第一篇：2.3一元二次方程的应用教案
2．3一元二次方程的应用（1）教案
一、教材分析
1、教材地位和作用
本节课是浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程》的内容，这是一个理论联系实际的好教材，充分体现了数学的应用价值。之前，学生已学习了一元二次方程的概念、解法，已初步具有了应用波利亚解题表列一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等解应用题的能力，本节课将进一步学习问题解决的方法与步骤，它是前一部分知识的应用与巩固，也为今后学习二次函数等知识奠定基础。学好本节知识，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，逻辑思维能力、信息迁移能力以及数学方法的应用能力等。
2、教学目标
数学教学应以学生的发展为本，培养能力为重，综上分析及教学大纲要求，本课时教学目标制定如下：
知识目标：会分析实际应用问题中的数量关系，找出等量关系，并列一元二次方程解应用题；
能力目标：联系实际，经历“问题情境-----建立模型------求解-------解释与应用”的过程，培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问题、解决问题的能力;
情感目标：结合实践与探索，培养学生合作互助的精神，体验探索成果的喜悦.3、教学重点和难点
由于本节内容涉及的实际应用问题都是通过列一元二次方程解决的，所 以确定教学重点是列一元二次方程解应用题。要列出一元二次方程的关键是找出等量关系，从实际问题中挖掘出相等关系需要较强的联系实际能力、分析能力，因此本节的教学难点是寻找等量关系列方程，例2涉及的是现实生活中的增长率问题，数量关系复杂，学生不容易理解，它是教学的又一难点。
二、教学方法与手段：
本节课利用多媒体辅助教学，扩大课堂容量，提高课堂效率。根据教材内容和学生的认知特点，采用边分析、边讨论，层层设疑、讲练结合的启发式教学方法，例题选择由浅入深，从学生熟悉的实际问题开始，将实际问题“数学化”，建立方程模型，引导学生自主探索、发现、归纳，充分调动学生的积极性和主动性。
三、学法指导： “素质教育”要求学生由“学会”转为“会学”，正确的学法指导是实现这一转化的重要手段，根据本节课的内容特点及学生的心理特征，在学法上，极力倡导新课程的自主探究、合作交流的学习方法。通过创设丰富的实际背景，使数学回到生活，鼓励学生积极思考，勇于钻研，敢于创新，产生强烈的求知欲。
四、教学程序：
1.创设情境，提出问题
创设学生感兴趣的问题情境，使学生能够置身于问题情境中，在生动活泼的环境下积极思考，解决问题：
古时候，一个农夫拿者一根竹竿进城，可是竖着拿，竹竿比城门高3尺，横着拿，竹竿比城门宽6尺，进不去，结果沿着城门的两个对角斜着拿，刚好进去，聪明的同学，你知道竹竿有多长吗？
为了让学生能更清楚地理解题意，创设了以下几个阶梯性小问题：
设竹竿为x尺，则（1）城门高________尺；
（2）城门宽________尺；
（3）城门的高、宽、两个对角之间的长度满足什么关系？
通过引例，引导学生回顾总结列方程解应用题的基本步骤，在新旧知识之间 构建桥梁，让学生明确应用方程、不等式或函数解决实际应用问题时关键是以下三个步骤：①设元；②用字母表示相关的量；③列关系式 2.例练应用，解决问题
列一元二次方程解应用题在现实生活中有着广泛的应用，学生普遍认为列方程解应用题难，其原因之一是题目阅读量大，数量多，关系比较复杂且隐蔽，所以在教学时首先应让学生消除畏难情绪，说明题目的一部分是背景材料，最后的一部分往往和设元有关，核心部分就是数量之间的关系。接着出示例1：
某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株? 为了让学生能比较清楚地理解题目中的数量关系，设置以下问题：
（1）若每盆增加1株，此时每盆花苗有（3+____）株，平均单株盈利为（3－0.5×____）元
（2）若每盆增加2株，此时每盆花苗有（3+____）株，平均单株盈利为（3－0.5×____）元
（3）若每盆增加x株，此时每盆花苗有（3+____）株，平均单株盈利为（3－0.5×____）元
（4）每盆盈利=____________×________________ 然后引导学生完成例1 为了开阔学生的思路，遇到问题能举一反
三、触类旁通，又将例1进行适当改编，组织学生以学习小组为单位，分组合作、交流讨论：
某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加2株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到11元,每盆应该植多少株? 设置以下问题：
（1）若每盆增加2株，此时每盆花苗有（3+___）株，平均单株盈利为（3－0.5×___）元（2）若每盆增加4株，此时每盆花苗有（3+___）株，平均单株盈利为（3－0.5×___）元（3）若每盆增加x株，此时每盆花苗有（3+___）株，平均单株盈利为（3－0.5×___）元
为了及时巩固知识，促使学生对知识的理解，在例1的基础上改变问题的实际背景，出示如下练习：
