8.2 消元──二元一次方程组的解法”教学设计

第一篇：8.2 消元──二元一次方程组的解法”教学设计

“8.2 消元──二元一次方程组的解法”教学设计

摘 要：“目标引领，问题设计，学案教学”是在“基于问题设计的中学数学课堂教学策略研究”中探索出的一种模式。在这种模式下的教学设计是教师在认真研读教材、深刻理解教材的基础上，根据学情，灵活地整合、重组教学内容，制定恰当的教学目标，编制科学的、让学生乐于学习、敏于思考、敢于分享的学案，并在课堂上以问题为主线展开教学。问题如何设计、如何恰时恰点地提出、如何用好该问题，则是一节课成败的关键。该教学设计的创新之处在于最初的问题是由学生自己提出的，学生自然会以很高的兴致去尝试解决，从而积极主动认真地完成一节课的学习任务。

关键词：提出问题；解决问题；消元思想；体味文化

一、内容和内容解析

内容

人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级下册“8.2 消元──二元一次方程组的解法”。

内容解析

现实生活中存在大量问题涉及多个未知数，其中许多问题中的数量关系是一次（也称线性）的，而方程组则是解决这些问题的有力工具.学生在小学阶段已经学习了解简易方程，在七年级上学期系统学习了解一元一次方程。解二元一次方程组的教学是在前面学习的基础上对方程的进一步研究和学习“元增多”(一元→二元)，而到九年级将解决“次增高”（一次→二次）。

本节教学的核心是“消元”，从讨论解方程组的需要出发，引导学生从解决问题的基本策略的角度（转化思想：多元（新问题）→一元（旧问题）），实现问题的解决.这里的转化亦即消元化归思想，认知策略是逐步减少未知数的个数，以使方程组化归为一元方程，即先解出一个未知数，然后逐步解出其他未知数.这对学生的能力提升以及后续学习非常重要.在这种思想的指导下，结合学生对同一个问题的不同解方法对照，发现用代入的方法能够实现消元，不仅对消元思想的理解由抽象到具体，而且找出了解二元一次方程组的一种基本方法──代入消元法.教学重点

解决问题的一般思路：转化（化繁为简，化难为易，化新为旧）；对消元化归思想的初步理解；用代入法解二元一次方程组.二、目标和目标解析

（1）经历由实际问题抽象为方程组的过程，让学生体会其中蕴含的符号化、模型化的思想，进一步了解建模思想.数学思想方法是蕴含在数学知识中的，学生对思想方法的理解和掌握是循序渐进的.在一元一次方程应用的学习中，学生已经对建模思想有了初步的了解，通过本节的教学，学生能更进一步地理解和体会这一思想，为本章第3节“实际问题与二元一次方程组”的顺利学习及分析问题、解决问题能力的提高奠定基础.（2）通过对不同解题思路及方法的对照、比较，发现二元到一元的转化，理解消元思想的内涵.数学教学承载着启迪学生智慧的重任，智慧的启迪源自学生对问题的主动探究（如观察、注意、思维、想象、记忆等），继而使问题得以解决.这一目标旨在消除部分学生对消元化归思想的模糊认识，真正理解消元思想，使学生能透过现象看到本质，激活思维，学会思考.（3）经历二元到一元的转化过程，理解代入消元的本质；通过对代入法解二元一次方程组过程的提炼、归纳、整理，掌握这一方法的基本解题过程并会灵活应用.对本节的教学不能仅停留在具体题目的具体解题过程上，而应不断加深学生对思想方法的领悟，让学生从思想方法的高度认识、理解所学内容。这样，我们和学生分享的才是能活学活用、能解决问题、真正意义上的知识，而非“死”知识.（4）让学生阅读一次方程组的古今表示及解法，使学生了解一些有关数学史的知识，感受我国古代数学的光辉成就.数学的应用不是数学价值的全部体现.因此，数学教学不仅要培养学生应用数学知识、方法解决问题的能力，更承担着培养学生良好数学素养的责任.这就要求我们的课堂教学在传播知识的同时传播文化.三、教学问题诊断分析

数学思想方法是具体的数学知识的灵魂，数学思想方法对一个人的影响往往要大于具体的数学知识.在本章教材中，实际问题情境贯穿全章，本节对方程组解法的讨论也是在解实际问题的过程中进行的，因此建模的数学思想（方程思想）在这里得以充分体现。尽管在教学中教师会有意识地进行渗透、明确，但学生对这一思想的理解和体会也许并不会深刻.或许，他们依旧不会有意识地、主动地在这种数学思想指导下对问题进行分析，必将导致分析问题的盲目性，就会不可避免地走弯路.用代入消元法解二元一次方程如果仅停留在模仿、生搬硬套的水平上的话，方法本身并不难，经过大量题组的机械训练，相信绝大部分学生都能掌握这个方法，但对学生思维的发展、学习能力的提高毫无益处.以后在其他的问题情境中遇到需要代入或消元的方法时，学生会感到茫然、束手无策.因此，本节的教学难点是：对数学思想方法的理解，尤其是对用代入的方法实现消元的主动理解.突破这一难点的关键是给学生充足的思考、探索、交流的时间，让他们的思维自然流淌，使消元“水到渠成”，从而“悟”出消元的必然.四、教学过程设计

（一）情景导课

背景材料：老师在我们学校代三个班的数学，所教学生共143人.问题1：你能提出什么数学问题？如何解决？ 学生可能提出的问题：

（1）每个班有多少个学生？

（2）男生、女生各多少个？ …… 针对问题（2），增加条件：男生人数的2倍比女生人数的3倍少14人.学生活动：解决问题；展示方法.教师点拨：（1）用建模思想引领思维，实际问题－数学问题.（2）一元一次方程会解但难列，因为要综合考虑问题中的各种等量关系；二元一次方程组易列，因为可以分别考虑两个等量关系，但不会解。从而产生了新问题。方程组对于解含多个未知数的问题很有效，它的优越性会随着问题中未知数的增加而体现得更加明显 【设计意图】（1）由于是借班上课，以此形式开课既能创造轻松的氛围、拉近师生之间的距离，又可以巧妙引出本节课的教学内容.（2）问题是学生自己提出的，因此他们解决这个问题的积极性更高，思维更开阔，各种方法的出现便会成为必然.（3）让学生体会到方程组在解决实际问题中的优越性.（二）解决问题

