。
第二步：统计整理、估计、预测与分析
1.整理
形成各种统计表，利用excel进行编辑生成，表格式要按照课本的要求进行编排，尽量多个表格配合描述。2．估计与预测
能够使用一定的方法对统计对象下一阶段的数据进行估计和预测，使用多种方法（包括相关分析语回归分析，区间估计、点估计，长期趋势与季节预测等等）。3．分析
利用多种指标和指数来分析统计对象的数据特征，反映对象的发展规律，运用综合的方法进行，形成统计图、表等直观材料加以说明。
时间：3天
具体方法参照实训指导书
第三步：实训报告—调查报告
一、书面报告 电子档，打印，1.调查方案：目的、意义，调查对象，调查方法，数据来源，指标，预期结果。2.3.4.调查整理：统计分组，形成统计表和统计图
指标分析：根据调查方案中的指标进行指标计算（表）。
动态数列分析：根据课本内容分析每个表格的数据得出长期趋势和季节变动，找出淡季和旺季，并进行下一年总量指标和季节数据的预测。5.相关与回归分析：找到两个或更多相关标志，进行线性分析，并进行回归方程的计算，得到下一阶段的预测。6.分析报告：（1）结论（2）建议。根据以上分析数据得到分析报告，包括对象发展规律，与当前社会现象的关系，等等内容，可参考网上。
1.按照实训内容分步骤完成，2.选题、计算、估计预测和分析，3.最后要得出分析结论，4.相关的重要表、图画到报告中
二、课堂汇报
各组按照统计内容准备一个5分钟的课件，根据选题和实训情况，同时遵循随机的原则将在第五天抽取15个组进行课堂汇报。
周1上午：全体
周1下午、周2上午：
1班 周2下午、周3上午：
2班 周3下午、周4上午：
1班 周4下午、周5上午：
2班
周5下午：全体：汇报
1.封面 2.格式 3.内容 4.ppt，报告
5.所有电子档打包收齐交给我。
第四篇：数学建模实训报告
目录
实训项目一
线性规划问题及lingo软件求解……………………………1 实训项目二
lingo中集合的应用 ………………………………………….7 实训项目三
lingo中派生集合的应用 ……………………………………9 实训项目四
微分方程的数值解法一………………………………………13 实训项目五
微分方程的数值解法二……………………………………..15 实训项目六
数据点的插值与拟合………………………………………….17 综合实训作品
…………………………………………………………….18 每次实训课必须带上此本子，以便教师检查预习情况和记录实验原始数据。实验时必须遵守实验规则。用正确的理论指导实践袁必须人人亲自动手实验，但反对盲目乱动，更不能无故损坏仪器设备。这是一份重要的不可多得的自我学习资料袁它将记录着你在大学生涯中的学习和学习成果。请你保留下来，若干年后再翻阅仍将感到十分新鲜，记忆犹新。它将推动你在人生奋斗的道路上永往直前！
项目一：线性规划问题及lingo软件求解
一、实训课程名称
数学建模实训
二、实训项目名称
线性规划问题及lingo软件求解
三、实验目的和要求 了解线性规划的基本知识，熟悉应用LINGO解决线性规划问题的一般方法
四：实验内容和原理 内容一：
某医院负责人每日至少需要下列数量的护士 班次 时间 最少护士数 1 6:00-10:00 60 2 10:00-14:00 70 3 14:00-18:00 60 4 18:00-22:00 50 5 22:00-02:00 20 6 02:00-06:00 30 每班的护士在值班的开始时向病房报道，连续工作8个小时，医院领导为满足每班所需要的护士数，最少需要多少护士。内容二：
内容三
五：主要仪器及耗材
计算机与Windows2000/XP系统；LINGO软件 六：操作办法与实训步骤 内容一：
考虑班次的时间安排，是从6时开始第一班，而第一班最少需要护士数为60，故x1>=60，又每班护士连续工作八个小时，以此类推，可以看出每个班次的护士可以为下一个班次工作四小时，据此可以建立如下线性规划模型： 程序编程过程：
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;x1>=60;x1+x2>=70;x2+x3>=60;x3+x4>=50;x4+x5>=20;x5+x6>=30;编程结果：
Global optimal solution found.Objective value:
150.0000
Infeasibilities:
0.000000
Total solver iterations:
Variable
Value
Reduced Cost
X1
60.00000
0.000000
X2
10.00000
0.000000
X3
50.00000
0.000000
X4
0.000000
1.000000
X5
30.00000
0.000000
X6
0.000000
