数学练习题考试题高考题教案2006年高考第一轮复习数学：2

第一篇：数学练习题考试题高考题教案2006年高考第一轮复习数学：2

和性质.5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.●复习方略指南

基本函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数与对数函数，它们的图象与性质是函数的基石.求反函数，判断、证明与应用函数的三大特性（单调性、奇偶性、周期性）是高考命题的切入点，有单一考查（如全国2004年第2题），也有综合考查（如江苏2004年第22题）.函数的图象、图象的变换是高考热点（如全国2004年Ⅳ，北京2005年春季理2），应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试题改革的发展趋势.特别在“函数”这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅

4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点，复习时应适当加强这方面的训练，做到条理清楚、分类明确、不重不漏.5.利用函数知识解应用题是高考重点，应引起重视.******0000000000000+******=00000000

2.1 函数的概念

●知识梳理

1.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域.2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.3.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.特别提示 函数定义的三要素是理解函数概念的关键，用映射的观点理解函数概念是对函数概念的深化.●点击双基

1.设集合A=R，集合B=正实数集，则从集合A到集合B的映射f只可能是 A.f:x→y=|x|

－

B.f:x→y=x

C.f:x→y=3x D.f:x→y=log2（1+|x|）

－解析：指数函数的定义域是R，值域是（0，+∞），所以f是x→y=3x.答案：C 2.设M={x|－2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是

y 2-2x y 2O-2O2x Ay 2By 2-2O2x-2O2x CD

解析：A项定义域为［－2，0］，D项值域不是［0，2］，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符.故选B.答案：B

3.（2004年全国Ⅰ，理2）已知函数f（x）=lgA.b

B.－b

1x，若f（a）=b，则f（－a）等于 1x11C.D.－

bb解析：f（－a）=lg【答案】 B 1a1a=－lg=－f（a）=－b.1a1a4.（2004年全国Ⅲ，理5）函数y=log1(x21)的定义域是

2A.［－2，－1）∪（1，2］ C.［－2，－1）∪（1，2］

B.（－3，－1）∪（1，2）D.（－2，－1）∪（1，2）

x21022x1x1x1或x12－2≤x＜－1解析：log(x21)0212x2x11x22或1＜x≤2.∴y=log1(x21)的定义域为［－2，－1）∪（1，2］.2答案：A 5.（2004年浙江，文9）若函数f（x）=loga（x+1）（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是［0，1］，则a等于

2D.2 2解析：f（x）=loga（x+1）的定义域是［0，1］，∴0≤x≤1，则1≤x+1≤2.当a＞1时，0=loga1≤loga（x+1）≤loga2=1，∴a=2；

当0＜a＜1时，loga2≤loga（x+1）≤loga1=0，与值域是［0，1］矛盾.综上，a=2.答案：D ●典例剖析

【例1】 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ A.3 B.C.（1）f（x）=x2，g（x）=3x3；（2）f（x）=

x0,1|x|，g（x）=

1x0;x－（3）f（x）=2n1x2n1，g（x）=（2n1x）2n1（n∈N*）；（4）f（x）=xx1，g（x）=x2x；

（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1.剖析：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完

全相同，反之亦然.解：（1）由于f（x）=x2=|x|，g（x）=3x3=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数f（x）=

x0,1|x|的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=x1x0;的定义域为R，所以它们不是同一函数.（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f（x）=2n1x2n1=x，g（x）=（2n1x）2n1=x，－它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数f（x）=xx1的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=x2x的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.评述：（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可视为同一函数.（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.【例2】 集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________.剖析：从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1＝3×3＝9.反之从B到A，道理相同，有N2＝2×2×2＝8种不同映射.答案：9 8 深化拓展 设集合A中含有4个元素，B中含有3个元素，现建立从A到B的映射f:A→B，且使B中每个元素在A中都有原象，则这样的映射有___________________个.提示：因为集合A中有4个元素，集合B中有3个元素，根据题意，A中必须有2个

3元素有同一个象，因此，共有C24A3=36个映射.答案：36 【例3】（2004年广东，19）设函数f（x）=|1－f（a）=f（b）时，ab＞1.剖析一：f（a）=f（b）|1－2abab＞1.证明：略.1|（x＞0），证明：当0＜a＜b，且x1111|=|1－|（1－）2=（1－）22ab=a+b≥

bbaa

11x(0,1],x剖析二：f（x）=

11x(1,).x证明：f（x）在（0，1］上是减函数，在（1，+∞）上是增函数.由0＜a＜b且f（a）

1111= f（b），得0＜a＜1＜b且－1=1－，即+=2a+b=2ab≥2abab＞1.baab评注：证法

一、证法二是去绝对值符号的两种基本方法.●闯关训练 夯实基础

1.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是

A.2

B.3

C.4

D.5 解析：由2n＋n＝20求n，用代入法可知选C.答案：C 2.某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是

A.10%

B.15%

C.18%

D.20% 解析：设降价百分率为x%，∴2000（1－x%）2=1280.解得x=20.答案：D

2(x1)3.（2004年全国Ⅲ，理11）设函数f（x）=4x1x1,x1,则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为

A.（－∞，－2］∪［0，10］

B.（－∞，－2］∪［0，1］ C.（－∞，－2］∪［1，10］

D.［－2，0］∪［1，10］ 解析：f（x）是分段函数，故f（x）≥1应分段求解.当x＜1时，f（x）≥1（x+1）2≥1x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1.当x≥1时，f（x）≥14－x1≥1综上所述，x≤－2或0≤x≤10.答案：A

x1≤3x≤10，∴1≤x≤10.1,x0,4.（2004年浙江，文13）已知f（x）=则不等式xf（x）+x≤2的解集是

0,x0,___________________.解析：x≥0时，f（x）=1，xf（x）+x≤2x≤1，∴0≤x≤1； 当x＜0时，f（x）=0，xf（x）+x≤2x≤2，∴x＜0.综上x≤1.答案：{x|x≤1} 5.（2004年全国Ⅳ，文）已知函数y=log1x与y=kx的图象有公共点A，且A点的横坐

标为2，则k的值等于

A.－

14B.1 C.－

2D.2解析：由点A在y=log1x的图象上可求出A点纵坐标y=log12=－

4411.又A（2，－）22在y=kx图象上，－11=k·2，∴k=－.24答案：A 培养能力

6.如下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y=f（x）.D C PA B

（1）求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.解：（1）这个函数的定义域为（0，12）.当0＜x≤4时，S=f（x）=

1·4·x=2x； 21·4·（12－x）=2（12－x）=24－2x.2当4＜x≤8时，S=f（x）=8； 当8＜x＜12时，S=f（x）=∴这个函数的解析式为

x(0,4]2xf（x）=8x(4,8],242xx(8,12).y 8 6 4 2（2）其图形为 12 x O 2 4 6 8 10 由图知，［f（x）］max=8.7.若f :y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.解：∵f（1）=3×1+1=4，f（2）=3×2+1=7，f（3）=3×3+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知

42a10,a3a10,（1）或（2）

24a3a3k1,a3k1.∵a∈N，∴方程组（1）无解.解方程组（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.8.如果函数f（x）=（x+a）3对任意x∈R都有f（1+x）=－f（1－x），试求f（2）+ f（－2）的值.解：∵对任意x∈R，总有f（1+x）=－f（1－x），∴当x=0时应有f（1+0）=－f（1－0），即f（1）=－f（1）.∴f（1）=0.又∵f（x）=（x+a）3，∴f（1）=（1+a）3.故有（1+a）3＝0a=－1.∴f（x）=（x－1）3.∴f（2）+f（－2）=（2－1）3＋（－2－1）3＝13＋（－3）3＝－26.探究创新

9.集合M={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:M→N满足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f:M→N的个数是多少？

解：∵f（a）∈N，f（b）∈N，f（c）∈N，且f（a）+f（b）+f（c）=0，∴有0+0+0=0+1+（－1）=0.当f（a）=f（b）=f（c）=0时，只有一个映射；

2当f（a）、f（b）、f（c）中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，有C13·A2=6个映射.因此所求的映射的个数为1+6=7.评述：本题考查了映射的概念和分类讨论的思想.●思悟小结

1.本节重点内容是函数概念、定义域、值域，难点是映射及其意义.2.理解映射的概念，应注意以下几点：

（1）集合A、B及对应法则f是确定的，是一个系统；（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的；

（3）集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一．．般对应的本质特征；

（4）集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.3.函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，即分式中分母应不等于0；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于0，负分数指数幂中，底数应大于0；对数式中，真数必须大于0，底数必须大于0且不等于1„„实际问题中还需考虑自变量的实际意义.若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.●教师下载中心 教学点睛

1.复习本节时，教师应先指导学生看课本，并对课本上的重要知识点归纳总结，对课本上的典型例题、典型习题要让学生再做，并注重一题多解、一题多变.2.画分段函数的图象，求分段函数的定义域、值域是本节的一个难点.教学时，要指导学生按x的特点分好段，并向学生指明分段函数其实是一个函数，只是由于该函数在自变量取值的各个阶段其对应关系不一样才以分段式给出，因此它的定义域、值域应是各阶段相应集合的并集.拓展题例

【例1】 设f（x）是定义在（－∞，+∞）上的函数，对一切x∈R均有f（x）+f（x+2）=0，当－1＜x≤1时，f（x）=2x－1，求当1＜x≤3时，函数f（x）的解析式.解：设1＜x≤3，则－1＜x－2≤1，又对任意的x，有f（x）+f（x+2）=0，∴f（x+2）=－f（x）.∴f（x－2）=－f［（x－2）+2］=－f（x）.又－1＜x－2≤1时，f（x－2）=2（x－2）－1=2x－5，∴f（x）=－f（x－2）=－2x+5（1＜x≤3）.评述：将1＜x≤3转化成－1＜x－2≤1，再利用已知条件是解本题的关键.【例2】 设m=（log2x）2+（t－2）log2x+1－t，若t在区间［－2，2］上变化时，m值恒正，求x的取值范围.解：由m=［log2x+（t－1）］（log2x－1）＞0，得

log2x(t1)0,logx102①

log2x(t1)0,或

logx10.2②

在①中，（log2x－1）+t＞0对于t∈［－2，2］恒成立时，应有log2x－1＞2，即x＞8； 在②中，（log2x－1）+t＜0对于t∈［－2，2］恒成立时，应有log2x－1＜－2，即0＜ x＜1.2综上，得x＞8或0＜x＜