问题2：怎么解二元一次方程组呢？ 追问：为什么要这样做？依据是什么？ 你的解题思路是什么？

你的解题方法的名称是什么？为什么可以这样归纳？（学生思考、交流.）

教师明确：转化思想──新问题转化成旧问题； 消元思想──将未知数的个数由多化少，逐一解决.（学生展示自己的方法.）

师生交流，达成共识，明确思路：变形—代入—求解—写解。教师规范解题过程，进而形成概念：

代入消元法──把二元一次方程组中的一个方程变形成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.【设计意图】我们一直强调让学生“知其然，而且要知其所以然”.但学生往往停留在对知识或方法的表层理解的水平上，究其原因，还是没有形成较强的问题意识，不习惯于多问个“为什么是这样的”、“这样做的依据是什么”等问题.因此，教学应不失时机地培养学生养成良好的问题意识.在问题的引导下，鼓励学生投入到活动中，并留给学生足够的独立思考和自主探索的时间和空间，从而让学生积极、主动地思考，随着思维的自然流淌，“顺势”自然地理解消元思想，解决问题的思路逐渐清晰.通过探索实践，体验知识方法的形成过程，发现代入消元法的由来及过程，真正体会消元思想.练习1 你能把下列方程写成用含x的式子表示y的形式吗？（1）3x+y-1=0；（2）2x-y=3；（3）2y-4x=7。

【设计意图】变形其实是解含字母系数的方程，是学生容易出错的地方，这个问题的设置是为代入法做准备.练习2 解方程组

【设计意图】这一环节，可以让学生趁热打铁——熟悉自己发现的方法。通过学生板书、学生批阅对错、教师规范，不仅可以让学生明确代入消元法解方程组的一般过程，再次规范解题的步骤.总结：用代入法解二元一次方程组的一般步骤。

【设计意图】我们不应倡导学生对某一方法的死记硬背，但必要的归纳、提炼、反思，能让学生体会解方程组过程中的程序化思想，能帮助学生对基础知识和基本方法有清晰的认识，尤其是对学习学习基础较弱的学生.（三）巩固拓展

A组：必做题

B组：选做题

【设计意图】理解了思路，明确了方法，还要通过一定量的练习才能切实掌握方法，融会贯通，领悟思路，启迪智慧，灵活应用.另外，上课时可以请两名学生选择同一道题目进行板演，主要是对比代入的字母不同，简易程度也不同。同时应指出，在方程组中有未知数的系数为±1时，应用代入法求解起来很简便，如果不是，就比较麻烦，所以在“变形”这一步中，要注意观察，同时为后面的加减法的学习做了伏笔。

（四）反思提高

这节课，我学到的知识方法、思想有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

这节课，让我颇受启发的是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.这节课，我的收获还有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.这节课，让我感到难理解是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.【设计意图】我们的教学不仅仅是和学生分享知识和方法，更重要的是培养学生的学习习惯、提高他们的学习能力，而勤于总结、善于反思则是能力提高的快车道.（五）体味文化

学生把自己搜集到的关于我国古代解方程组的资料互相交流 【设计意图】教学不仅要关注学生在数学知识和能力方面得到提高，还要关注数学文化的传承，使学生受到数学文化的熏陶.五、目标检测设计

1.把下列方程写成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式。(1)3x-y=4；

(2)-2x+y+3=0；

(3)2x+3y=4。2.解下列方程组。(1)

(2)（3）

如何上好方程组解法的第一课

──对两节“消元──二元一次方程组的解法”课的思考

湖北省荆州市实验中学 王用华

摘 要：如何在转化、消元等思想方法的引领下上好方程组解法的第一课，是一个值得深入研究的问题。现结合同课异构的两个课例，从“情景引入”、“解法探究”，“技能训练”、“小结反思”等四个方面进行研究与探讨，认为在课堂中，应把基本的数学思想方法与知识、技能融于一体，使学生在学习知识、技能的同时，也悟到一定的数学思想方法，进而真正提高学生的数学素养.关键词：二元一次方程组；解法；转化；消元

“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计的理论与实践”课题组第六次课题研讨会于今年四月中旬在江苏南通召开，课题会上，北京五中分校的曹老师和山西阳泉十九中的翟老师就“消元——二元一次方程组的解法”这一内容以同课异构的方式各上了一节研究课，两位老师对该课不同的教学设计与处理引发了我们对“如何上好方程组解法第一课”的思考，并形成本文，与同行们商榷.一、关于新课导入

课例A

师：在上一节课，我们研究了一个与篮球赛有关的应用问题，还记得吗？

（学生未作回答。）师：在那一节课，我们列出了一个二元一次方程组（板书方程组），并通过对这一问题的研究，学习了什么叫二元一次方程组及二元一次方程组解的定义.大家列方程组解应用题，最关注的是什么？会解这个二元一次方程组吗？