春节期间，杭州某旅行社为吸引市民组团去风景区旅游，推出如下收费标准： 如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元。某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给该旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？
通过例
1、练习几个不同背景却同一模型的问题学习，使学生掌握了怎样列一元二次方程解决生活中这一类问题，知识结构的形成不是依赖于教师的概括、抽象、灌输，不是“回忆”教师的解题套路，而是依靠学生感性认识的积累，让学生自己去分析，从而变“学会”为“会学”，使学生真正成为学习的主人，而不是知识的奴隶。通过对比，学生对于列方程解应用题的一般步骤中的“检验”也有了更深刻的理解，同时让学生感受到知识源于实践又作用于实践，体验到了数学的价值，同时也突出了课题的重点。沿着数学知识结构的逐步攀升，引导学生搜索现实生活中与增长率有关的 问题，并设置了下列问题，引起学生的积极思维：(1)春节过后，许多服装都降价处理，一件皮衣原售价2000元，第一次下降10%，下降后售价__________________元，由于天气逐渐转暖，为了减少库存，第二次又下降了20%，此时售价_________________________ 元。（只需写出算式）
(2)近几年，丽水的社会经济发展迅速，据抽样调查统计显示，2000年城镇居民可支配收入为a元，以后逐年上升，每年增长的百分率约为8%，那么
2001年城镇居民可支配收入为 _________________元； 2002年城镇居民可支配收入为__________________元； 2003年城镇居民可支配收入为__________________元； „„
2010年城镇居民可支配收入为__________________元； 经过n年后城镇居民可支配收入为__________________元；
（给出原始量、增长率（降低率）、变化次数、后来量之间的关系，让学生自己归纳并给出公式，只有他们自己发现的才是最有用的，也让学生体验成功的喜悦，进一步激发学习兴趣）
(3)某药品原售价10元/盒，经两次降价后为5元/盒，已知两次降低的百分率一样都为x，则可列方程得_____________（学生的错误可能会是：10（1－2x）=5）
上述三个问题分别从数、式、方程三个不同的方面对增长率（降低率）进 行了理解，也使学生明确了要解决增长率（降低率）问题，必须弄清楚基准，第二个问题中得出的一般式为高中的后继学习作好准备。有了上述三个问题作铺垫，接着讲解例2，截止到2000年12月31日，我国的上网计算机总数为892万台；截止到2002年12月31日，我国的上网计算机总数以达2083万台.（1）求2000年12月31日至2002年12月31日我国的上网计算机台数的年平均增长率（精确到0.1%）.（2）上网计算机总台数2001年12月31日至2003年12月31日的年平均增长率与2000年12月31日至2002年12月31日的年平均增长率相比，哪段时间年平均增长率较大？
确定例2是本节的一个教学难点，是因为
（1）对题意理解的困难。需将实际问题数学化，这是数学建模思想的体现；（2）信息转化的困难。要将统计图的信息转化为数量，这是数形结合的思想；（3）关系式确定的困难。要正确理解年平均增长率的含义。
（4）解方程的困难。本例的方程用直接开平方法解才是最简便易行的。基于上述原因，本例采用低起点、小步子的办法分散难点，问题设计由易到难，循序渐进，学生就比较容易理解，例2（1）设置以下问题：
(1)若设年平均增长率为x,你能用含x的代数式表示2001年的台数吗?2002年呢？(2)已知2002年的台数是多少?(3)据此,你能列出方程吗? 例2（2）让学生思考：
(1)已知哪段时间的年平均增长率?(2)需要求哪个时间段的年平均增长率? 师生共同完成例2，进一步突出课题重点，深层次激发学生的学习积极性。
五、设计说明：
列方程解应用题是初中数学的一大难点，关键是通过问题情境建立模型，然后在问题的广度、深度上下工夫。本节课我首先创设学生感兴趣的问题情境，激发学生学习积极性，引出用方程解决问题的基本思想和方法。例1是典型的市场营销问题，我通过三个不同背景却同一模型的例子（即多题一解）让学生学会如何分析、解决这一类问题；对于例2的处理，我首先设置相对简单的、学生能解决的问题，然后由浅入深，逐步深入，从数、式、方程三个不同层面让学生理解了增长率（降低率）问题，达到教学目的。
第二篇：一元二次方程应用2010
1、（2009烟台市）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
2、(2009武汉)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？
3、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.（2）增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量达到60400个?