1.2评述：本题还可用如下方法求解：m=（log2x－1）t+［（log2x）2－2log2x+1］关于变量t的图象是直线，要t∈［－2，2］时m值恒正，只要t=－2和2时m的值恒正，即有

22(log2x1)[(log2x)2log2x1]0, 22(log2x1)[(log2x)2log2x1]0.∴log2x＞3或log2x＜－1.∴x＞8或0＜x＜ 1.2

第二篇：数学练习题考试题高考题教案2009届一轮复习函数的定义域答案

2009届一轮复习函数的定义域、值域练习参考答案

基础卷

一、1.B 2.B 3.C 4.C 5.D 6.C 7.C 8.A

9.B 10.C

提高卷

一、1.B 2.D 3.C 4.C 5.A

二、6．m+n=6 7．14 8．（-∞，1）∪（1，+∞）

(0,12)(12,2]9．

10．22

2三、11．解：由根式有意义16x0

①，又由对数有意义sinx0②，解①②不等式组分别得：-4≤x≤4，2kπ

12．解：由题意知：x≤1是不等式13a0的解，x∵13a0①，如果a0①的解集为x∈R，与条件矛盾，故a<0。a<0时①等价于

x3x1axlog3(1)a，1a13。又x1log3(1a)13a12x110x12xp122x12x22px102213．解：（1）2xp，{x|p2x1}即f（x）定义域为

2。

（2）假设f（x）的图象与x轴相交，令f（x）=0，log12xa即log12x12xlog12xa2xp0

则a2xp0。

12x∴2xp1，∴p=-1，与-1

14．解：原函数可等价于y=|x+1|+|x-2|，记数轴上坐标是-1的点为A，坐标是2的点为B，坐标是x的动点为P，则|x+1|+|x-2|=|PA|+|PB|，如图1-2-2。显然当P在线段AB上时：|PA|+|PB|=3，当P在线段AB之外时，|PA|+|PB|>3。

综上所述知：|PA|+|PB|≥3，即原函数值域为：y∈[3，+∞]。

第三篇：名师谈高考数学第一轮复习

名师谈高考数学第一轮复习（15问）

【高三数学复习一般分为三轮：】熟悉三轮复习的内容和目标

第一轮重点是“三基”（基础知识、基本技能、基本方法）复习，目标是全面、扎实、系统、灵活。学生极易忽视复习课本重要例习题所蕴含的数学思想方法。

第二轮复习一般是专题强化训练，目标在于提高学生解答高考解答题的能力。此阶段学生不应沉迷于套卷演练，而应在教师指导下，以典型例题为载体，以数学思想方法的灵活运用为线索，讲求解题策略，使自己在第一轮复习的基础上，数学素质得以明显提升。

第三轮一般进行模拟、强化，目的在于调节学生智能、情感、意志等因素，使学生逐渐熟悉数学高考对学生的各项要求。此阶段学生应加强解题后反思，并舍得花一定的时间再次钻研考试大纲、考试说明及历届高考试题，领会其命题风格。

问题1：高三数学复习第一轮怎么复习？

老师：第一轮重点是“三基”（基础知识、基本技能、基本方法）复习，目标是全面、扎实、系统、灵活。学生要掌握好复习课本重要例习题所蕴含的数学思想方法。在第一轮复习中，学生学习的重心要放在“三基”，千万不要脱离这个目标；其次复习应该跟着老师或者略超前于老师的进度（成绩好的同学应该有两条复习路线，一条是跟着老师走，另外一条是自己制定的复习计划）。最后在复习中一定要提高效率即掌握好90%以上的知识点。

问题2：我的基础知识还可以，上课老师讲得也都能听懂，但是一到自己做题的时候就做不出来了，请老师帮忙分析一下原因。

老师：在中档学生这个层面上，恐怕十个人得有九个人提出这个问题，这是学习数学的一大困难之处，听老师讲，听得特别懂，自己一做就做不出来了，究其原因是什么呢？大家应该知道，原因在这里:数学是靠着逻辑演绎向前推进和发展的。当一个老师把你抱到了逻辑的起点上，告诉你这个逻辑关系是怎样的，比如说饿了就应该找饭吃，下雨了就应该找伞来打，告诉你了这个逻辑规则，你自己肯定会按照逻辑的顺序往前跑，这就叫为什么上课听得懂，听得头头是道。为什么课下自己不会做了呢？是因为课下你找不到逻辑的起点，有两种学习的模式，一种是靠效仿，老师给我变一个数，出两道类似的练习题，照老师的模子描下来，结果做对了，好象我学会了，这就是效仿的方式来学数学，这种方式在小学是主要手段，在初中，这种手段还占着百分之六七十的分量，但是到了高中就不行了，靠模仿能得到的分数也就是六七十分;其他的分数都要靠你的理解。即另一种是靠理解，所谓理解就是听了老师的一段讲解，看了老师的一个解题过程，你要把他提炼、升华成理性认识，在你的头脑中，应该存下老师讲解的这一段知识和解答的这一道题，他所体现出来的规律性的东西。当你遇到新问题、新试题的时候，你应该拿着这个规律去面对它，这样的话，你就可以把老师讲解的东西很自然地、流畅地用在你的解题里，这就是所谓通过理解，通过顿悟来学习数学。那么高中数学百分之六七十的成分是要靠着这种方式进行学习的。问题3：我数学成绩波动很大，在复习上有没有什么需要注意的？

老师：数学成绩波动大，说明能力还是有，要不怎么能有好的时候呢？第一是心理状态不是特别好，心情好的时候，或者情绪比较高涨的时候，就能发挥得比较好，情绪比较低落的时候就发挥不出来，我觉得调整的方法，就是在心理方面对自己有一种暗示，心理问题就得靠暗示来解决，提高自己的信心，经常保持愉快和比较兴奋，心态比较好的情况，可能成绩能够更稳定一点。

问题4：做数学题时，尤其是考试的时候，遇到无从下手的题目怎么办？

老师：如果你开始遇到无从下手的题那就绕过，一般来说，拿到一个题，如果一点思路都没有的话，应该先避一避，把一些比较顺手的题做好了以后，一方面会提高信心，再一方面，开始考的时候一般心情都比较紧张，考试中慢慢情绪会稳定的。等情绪稳定下来，或者把会做的做完后在回过头解决，可能会比较有效。

问题5：考试总是无法发挥出我的水平，这怎么办？

老师:很多同学水平不错，但考试结果不太理想。根据我的经验，有这么几方面的原因。一是有的同学水平比较高，但更会解决难题，对选择、填空题不够重视。结果大题做对了，选择、填空做错了，这是发挥不理想的情况。第二是对中档题，中档题应该说不难，但拿不住分。这里有一个如何对待中档题的问题，我考虑有以下几点。因为中档题给的标准答案一般是分步给分，所以要严格解题步骤，不要跳步。如：立体几何的作图过程，你所计算的角和距离是哪个角哪个距离，必须得指出。过去学生们的情况是最后这个题的结果是做对了，但得不到分。原因是中间跳步，写得比较粗糙。还有就是我们在做角和距离时，做的过程和论证也占着相当的分数。解析几何建立直角坐标系处理问题的方法、过程也要写细。应用题，未知数的设计、等量关系的表述都不能忽略。中档题必须抓住平时容易忽视的得分点，也能够提高自己的水平。

问题6：我对题目长的题有恐惧感，请问老师怎么样避免？

老师：如果我要去命题，恐怕这就是区分度的一个出题的技巧和技术，不是有些人怕难题嘛，在这些考生里面我要把一些人刷掉，怎么去区分你们呢？谁上谁下呢？我就有意识地出一份字数比较多，信息量比较大的，文字比较长的题，谁害怕就刷掉，谁过了这一关就上来了，这也是一种出题的技巧，这也是现代信息技术时代对我们的要求，目前信息量这么大，不可能用三言两语就把一件事说得特别清楚，字多一点，符号多一点，甚至英文都上来了都是有可能的。遇到这样的问题怎么办呢？唯一的策略就是化整为零，这个信息不管多长，文字量不管多大，这一大段话总是一句一句说下来的，你先看懂第一句，再看第二句，每一句一定都很短，所以应对它的办法就是化整为零，一句一句地去看它，不要从第一个字看到最后一个字，不懂心里就发慌，这样的东西，我建议大家可以这样做，第一遍叫粗读，就是由第一个字读到最后一个字，读完之后，你能说出一个故事的梗概就够了。比如说这个题里有三个量，比如说有耕地，有人均占有耕地的面积，还有单位的产量，还有什么等等，把这个量说清楚，这道题就说这几个量的关系就够了。接下来细读，你一句话一句话地读，读了第一句话想想什么意思，想明白了再读第二句，想不明白，找几个关键词体会什么意思，这样一句一句读下去，很长的一段，慢慢地就会读懂。所以建议大家第一不要害 怕，这是正常现象，第二化整为零，掌握科学的工作方法，总是可以应对的。

问题7：都说数学要讲究临场发挥，请问是不是有哪些地方需要注意？比如说应该做哪些题？先做高分的题还是低分的题？

老师：谈一谈考试技巧，其实这也是必要的，大家在高三复习这一年的过程当中，要经过许多场考试，其实这些考试除了考你的数学知识、数学能力之外，应该还有一个任务，就是考察你的考试技巧和心理状态。但是这一点往往被同学们所忽略。这一点应该引起大家的重视，比如说，如果你是一个高分段的学生，你的目标高一点，是想考清华北大这些一些最名牌的大学的话，那你数学的期望值应该是在一百三十分以上，甚至一百四十分左右才合适，对于这样的同学，那么你就是按照题目的顺序一道一道把它尽快地、严谨地答完，这没有什么可考虑的，因为我的期望值和水平都可以应付这样的办法。