0.000000
Row
Slack or Surplus
Dual Price
150.0000
-1.000000
0.000000
-1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
-1.000000
0.000000
0.000000
10.00000
0.000000
0.000000
-1.000000 内容二：
（1）max=6*x1+4*x2;2*x1+3*x2<100;4*x1+2*x2<120;x1,x2分别表示两种型号生产数量。
所以，生产产品A1、A2分别为20、20件时，可使利润最大，最大为200元。（2）
所以，当产品A1的利润在（2.6666667,8）时，不影响产品的生产数量。（3）
所以，当装配工序的工时在（60,180）时，不改变产品种类，只需调整数量。（4）加放产品A3，建立新的线性规划问题 max=6*x1+4*x2+5*x3;2*x1+3*x2+4*x3<=100;4*x1+2*x2+2*x3<=120;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
内容三：
（1）设生产I 产品为x1,生产 II为x2, 生产 III 产品为x3,则有：
max=3*x1+2*x2+2.9*x3;
8*x1+2*x2+10*x3<300;
10*x1+5*x2+8*x3<400;
2*x1+13*x2+10*x3<420;
@gin(x1);
@gin(x2);
@gin(x3);
所以，当月仅生产产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ数量分别为24、24、5时工厂的利益最大，最大利润为134.5千元。
（2）max=3*x1+2*x2+2.9*x3-18;8*x1+2*x2+10*x3<300;10*x1+5*x2+8*x3<460;2*x1+13*x2+10*x3<420;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
借用其他工厂的设备B 60台时时，可生产产品Ⅰ数量
31、产品Ⅱ数量26，此时每月最大利润为127千元，比不借用设备时的利润少7.5千元。所以借用B设备不合算。（3）如果投入两种新产品，设每月生产的数量分别为x4、x5，则： max=3*x1+2*x2+2.9*x3+2.1*x4+1.87*x5;8*x1+2*x2+10*x3+12*x4+4*x5<300;10*x1+5*x2+8*x3+5*x4+4*x5<400;2*x1+13*x2+10*x3+10*x4+12*x5<420;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);
投产产品IV、V后，该工厂生产产品I、II、III、IV、V数量分别为26、19、1、1、8时，每月最大利润为135.96千元，比不投产该产品时多增加利润1.46千元。故投产产品IV、I在经济上合算。
（4）max=4.5*x1+2*x2+2.9*x3;9*x1+2*x2+10*x3<300;12*x1+5*x2+8*x3<400;4*x1+13*x2+10*x3<420;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
改进后，要使得每月利润最大，则需生产产品I、II、III数量分别为22、24、2，最大利润为152.8千元。所以改进结构对原计划有影响。使得利润比为改进之前多18.3千元。七:项目分析
线性规划模型只是忽略一些外在因素所建立的模型，理论比较简单，但涉及的方面不全，所以要运用到实际中还需要多方面的考虑。项目二： lingo中集合的应用
一、实训课程名称
数学建模实训
二、实训项目名称
lingo中集合的应用
三、实验目的和要求
熟悉应用LINGO解决规模较大线性规划问题的一般方法，熟悉集合的应用
四：实验内容和原理
采用lingo中的集合语言，编程求解下列两个问题 内容一：某医院负责人每日至少需要下列数量的护士 班次 时间 最少护士数 1 6:00-8:00 60 2 8:00-10:00 50 3 10:00-12:00 70 4 12:00-14:00 40 5 14:00-16:00 60 6 16:00-18:00 40 7 18:00-20:00 50 8 20:00-22:00 30 9 22:00-00:00 20 10 00:00-02:00 30 11 02:00-04:00 30 12 04:00-06:00 30 每班的护士在值班的开始时向病房报道，连续工作6个小时，医院领导为满足每班所需要的护士数，最少需要多少护士。
