第一篇：第十三章 全等三角形全章教案（共）
www.xiexiebang.com 第13章 全等三角形
13.1 全等三角形
教学目标
①通过实例理解全等形的概念和特征，并能识别图形的全等.②知道全等三角形的有关概念，能正确地找出对应顶点、对应边、对应角；掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质.③能运用性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题.④通过两个重合的三角形变换其中一个的位置，使它们呈现各种不同位置的活动，让学生从中了解并体会图形变换的思想，逐步培养学生动态的研究几何图形的意识.教学重点与难点
重点：全等三角形的有关概念和性质.难点：理解全等三角形边、角之间的对应关系.教学准备
复写纸、剪刀、半透明的纸、多媒体课件(几个重要片断中使用)等.教学设计
问题情境
1.展现生活中的大量图片或录像片断.片断1：图案.注：丰富的图形容易引起学生的注意，使他们能很快地投入到学习的情境中.片断2：一幅漂亮的山水倒影画，一幅用七巧板拼成的美丽图案.片断3：教科书第90页的3幅图案.2.学生讨论：
(1)从上面的片断中你有什么感受?(2)你能再举出生活中的一些类似例子吗? 注：它反映了现实生活中存在着大量的全等图形.图片的收集与制作 1.收集学生讨论中的图片.2.讨论(或介绍)用复写纸、手撕、剪纸、扎针眼等制作类似图形的方法.注：对学生进行操作技能的培训与指导.www.xiexiebang.com 注：目的是使学生在操作的过程中理解全等三角形的概念，发展空间观念.鼓励学生根据全等三角形的概念和性质，通过观察、尝试找到分割的方法，并可用分出来的图形是否重合来验证所得的结论.随堂练习
注：检查学生对本节课的掌握情况.1.全等用符号__表示.读作__.2.△ABC全等于三角形△DEF，用式子表示为__.3.△ABC≌△DEF，∠A的对应角是∠D，∠B的对应角∠E，则∠C与__是对应角；AB与__是对应边，BC与__是对应边，AC与__是对应边.4.判断题：
(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等.()(2)全等三角形的周长相等.()(3)面积相等的三角形是全等三角形.()(4)全等三角形的面积相等.()5.找出由七巧板拼成的图案中的全等三角形.小结提高
1.回忆这节课：在自己动手实际操作中，得到了全等三角形的哪些知识? 注：对于学生的发言，教师要给予肯定的评价.2.找全等三角形对应元素的方法，注意挖掘图形中隐含的条件，如公共元素、对顶角等，但公共顶点不一定是对应顶点；
3.在运用全等三角形的定义和性质时应注意规范书写格式.布置作业
1.必做题：教科书92页习题13.1第1题，第2题，第3题.2.选做题：教科书92页习题13.1第4题.3.备选题：
(1)如下图，一栅栏顶部是由全等的三角形组成的，其中AC=0.15m，BC=2AC，求BD的长.第(1)题
第(2)题
www.xiexiebang.com 13.2 三角形全等的条件(1)教学目标
①经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.②掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性.③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.教学重点与难点
重点：指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.难点：三角形全等条件的探索过程.教学设计
复习过程，引入新知
多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等.反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等.注：在教师引导下回忆前面知识，为探究新知识作好准备.创设情境，提出问题
根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢? 注：问题的提出使学生产生浓厚的兴趣，激发他们的探究欲望.组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳.注：对学生提出的解决问题的不同策略，要给予肯定和鼓励，以满足多样化的学生需要，发展学生的个性思维.建立模型，探索发现
出示探究1，先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'满足上述条件中的一个或两个.你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗? 注：学生动手操作，通过实践、自主探索、交流，获得新知，同时也渗透了分类的思想.让学生按照下面给出的条件作出三角形.(1)三角形的两个角分别是30°、50°.(2)三角形的两条边分别是4 cm，6 cm.(3)三角形的一个角为30°，一条边为3 cm.www.xiexiebang.com ①以A为圆心画弧，分别交角的两边于点B和点C；
②分别以点B、C为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点D； ③画射线AD.AD就是∠BAC的平分线.你能说明该画法正确的理由吗?(2)如图四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试.注：培养学生良好的学习习惯，巩固所学的知识，作业2是让学生对所学知识进行延伸和应用，满足不同层次学生的不同要求.设计思想
对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步，它是两个三角形间最简单、最常见的关系.它不仅是学习后面知识的基础，并且是证明线段相等，角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据.因此在本课时的教学设计中，充分利用教科书提供的素材和活动，鼓励学生通过画图、比较、推理、交流等过程，在条件由少到多的过程中逐步探索出最后的结论.在这个过程中，学生不仅得到了两个三角形全等的条件，同时体会了分析问题的一种方法，积累了数学活动的经验.学生通过前面的学习已了解了图形的全等的概念及特征，掌握了全等图形的对应边、对应角的关系，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备.因此为了使学生更好地掌握这一部分内容，遵循启发式教学原则，用设问形式创设问题情境，设计一系列的活动，引导学生经历从现实世界抽象出几何模型和运用所学内容，解决实际问题的过程，真正把学生放到主体位置，同时培养学生有条理的思考、表达和交流的能力.并且在直观操作的基础上，将直观与简单推理相结合，注意学生推理意识的建立和对推理过程的理解，能运用自己的方式有条理的表达推理过程，为以后的证明打下基础.www.xiexiebang.com 性质，体验数学来源于实践，又服务于实践的思想，同时使学生进一步熟悉推理论证的模式，进一步完善学生的证明书写.让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据.(若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析：
要想证AB＝DE,只需证△ABC≌△DEC，△ABC与△DEC全等的条件现有„„还需要„„)注：明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决.再次探究，释解疑惑
出示探究4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么? 让学生模仿前面的探究方法，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.注：让学生思考、交流、探讨，通过学生之间的交流、探讨活动，培养学生的协作精神，同时也释解心中的疑惑.教师演示：方法(一)教科书98页图13.2-7.方法(二)通过画图，让学生更直观地获得结论.巩固练习
教科书第99页，练习(1)(2).注：教给学生寻找全等条件的方法，完善学生全等的证明书写.小结
1.判定三角形全等的方法；
2.证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述，其他学生补充，让学生自己将知识系统化，以自己的方式进行建构.注：通过课堂小结，归纳整理本节课学习的内容，帮学生完善认知结构，形成解题经验.作业
1.必做题：教科书第104页，习题13.2第3、4题.注：让学生巩固所学知识，注意学生能力的发展.2.选做题：教科书第105页第10题.3.备选题：
www.xiexiebang.com 13.2 三角形全等的条件(3)教学目标
①探索并掌握两个三角形全等的条件：“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等.②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维.③敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难.教学重点与难点
重点：理解、掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”.难点：探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用.教学设计
创设情境
1.复习(用课件演示)(1)作线段AB等于已知线段a，(2)作∠ABC，等于已知∠α
(课件出示题目，让学生回顾作图方法，用课件演示.)