（学生未作回答。）

师：在探究一个新问题之前，大家先想一想，我们有没有学过与之相关联的知识？

生1：学过解一元一次方程.师：解一元一次方程的依据是什么？

生2：等式性质.师：这一节课我们就来共同探究一下，能不能运用等式性质和一元一次方程的相关知识解决今天新的问题——二元一次方程组（板书课题）.„„

课例B

媒体先播放引言：在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.──德国数学家 康托尔

师：得知我到这个地方来上课，我的学生特意让我带来他们对你们的问候。

媒体同时播放背景材料：老师在我们学校带3个班的数学，所教学生共143人.师：就这个背景，你能提出哪些问题？

生1：平均每班人数为多少？ 生2：男生和女生人数分别为多少？

师：问题提得好不好？想不想知道问题的答案？想知道就需要老师增加条件.媒体接着播放增加的条件：男生人数的2倍比女生人数的3倍少14.师：如何解决这个问题？

随后，教师与学生开始共同探讨问题及求解方法（未出示课题）.„„

良好的开端是成功的一半.如何在上课伊始将学生的“心”、“思”紧紧抓住，让他们全身心、主动地参与到数学教学活动中来？这需要我们对课堂的引入做精心的设计.从两位教师的教学设计看，课例A以问题串为纽带，通过师生对话，以期实现以旧引新.课例B欲通过创设问题情境，创造轻松氛围，拉近师生距离，同时引出本节课的教学内容.但从具体实施效果看，都不够理想.引入和情境创设的方法较多，无论采用哪种方式和手段进行教学设计与实施，都必须基于所授课的教学目标、教学内容和学生具体的学情.同时，作为课堂教学的第一个环节，还必须做到简明扼要、紧扣主题.作为方程组解法的第一课，我们欣赏并提倡使用教材精心编排的引入，以章头图所涉问题为背景，从讨论解方程组的需要出发，通过对比、类比，引导学生从解决问题的基本策略的角度先归纳出“将未知数的个数由多化少，逐一解决”的消元思想，然后在这种思想指导下从具体到抽象，从特殊到一般地认识代入消元法.这样做，开门见山、直奔主题、重点突出、切中要害，学生很快就能将注意力集中在教学内容最本质、最核心、最重要的问题上来.二、关于解法探究

课例A

学生自主探究方程组（5分钟后。）的解法（教师不加任何解释和引导）.生1：由②－①，得x=18。把x=18代入①，得y=4.生2：由①得：x=22－y③，将③代入②得：y=4，„„，x=18.接下来，师生共同探讨并学习解二元一次方程组的两种方法——代入消元法、加减消元法.„„

课例B

师：怎样解二元一次方程组？

配合教师的问题，媒体播放“问题2：怎么解二元一次方程组呢？”以及“追问：为什么要这样做？依据是什么？你的解题思路是什么？你的解法的名称是什么？为什么可以这样归纳？”

（学生思考、交流.）生1：由①得，代入②，得，„„

生2：我有不同意见，先把②式算出来x=143－y，然后代入①得3(143－y)－2y=14，„„ 然后，师生依照“问题2”展开对代入消元法的探讨与学习.„„

课例A，先充分放手，让学生自主探究方程组的解法，待学生找到了二元一次方程组的两种解法──代入消元法、加减消元法后，同时对这两种解法展开学习.课例B先出示引导性问题，再组织学生探究解决这些问题，并在此基础上学习代入消元法.在方程组解法的起始课上，同时呈现两种解法并加以学习，这一做法我们曾在一数学基础较好的数学实验班中做过尝试，但效果欠佳.这样处理是否妥当，还有待于进一步探讨与研究.课例B的解法探究，由于所提供问题情景中方程组的数据偏大，且计算稍显复杂（就刚接触方程组解法的学生而言），给学生的认知与探究带来了一定的障碍（如生

1、生2变形后均未能及时求出对应未知数的值），从而影响了解法探究的顺畅进行，导致整个解法探究不够自主与不够彻底等现象的出现.代入消元法与加减消元法都属于解二元一次方程组最基本的方法，但加减消元法的求解过程中包含有大量“代入”的过程，同时，代入消元法与加减消元法的“实施程序”基本相同，因此，先学好代入消元法将有助于学生认知的同化，并对加减消元法的学习与掌握产生有力的推动作用.因此，我们主张方程组解法的第一课，应先进行代入消元法的学习，让学生切实掌握代入消元法.同时，在解法学习的过程中，应力求做到以下三点.（1）自主.著名数学教育家波利亚说：“学习任何东西的最佳途径就是自己去发现”.另外，根据本章所涉内容的特点，在本章内容的呈现和结构设计上，教材编写者也有意加强了学习的主动性和探究性.就本节课而言，其内容与设计的目的是让学生确定解题方向，找到一个在本阶段有能力解决问题的方法，来解二元一次方程组.而在二元一次方程组的求解过程中，让学生感到困难的地方是：有两个方程，两个未知数.怎样才能把难点转化为学生已经学过的知识？如果能够把两个未知数变成一个未知数，即成为一元一次方程，问题将迎刃而解.而通过比较二元一次方程组和一元一次方程，学生可以找到两者间的联系，由此自然联想到将二元一次方程组转化为一元一次方程来解，并在此基础上找到消去一个未知数的方法：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数.进而展开对代入消元法更深入的学习.“目标发现”—“遇困”—“问题解决”，这是一个自主学习的“好”过程，只要教师引导、组织、合作得当，学生将在此过程中自主、自然地感受消元思想，流畅、彻底地掌握代入消元法.（2）深刻

在学生已有的认知和发展水平的基础上，进一步加深学生对代入消元法的认识，帮助学生切实掌握用代入消元法解二元一次方程组的全过程.以方程组为例.在学生了解了代入消元法后，必须思考并处理好以下6个问题：