内容二：某个百货商场对售货人员（周200元）的需求经统计如下表, 星期 1 2 3 4 5 6 7 人数 16 15 12 14 16 18 19 为了保证销售人员充分休息，销每周工作5天，休息2天。问要使工资开支最省至少需要多少售货员？且给出一个销售人员工作时间安排表。五：主要仪器及耗材
计算机与Windows2000/XP系统；LINGO软件 六：操作办法与实训步骤 内容一： model: sets: class/c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,c10,c11,c12/:required,hire;endsets data: required=60 50 70 40 60 40 50 30 20 30 30 30;enddata min=@sum(class(i):hire(i));@for(class(j):
@sum(class(i)|i#le#3:hire(@wrap(j-i+1,12)))>=required(j));end
所以最少需要180名护士。内容二： model: sets: days/z1,z2,z3,z4,z5,z6,z7/:required,hire;endsets data: required=16 15 12 14 16 18 19;enddata min=200*@sum(days(i):hire(i));@for(days(j):
@sum(days(i)|i#le#5:hire(@wrap(j-i+1,7)))>=required(j));end
所以要使工资开支最省至少需要22名售货员，工资开资最省为4400元。项目三： lingo中派生集合的应用
一、实训课程名称
数学建模实训
二、实训项目名称
lingo中派生集合的应用
三、实验目的和要求
熟悉应用LINGO解决规模较大线性规划问题的一般方法，熟悉派生集合、稀疏集合的应用 四：实验内容和原理
采用lingo中的集合语言，编程求解下列两个问题 内容一：
内容二：
计算6个产地8个销地的最小费用运输问题。产销单位运价如下表。单
位
销地 运 价 产地 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 产量 A1 6 2 6 7 4 2 5 9 60 A2 A3 A4 A5 A6 4 5 7 2 5 9 2 6 3 5 5 1 7 9 2 3 9 3 5 2 8 7 9 7 8 5 4 2 2 1 8 3 7 6 4 2 3 1 5 3 55 51 43 41 52 销量 35 37 22 32 41 32 43 38
五：主要仪器及耗材
计算机与Windows2000/XP系统；LINGO软件 六：操作办法与实训步骤 内容一： 程序： model: SETS: CITIES/1,2,3,4,5,6,7,8,9,10/:L;ROADS(CITIES,CITIES)/ 1,2 1,3 2,4 2,5 2,6 3,4 3,5 3,6 4,7 4,8 5,7 5,8 5,9 6,8 6,9 7,10 8,10 9,10/:D;ENDSETS DATA: D= 6 5 6 9 7 5 11 1 8 7 5 4 10 7 9;L=0，，，，,;ENDDATA @FOR(CITIES(i)|i#GT#1: L(i)=@MIN(ROADS(j,i):L(j)+D(j,i)););END 结果：
所以，从城市1到城市10的最短路径长度为17，具体路径为：1—2—4—8—10
内容二： 程序： model: sets: gongying/1..6/:chandi;xuqiu/1..8/:xiaodi;link(gongying,xuqiu):yunjia,c;endsets data: chandi=60 55 51 43 41 52;xiaodi=35 37 22 32 41 32 43 38;yunjia= 6 2 6 7 4 2 5 9 4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3;enddata min=@sum(link(i,j):c*yunjia);@for(gongying(i):@sum(xuqiu(j):c(i,j))<=chandi(i));@for(xuqiu(j):@sum(gongying(i):c(i,j))=xiaodi(j));end 结果：
Global optimal solution found.Objective value:
664.0000
Infeasibilities:
0.000000
Total solver iterations:
所以最小费用为664.项目四：微分方程的数值解法一
一、实训课程名称
数学建模实训
二、实训项目名称
微分方程求解
三、实验目的和要求