但是反过来，如果我的能力和数学成绩考到一百分就很不错了，我的水平已经发挥了，这样的同学答题确实需要一些技巧，这个技巧的主要原则就是第一，一定要把自己会的、有把握的先答上，而且在个别的答题过程中，心理有点忐忑不安的话，做完之后还要做检查工作，也就是说把会做的先做好，不管这个题的顺序，不管这一问在什么地方，哪怕是倒数第二题的第一问，也要把它拿下来，所以做题的次序不一定按照题号的次序，而是会的就拿下，按照这样的原则去组织。

那么这一层做完了，还有时间，就攻堡垒了，攻自己不会的题了。不会的题，你要注意，也是分为两种类型，一种类型是咱们静下心来，心态平和没准就会做了，只要不紧张。另一种类型，恐怕再给你两个小时，甚至再给你一天你也未见得做得出来，对这些难题，我们就要分分类，从直觉和感觉出发，能拿多少就拿多少，不要强求。所以层次在希望能够达到一百分就满足了的同学，你确实更应该注意答题技巧，原则是把会的先做下来，不一定按照题号的顺序。

另外，有的同学答题的时候心情比较紧张，往往影响你的发挥，我忠告大家，不要跟别人比，主要的是跟你自己比，如果我在学校历次模拟考试，最多就考过九十五分，那么这次高考你能考九十六分，就可以喝庆功酒，就可以庆祝一番了，因此就可以把心情放下来，自己跟自己比，心情越冷静，越踏实，越容易发挥，越容易取得好成绩。特别是数学，心情如果不够坦然，不够平静，往往会出现计算性错误，本来这道题会，三乘二，你得个五，变成加法做了，一下子分都没了，特别是选择题里，一道题要不然是五分，要不然是零分，如果因为我们的心情不够踏实，不够冷静，一下子做错了，本来应该得五分，变成零分了，这是非常遗憾的，大家知道，高考如果差五分，那就是六七千人、七八千人的事，希望大家还是把心情踏实下来，这样最好。

问题8：如果我做前面的小题遇到困难，很不顺，那我在考场上应该怎样进行调整呢？

老师：大家现在要注意，目前的高考试题不是按照由易到难的次序排列的，它是多题把关，处处有关口，比如说做第一题白给分，一下子就出来了，做到第五题卡住了，这很有可能。人们都认为22题是最难的一道题，有的同学认为我看都不看，我这水平做不了，其实22题的第一问是往往是白给分的，是每个人都会的，为什么要放弃呢？所以大家要注意，目前的高考试卷是多题把关，就像地雷阵似的，处处有地雷，但是处处有坦荡的路，所以我们要有相应的办法来对付。

什么办法呢？第一，心态上要注意，只要你的高考数学我期望值不是一百四十五分，那么你遇到一个题不会，这非常正常，如果你数学的期望值是在一百分的话，那么你遇到40%个难题，那都是非常正常的事情。所以从心态上大家不要害怕，遇到难题是正常的，因为我考不了一百五十分嘛。

第二，遇到难题怎么办？位置能力在中等位置的同学们，建议你们这样做。遇到这个困难，你稍微愣一下神，静下心来再想一想，如果暂时还想不出来，跳过去做下一道，没准下一道很漂亮地做出来了，当你遇到下一个难点的时候，看看位置，如果位置仍然还靠前的话，你还可以继续往下做。当你困难发生到三分之二的试卷上了，你回过头来看看第一个难题，由于你离开那个境界远了，心情也平静了，你去看它，没准突发一个灵感，困难就解决了。所以概括起来这么几条，第一是心情平和，不要害怕，这是正常现象，你哪能道道都会啊？第二，遇到困难，一时解决不了暂时跳下去。继续往下走，下面还有很多你会的，这就够了。

问题9：在做解答题的时候，如果做不出第一小问，我是不是可以直接跳到第二小问？并且把第一小问要求求证的命题直接作为第二小问的条件呢？

老师：若这几问是独立评分，这是可以的，第一问对了给你分，第一问没做了，第二问的时候第一问的结论也用了，照样给你分，而且这是正常的、科学的答题方法，不要因为第一问不会，第二问就放弃，那就不应该了

问题10：我的数学比较差，我希望高考数学能拿到一百分，应该从哪方面入手？

老师：问题提出学习不是太好，不知道您哪方面学得不是太好，想拿到一百分，不知道你原来的成绩怎么样，如果平时是七、八十分，这次要达到一百分，还是有努力的空间，我想从几方面来说。第一，依纲（考纲）靠本（课本）。第二，把练习、试卷归一下类，看是选择题不行还是填空题不行，还是大题不行。一般来说，提高的空间都在选择填空题上及解答题中档题上，最后两个题提高的空间不大。在这里我谈一下选择题的问题。选择题与数学的概念、性质、公式密切相关，因此要想做对题，必须正确理解概念，数据处理准确，另外选择题的选项就是针对考生数学概念理解上的错误和思维上出现的误区而设置的。因此我们做选择题时不能似是而非，现在就当前考生状况用直接法和排除法选择还是不错的。但有些题可以用更灵活的方法，而用直解法用时间多，值得注意。往年经验，每年的选择题中，总有

一、两个难一点的题和比较新颖的题。对于这样的题，考生不要惊慌，我认为有以下对策可以提高我们选择题的能力。第一看见题型比较新，要联想旧题，即新题想旧题。第二凡是推理比较困难，计算量比较大的题，处在选择题中必有巧妙的方法。经常用特殊值法和代入检验法。

问题11：做选择题的时候一般只错一到两题，但是剩下的时间就非常少了，只能做两到三道大题了，这种情况下，怎样能既提高速度，又能保证正确率呢？

老师：高考对选择题的要求确实是两个字，快、准，光准不快，比如说选择题10道题你用了一个小时做完，后面还有那么多题呢，你怎么做得完呢？有的说光把答案抄一遍就得抄六七分钟，确实是这样，这样 就要注意了，做选择题怎样做得快呢？就是说你要把选择体当做选择题来做，而不要当做解答题来做。此话怎讲？你做选择题的时候，不要光看题干，不看选项，一门心思解这道题，当然花的时间长了。选择题当选择题做什么意思呢？要把四个选项和题杆连接成一个整体，从逻辑上分析这个题可能出现的漏洞在什么地方。从逻辑上首先分析它的破绽，如果一眼能认出破绽，这个解一下子就解了。

问题12：如何提高数学考试中的心理素质？有时候感觉自己考场上的心理素质还不过硬，是因为这个不过硬丢了很多不该丢的分。

老师：考试，什么叫考好了？不知道大家对我这个问题怎么回答？是不是好分就好了？那我问你什么叫好分呢？一百四十算不算好分？那当然算，你没有考到一百四十就说你没考好，还要打你屁股一下，那你愿意吗？其实什么叫考好，关键是自己跟自己比，如果自己的水平在一次考试中能够尽情地发挥出来了，发挥得自己满意，那就叫考好了，很可能一看分数，刚九十五分，可能我就是这个等级，就是这个水平。基于这一点，所以大家参加考试，一定要有一个平和的心态，自己跟自己比，以充分发挥自己的水平为宗旨，而不去追求那个分，也不要去考虑自己报的那个志愿，因为我们是先报志愿的，北京地区有这个负担，我报的是清华，我得考一百三十五啊，坏了，这个题我不会，老是这种心态就考不好了。所以考试的时候，建议大家，第一要有一个正确的好坏观，把自己跟自己比，第二点，考试的时候，一定要入境，使得自己脑子里完全是数学的东西，其他的私心杂念什么都没有了，真正做到充耳不闻，视而不见。所以这个境界一定要在高三这一年的模拟训练中练好这一招。比如：今天做模拟考试，你的教室窗子临街，汽车过来过去，很吵，当你做完这个题的时候，你一点也没有听见。特别是现在天特别热，怎么我答题的时候也不觉得热了呢？一考完了一身臭汗，这就对了。如果你考试的时候窗外一个响声你就一激灵，别人一翻卷子你就一激灵，老是冒汗，这就有问题了，要让你的父母帮助你练这个工夫，特别是心理素质比较内向，胆小的同学，平时在家还可以，不会做题，还可以跟妈妈耍耍赖，到考场上，一道题不会，一看脸色都不一样了，这样的同学其实往往是挺聪明的。其实有许多数学学得挺不错的学生，但是考试的时候，比他自己的水平总要掉下来十几分，原因就是心理没有调整好，这是一个大问题，凡是有这个问题的同学，建议你除了我说的那些数学的准备工作之外，是不是做做心理调试工作，必要的时候请老师、同学给你出点办法怎么调节一下。

问题13：我自己认为考试成绩和平时的成绩很不吻合，有特别强烈的失败感，有时候都失去信心了。这和心态不好有非常大的关系，但是现在又不知道怎么做。

老师：收获季节还要自己收获，别人收获那是别人的，还不是你自己的。我觉得，首先应该树立信心，一定要坚信数学这个东西是硬碰硬的工夫，如果这道题我真会，在考场上还真拿分，这跟写作文不一样，你说我平常记叙文写得特别好，可是人家给你出的题目你就没有灵感，没有想法，就没有办法，数学就不是这样，这个题你本来会，你就一定会，如果不会，一定是心理上有干扰，你老是想我考不好怎么办，或者说我老是这样，一考试就不如平常，这次再不如平常就坏了，老是想着这个，所以主要还是心理问题，恐怕心理比较内向，感情比较脆弱，进到了一个恶性循环的圈子里，越有这种现象，越怕发挥不出来，越怕 发挥不出来，越没发挥出来，长此以往，进入一个恶性循环圈。所以第一条，要树立信心，你一定要坚信，我会的，到考场上一定也会，1加2到哪儿我也知道是3了，一定要树立信心。第二，要解决好一个状态，就是考试的时候，你要把一切负担、私心杂念都放下，一门心思念数学，一门心思进入到数学领域，就是我刚才说的入境，这两个方面如果解决了，恐怕考试的时候就容易解决这个问题了。再有，对这个问题还应该这样，积累了一点经验，有了一点进步，赶紧就应该肯定抓住闪光的地方，尽量摆脱恶性循环圈。举个例子，比如说有的同学高一高二的考试成绩没掉过110分，可是到高三就没有考过100分了，有一次模拟考试考了92分，下一次考试考到了93分，那就说明你进步啊，就赶紧高兴，想想自己这次成功的经验是什么，别跟那110分比，不然跟110分比还是不行，那你这点滴的进步就被你抹煞了，想想这次你怎么那么放松了，在哪一点放松了，还有哪儿紧张，不断地抓住自己闪光的地方.问题14：数学考试时应该怎样分配时间？