①这个二元一次方程组如何转化为一元一次方程？怎么转化较简便？

②哪个未知数的值可以先求出来？从哪里求？问题解完了吗？

③另一个未知数的值如何求？

④可以把方程x=22－y代回x＋y=22求解吗？为什么？

⑤先求出的一个未知数的值可以代回到方程x＋y=22或2x＋y=40中，求出另一个未知数的值吗？

⑥你能谈谈代入消元法解二元一次方程组的一般过程与步骤吗？

以上问题的有效处理，将是消元、转化思想的进一步渗透，同时也是代入消元法学习与认识的进一步深刻.（3）优化.“变形—消元—求解—回代—写解”是代入消元法解二元一次方程组的一般过程.其中，在变形的过程中，选择哪一个方程变形较为方便？在回代的过程中，选择哪一个方程回代计算较简便？如何使整个方程组的求解更为顺畅、准确、便捷？思考、解决好这些问题，帮助学生实施认知的进一步“协调”与“精致”，是学生解法学习与掌握的又一次飞跃.同时，在运算中寻找最佳途径，将复杂问题简单化，这种优化思想的渗透，对于学生良好思维习惯的培养有着较为重要的意义.三、关于技能训练

课例A 出示练习题，并要求全班学生求解.解方程组：

（1）（2）（3）（4）

课例B 出示练习题，并要求学生求解.A组：必做题

（1）（2）（3）B组：选做题

两节课例在这一环节的处理方式上基本相同，均是在解法探究后进行一定量的练习.但练习的设计较为笼统，其针对性、系统性也较弱.认知心理学家把知识分为陈述性知识与程序性知识，特殊领域程序性知识又被进一步划分为特殊领域的自动化基本技能与特殊领域的策略性知识（认知策略），数学基本技能属于特殊领域的自动化基本技能，是否达到自动化是判断是否掌握数学基本技能的标准之一.从基本技能的认知阶段开始，尤其是联系阶段和自动化阶段，必须强调训练的重要性，必须进行有针对性、切实有效、一定数量的训练.联系阶段应注重基础训练和理解性训练，自动化阶段应注重变式训练.代入消元法属于典型的程序性技能知识，因此，在保证有适度训练“量”的前提下，还必须注意训练的“质”.练习的使用必须注重选择性与针对性，训练的方式也应力求循序渐进、层层递进.课堂练习的改进：

（1）（直接代入）（2）（简单变形）

（3）（策略优化）（4）

（5）（进一步变式）

另外，一定量的训练对促进学生有关技能的形成与获得十分重要，但形式化的技能训练有时难以激发学生的学习兴趣，从教材的编排来看，教材力图在后续各节中，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中提高学生的解题技能，这一点也需要我们注意.四、关于小结与反思

“编筐窝篓全在收口.”课堂小结是对知识进一步加工、处理、和整合的过程，是教师帮助学生形成知识结构、揭示知识内在联系、发现和总结规律、由感知上升到理性思考的重要环节.本课的小结，课例A注重了框图的作用，这一点值得肯定和提倡。例如，用代入消元法解二元一次的过程可表示为如下图所示的框图。

上图不仅展示了代入消元法和解方程组的具体步骤，而且展示了各步骤的作用，利用这一框图进行解题后的反思与回顾，一方面，可以渗透算法中程序化的思想，另一方面，有助于培养学生良好的学习习惯，提高思考的深度.本节课的核心思想是消元与转化，除此之外还涉及到了程序化思想和简化、优化思想，在教学中也应注意适度渗透.同时，我们应时刻在课堂中把基本的数学思想方法与知识、技能融于一体，使学生在学习知识、技能的同时，领悟到一定数学思想方法.在运用思想方法的同时，巩固知识、技能.这样，思想方法就有了载体，知识技能就有了灵魂，才能真正提高学生的数学素养.

第二篇：《消元──解二元一次方程组》教学设计[推荐]

《消元──解二元一次方程组》教学设计 第2课时：加减消元法解二元一次方程组

广东省肇庆市端州中学 陈铭

一、内容和内容解析 1．内容

加减消元法解二元一次方程组 2．内容解析

二元一次方程组是解决含有两个提供运算未知数的问题的有力工具，也是解决后续一些数学问题的基础。其解法将为解决这些问题的工具。如用待定系数法求一次函数解析式，在平面直角坐标系中求两直线交点坐标等．

解二元一次方程组就是要把二元化为一元。而化归的方法就是代入消元法，这一方法同样是解三元一次方程组的基本思路，是通法。化归思想在本节中有很好的体现。

本节课的教学重点是：会用代入消元法解一些简单的二元一次方程组，体会解二元一次方程组的思路是消元．

二、目标和目标解析

1．教学目标

（1）会用代入消元法解一些简单的二元一次方程组（2）理解解二元一次方程组的思路是消元，体会化归思想

2．教学目标解析

（1）学生能掌握代入消元法解一些简单的二元一次方程组的一般步骤，并能正确求出简单的二元一次方程组的解，（2）要让学生经历探究的过程．体会二元一次方程组的解法与一元一次方程的解法的关系，进一步体会消元思想和化归思想

三、教学问题诊断分析

1．学生第一次遇到二元问题，为什么要向一元转化，如何进行转化。需要结合实际问题进行分析。由于方程组的两个方程中同一个未知数表示的是同一数量，通过观察对照，可以发现二元一次方程组向 一元一次方程转化的思路 2．解二元一次方程组的步骤多，每一步需要理解每一步的目的和依据，正确进行操作，把探究过程分解细化，逐一实施。

本节教学难点理：把二元向一元的转化，掌握加减消元法解二元一次方程组的一般步骤。

四、教学过程设计

1．创设情境，提出问题

问题1篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？你能用一元一次方程解决这个问题吗？

师生活动：学生回答：能。设胜x场，负(10-x)场。根据题意，得2x+(10-x)=16 x=6,则胜6场，负4场

教师追问：你能根据问题中的等量关系列出二元一次方程组吗? 师生活动：学生回答：能．设胜x场，负y场．根据题意，得

我们在上节课，通过列表找公共解的方法得到了这个方程组的解，x=6,y=4．显然这样的方法需要一个个尝试，有些麻烦，能不能像解一元一次方程那样来求出方程组的解呢? 这节课我们就来探究如何解二元一次方程组．