1、学会用Matlab求简单微分方程的解析解.2、学会用Matlab求微分方程的数值解 四：实验内容和原理
1、求方程 的通解。
2、求微分方程组，在初始条件 下的特解。
3、求方程，分别用ode45,ode15s求解，并画出函数图形。五：主要仪器及耗材
计算机与Windows2000/XP系统；MATLAB软件 六：操作办法与实训步骤
1、>> dsolve('(x^2-1)*Dy+2*x*y-sin(x)=0')ans = 1/2*(sin(x)+2*exp(-2*x/(x^2-1)*t)*C1*x)/x
2、>> [x,y]=dsolve('Dx+x+y=0','Dy+x-y=0','x(0)=1,y(0)=0','t');>> x=simple(x)x =(-1/4*2^(1/2)+1/2)*exp(2^(1/2)*t)+(1/4*2^(1/2)+1/2)*exp(-2^(1/2)*t)>> y=simple(y)y =-1/4*2^(1/2)*(exp(2^(1/2)*t)-exp(-2^(1/2)*t))
3、M_文件：
function dx=l(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)-0.1*x(1)*x(2)+0.01*t;dx(2)=-x(2)+0.4*x(1)*x(2)+0.04*t;程序（ode45）：
>> [t,x]=ode45('l',[0,100],[30 20]);>> plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*')
程序(ode15s): >> [t,x]=ode15s('l',[0,100],[30 20]);>> plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*')
项目五：微分方程的数值解法二
一、实训课程名称
数学建模实训
二、实训项目名称
微分方程求解
三、实验目的和要求
熟悉并掌握用matlab解微分方程的解析解和数值解 四：实验内容和原理
一个慢跑者在平面上沿圆以恒定的速率v=1跑步,设圆方程为:
x=10+20cost，y=20+20sint.突然有一只狗攻击他.这只狗从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者.分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹.五：主要仪器及耗材 计算机、matlab软件 六：操作办法与实训步骤 当w=20 建立M文件h,M文件如下 function dy=h(t,y)
dy=zeros(2,1);dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+20*sin(t)-y(2))^2);dy(2)=20*(20+20*sin(t)-y(2))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+20*sin(t)-y(2))^2);程序如下： 取t0=0,tf=10 [t,y]=ode45('h',[0 10],[0 0]);>> t=0:0.1:2*pi;>> X=10+20*cos(t);>> Y=20+20*sin(t);>> plot(X,Y,'-')>> hold on plot(y(:,1),y(:,2),'*')
当W=5 建立M文件l，M文件如下 function dy=l(t,y)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+20*sin(t)-y(2))^2);
dy(2)=5*(20+20*sin(t)-y(2))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+20*sin(t)-y(2))^2);程序如下： 取t0=0,tf=10 [t,y]=ode45('l',[0 10],[0 0]);>> t=0:0.1:2*pi;>> X=10+20*cos(t);>> Y=20+20*sin(t);>> plot(X,Y,'-')>> hold on plot(y(:,1),y(:,2),'*')
项目六:数据点的插值与拟合
一、实训课程名称
数学建模实训
二、实训项目名称
数据点的插值与拟合
三、实验目的和要求
了解插值、最小二乘拟合的基本原理，掌握用MATLAB计算一维插值和两种二维插值的方法，掌握用MATLAB作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法 四：实验内容和原理