老师：数学考试时应该怎样分配时间，应该说是随着高三复习过程中个人能力的不同而不断调整的。我觉得一般而言，到了高考要根据自己不同的情况，学习成绩比较好的同学，选择填空题也就占到四十分钟，要更好的同学，可能更短一点。对于平时成绩不是太好的，那么选择填空题恐怕要占到五十分钟甚至更多。做后面的解答题，平时成绩不是特别理想的，就集中力量做中间的四道解答题。后两道大题，也就是第一问，头两问，看一看，当然不要失掉机会，有时候最后的一道大题的第一问也是可以做的。对于好学生来讲，前四个大题，也就是中档难度的题要准确、快速拿下，因为要提高差距的话，想使自己成绩比别人更好一点，区别还是在后两道大题上。

问题15：现在高考数学题讲究的是通性通法，是不是应该加强这方面的训练，再突破一些难题？

老师：目前的高考确实是通性通法，但是中等题和难题体现的不完全一样，比如说中等题，在体现通性通法方面就比较暴露，比较直接。在综合性题目里面，这个通性通法的使用就比较灵活，必须剥掉几层之后才能看到。鉴于这种情况，针对不同层次的同学们，你们对通性通法可以做不同层次的追求，比如高考数学分数期望值在一百到一百一十几分之间的这样一个档次的，你就要特别注重通性通法在中等题（解决好前四个大题类型）里面的应用，要保证在中等题里面运用通性通法做到万无一失。如果做得再好一点，你这个分数的期望值完全可以做到的。那么在难题里运用通性通法，这个外壳剥不开，个别看不透，问题就不太大了。如果你期望值是一百二十分以上，甚至达到一百四十几分，相信你在选择填空和中等题方面是有基础和把握的，你们攻克的要点就是通性通法在综合题中间怎么使用，怎么穿破这个迷魂阵，能够剥出里面的内涵，把通性通法用上，这是大家要攻克的，当然这个堡垒比前一个要困难一些。

最后再给高考生一些建议：

老师：建议大家，第一树立信心，第二想想自己的工作方法有哪些不科学的地方，赶紧寻找一个科学的工作方法，我给大家已经介绍了。如果第一你有信心，第二你有一个科学的学习、复习方法，让中学时代最后这一年过得不断充实，觉得自己一天比一天更强大，你的自信心就会越来越饱满，到高考的时候，你 的自信心都要爆棚了，那时候，相信你的数学成绩一定会考出非常理想的水平。希望大家能认真做，相信能够取得好的成绩。谢谢大家。

数学第一轮复习策略[摘录]

在高考中，有很多学生数学科目得分充满了变数，有的学生平时数学成绩很好，但是在高考中没有发挥出应有的水平，于是就没有拿到理想的分数，有一些在平时考试中，数学成绩一般的学生，在高考中发挥得很好，就提升自己的竞争力。那么怎样才能学好数学？怎样才能最快的提升数学成绩？一些成绩优秀的学生又怎样能保持很好的考试状态？这些都是我们应该注意的内容。因为第一轮复习才开始不久，考生还有很多的时间可以利用，有很多的机会可以把握。

例如我们把北京考生2009年的成绩统计拿过来分析一下，就发现数学成绩的高低，直接决定一个学生的高考走向，在数学科目上，竞争很大，比如说2009年高考统计中，北京理科学生数学成绩，高考分数为150分的学生有9个人，那么数学成绩在140分以上的就一下子变成900人了，而在北京高考中，总分排名在前750的学生才有可能上北清，所以说一个学生数学成绩要是在140分以下的话，要想达到北清线，就必须在其他的科目上拉分弥补数学科目的劣势，不管其他科目成绩怎样，这个学生数学成绩会让自己处于被动局面。那么数学成绩要是在120以下的话，你的竞争力就减弱得更多了，因为有可能是8000名之后了。我对班上学生一直在讲这方面的内容，也给他们提出了要求，接下来就是完善这个过程了。我专门写一篇文章给大家讲讲如何复习数学，希望能给学生们带来帮助。

一些学生没有养成好的答题习惯，导致丢掉很多不该丢的分。

每次分析试卷，都有学生抱怨自己疏忽而丢掉一些不该丢掉的分数，就那北京学生来说，由于自己疏忽造成的丢分，平均每个学生丢了30分。所谓说，考试的分数就是你平时学习的体现，平时没有养成好的答题习惯，丢三落四，考试的时候想急于求成，步骤不合理，看问题不全面，等等，这些可能直接导致你数学分数上不去。一些学生交卷之后都觉得自己分数一定不很不错，可是发下试卷就傻眼。

心理原因导致数学成绩差。

有一部分学生平时数学成绩一直不好，有时候对数学充满恐惧感，觉得自己没有学习数学的天赋，导致自己对数学学科的排斥，越是这样，数学成绩越是上不去，甚至一些人的理由是：女生就是没有学习数学的天赋、、、、、、我觉得这些都是由心理因素导致的。数学没有想象的那么难，但是最起码你得有信心，同时静心、潜心的去探索，根据自己的实际情况，循序渐进的学习，肯定会有起色的。我发现数学成绩一直不好的学生，首先没有坚持、静心的去学习。

第四篇：名师谈高考数学第一轮复习

名师谈高考数学第一轮复习（15问）

【高三数学复习一般分为三轮：】熟悉三轮复习的内容和目标

第一轮重点是“三基”（基础知识、基本技能、基本方法）复习，目标是全面、扎实、系统、灵活。学生极易忽视复习课本重要例习题所蕴含的数学思想方法。

第二轮复习一般是专题强化训练，目标在于提高学生解答高考解答题的能力。此阶段学生不应沉迷于套卷演练，而应在教师指导下，以典型例题为载体，以数学思想方法的灵活运用为线索，讲求解题策略，使自己在第一轮复习的基础上，数学素质得以明显提升。

第三轮一般进行模拟、强化，目的在于调节学生智能、情感、意志等因素，使学生逐渐熟悉数学高考对学生的各项要求。此阶段学生应加强解题后反思，并舍得花一定的时间再次钻研考试大纲、考试说明及历届高考试题，领会其命题风格。

问题1：高三数学复习第一轮怎么复习？

老师：第一轮重点是“三基”（基础知识、基本技能、基本方法）复习，目标是全面、扎实、系统、灵活。学生要掌握好复习课本重要例习题所蕴含的数学思想方法。在第一轮复习中，学生学习的重心要放在“三基”，千万不要脱离这个目标；其次复习应该跟着老师或者略超前于老师的进度。最后在复习中一定要提高效率即掌握好80%以上的知识点。

问题2：我的基础知识还可以，上课老师讲得也都能听懂，但是一到自己做题的时候就做不出来了，请老师帮忙分析一下原因。

老师：在中档学生这个层面上，恐怕十个人得有九个人提出这个问题，这是学习数学的一大困难之处，听老师讲，听得特别懂，自己一做就做不出来了，究其原因是什么呢？大家应该知道，原因在这里:数学是靠着逻辑演绎向前推进和发展的。当一个老师把你抱到了逻辑的起点上，告诉你这个逻辑关系是怎样的，比如说饿了就应该找饭吃，下雨了就应该找伞来打，告诉你了这个逻辑规则，你自己肯定会按照逻辑的顺序往前跑，这就叫为什么上课听得懂，听得头头是道。为什么课下自己不会做了呢？是因为课下你找不到逻辑的起点，有两种学习的模式，一种是靠效仿，老师给我变一个数，出两道类似的练习题，照老师的模子描下来，结果做对了，好象我学会了，这就是效仿的方式来学数学，这种方式在小学是主要手段，在初中，这种手段还占着百分之六七十的分量，但是到了高中就不行了，靠模仿能得到的分数也就是五六十分;其他的分数都要靠你的理解。即另一种是靠理解，所谓理解就是听了老师的一段讲解，看了老师的一个解题过程，你要把他提炼、升华成理性认识，在你的头脑中，应该存下老师讲解的这一段知识和解答的这一道题，他所体现出来的规律性的东西。当你遇到新问题、新试题的时候，你应该拿着这个规律去面对它，这样的话，你就可以把老师讲解的东西很自然地、流畅地用在你的解题里，这就是所谓通过理解，通过顿悟来学习数学。那么高中数学百分之六七十的成分是要靠着这种方式进行学习的。

问题3：我数学成绩波动很大，在复习上有没有什么需要注意的？

老师：数学成绩波动大，说明能力还是有，要不怎么能有好的时候呢？第一是心理状态不是特别好，心情好的时候，或者情绪比较高涨的时候，就能发挥得比较好，情绪比较低落的时候就发挥不出来，我觉得调整的方法，就是在心理方面对自己有一种暗示，心理问题就得靠暗示来解决，提高自己的信心，经常保持愉快和比较兴奋，心态比较好的情况，可能成绩能够更稳定一点。问题4：做数学题时，尤其是考试的时候，遇到无从下手的题目怎么办？