4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请售答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过1000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
5、某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；
6、（2009年贵州省黔东南州）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。
（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2
间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式。
（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式。
7、（2009年甘肃庆阳）（8分）某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？
（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？
8、(2009年湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.（1）若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.9.建造一个面积是140平方米的仓库，要求其一边靠墙，墙长16米，在与墙平行的一边开一道２米宽的门。现人32米长的材料来建仓库，求这个仓库的长是多少米？
10、如图在△ABC中，∠B是直角，AB=6厘米，BC=12厘米。点P从A点开始，沿AB方向以每秒1厘米的速度移动，同时点Q从点B开始，沿BC方向以每秒厘米移动。问几秒时△PBQ的面积等于8平方厘米？
11．（2009年甘肃庆阳）若关于x的方程x2
2xk10的一个根是0，则k．
12.、（2009威海）若关于x的一元二次方程x2
(k3)xk0的一个根是2，则另一个根是______．、（2009山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价P 13由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是．
第三篇：教案一元二次方程的应用
教案19.5一元二次方程的应用
（沪科版八年级下一元二次方程的应用教案）
教学目标； 知识与技能，1.使学生学会列一元二次方程解应用题的方法。
2.掌握增长率问题建立数学模型的方法，并利用它解决一些具体问题．
过程与方法，通过具体实例的抽象概括过程。进一步向学生渗透把未知转化为已知的化归思想。培养学生的分析问题和解决问题的能力。发展学生的抽象思维能力。
情感态度与价值观，通过具体实例的分析，思考，与合作学习。培养学生应用知识分析问题，解决问题的能力和良好的学习习惯。
教学重点：
正确分析应用题的题意，列出一元二次方程。
教学难点：
分析问题，建立正确的数学模型。
教学方法：讲练结合，教学过程:
一，温故知新。
1，一元二次方程有哪几种解法？
2，看18.1节中的问题2，（见课本P37）
二：探索新知;
3，问题1：一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数 的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两 位数的乘积为736，求原来的两为数。
分析 ：多位数的表示方法：
两位数：（十位数）乘以10+个位数字
三位数：（百位数）乘以100+（十位数）乘以 10+个位数字
… …
本题是属于数字问题，题中的等量关系比较明显：新两位数乘以 原来的两位数=736，正确列出方程的关键是熟练掌握用字母表示两位数的方法。
解：设原来两位数的十位数字为x，则个位数字为(5-x),根据题意::得[10x+(5-x)] [10(5-x)+x]=736
整理，得x2-5x+6=0,解得;x1=2,x2=3
当x=2时，5-x=3,符合题意，原来的两位数是23
当x=3时，5-x=2,符合题意，原来的两位数是32
4.练一练
（1）、两个数的差是4，这两个 数的积是96，求 这两个数.（2）、已知两个连续奇数的平方和等于74，求这两个数.（3）、有三个连续整数，已知最大数与最小数的积比中间数的5倍小1，求这三个数.5.问题2：课本 P37例2（让学生交流学习后再讲解）
6.练一练，（一）某储蓄 所第一季度收到的 存款额是150万元，第三季度上升到216万元，且每个季度的增长率相同。
（1）求每个季度的增长率是多少？
（2）该储蓄所第二季度收到的存款额多少万元？
分析：增长率问题中基本关系是：原来的部分乘以（1+增长率）=增长后的部分。
若连续两次增长率相同，设起始量为a，增长率为x，则:
第一次增长后的数值为 ,a(1+x)，第 二次增长后的数值为,a(1+x)(1+x)= a(1+x)2
解：设每个季度的增长率是x，则150（1+x）2•=216
解得：x1=-2.2（不合题意，舍去），x2=0.2=20%
答：（略）
提示： 本题中第一次出现舍根的情况，解方程所得的根，如果与实际问题不相符，就要舍去。
（二）： 某种产品，计划两年后使成本降低36％，平均每年降低的百分率是多少？
解：设这种产品的下降率是x，起始量为a，则
a(1-x)2 = 36%a
解得：x1=1.6（不合题意，舍去），x2=0.4=40%
答：（略）
分析：下降率或降低率可理解为增长率为负值（-x)，同理，若连续两次的下降率相同，设起始量为a，下降率为x，则
第一次下降后的数值为：a(1-x)，第 二次下降后的数值为：a(1-x)(1-x)= a(1-x)2
三，课堂小结
本节学习了列一元二次方程解应用题的一般方法步骤即，审、设、列、解、验、答。重点是，审题，找等量关系。