设计意图：用引言的问题引人本节课内容，先列一元一次方程解决这个问题，再二元一次方程组，为后面教学做好了铺垫．

问题2 对比方程和方程组，你能发现它们之间的关系吗？

师生活动：通过对实际问题的分析，认识方程组中的两个y都是这个队的负场数，由此可以由一个方程得到y的表达式，并把它代入另一个方程，变二元为一元，把陌生知识转化为熟悉的知识。

师生活动：根据上面分析，你们会解这个方程组了吗？ 学生回答：会． 由①,得y=10-x ③

把③代入②,得2x+(10-x)=16 x=6 设计意图：共同探究，体会消元的过程． 问题3 教师追问：你能把③代入①吗？试一试？

师生活动：学生回答：不能，通过尝试，x抵消了．

设计意图：由于方程③是由方程①,得来的，它不能又代回到它本身。让学生实际操作，得到体验，更好地认识这一点．

教师追问：你能求y的值吗? 师生活动：学生回答：把x=6代入③得y=4

教师追问：还能代入别的方程吗？

学生回答：能，但是没有代入③简便

教师追问：你能写出这个方程组的解，并给出问题的答案吗？ 学生回答：x=6,y=4,这个队胜6场，负4场

设计意图：让学生考虑求另一个未知数的过程，并如何优化解法。

师生活动:先让学生独立思考，再追问．在这种解法中，哪一步最关键？为什么？

学生回答：代入这一步

教师总结:这种方法叫代入消元法。

教师追问：你能先消x吗？

学生纷纷动手完成。

设计意图：让学生尝试不同的代入消元法，为后面学习选择简单的代入方法做铺垫．

2． 应用新知,拓展思维 例用代入法解二元一次方程组

师生活动,把学生分两组，一组先消x, 一组先消y,然后每组各派一名代表上黑板完成。

设计意图：借助本题，充分发挥学生的合作探究精神，通过比较，让学生自主认识代入消元法，并学会优选解法．

3．加深认识，巩固提高

练习用代入法解二元一次方程组

设计意图：提醒并指导学生要先分析方程组的结构特征，学会优选解法。在练习的基础上熟练用代入消元法解二元一次方程组．

4．归纳总结，知识升华

师生活动，共同回顾本节课的学习过程，并回答以下问题 1． 代入消元法解二元一次方程组有哪些步骤？

2． 解二元一次方程组的基本思路是什么？

3．在探究解法的过程中用到了哪些思想方法？

4．你还有哪些收获？

设计意图：通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生自我归纳概括的能力．

5． 布置作业

教科书第93页第2题

五、目标检测设计 用代入法解下列二元一次方程组

设计意图：考查学生对代入法解二元一次方程组的掌握情况．

第三篇：初中数学《消元──二元一次方程组的解法》教学设计（xiexiebang推荐）

《消元──二元一次方程组的解法》教学设计

一、内容和内容解析

本节主要内容为二元一次方程组的解法，“消元”是解二元一次方程组的基本思路，代入消元和加减消元是“消元”的最基本的方法．探究解二元一次方程组的通解通法，即把解法程序化也是本节应渗透的内容。

（1）初中代数研究的中心问题是各类方程，初中代数中的函数是初步的，它只起到一个启蒙的作用．对函数较全面、深入的研究还有待于在高中进行。可以说，中学代数中，初中以方程为主，高中以函数为主，但初中的教学必须为高中进一步研究函数打好基础．而二元一次方程组恰恰是联系方程和函数的一个很好的纽带，二元方程就刻画了两个变量之间的函数关系，而待定系数法求函数解析式、函数的交点问题等，又需要利用解方程组来进行计算．在近代数学数值计算和工程应用中，求解线性方程组是重要的课题，以Gauss消元法为首的各种消元法的程序化仍然是大家不断研究的重点内容．

因此，学好二元一次方程组的解法，体会消元、转化思想，是学生完善认知的必要支柱，也是本节课的教学重点．

（2）解方程组过程中蕴含的化归思想，不仅在解方程组过程中具有指导作用，更贯穿了数学学习、研究的始终；不仅应用于数学解题，而且是一种最基本的思维策略．在研究和解决有关问题时，如何将复杂问题转化为简单问题；将难解的问题转化为容易求解的问题；将未解决的问题转化为已解决的问题，正是数学课所要教给学生的基本思考方法．在本章的教学和学习中，不能仅着眼于具体题目的具体解题过程，而应不断加深对以上思想方法的领会，从整体上认识问题的本质．数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，对于它们的认识需要一个较长的过程，既需要教材的渗透，也需要教师的点拨，还需要学生自身的感受和理解．如果认识了消元思想，那么学生对于代入法、加减法的具体步骤就不会仅是死记硬背，而能够顺势自然地理解，并能够灵活运用．从而确立方程、不等式、函数这一结构体系中重要的一环．这种思想的逐步形成也恰恰体现了“学习数学使人聪明”．因此，化归思想是本节课教学中所要重点突出的数学思想．

（3）算法是一个全新的课题，已经成为计算机科学的核心，它在科学技术和社会发展中起着越来越重要的作用．学习算法的基本思想和初步知识，也成为高中必修课程中的内容．算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又具有高度的抽象性、概括性和精确性．算法学习使我们更加全面地理解运算能力，还能够发展逻辑思维能力．

本节课在对二元一次方程组解法的探究过程中，可以很好地体现上述内容．一方面引导学生探究解二元一次方程的步骤，进而体会解二元一次方程组的通解通法，并通过框图初步感受程序化的思想；同时又在各个具体步骤中，关注某些细节，如“变形后的方程应代入哪一个方程才能继续求解”、“对比先消哪一个未知数使运算更加简洁”等培养学生的思维能力．