老师：如果你开始遇到无从下手的题那就绕过，一般来说，拿到一个题，如果一点思路都没有的话，应该先避一避，把一些比较顺手的题做好了以后，一方面会提高信心，再一方面，开始考的时候一般心情都比较紧张，考试中慢慢情绪会稳定的。等情绪稳定下来，或者把会做的做完后在回过头解决，可能会比较有效。

问题5：考试总是无法发挥出我的水平，这怎么办？

老师说:很多同学水平不错，但考试结果不太理想。根据我的经验，有这么几方面的原因。一是有的同学水平比较高，但更会解决难题，对选择、填空题不够重视。结果大题做对了，选择、填空做错了，这是发挥不理想的情况。第二是对中档题，中档题应该说不难，但拿不住分。这里有一个如何对待中档题的问题，我考虑有以下几点。因为中档题咱们给的标准答案和我们却阅卷，一般是分步给分，所以要严格解题步骤，不要跳步。如：立体几何的作图过程，你所计算的角和距离是哪个角哪个距离，必须得指出。过去学生们的情况是最后这个题的结果是做对了，但得不到分。原因是中间跳步，写得比较粗糙。还有就是我们在做角和距离时，做的过程和论证也占着相当的分数。解析几何建立直角坐标系处理问题的方法、过程也要写细。应用题，未知数的设计、等量关系的表述都不能忽略。中档题必须抓住平时容易忽视的得分点，也能够提高自己的水平。

问题6：我对题目长的题有恐惧感，请问老师怎么样避免？

老师：如果我要去命题，恐怕这就是区分度的一个出题的技巧和技术，不是有些人怕难题嘛，在这些考生里面我要把一些人刷掉，怎么去区分你们呢？谁上谁下呢？我就有意识地出一份字数比较多，信息量比较大的，文字比较长的题，谁害怕就刷掉，谁过了这一关就上来了，这也是一种出题的技巧，这也是现代信息技术时代对我们的要求，目前信息量这么大，不可能用三言两语就把一件事说得特别清楚，字多一点，符号多一点，甚至英文都上来了都是有可能的。遇到这样的问题怎么办呢？唯一的策略就是化整为零，这个信息不管多长，文字量不管多大，这一大段话总是一句一句说下来的，你先看懂第一句，再看第二句，每一句一定都很短，所以应对它的办法就是化整为零，一句一句地去看它，不要从第一个字看到最后一个字，不懂心里就发慌，这样的东西，我建议大家可以这样做，第一遍叫粗读，就是由第一个字读到最后一个字，读完之后，你能说出一个故事的梗概就够了。比如说这个题里有三个量，比如说有耕地，有人均占有耕地的面积，还有单位的产量，还有什么等等，把这个量说清楚，这道题就说这几个量的关系就够了。接下来细读，你一句话一句话地读，读了第一句话想想什么意思，想明白了再读第二句，想不明白，找几个关键词体会什么意思，这样一句一句读下去，很长的一段，慢慢地就会读懂。所以建议大家第一不要害怕，这是正常现象，第二化整为零，掌握科学的工作方法，总是可以应对的。

问题7：都说数学要讲究临场发挥，请问是不是有哪些地方需要注意？比如说应该做哪些题？先做高分的题还是低分的题？

老师：谈一谈考试技巧，其实这也是必要的，大家在高三复习这一年的过程当中，经过了许许多多场考试，其实这些考试除了考你的数学知识、数学能力之外，应该还有一个任务，就是考察你的考试技巧。但是这一点往往被同学们所忽略。这一点应该引起大家的重视，比如说，如果你是一个高分段的学生，你的目标高一点，是想考清华北大这些一些最名牌的大学的话，那你数学的期望值应该是在一百三十分以上，甚至一百四十分左右才合适，对于这样的同学，那么你就是按照题目的顺序一道一道把它尽快地、严谨地答完，这没有什么可考虑的，因为我的期望值和水平都可以应付这样的办法。

但是反过来，如果我的能力和数学成绩考到一百分就很不错了，我的水平已经发挥了，这样的同学答题确实需要一些技巧，这个技巧的主要原则就是第一，一定要把自己会的，有把握的先答上，而且在个别的答题过程中，心理有点忐忑不安的话，做完之后还要做检查工作，也就是说把会做的先做好，不管这个题的顺序，不管这一问在什么地方，哪怕是倒数第二题的第一问，也要把它拿下来，所以做题的次序不一定按照题号的次序，而是会的就拿下，按照这样的原则去组织。

那么这一层做完了，还有时间，就攻堡垒了，攻自己不会的题了。不会的题，你要注意，也是分为两个集团，一个集团是咱们静下心来，心态平和没准就会做了，只要不紧张。那么有一些，恐怕再给你两个小时，甚至再给你一天你也未见得做得出来，对这些难题，我们就要分分类，自己从直觉和感觉出发，如果觉得自己心情冷静，这个题还能拿下，那就去拿它，所以层次在希望能够达到一百分就满足了的同学，你确实更应该注意答题技巧，原则是把会的先做下来，不一定按照题号的顺序。另外，有的同学答题的时候心情比较紧张，往往影响你的发挥，我忠告大家，不要跟别人比，主要的是跟你自己比，如果我在学校历次模拟考试，最多就考过九十五分，那么这次高考你能考九十六分，就可以喝庆功酒，就可以庆祝一番了，因此就可以把心情放下来，自己跟自己比，心情越冷静，越踏实，越容易发挥，越容易取得好成绩。特别是数学，心情如果不够坦然，不够平静，往往会出现计算性错误，本来这道题会，三乘二，你得个五，变成加法做了，一下子分都没了，特别是选择题里，一道题要不然是五分，要不然是零分，如果因为我们的心情不够踏实，不够冷静，一下子做错了，本来应该得五分，变成零分了，这是非常遗憾的，大家知道，高考如果差五分，那就是五六千人、六七千人的事，希望大家还是把心情踏实下来，这样最好。问题8：如果我做前面的小题遇到困难，很不顺，那我在考场上应该怎样进行调整呢？

老师：大家现在要注意，目前的高考试题不是按照由易到难的次序排列的，它是多题把关，处处有关口，比如说做第一题白给分，一下子就出来了，做到第五题卡住了，这很有可能。人们都认为20题是最难的一道题，有的同学认为我看都不看，我这水平做不了，其实20题的第一问是往往是白给分的，是每个人都会的，为什么要放弃呢？所以大家要注意，目前的高考试卷是多题把关，就像地雷阵似的，处处有地雷，但是处处有坦荡的路，所以我们要有相应的办法来对付。

什么办法呢？第一，心态上要注意，只要你的高考数学我期望值不是一百四十五分，那么你遇到一个题不会，这非常正常，如果你数学的期望值是在一百分的话，那么你遇到40%个难题，那都是非常正常的事情。所以从心态上大家不要害怕，遇到难题是正常的，因为我考不了一百五十分嘛。

第二，遇到难题怎么办？位置能力在中等位置的同学们，建议你们这样做。遇到这个困难，你稍微愣一下神，静下心来再想一想，如果暂时还想不出来，跳过去做下一道，没准下一道很漂亮地做出来了，当你遇到下一个难点的时候，看看位置，如果位置仍然还靠前的话，你还可以继续往下做。当你困难发生到三分之二的试卷上了，你回过头来看看第一个难题，由于你离开那个境界远了，心情也平静了，你去看它，没准突发一个灵感，困难就解决了。所以概括起来这么几条，第一是心情平和，不要害怕，这是正常现象，你哪能道道都会啊？第二，遇到困难，一时解决不了暂时跳下去。继续往下走，下面还有很多你会的，这就够了。

问题9：在做解答题的时候，如果做不出第一小问，我是不是可以直接跳到第二小问？并且把第一小问要求求证的命题直接作为第二小问的条件呢？

老师：若这几问是独立评分，这是可以的，第一问对了给你分，第一问没做了，第二问的时候第一问的结论也用了，照样给你分，而且这是正常的、科学的答题方法，不要因为第一问不会，第二问就放弃，那就不应该了

问题10：我的数学比较差，我希望高考数学能拿到一百分，应该从哪方面入手？

老师：问题提出学习不是太好，不知道您哪方面学得不是太好，想拿到一百分，不知道你原来的成绩怎么样，如果原来是三、四十分的成绩，高考要达到100多分就有点困难了，如果平时是七、八十分，这次要达到一百分，还是有努力的空间，我想从几方面来说。第一，依纲（考纲）靠本（课本）。第二，把练习、试卷归一下类，看是选择题不行还是填空题不行，还是大题不行。一般来说，提高的空间都在选择填空题上，还可能在中档题中，最后两个题提高的空间不大。所以我谈一下选择题的问题。选择题与数学的概念、性质、公式密切相关，因此要想做对题，必须正确理解概念，数据处理准确，另外选择题的选项就是针对考生数学概念理解上的错误和思维上出现的误区而设置的。因此我们做选择题时不能似是而非，现在就当前考生状况用直接法和排除法选择还是不错的。但有些题可以用更灵活的方法，而用直解法用时间多，值得注意。往年经验，每年十个选择题中，总有

一、两个难一点的题和比较新颖的题。对于这样的题，考生不要惊慌，我认为有以下对策可以提高我们选择题的能力。第一看见题型比较新，要联想旧题，即新题想旧题。第二凡是推理比较困难，计算量比较大的题，处在选择题中必有巧妙的方法。经常用特殊值法和代入检验法。

问题11：做选择题的时候一般只错一到两题，但是剩下的时间就非常少了，只能做两到三道大题了，这种情况下，怎样能既提高速度，又能保证正确率呢？

老师：高考对选择题的要求确实是两个字，快、准，光准不快，比如说选择题10道题你用了一个小时做完，后面还有那么多题呢，你怎么做得完呢？有的说光把答案抄一遍就得抄六七分钟，确实是这样，这样就要注意了，做选择题怎样做得快呢？就是说你要把选择体当做选择题来做，而不要当做解答题来做。此话怎讲？你做选择题的时候，不要光看题干，不看选项，一门心思解这道题，当然花的时间长了。选择题当选择题做什么意思呢？要把四个选项和题杆连接成一个整体，从逻辑上分析这个题可能出现的漏洞在什么地方。从逻辑上首先分析它的破绽，如果一眼能认出破绽，这个解一下子就解了。