四，板书设计；（略）
五，布置作业
课本P38 第1、2、3题
第四篇：一元二次方程应用
1．（2011•黑龙江）我市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动．部分同学进入了半决赛，赛 制为单循环形 式（即每两个选手之间都赛一场），半决赛共进行了 6 场，则共有 人进入半决赛． 2．（2007•防城港）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 21 场比赛，应 邀请 个球队参加比赛
3．（2010•毕 节 地 区）毕 业 之 际，某 校 九 年 级 数 学 兴 趣 小 组 的 同 学 相 约 到 同 一 家 礼 品 店 购 买 纪 念 品，每 两 个 同 学 都 相 互 赠 送 一 件 礼 品，礼 品 店 共 售 出 礼 品 30 件，则 该 兴 趣 小 组 的 人 数 为（A． 5人 B． 6人 C． 7人 D． 8人）
4.握手问题
5.数字问题
6.（2013•珠海）某渔船出海捕鱼，2010 年平均每次捕鱼量为 10 吨，2012 年平均每次捕鱼量为 8.1 吨，求 2010 年-2012 年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率． 7.天收到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100 元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率 相同，求捐款 增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 8（2013•襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 9.（2013•来宾）某商场以每件 280 元的价格购进一批商品，当每件商品售价为 360 元时，每月可售 出 60 件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价 1 元，那么商场每月就可以多售出 5 件．（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多 少元？ 10.（2013•泰安）某商店购进 600 个旅游纪念品，进价为每个 6 元，第一周以每个 10 元的价格售出 200 个，第二周若按每个 10 元的价格销售仍可售出 200 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销 售（根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 50 个，但售价不得低于进价），单价降低 x 元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4 元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品 共获利 1250 元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 11（2013•连云港）小林准备进行如下操作实验；把一根长为 40cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各 围成一个正方形． 2（1）要使这两个正方形的面积之和等于 58cm，小林该怎么剪？ 2（2）小峰对小林说： “这两个正方形的面积之和不可能等于 48cm ． ”他的说法对吗？请说
第五篇：一元二次方程应用
一.增长率问题：例如经济增长率、人口增长率等。讨论的是两轮（即两个时间段）的平均变化率，设平均增长率为X，则有下列关系：变化前的数量×（1+X）2=变化后的数量。
1.向阳村2001年的人均收入是1200元，2003年的人均收入是1452元，求人均收入的年平均增长率。
2.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200千克，2003年平均每公顷产8450千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率。
3.某银行经过最近的两次降息，使一年期的存款利率由2.25%降至1.98%，平均每次降息的百分率是多少？
4.某工厂第一季度的总产值是500万元，已知一月份的产值是150万元，二、三月份的平均增长率相同，求二、三月份的平均增长率。
二．握手、签合同、赠送礼物等问题：（1）1X(X-1)=a(2)X(X-1)=a。2
1.参加一次聚会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次，有多少人参加聚会？
2.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
3.参加一次足球联赛的每两队都进行了两场比赛，共比赛90场，共有多少个队参加比赛？
4.元旦同学之间相互赠送贺卡，一共使用了150张贺卡，问有多少名同学参加此次活动？
三． 细胞分裂、信息传播、传染病扩散、树木分支等问题。
（1）1+X+X(1+X)=a,1+X+X2=a。
1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一人传染了几人？
2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
四．图形问题
1.一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相等，求这块台布的长和宽。
2.要为一幅长29厘米，宽22厘米的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应为多少？
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