学生的认知水平有限，还不能完全理解程序化的思想，对二元一次方程组解法的探究，也还只能停留在解给定具体系数的方程组，还不能探究公式化的解法，对同解方程的理解也只能停留在满足等式性质，不能全面地思考方程组有唯一确定解所满足的条件，因此只能定位在渗透程序化思想上，而不应把算法的学习作为本节课的重点．

二、目标和目标解析 教学目标

（1）理解解二元一次方程组的基本思路“消元”，经历从未知向已知转化的过程，培养观察分析能力，体会化归思想；初步体会解方程组过程中体现的程序化思想；

（2）能用代入消元法、加减消元法解简单的二元一次方程组，会根据方程组特征选择适当的方法，体会简化思想，培养运算能力；

（3）在探究过程中，培养合作交流意识与探究精神，增强学习兴趣，感受数学美．

教学重点

理解解二元一次方程组的基本思路“消元”，会用代入、加减消元法解简单的二元一次方程组．

教学难点 学生探究并理解为什么能通过代入、加减消元把二元一次方程组转化为一元一次方程．

首先，这是二元一次方程组解法的第一节课，学生初次接触方程组的解法，同时思维的重点也集中在如何把未知问题转化为已知问题，把二元问题转化为一元问题。因此，教学的重点是对转化思想、消元方法的理解，而不是对解法的熟练运用，故在目标中设定为“能用代入、加减消元法解简单的二元一次方程组”．

其次，程序化思想虽然重要，但学生在本节课接触的例题还比较少，缺少大量积累后的感悟，同时又没有探讨二元一次方程组的标准方程的解法（即二元一次方程组的求解公式），所以只能在几个主要步骤环节让学生“初步体会解方程组过程中体现的程序化思想”．

最后，化归思想是化难为易、化繁为简、化未知为已知．代入、加减是方法，消元是目的，转化是本质．所以本节课探究利用代入、加减消元法解二元一次方程组的基本步骤，立足于化归思想的逐步形成．

三、教学问题诊断分析

（1）学生对代数思想的认识不够，缺乏用字母表示数的意识，发现式的变形和依据的能力不强．如用代入法解二元一次方程组时，需要先把其中一个方程变形成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，再利用整体代换的方式替换出一元．这其中所蕴含的式的变形及整体代入思想，都是需要学生理解的．

（2）学生对解法的关注点往往集中在不同的方法上，而忽视相同的思想；集中在不同的变形技巧上，而忽视相同的程序化过程；集中在答案的对与错，而忽视解题过程的简与繁．

因此，在本节课的教学过程设计中，时刻注意引导学生思维聚焦的方向，通过合理设置有梯度的承接性问题，激发学生的思维，深化学生的思考．并且及时进行阶段性小结，不断完善学生的认知结构，力争做到使学生的思维“发而不散”．

四、教学过程设计

先行组织者：在上一节课，我们通过对一道与篮球比赛得分有关的实际问题的研究，学习了二元一次方程组，以及二元一次方程组的解．当我们列出二元一次方程组后，所关心的就是如何求出这个方程组的解．在此之前,我们学习了如何解一元一次方程，解一元一次方程的主要依据是等式性质．今天我们就来共同探究，能否利用等式性质和一元一次方程的相关知识，解二元一次方程组．

（一）探究新知

例题 在上一节课，通过对实际问题的分析，我们列出了二元一次方程组

你会解这个方程组吗？

（教师不加任何解释和引导，让学生自主探究方程组的解法．）预案1 解：由①得把③代入②，得

解这个方程，得

（这时教师可以提出问题：为什么可以代入？代入①可不可以？得到的方程是什么方程？）

把代入③，得

（这时教师可以提出问题：代入①或②行不行？好不好？）

③

所以原方程组的解为

（1）提出问题：在这种解法中，哪一步是最关键的？为什么？

【设计意图】引导学生理解等量代换在代入消元法解方程组过程中的应用．体会解二元一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程．

（在“为什么可以代入”这一问题的解决过程中，引导学生回顾二元一次方程组的定义，和二元一次方程组的解的定义，再一次理解定义中的“相同未知数”、“公共解”．）

（2）引申问题：有没有办法得到关于的一元一次方程？ 解：由①得把③代入②，得

解这个方程，得

（这时教师可以提出问题：代入①可不可以？）把代入③，得

（这时教师可以提出问题：代入①或②可不可以？）

③

所以原方程组的解是

（3）小结：这种解二元一次方程组的方法，我们称之为代入消元法． 问题1：你认为哪一步是最重要的？为什么?

（“代入”，把二元一次方程组转化为一元一次方程．）问题2：应用代入消元法前，需要先做的准备工作是什么？（用含一个未知数的式子表示另一个未知数．）

问题3：除了代入法，还有没有其他方法来实现消元这一目的呢（引入预案2）？ 预案2

解：由②-①，得

（这时教师可以提出问题：这一步的依据是什么？）把代入①，得

（这时教师可以提出问题：代入②可以吗？）所以原方程组的解是

（1）提出问题：在这种解法中，哪一步是最关键的？为什么？

【设计意图】引导学生理解等式性质在加减消元法解方程组过程中的应用，体会解二元一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程．

（2）引申问题：能不能先消？ 解：①×2，得

③

③-②，得

（这时教师可以提出问题：②-③可以吗？好吗？）把 代入①，得

所以原方程组的解是

（3）小结：这种解二元一次方程组的方法我们称之为加减消元法． 问题1：你认为哪一步是最重要的？为什么?