问题12：如何提高数学考试中的心理素质？有时候感觉自己考场上的心理素质还不过硬，是因为这个不过硬丢了很多不该丢的分。

老师：考试，什么叫考好了？不知道大家对我这个问题怎么回答？是不是好分就好了？那我问你什么叫好分呢？一百四十算不算好分？那当然算，你没有考到一百四十就说你没考好，还要打你屁股一下，那你愿意吗？其实什么叫考好，关键是自己跟自己比，如果自己的水平在一次考试中能够尽情地发挥出来了，发挥得自己那么痛快，那就叫考好了，很可能一看分数，刚九十五分，可能我就是这个等级，就是这个水平。基于这一点，所以大家参加考试，一定要有一个平和的心态，自己跟自己比，以充分发挥自己的水平为宗旨，而不去追求那个分，也不要去考虑自己报的那个志愿，因为我们是先报志愿的，北京地区有这个负担，我报的是清华，我得考一百三十五啊，坏了，这个题我不会，老是这种心态就考不好了。所以考试的时候，建议大家，第一要有一个正确的好坏观，把自己跟自己比，第二点，考试的时候，一定要入境，使得自己脑子里完全是数学的东西，其他的私心杂念什么都没有了，真正做到充耳不闻，视而不见。其实这个境界在高三这一年的模拟训练中就应该练这一招。今天做模拟考试，你的教室窗子临街，汽车过来过去，很吵，当你做完这个题的时候，你一点也没有听见。特别是现在天特别热，怎么我答题的时候也不觉得热了呢？一考完了一身臭汗，这就对了。如果你考试的时候窗外一个响声你就一激灵，别人一翻卷子你就一激灵，老是冒汗，这就有问题了，要让你的父母帮助你练这个工夫，特别是心理素质比较内向，胆小的同学，平时在家还可以，不会做题，还可以跟妈妈耍耍赖，到考场上，一道题不会，一看脸色都不一样了，这样的同学其实往往是挺聪明的，其实数学也学得不算不好的孩子，但是考试的时候，比他自己的水平总要掉下来十几分，原因就是心理没有调整好，这是一个大问题，凡是有这个问题的同学，建议你除了我说的那些数学的准备工作之外，是不是做做心理调试工作，必要的时候请老师、同学给你出点办法怎么调节一下。

问题13：我自己认为考试成绩和平时的成绩很不吻合，有特别强烈的失败感，有时候都失去信心了。这和心态不好有非常大的关系，但是现在又不知道怎么做。

老师：收获季节还要自己收获，别人收获那是别人的，还不是你自己的。我觉得，首先应该树立信心，一定要坚信数学这个东西是硬碰硬的工夫，如果这道题我真会，在考场上还真拿分，这跟写作文不一样，你说我平常记叙文写得特别好，可是人家给你出的题目你就没有灵感，没有想法，就没有办法，数学就不是这样，这个题你本来会，你就一定会，如果不会，一定是心理上有干扰，你老是想我考不好怎么办，或者说我老是这样，一考试就不如平常，这次再不如平常就坏了，老是想着这个，所以主要还是心理问题，恐怕心理比较内向，感情比较脆弱，进到了一个恶性循环的圈子里，越有这种现象，越怕发挥不出来，越怕发挥不出来，越没发挥出来，长此以往，进入一个恶性循环圈。所以第一条，要树立信心，你一定要坚信，我会的，到考场上一定也会，1加2到哪儿我也知道是3了，一定要树立信心。第二，要解决好一个状态，就是考试的时候，你要把一切负担、私心杂念都放下，一门心思念数学，一门心思进入到数学领域，就是我刚才说的入境，这两个工作如果解决了，恐怕考试的时候就容易解决这个问题了。再有，对这个问题还应该这样，积累了一点经验，有了一点进步，赶紧就应该肯定抓住闪光的地方，尽量摆脱恶性循环圈。举个例子，比如说平常，我的考试没掉过一百分，可是我一到模拟考试，最多只能考到92分，可是这次考试我考到了93分，那就是进步啊，就赶紧高兴，就想自己这次成功的经验是什么，别跟那100分比，要跟100分比还是不行，还是不如平常，那你这点滴的进步就被你抹煞了，所以你应该跟过去比，你过去还考不到93呢，想想这次你怎么那么放松了，在哪一点放松了，还有哪儿紧张，不断地抓住自己闪光的地方.问题14：数学考试时应该怎样分配时间？

老师：数学考试时应该怎样分配时间，应该说是随着高三复习过程中个人能力的不同而不断调整的。我觉得一般而言，到了高考要根据自己不同的情况，学习成绩比较好的同学，选择题也就占到四十分钟，要更好的同学，可能更短一点。对于平时成绩不是太好的，那么选择题恐怕要占到五十分钟甚至更多。做后面的解答题，平时成绩不是特别理想的，就集中力量做中间的四道解答题。后两道大题，也就是第一问，头两问，看一看，当然不要失掉机会，有时候最后的一道大题的第一问也是可以做的。对于好学生来讲，争取中间的四道题，也就是中档难度的题快一点拿下，因为要提高差距的话，想使自己成绩比别人更好一点，区别还是在后两道题上。问题15：现在高考数学题讲究的是通性通法，是不是应该加强这方面的训练，再突破一些难题？ 老师：目前的高考确实是通性通法，但是中等题和难题体现的不完全一样，比如说中等题，在体现通性通法方面就比较暴露，比较直接。在综合性题目里面，这个通性通法的使用就比较灵活，必须剥掉几层之后才能看到。鉴于这种情况，针对不同层次的同学们，你们对通性通法可以做这样不同层次的追求，比如高考数学分数期望值在一百到一百一十几分之间的这样一个档次的，你就要特别注重通性通法在同等题里面的应用，要保证在中等题里面运用通性通法做到万无一失。如果做得再好一点，你这个分数的期望值完全可以做到的。在难题里运用通性通法，这个外壳剥不开，个别看不透问题不太大。如果你期望值是一百二十分以上，甚至达到一百四十几分，相信你在选择填空和中等题方面是有基础和把握的，你们攻克的要点就是通性通法在综合题中间怎么使用，怎么穿破这个迷魂阵，能够剥出里面的内涵，把通性通法用上，这是大家要攻克的，当然这个堡垒比前一个要困难一些。

第五篇：高考第一轮复习数学：不等式的证明

不等式的证明

（一）●知识梳理

1.均值定理：a+b≥2ab； ab≤（ab2）2（a、b∈R+），当且仅当a=b时取等号.2.比较法：a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b.3.作商法：a＞0，b＞0，ab＞1a＞b.特别提示

1.比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解后，把差写成积的形式或配成完全平方式.2.比商法要注意使用条件，若●点击双基

1.若a、b是正数，则

ab2ab＞1不能推出a＞b.这里要注意a、b两数的符号.、ab、2abab、a2b22这四个数的大小顺序是

A.ab≤ab22≤2abab≤

a2b22

B.a2b2≤ab≤

ab2≤

2abab2

C.2abab≤ab≤ab22≤

a2b2

D.ab≤ab2≤

ab22≤

2abab

解析：可设a=1，b=2，则ab2=43232，ab=2，2ababa2=，14252b2===2.5.答案：C

2.设0＜x＜1，则a=2x，b=1+x，c=A.a

解析：∵0＜x＜1，B.b

11x中最大的一个是 C.c

D.不能确定

∴1+x＞2x=4x＞2x.∴只需比较1+x与∵1+x－∴1+x＜11x11x11x2的大小.=－

x2=.1x11x1x＜0，答案：C 3.（2005年春季上海，15）若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

必要条件 解析：当a＞0，b2－4ac＜0时，ax2+bx+c＞0.反之，ax+bx+c＞0对x∈R成立不能推出a＞0，b－4ac＜0.反例：a=b=0，c=2.故选A.答案：A 4.（理）已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），给出下列不等式：

①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是____________.（把成立的不等式的序号都填上）解析：∵|a+b|＜－c，∴c＜a+b＜－c.∴－b+c＜a＜－b－c.故①②成立，③不成立.∵|a+b|＜－c，|a+b|≥|a|－|b|，∴|a|－|b|＜－c.∴|a|＜|b|－c.故④成立，⑤不成立.答案：①②④

（文）若a、b∈R，有下列不等式：①a+3＞2a；②a+b≥2（a－b－1）；③a+b＞a3b2+a2b3；④a+1a

222

552

2≥2.其中一定成立的是__________.解析：①a2+3－2a=（a－1）2+2＞0，∴a2+3＞2a；

②a2+b2－2a+2b+2=（a－1）2+（b+1）2≥0，∴a2+b2≥2（a－b－1）；

③a+b－ab－ab=a（a－b）+b（b－a）=（a2－b2）（a3－b3）=（a+b）（a－b）2（a2+ab+b2）.∵（a－b）≥0，a+ab+b≥0，但a+b符号不确定，∴a5+b5＞a3b2+a2b3不正确； ④a∈R时，a+答案：①② 1a22

255322

332

2≥2不正确.5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为____________.解析：设甲地至乙地的距离为s，船在静水中的速度为v2，水流速度为v（v2＞v＞0），则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间

t=sv2v+sv2v=v2v22v2s2v22，平均速度v1=22st2=

vv2.∵v1－v2=∴v1＜v2.v2vv22－v2=－

v2v2＜0，答案：v1＜v2 ●典例剖析

【例1】 设a＞0，b＞0，求证：（a21b）2（b111a）2≥a2+b2.剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明.证法一：左边－右边＝