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，现要求你们通过数学建模来完成以下任务：
(1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
五：主要仪器及耗材
计算机与Windows2000/XP系统；MATLAB软件 六：操作办法与实训步骤 在matlab中输入：
x=[];y=[];z=[];cx=0:100:28654;cy=5000:100:18449;cz=griddata(x,y,z,cx,cy','cubic');meshz(cx,cy,cz),rotate3d xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')figure(2),contour(cx,cy,cz,15,'r');
综合实训作品
基于枚举法和曲线积分法公路选址问题的求解 摘要 城区公路选址是一项利民工程，为将该工程做好，建设部门在设计时应最大限度减少造价，从而节约成本，达到费用最省。为此目的，本文利用函数化思想建立模型求解并给出了五种不同要求下的最优方案。
由题目所给数据（图1）可知，直线AB右上方单位区域中的单位建设费用小于AB左下的单位建设费用，且数据矩阵关于其次对角线对称。因而转弯点（无论一个或两个）均应位于AB右上区域。
问题1要求至多1个转弯点且在网格点上，可分0个和1个转弯点两种情况。对于0个转弯点，即直线AB，通过几何方法得出建设费用为14.9907百万元。对于1个转弯点在网格点上的问题，我们利用函数化思想建立函数关系模型，运用枚举法和权重法，并利用
编程直接输出最小费用。比较可知，恰有一个转弯点时较无转弯点为优。其方案是选择坐标为（5,6）或（6,5）的点，建设费用最小为14.707百万元。
对于问题3，要求转弯点在网格线上，即至少有一个坐标为整数，分一个转弯点和两个转弯点两种情况。因为整数最优点是最接近理想最优点的整数点，我们可以先算出只有两个转弯点时且转弯点在网格点的费用，计算得出最优转弯点为（4,7）和（7,4）时，建设费用最小，为14.6241百万元。在此基础上将循环语句中的步长1修改为0.01，运行结果说明，一个转弯点的最优选择是（6，4.57），费用为14.6989百万元；两个转弯点的最优选择是（3.62,7）和（7,3.62），费用为14.6201百万元。因而选择两个转弯点更优。
对于问题4，坐标点可以为区间[0,9]中的任意实数值，我们在问题三解法的基础上对最优点的两个坐标均用步长 0.01循环，得出最优转弯点为(3.58,7.32)和（7.32,3.58），此时最小费用为14.54百万元。可见较问题3的答案更优。
对于问题5，每个点的单位建设费用都不同，且单位建设费用是连续函数。我们用曲线积分方法建立总费用模型，求出变下限积分函数的最小值，得出最优点为（5.30,5.30）,最优建设费用为14.707百万元，与问题1相同。
最后，我们针对问题的实际情况，对论文的优缺点做了评价，提出了几个改进方向，以便用于指导实际应用。
关键词：
函数化建模
编程
枚举法
最优方案
曲线积分法
一、问题重述
某区政府计划在下列区域（见图1）修建一条从A（0,9）到B（9,0）的直线型公路，由于涉及路面拆迁等因素，各地段建设费用有所不同，图1中的数字代表该区域公路单位建设费用（单位：百万元）。未标数字的任何地方单位建设费用均为1。图1的每个网格长与宽都是1个单位。每个网格的边界上建设费用按该地区最小单位费用计算。
请你按建设部门的如下具体要求，从建设费用最省的角度，给出最优的方案。（1）公路至多只能有1个转弯点，且转弯点只能建在图1所示的网格点上。（3）公路至多只能有2个转弯点，且转弯点只能建在图1所示的网格线上。（4）公路至多只能有2个转弯点，转弯点可以建在图1所示区域的任何位置。（5）如果各区域的单位建设费用为（百万元），公路至多只能有1个转弯点，转弯点可以建在图1所示区域的任何位置。
图1
二、问题分析 针对问题一：需要求出当公路至多只能有1个转弯点且转弯点只能建在图1所示的网格点上时所需的费用最省的目标值。首先，我们计算出没有转弯点时花费为14.9907百万元。对于有一个转弯点的,我们利用函数化建模思想将W与、的关系用数学方程式表达出来，接着利用
编程将函数关系式进行运算，使用枚举法得出所有可能的转弯点的值，最后通过查找语句找出所得数据中的最小值，在与没有转弯点的花费比较，较小的即为可用的最优方案。针对问题三：需要求出当公路至多只能有2个转弯点且转弯点只能建在图1所示的网格线上时所需的费用最省的目标值，坐标点至少有一个为小数，在只有两个转弯点时且转弯点在网格点的基础上设定x或y其一必为小数，即步长改为0.01，和只有两个转弯点时且转弯点在网格点类似。针对问题四：需要求出当公路至多只能有2个转弯点但转弯点可以建在图1所示区域的任何位置时所需的费用最省的目标值。此时，坐标点为0-9之间的任意实数，有两种情况：一种为有一个转弯点，另一种为有两个转弯点。在问题一与只有两个转弯点时且转弯点在网格点的基础上，针对第一种情况，只需将第一问的程序中的步长改为0.01；针对第二种情况，只需将只有两个转弯点时且转弯点在网格点程序中的步长改为0.01，通过比较两种情况下的值，可得出最优方案。