（“加减”，把二元一次方程组转化为一元一次方程．）

问题2：应用加减消元法前，方程组中的两个方程要先具备什么特征？（两方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数．）

问题3：除了加减法，还有没有其他方法来实现消元这一目的呢（引入预案1）？ 对比预案

1、预案2，进行总结

问题1：两种方法的共同点（共同目的）是什么？

（通过消元，使二元问题先转化为一元问题，求出一个未知数后再求另一个．）问题2：两种方法的不同点是什么？

（消元的方法不同，一个是“代入”，一个是“加减”．）

问题3：哪一种方法更简单？

（根据方程组特征，具体问题具体分析．）预案3 解：把方程②变形成把①代入，得

（后续步骤略．）

【说明】整体代入也实现了“消元”这一目的。

（二）运用新知

练习： ⑴

⑵

⑶

⑷

答案：⑴

⑵

⑶

⑷

（学生分组解答，然后汇报、交流不同的解法．注意纠正学生解题步骤中的细节问题．）

（三）归纳总结

思考：这节课我们学习了什么？

问题1：这节课我们研究的主要内容是什么？（代入、加减消元法解二元一次方程组。）问题2：解法的主要步骤是什么？（变形、代入（加减）、求解、回代、结论。）

我们以练习⑴、练习⑵为例，通过框图（如图

1、图2），再次回顾解二元一次方程组的基本步骤．

代入消元法解方程组的基本步骤

图

1代入消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么？

⑴变形：将其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示．

⑵代入：将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

⑶求解：求出一元一次方程的解．

⑷回代：将其代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的解． ⑸结论：写出方程组的解．

加减消元法解方程组的基本步骤

图2

加减消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么？

⑴变形：使两个方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数．

⑵加减：将两个方程相加减，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程． ⑶求解：求出一元一次方程的解．

⑷回代：将其代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的解． ⑸结论：写出方程组的解．

问题3：你觉得其中最关键的一步是什么？为什么？体现了什么思想？（代入消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程，转化思想。）问题4：在解题过程中我们还应注意哪些问题？（分析如何消元能简化运算等。）

（四）布置作业 教材P107页练习2、3 2．用代入法解下列方程组：

(1)

(2)

3．张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1．5小时后到达县城．他骑车的平均速度是15千米/时，步行的平均速度是5千米/时，路程全长20千米．他骑车与步行各用多少时间？

教材P111页练习

11．用加减法解下列方程组：

(1)

(2)选做题 1．已知

2．已知是方程组的解，求a、b的值．

【说明】教材上的作业既是对代入法的一次练习，同时也是对代入法适合情况的一次理解；思考题作业是对方程组问题的一次提高练习，有一定的思维难度．

五、目标检测设计

1．解下列方程组。

（1）

（2）

（3）

（4）

2．有48个队520名运动员参加篮、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只参加一项比赛．篮、排球队各有多少队参赛？

第四篇：8.2 消元——二元一次方程组的解法导学案

七年级数学（下）第八章二元一次方程组 8.2 消元——二元一次方程组的解法（3）

教学目标 知识点：

列二元一次方程在解应用题（加减消元法）重点：

1、会用加减消元法解二元一次方程组，并掌握加减法解二元一次方程组的步骤；

2、理解加减消元法解二元一次方程组的过程，领会消元法所体现的“化未知为已知”的思想方法；

难点：运用加减法解相同未知数的系数不成整数倍的二元一次方程组； 预习与检测

（1）若a=b，则a±c____b±c，这是利用了______________（2）若a=b，c=d，则a±c____b±d这是利用了______________ 合作探究 探究一：

解方程组xy2212xy402 解：（2）-（1），得

x=____ 把x=_____代入（1），得

2×18+y=40 解得：y=_____ 所以原方程组的解是x____y____

思考：（1）用（2）-（1）后，消去了未知数____，那么用（1）-（2）也可以达到这样的目的吗？

（2）加减消元法：________________________________________________ 探究二：

观察方程组3x4y165x6y33

（1）根据方程组中各未知数系数的特点，能直接用加减法求解吗?(2)若要求未知数x的系数相同，两个方程应分别作怎样变化？若要求未知数y的系数互为相反数，又怎么办？

（3）求出方程组的解 探究三：

2台大收割机和5台小收割机均工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作5小时共收割小麦8公顷。1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？

问题一：题目中存在的等量关系：

_________________________ ________________________

问题二：若设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，那么2台 大收割机和5台小收割机均工作1小时共收割小麦______________公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作1小时共收割小麦________________公顷。问题三：根据题目中的等量关系，可列方程组为：

___________________________

问题四：解上面的方程组，解为________________

拓展与提升

2x3y5（1）要使方程组4x-2y1中未知数

x的系数相同，你的方法是_______________；要

使y的系数互为相反数，你的方法是________________。

2x3ya（2）已知方程组4x3ya4的解

x与y的和是2，则a=________________。

（3）若方程3x-13y=10的解也是x-3y=2的解，则x=______,y=_________。（4）已知a、b的值同时满足方程a+2b=8和2a+b=7，则a+b=_________。

（5）若二元一次方程2x+y=3，3x-y=2和2x-my=－1有公共解，则m的值为（）A、－2

B、－1

C、3

D、4 达标测试

（1）运输360吨化肥，装载了6节火车皮与15辆汽车；运输440吨化肥，装载了8节火车皮与10辆汽车，每节火车皮与每辆汽车平均各装多少吨化肥？（2）用适当的方法解方程组：

2x14y3xy7

（1）322

（2）23 3(2x1)2(4y3)5x3y41课堂反思：

第五篇：消元---解二元一次方程组教学反思

反思一：消元---解二元一次方程组教学反思

常言道：举一反三，触类旁通。数学教学尤其如此。旨在于对一个数学知识点反复例举、反复引导、反复训练，进而对类似问题能够参考性的对比解决并且不断提升知识的认知水平。消元二元一次方程组的解法这个课时的思想就是把未知数的个数递减而逐一解决。我在教学这个内容中得到如下反思。

一、在这节课的开始应该充分利用教材关于胜负问题的例子，让学生首先明白两个方程中的x都表示胜的场数，y都是表示负的场数，这个过程就是为了消除学生在以下的代入消元法和加减消元法中为什么能够互换的疑虑。这是个好的开端。