（a）（b）ab（ab）（aabb）ab（ab）（a2abb）（aab（ab）33－（a＋b）

＝

＝＝

b）（abab）2≥0.ab∴原不等式成立.证法二：左边＞0，右边＞0，左边右边＝（ab）（aab（aabb）b）＝

aabbab≥

2ababab＝1.∴原不等式成立.评述：用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤.变形的主要手段是通分、因式分解或配方.在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二.下面的例3则是公式法与配方法的综合应用.【例2】 已知a、b、x、y∈R且求证：xxa+

1a＞

1b，x＞y.＞yyb.剖析：观察待证不等式的特征，用比较法或分析法较适合.证法一：（作差比较法）

∵又xxa1a－1byyb（xa）（yb）=

bxay，＞且a、b∈R+，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.∴bxay（xa）（yb）＞0，即

xxa＞

yyb.证法二：（分析法）∵x、y、a、b∈R，∴要证+

xxa＞

yyb，只需证明x（y+b）＞y（x+a），即证xb＞ya.而由1a＞1b＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，知xb＞ya显然成立.故原不等式成立.思考讨论

该例若用函数的单调性应如何构造函数? 解法一：令f（x）=再令g（x）=∵1axxa，易证f（x）在（0，+∞）上为增函数，从而

xxa＞

yyb.mmx，易证g（x）在（0，+∞）上单调递减.+＞1b，a、b∈R.∴a＜b.mma∴g（a）＞g（b），即＞

mmb，命题得证.xy解法二：原不等式即为

axa1＞

byb1，为此构造函数f（x）=

xx1，x∈（0，+∞）.xa易证f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，而xy＞

yb，∴axa1＞byb1，即

xxa＞

yyb.【例3】 某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6 t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少?（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 t时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由.解：（1）设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x t，由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x+6（x－1）+„+6×2+6×1］=9x（x+1）.设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1=900x1x［9x（x+1）+900］+6×1800 =+9x+10809≥

2900x9x+10809 =10989.当且仅当9x=900x，即x=10时取等号，即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.（2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天，购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则

y2==1x［9x（x+1）+900］+6×1800×0.90 +9x+9729（x≥35）.100x900x令f（x）=x+（x≥35），x2＞x1≥35，则 f（x1）－f（x2）=（x1+=

100x1）－（x2+

100x2）

（x2x1）（100x1x2）x1x2

∵x2＞x1≥35，∴x2－x1＞0，x1x2＞0，100－x1x2＜0.∴f（x1）－f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），即f（x）=x+100x，当x≥35时为增函数.∴当x=35时，f（x）有最小值，此时y2＜10989.∴该厂应该接受此优惠条件.●闯关训练 夯实基础

1.设x＞0，y＞0，且xy－（x+y）=1，则 A.x+y≤22+2

B.x+y≥22+2 D.x+y≥（2+1）

2C.x+y≤（2+1）解析：∵x＞0，y＞0，∴xy≤（由xy－（x+y）=1得（∴x+y≥2+22.答案：B

xy2xy2）.2）2－（x+y）≥1.2.已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是 A.M≥N

B.M≤N

C.M=N

D.不能确定

解析：M－N=x+y+1－（x+y+xy）==121222［（x2+y2－2xy）+（x2－2x+1）+（y2－2y+1）］ ［（x－y）2+（x－1）2+（y－1）2］≥0.答案：A 3.设a＞0，b＞0，a+解析：a+

22b22b2=1，则a1b2的最大值是____________.12b2b22=1a+

=

32.a2∴a1b2=2·a·答案：32412b2212332=2·2=.≤2·

ab24.若记号“※”表示求两个实数a和b的算术平均数的运算，即a※b=，则两边均含有运算符号“※”和“+”，且对于任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是____________.解析：∵a※b=ab2ba2，b※a=，∴a※b+c=b※a+c.答案：a※b+c=b※a+c.思考：对于运算“※”分配律成立吗? 即a※（b+c）=a※b+a※c.答案：不成立

5.当m＞n时，求证：m3－m2n－3mn2＞2m2n－6mn2＋n3．

证明：∵（m3－m2n－3mn2）－（2m2n－6mn2＋n3）＝m3－3m2n＋3mn2－n3＝（m－n）3，3又m＞n，∴m－n＞0.∴（m－n）＞0，即（m3－m2n－3mn2）－（2m2n－6mn2＋n3）＞0.故m－mn－3mn＞2mn－6mn＋n．

6.已知a＞1，λ＞0，求证：loga（a+λ）＞loga+λ（a+2λ）.证明：loga（a+λ）－log（a+λ）（a+2λ）=lg（a）lga2322223－lg（a2）lg（a）

=lg（a）lgalg（a2）lgalg（a）

∵a＞1，λ＞0，∴lga＞0，lg（a+2λ）＞0，且lga≠lg（a+2λ）.∴lga·lg（a+2λ）＜［（=［lg（a2lgalg（a2）2lg（a）22）］2a）2］＜［

2］=lg（a+λ）.∴lg（a）lgalg（a2）lgalg（a）2＞0.∴loga（a+λ）＞log（a+λ）（a+2λ）.培养能力

7.已知x＞0，y＞0，若不等式x+y≤mxy恒成立，求实数m的最小值.分析：∵x+y≤mxy恒成立，xxyxxyyy∴m≥恒成立.∴m的最小值就是的最大值.解：∵x+y≤mxy恒成立，xxyy∴m≥恒成立.∵x＞0，y＞0，∴xy≥（x2xx2yyy）2=

x2y.∴xxyy≤=2.∴m的最小值为2.评述：分离参数法是求参数的范围问题常用的方法，化归是解这类问题常用的手段.8.有点难度哟！

求证：在非Rt△ABC中，若a＞b，ha、hb分别表示a、b边上的高，则必有a+ha＞b+hb.证明：设S表示△ABC的面积，则 S=12aha=12bhb=12absinC.∴ha=bsinC，hb=asinC.∴（a+ha）－（b+hb）=a+bsinC－b－asinC =（a－b）（1－sinC）.∵C≠π2，∴1－sinC＞0.∴（a－b）（1－sinC）＞0.∴a+ha＞b+hb.探究创新

9.设二次函数f（x）=ax+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的两根x1、x2满足1＜x1＜x2＜1a2.（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f（x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0＜证明：（1）令F（x）=f（x）－x，∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，∴F（x）=a（x－x1）（x－x2）.当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，∴（x－x1）（x－x2）＞0.又a＞0，得F（x）=a（x－x1）（x－x2）＞0，即x＜f（x）.又x1－f（x）=x1－［x+F（x）］=x1－x+a（x1－x）（x－x2）=（x1－x）［1+a（x－x2）］，∵0＜x＜x1＜x2＜1ax12.，x1－x＞0，1+a（x－x2）=1+ax－ax2＞1－ax2＞0，∴x1－f（x）＞0，即f（x）＜x1.综上，可知x＜f（x）＜x1.（2）由题意知x0=－

b2a.∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，即x1、x2是方程ax2+（b－1）x+c=0的根，∴x1+x2=－∴x0=－b2ab1a.=.ax1ax212a=a（x1x2）12aax12ax12.又∵ax2＜1，∴x0＜=●思悟小结

1.比较法有两种形式：一是作差，二是作商.用作差法证明不等式是证明不等式中最基本、最常用的方法.它的依据是不等式的基本性质.2.步骤是：作差（商）→变形→判断.变形的目的是为了判断.若是作差，就判断与0的大小关系，为了便于判断，往往把形式变为积或完全平方式.若是作商，两边为正，就判断与1的大小关系.3.有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明方法综合使用.4.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误.●教师下载中心 教学点睛

1.在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.2.对于公式a+b≥2ab，ab≤（ab2）2要讲清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a+b的转化关系.拓展题例

【例1】设a、b∈R，关于x的方程x2＋ax＋b＝0的实根为α、β.若｜a｜＋｜b｜＜1，求证：｜α｜＜1，｜β｜＜1.证法一：∵α＋β＝－a，αβ＝b，∴｜α＋β｜＋｜αβ｜＝｜a｜＋｜b｜＜1.∴｜α｜－｜β｜＋｜α｜｜β｜＜1，（｜α｜－1）（｜β｜＋1）＜0.∴｜α｜＜1.同理，｜β｜＜1.证法二：设f（x）=x＋ax＋b，则有

f（1）＝1＋a＋b＞1－（｜a｜＋｜b｜）＞1－1＝0，f（－1）＝1－a＋b＞1－（｜a｜＋｜b｜）＞0.∵0≤｜a｜＜1，∴－1＜a＜1.∴－122＜－a2＜12.∴方程f（x）＝0的两实根在（－1，1）内，即｜α｜＜1，｜β｜＜1.评述：证法一先利用韦达定理，再用绝对值不等式的性质恰好能分解因式；证法二考虑根的分布，证两根在（－1，1）内.【例2】 是否存在常数C，使得不等式数x、y恒成立?试证明你的结论.解：当x=y时，可由不等式得出C=下面分两个方面证明.先证≥2xy.再证xx2yx2xy23x2xy+

yx2y≤C≤

xx2y+

y2xy对任意正

.+yx2y≤

23，此不等式3x（x+2y）+3y（2x+y）≤2（2x+y）（x+2y）x2+y2+y2xy≥

23，22此不等式3x（2x+y）+3y（x+2y）≥2（x+2y）（2x+y）2xy≤x+y.综上，可知存在常数C=

23，使对任何正数x、y不等式恒成立.6.3 不等式的证明

（二）●知识梳理

1.用综合法证明不等式：利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法，概括为“由因导果”.2.用分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件 的方法叫分析法，概括为“执果索因”.3.放缩法证明不等式.4.利用单调性证明不等式.5.构造一元二次方程利用“Δ”法证明不等式.6.数形结合法证明不等式.7.反证法、换元法等.特别提示