针对问题五：如果各区域的单位建设费用为（百万元），公路至多只能有1个转弯点，转弯点可以建在图1所示区域的任何位置。因为每个点的单位建设费用不同，但又是连续变化的，故我们可以利用微积分法思想，假设在极小的一段路程内建设费用是相同的，由此建立一个积分方程，通过 编码找出花费最小值，从而得出最优方案。
三、模型的假设
1、区域内所有位置的路面状况均相同
2、不考虑软件计算带来的极小误差
3、不考虑转弯点的设置对公路建设费用的影响
4、在区域内设置转弯点不受地形条件的限制
四、符号说明
（1）：单转弯点的坐标；
（2）：双转弯点中靠近A点的坐标；（3）：双转弯点中靠近B点的坐标；（4）:总建设费用；
（5）：单位区域的公路长度；（6）：第 条路段单位建设费用；
（7）：第 条路段费用；（8）：第 条路段与网格线交点的横坐标矩阵；（9）：第 条路段与网格线交点的纵坐标矩阵；
五、模型的建立与求解
5.1 至多只能有1个转弯点且转弯点只能建在网格点上。5.1.1建立模型
（1）没有转弯点时： W=（百万元）
（2）有一个转弯点时：
利用函数化思想，建立 与、的函数关系： 第1步：在网格点上任取一点（图1），根据直线两点式方程：，可得直线 的方程为
图1
第2步：由直线方程可求得AP与x=i(i=0、1、2……)和y=j(j=yp……
8、9)的 所有交点，并按x从小到大的排序，（，）（i=1，2,3，4……）
取（，）和（，）则可以根据它们的中点得到这两点的路段需要的加权权重，即：
因此对于 有，累加可得AP段公路的费用。PB段公路的费用同理可得。故此总费用的表达式为：
5.1.2 软件求解
根据枚举法，利用Matlab软件求解（程序见chengxuyi），流程图如图2：
图2 求解 的流程图
从 程序运行结果可以看出，使得W最小的点的坐标为（5,6）和（6,5），此时，=14.707百万元。
因为14.707<14.9907 所以，将转弯点设在坐标为（5,6）或（6,5）的网格点上时，能使建设费用最省，即为最优的方案。如图3：
图3 5.2下面计算只有两个转弯点且转弯点在网格时的情况 5.2.1判断公路的大致走向 5.2.1.1 公路在直线AB的上方
以直线AB为对称轴，上方区域的单位建设费用要低于其下方对应区域的单位建设费用。如图4所示，若有某段公路在直线AB的下方，则以直线AB为对称轴，得到与
其对称的公路。两公路长度相等，但下方价格明显高与上方，故公路应在直线AB的上方。
图4 5.2.1.2 公路呈向下趋势
若公路趋势如图5所示，路段 向上，水平或竖直，则连接 ,则易得公路 的建设费用低于A-P1-P2段的建设费用
图5
所以，我们得到公路的大致走向，如图6所示：
图6 5.2.2 建立模型 第一步：根据两点的位置关系，在网格点上任取两点，如图7。根据直线两点式方程：，得到直线A , , 的方程： A ：（y–9）m =（mn)(an)(xb)（9a)
图7
第二步：根据直线方程可求得直线A 与x=i(i=0、1、2……)和y=j(j=yp……
8、9)的所有交点，并按x从小到大的排序，即：（，）（i=1，2,3，4……）
取（，）和（，）则可以根据它们的中点得到这两点的路段需要的加权权重，即：
第3步：对于 有，累加得到A 段公路的费用，同理得到 , 段公路的费用。故整条公路的总费用表达式为：
5.2.2 软件求解
5.2.2.1当有两个转弯点时
编写Matlab编程，利用枚举法，得到所有可能得到的两个转弯点的情况时所需要的总建设费用W，程序见chengxuer，分析流程图如图8：
图8 求两个转弯点在网格点上时的流程图
经过分析，得出使得W最小的两点坐标为（4,7）和（7,4），此时，=14.6241百万元。所以，将两转弯点分别设在坐标为（4,7）和（7,4）的网格点上时，能使建设费用最省，即为最优的方案。如图9：
图9 两转弯点在网格点上时的最优方案
5.3至多只能有2个转弯点且转弯点只能建网格线上。5.3.1 建立模型
5.3.1.1 有两个转弯点
在第二问的基础上，我们可推出公路的大致走向，如图10
图10 公路的大致走向 第 1 步：根据两点的位置关系，在网格点上任取两点，得到直线A , , 的方程： A ：（y–9）m =（mn)(an)(xb)（9a)
第 2 步：在坐标满足条件的情况下，如果n为整数根据直线方程可求得直线A 与x=i(i=0、1、2……)和y=j(j=yp……