二、充分强调等式的变化。虽然这是个复习的问题，但是，让学生反复演练这样的等式变换是一个必要的过程，它将为后面的代入法顺利进行起到铺垫的作用。

三、在进行代入消元法时，遵循由浅入深、循序渐进的原则，引导并强调学生观察未知数的系数，注意系数是1的未知数，针对这个系数进行等式变换，然后代入另一个方程。在这个教学过程中，学生的学习难点就是当未知数的系数不是1的情况，教师就应该运用开课前复习的等式变换的知识点：用含有一个字母的代数式表示另一个字母，引导学生熟练进行等式变换，这个过程教师往往忽略训练的深度和广度，要引起注意把握训练尺度。

四、在进行加减消元法时，难点是：相同未知数的系数不相同也不是互为相反数的情况。基于此，教学原则也应该是由易到难、逐次深入的原则。教师应该先让学生熟悉简单的未知数相同或互为相反数这类题目的加减消元法则和原理;继而认真展示成倍数关系的未知数的系数;然后出示一些比如：3x-5y=10，2x+10y=1，等等的问题，提示学生怎样使相同未知数的系数相同或互为相反数，这时教师要帮助学生认真分析，强调遵循求几个数最小公倍数的原则，使它们相同未知数的系数变成为它们的最小公倍数，然后进行加减消元法去解决问题。

这就是我在这个课程教学的一些反思。

反思二：消元---解二元一次方程组教学反思

1、这节课的主要内容是用代入法解二元一次方程组。这种代入消元法的关键是如何选择一个方程，如何用含一个未知数的式子去表示另一个未知数。所以在教学上要抓住这个关键来讲解。

2、在教学过程中，学生虽然学会了用代入法解二元一次方程组，但是在结构不同的方程组中，学生就有点不知所措，不懂选择哪个方程代入另一个方程，以至

使运算简便。而是盲目地规定消那个未知数，使得计算量很大。出现这种问题的

原因是，没有抓住教师在课堂上强调的关键。针对这个问题，在以后的教学中，我会再强调这个解题的关键，甚至还专门利用课余时间，帮他们补回来。让他们在这方面多多练习。

3、如果让我重新上这节课，我觉得还有一些可以改进的地方。那就是在[活动4］

中，我布置学生做教科书第99页练习的第2题时，学生完成后，再强调第⑴小题，方程不用变形，直接选第一个方程代入第二个方程的原因。

4、我会虚心接受各位老师给我的建议。那就是，对不同的学生进行针对性的指导，使不同的学生都有发展。

反思三：消元---解二元一次方程组教学反思

解二元一次方程组是二元一次方程组一章中很重要的知识，占有重要的地位。通过本节课的教学，使学生会用加减消元法解二元一次方程组，进一步了解消元的思想。加减法解二元一次方程组的基本思想与代入法相同，仍是消元化归思想，通过代入法、加减法这些手段，使二元方程转化为一元方程，从而使消元化归这一转化思想得以实现。因此在设计教学过程时，注重化归意识的点拨与渗透，使学生在学习中逐步体会理解这种具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法。

教学后发现，大部分学生能够通过加减消元法解二元一次方程组，教学一开始给出了一个二元一次方程组，先让学生用代入法求解，既复习了旧知识，又引出了新课题，引发学生探究的兴趣。通过学生的观察、发现，理解加减消元法的原理和方法，使学生明确使用加减法的条件，体会在一定条件下使用加减法的优越性。之后，通过两个例题来帮助学生规范书写，同时明确用加减法解二元一次方程组的步骤。接下来，通过一系列的练习来巩固加减消元法的应用，并在练习中摸索运算技巧，培养能力，训练学生思维的灵活性及分析问题、解决问题的综合能力。有个别同学在运算上比较容易出错，运用的灵活性掌握得不太好，解答起来速度较慢，我想只要多加练习，一定会又快又准确的。

反思四：消元---解二元一次方程组教学反思

解二元一次方程组分两节设置，第一节讲代入消元法，第二节讲加减消元法。从学生作业反馈，对两种消元法的步骤和方法能较好的掌握。但是学生解题中错误较多。问题出现在进行代入消元后的一元一次方程解错了。如去分母时忘了用最小公倍数乘遍每一项，移项要变号，数与多项式相乘要乘遍每项。这样导致整个方程组的解错。对于加减法应让学生明确方程组如果既能用加法消元又能用减法消元的情况下尽量用加法。毕竟加法不容易出错。对于减法尤其是减数是负号时是学生解题的易错点，应该多给学生一些思考的时间，让他们自己摸索出解决问题的办法。同时，也训练了学生的思维。

几个例题比较起来，学生做减法比较容易出错，看来减法的练习应该多些，上课应多花些时间解决减法的问题，而在加减消元法的引入时我选择了创设情景，二元一次方程组的应用问题等量关系相对比较简单，这样不仅可以让学生感受数学的实际应用价值，而且可以增加他们对于解应用题的信心，因为有大部分的学生对于应用题有畏难的心理。这样做的效果不错。在第一课时着重讲解系数相同和互为相反数的加减消元，不要涉及其他的，要巩固前面的知识。第二节着重观察、整理方程组，要多板书几组规范的解题步骤。

通过本课教学，自己感觉有些方面还是做得不够好：首先对于观察二元一次方程组中同一未知数系数的特点的引入过于生硬，并且学生对于何时用同一未知数系数的绝对值的说法不理解，应让学生明确只有在比较同一未知数的系数大小时，引用这样的术语；其次是，学生对于教师引入用加减法的具体过程上缺少必要的过渡，主要原因是自己没有做好这方面的预设，这一点可以再课前利用多媒体做一个简单的方程组中两个方程两边分别相加减的具体步骤，会更好；最后是本节课的练习的体量上有欠缺，没有达到巩固的目的，只停留在简单的观察、理解、熟悉上，缺少必要的加深和扩展。