不等式证明方法多，证法灵活，其中比较法、分析法、综合法是基本方法，要熟练掌握，其他方法作为辅助，这些方法之间不能截然分开，要综合运用各种方法.●点击双基

1.（2005年春季北京，8）若不等式（－1）a＜2+数a的取值范围是

A.［－2，C.［－3，3232n

（1）nn1对任意n∈N恒成立，则实

*））

B.（－2，D.（－3，3232））

解析：当n为正偶数时，a＜2－1n，2－121n为增函数，∴a＜2－=32.1n当n为正奇数时，－a＜2+而－2－1n，a＞－2－

1n1n.为增函数，－2－

32＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，答案：A）.2.（2003年南京市质检题）若＜

a11b＜0，则下列结论不正确的是 ．．．

B.ab＜b D.|a|+|b|＞|a+b|

2A.a＜b C.ba2

21b

+ab＞2

1a解析：由＜＜0，知b＜a＜0.∴A不正确.答案：A 3.分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的 A.充分条件

C.充要条件

答案：A

B.必要条件

D.既不充分又不必要条件

4.（理）在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1=b1＞0，an=bn＞0，则am与bm的大小关系是____________.解析：若d=0或q=1，则am=bm.若d≠0，画出an=a1+（n－1）d与bn=b1·q

y n－

1的图象，O1m n x 易知am＞bm，故am≥bm.答案：am≥bm

（文）在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，„），则an+1与bn+1的大小关系是____________.解析：an+1=a1a2n121ab1ab≥a1a2n1=b1b2n1=bn+1.答案：an+1≥bn+1 5.若a＞b＞c，则

+

1bc1bc_______

3ac.（填“＞”“=”“＜”）

1ab解析：a＞b＞c，（1+）（a－c）=（+

1bc）［（a－b）+（b－c）］

≥2（ab）（bc）1·2（ab）（bc）=4.3ac∴ab+1bc≥

4ac＞.答案：＞ ●典例剖析

【例1】 设实数x、y满足y＋x2＝0，0＜a＜1.求证：loga（ax＋ay）＜loga2＋

18.剖析：不等式左端含x、y，而右端不含x、y，故从左向右变形时应消去x、y.xy证明：∵a＞0，a＞0，∴ax＋ay≥2axy＝2axx.∵x－x2＝xy

214－（x－112）2≤

114，0＜a＜1，∴a＋a≥2a4＝2a8.1∴loga（a＋a）＜loga2a8＝loga2＋xy

18.1评述：本题的证题思路可由分析法获得.要证原不等式成立，只要证a＋a≥2·a8即可． 【例2】 已知a、b、c∈R，且a+b+c=1.求证：（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1－a）（1－b）（1－c）.剖析：在条件“a+b+c=1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若用“a+b+c”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决

+

xy

问题.证明：∵a、b、c∈R且a+b+c=1，∴要证原不等式成立，即证［（a+b+c）+a］·［（a+b+c）+b］［（a+b+c）+c］≥8［（a+b+c）－a］·［（a+b+c）－b］·［（a+b+c）－c］.也就是证［（a+b）+（c+a）］［（a+b）+（b+c）］·［（c+a）+（b+c）］≥8（b+c）（c+a）（a+b）.①

∵（a+b）+（b+c）≥2（ab）（bc）＞0，（b+c）+（c+a）≥2（bc）（ca）＞0，（c+a）+（a+b）≥2（ca）（ab）＞0，三式相乘得①式成立.故原不等式得证.【例3】 已知a＞1，n≥2，n∈N*.求证：na－1＜a1n+

.a1n证法一：要证na－1＜即证a＜（a1n，+1）.n令a－1=t＞0，则a=t+1.也就是证t+1＜（1+∵（1+tntntn）n.+„+Cnn（tn）n=1+C1na1nn）n＞1+t，即na－1＜成立.证法二：设a=xn，x＞1.于是只要证即证xnx1n＞x－1，n－11x1n－1＞n.联想到等比数列前n项和1+x+„+xn－

2=

xn1x1，① ② 倒序x+x+„+1=nxn1x1.①+②得2·x1x1=（1+xn－1）+（x+xn－2）+„+（xn－1+1）

＞2xn1+2xn1+„+2xn1＞2n.∴xn1x1＞n.思考讨论

本不等式是与自然数有关的命题，用数学归纳法可以证吗?读者可尝试一下.●闯关训练 夯实基础

1.已知a、b是不相等的正数，x=

a2b，y=ab，则x、y的关系是

A.x＞y 解析：∵x2=y2=a+b=12 B.y＞x

2C.x＞2y

D.不能确定

（a+b）2=

12（a+b+2ab），（a+b+a+b）＞

（a+b+2ab）=x2，又x＞0，y＞0.∴y＞x.答案：B 2.对实数a和x而言，不等式x+13ax＞5ax+9a成立的充要条件是____________.解析：（x3+13a2x）－（5ax2+9a3）=x3－5ax2+13a2x－9a3 =（x－a）（x2－4ax+9a2）

=（x－a）［（x－2a）+5a］＞0.∵当x≠2a≠0时，有（x－2a）2+5a2＞0.由题意故只需x－a＞0即x＞a，以上过程可逆.答案：x＞a

3.已知a＞b＞c且a+b+c=0，求证：b2ac＜3a.22证明：要证b2ac＜3a，只需证b－ac＜3a，22

3即证b2+a（a+b）＜3a2，即证（a－b）（2a+b）＞0，即证（a－b）（a－c）＞0.∵a＞b＞c，∴（a－b）·（a－c）＞0成立.∴原不等式成立.4.已知a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0.证法一：（综合法）∵a+b+c=0，∴（a+b+c）＝0.展开得ab+bc+ca=－∴ab+bc+ca≤0.证法二：（分析法）要证ab+bc+ca≤0，∵a+b+c=0，故只需证ab+bc+ca≤（a+b+c）2，即证a+b+c+ab+bc+ca≥0，亦即证122222

a2b2c22，［（a+b）＋（b＋c）＋（c＋a）］≥0．

而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立.证法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b.∴ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab－（a+b）2

＝－a－b－ab＝－［（a＋22

b2）＋

3b42］≤0．

∴ab+bc+ca≤0.培养能力

5.设a+b+c=1，a2+b2+c2=1且a＞b＞c.求证：－＜c＜0.31证明：∵a+b+c=1，22∴（a+b）－2ab+c=1.∴2ab=（a+b）2+c2－1=（1－c）2+c2－1=2c2－2c.∴ab=c－c.又∵a+b=1－c，∴a、b是方程x+（c－1）x+c－c=0的两个根，且a＞b＞c.令f（x）=x2+（c－1）x+c2－c，则

Δ011ccc032f（c）0.222222

6.已知2b2ca=1，求证：方程ax2+bx+c=0有实数根.a2c2证明：由2b2ca=1，∴b=.∴b=（2a2+2c）=

2a22+2ac+2c2=4ac+（a2－2c）2≥4ac.∴方程ax2+bx+c=0有实数根.7.设a、b、c均为实数，求证：证明：∵a、b、c均为实数，∴12121212a+

12b+

12c≥

1bc+

1ca+

1ab.（12b12c12a＋12c12b）≥

12bc12ab≥≥≥

11ab，当a=b时等号成立；

（（＋＋）≥）≥

bc1ca，当b=c时等号成立； ． ≥

1bc12a12ca三个不等式相加即得探究创新

12a+

12b+

12c+

1ca+

1ab，当且仅当a=b=c时等号成立.8.已知a、b、c、d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd＞1.求证：a、b、c、d中至少有一个是负数.证明：假设a、b、c、d都是非负数，∵a+b=c+d=1，∴（a+b）（c+d）=1.∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd.这与ac+bd＞1矛盾.所以假设不成立，即a、b、c、d中至少有一个负数.●思悟小结

1.综合法就是“由因导果”，从已知不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证的结论.2.分析法就是“执果索因”，从所证不等式出发，不断用充分条件替换前面的不等式，直至找到成立的不等式.3.探求不等式的证法一般用分析法，叙述证明过程用综合法较简，两法结合在证明不等式中经常遇到.4.构造函数利用单调性证不等式或构造方程利用“Δ≥0”证不等式，充分体现相关知识间的联系.●教师下载中心 教学点睛

1.在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手时，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程，以适应学生习惯的思维规律.有时问题证明难度较大，常使用分析综合法，实现两头往中间靠以达到证题目的.2.由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以在教学中，不等式的证明除常用的三种方法外，还需介绍其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法（特别是三角换元）、放缩法以及数学归纳法等.拓展题例

【例1】 已知a、b为正数，求证：

（1）若a+1＞b，则对于任何大于1的正数x，恒有ax+（2）若对于任何大于1的正数x，恒有ax+

xx1xx1＞b成立；

＞b成立，则a+1＞b.分析：对带条件的不等式的证明，条件的利用常有两种方法：①证明过程中代入条件；②由条件变形得出要证的不等式.证明：（1）ax+xx1=a（x－1）+

1x1+1+a≥2a+1+a=（a+1）2.∵a+1＞b（b＞0），22∴（a+1）＞b.（2）∵ax+而ax+xx1xx1＞b对于大于1的实数x恒成立，即x＞1时，［ax+

1x1xx1］min＞b，=a（x－1）+

1+1+a≥2a+1+a=（a+1）2，1a当且仅当a（x－1）=故［ax+xx1x1，即x=1+＞1时取等号.］min=（a+1）2.则（a+1）2＞b，即a+1＞b.评述：条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除.【例2】 求证：|ab|1|ab|≤

|a|1|a|+

|b|1|b|.x剖析：|a+b|≤|a|+|b|，故可先研究f（x）=证明：令f（x）=

x1x1x（x≥0）的单调性.（x≥0），易证f（x）在［0，+∞）上单调递增.|a+b|≤|a|+|b|，∴f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），即|ab|1|ab|≤|a||b|1|a||b|=

|a|1|a||b||b|1|a||b|≤

|a|1|a||b|1|b|.思考讨论

1.本题用分析法直接去证可以吗? 2.本题当|a+b|=0时，不等式成立； 当|a+b|≠0时，原不等式即为

111|ab|≤

|a|1|a||b|1|b|.再利用|a+b|≤|a|+|b|放缩能证吗?读者可以尝试一下!