8、9)的所有交点，并按x从小到大的排序，即：（，）（i=1，2,3，4……）
取（，）和（，）则可以根据它们的中点得到这两点的路段需要的加权权重，即：
若n为小数，则取n的整数部分再加1，重复上述步骤； 如果m为整数，同样方法得到（，），若m为小数，则取m的整数部分，然后计算得到（，）。
第3步：对于 有，累加得到A 段公路的费用，同理得到 , 段公路的费用。故整条公路的总费用表达式为：
5.3.1.2 有一个转弯点
与设立两个转弯点相比，只需在网格线上任取一个点P，思想和方法都与之相同 5.3.2 软件求解
5.3.2.1 有两个转弯点
以只有两个转弯点且转弯点在网格点上的程序为基础，将循环中的步长设为0.01，在m或n为整数且a或b为整数的条件下，寻找最优解。程序见chengxusan，流程图以A 为例显示了取整与求取线段与网格线交点的过程，其他步骤同上。如图11。
图11 两个转弯点下的部分流程图 5.3.2.2设一个转弯点
编程思路与设两个转弯点的情况相同，程序见chengxusi。5.3.3 结果
设一个转弯点时，使W最小的转弯点坐标为（6，4.57），=14.6989； 设两个转弯点时，使W最小的转弯点坐标为（3.62,7）和（7,3.62），=14.63。所以最优方案为：设立两个转弯点，其坐标分别是（3.62,7）和（7,3.62）5.4至多只能有2个转弯点但转弯点可以建在所示区域的任何位置。
该问中，转弯点坐标都为实数，在问题二的基础上只需要改变x，y的步长，比较步长0.1和0.01，分析结果为步长是0.01时所花费用最省，即两个转弯点的坐标为(3.58,7.32),（7.32,3.58）时，建设费用为14.54百万元。5.5 单位建设费用连续变化 5.5.1缩小转弯点所在区间
以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系。以点A、B焦点，任意画一椭圆，如图12：
图12 两圆的半径差为dr，当dr足够小时，我们可将②区域内的单位造价视为均匀的，设三个区域内的造价分别为，由条可知，是P沿椭圆逆时针转过某一微小弧度所对应位置, C,D分别是 B与圆②相交的两个点，分别计算路线A-P-B和路线A--B所对应的总造价：
+
+ +)+
+ B)= P+PB)=
同理可证得：
以此类推可知将转弯点设在y轴上可使建设费用最省。在如图13所示的坐标系下，转弯点在直线y =x上
图13 转弯点的位置 5.5.2 建立模型 第一步：在线段上取极小的一段dS，此时，其建设费用可看作是均匀的，设此时
t =
（1）
第二步：对线段上的任意一点（x , y），设其参数方程为：
且令x = x(z)=z;第三步：
因为x = x(z)=z，所以
是公路所在直线的斜率，用k 表示，所以；
（2）
第四步：根据直线两点式方程：，得到直线AP、PB的直线方程： AP：
PB：
由于点P在直线y = x上，所以：
AP：
（3）
PB：
（4）第五步：对x积分，得到W的表达式：
（5）将（1）-（4）代入（5）得：
（6）
所以，该问题转化求函数式（6）的最小值问题
以直线AB为对称轴，上方区域的单位建设费用要低于其下方对应区域的单位建设费用。所以，转弯点应选在直线y=x上且位于直线AB的上方，即m>4，可缩短程序运行的时间。利用Matlab软件编程，以0.01为步长，解出W在区间[4,8.99]上的最小值。程序见chengxuwu。5.2.3.2结果
当m=5.30时，W最小，Wmin=14.707百万元。
所以，将转弯点设在（5.30,5.30）处，可使建设费用最少，为最优方案。
六、模型的推广与改进方向
1、枚举法只适用于个体数量较少的情况下
2、根据题目要求，分析出合适区域，在不影响最优方案的选择情况下适当缩短步长，以减少程序中不必要的循环计算进而缩短运算时间。
七、模型的优缺点
1、模型的优点
由于模型运用了枚举法，从而使得建立出该模型后比较直观，易于理解且算法的正确性比较容易证明。
2、模型的缺点
当数据量庞大时，程序运行时间稍长，对计算机的性能要求过高。参考文献
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[2]徐秀华.Matlab软件在数学建模中的应用[J].科技与生活.2010年第13期 [3] 赵修坤
微积分第三版
国防工业出版社
2012 年8月
第五篇：实训周
实训周-网页设计
要求：做出一个与教育资源或者专题学习网站相关的网站设计。网站访问对象是小学生。如小学数学，小学图形认识，英语学习或者自然科学等。也可以是小学课外的活动相关的，如观察自然等。
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