注：复习旧知，为探究“ASA”中的作△A'B'C'作好知识铺垫，让学生在知识上做好衔接.2.引人
师：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些? 生：“SSS”“SAS”
师：那除了这两个条件，满足另一些条件的两个三角形是否也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的另一些条件.注：复习判别两个三角形全等的两个条件，提出判别全等的新问题，激发学生探究的欲望，提高学习的积极性.探究新知
1.师：我们先来探究第一种情况.(课件出示“探究5„„”)(1)探究5 先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使A'B'=AB，∠A'=∠A，∠B'=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?
www.xiexiebang.com 生独立思考，探究„„再小组合作完成.注：留给学生充分思考的时间.师：你是怎么证明的?(让小组派代表上台汇报)小组1：„„
小组2：„„投影仪展示学生证明过程(根据学生的不同探究结果，进行不同的引导)注：让学生上台汇报，创设学生展示自己探究成果的机会，获得成功的体验，激发再次探究的热情.师：从这可以看出，从这些已知条件中能得出两个三角形全等.这又反映了一个什么规律? 生1：两个角和其中一条边对应相等的两个三角形全等.生2：在“ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”，而这里，“边”可以是“其中一个角的对边”.强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边”.师：非常好，这里的“边”是“其中一个角的对边”.那怎样更完整的表述这一规律? 生1：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.多让几个学生描述，进一步培养归纳、表达的能力.师：生1很好，这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS”，又增加了判定两个三角形全等的一个条件.3.例3 师：下面我们看用“ASA”、“AAS”能否解决一些问题.(课件出示例3)让学生自己看题、审题.师：根据已知条件，能得出什么?又联系所求证的，该如何证明?(先独立探究，再与同桌或四人小组交换意见，再全班交流)注：留给学生较充分的独立思考、探究的时间，在探究过程中，提高逻辑推理能力.师：说说你的证明方法.(让学生上台讲解)生1：„„ 生2：„„
根据学生的回答，教师板书(注意，条件的书写顺序)„„ 与学生一起回顾证明方法，逐步培养反思的习惯，形成理性思维.师：从这道例题中，我们又得出了证明线段相等的又一方法，先证两线段所在的三角形全等，这样，对应边也就相等了.3
www.xiexiebang.com 设计思想
1.在几个探究中，设计了“自主探究——合作交流”的主体形式，目的是先给学生独立思考的时间，提供给学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，让自己的观点与别人的观点相互碰撞与补充，共同解决一些困难，从而培养学生独立探究的能力、创新能力、相互交流与合作的能力.2.经历探究、发现规律之后，均安排了学生用自己的语言归纳与表达的环节.这是因为学生的归纳整理、表达能力的提高并非是一蹴而就的，而是一个循序渐进的过程.因此，我们在每堂课中都应予以重视，并积极鼓励，让学生大胆表达.3.在探究出新知识，或解决了一个问题后，引导学生及时对知识或方法进行回顾总结.目的是让学生及时把新知识纳入已有的知识结构，从而构建更完整、更有效的知识体系，并可以逐步培养学生反思的习惯，获得更好的学习方法，也养成理性的思维习惯.5
www.xiexiebang.com 2.师：好，现在不要求马上给出结论.看看，通过动手探究，你是否能得出结论.直角三角形我们用Rt△表示.3.探究8：
任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°，再画一个Rt△A'B'C'，使B'C'=BC，A'B'=AB，把画好的RtΔA'B'C'剪下，放到Rt△ABC上，看看它们是否全等.(课件出示题目，师生一起看题)生：(独立探究，动手作图)师：遇到不能解决的问题，可提问或由四人小组解决.注：培养学生的分析、作图能力.师：(看大部分同学已画好)现在请同学把自己的画法与这里出现的画法比较一下，你是否也是这样画的?(课件出示画法，出示一步画一步)画法直接由教师给出，而不安排学生画出，是考虑学生反映画图有一定的难度，况且作图不是本节课的重点.师：画好后，把Rt△A'B'C'剪下，放到Rt△ABC上，看它们全等吗? 生：全等.师：非常好.我们这样画的Rt△与原来的Rt△是全等的，这反映了一个什么规律?(先让学生同桌互相说说，再全班交流)生1：„„
生2：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.注：让学生表述，培养归纳、表达能力，并能进一步理解“HL”这一条件.师：说得非常好.这规律，我们可以简写成“斜边，直角边”或“HL”，这是不同于一般全等三角形的判定方法.4.例4 师：接着我们看看，“HL”能有哪一些应用?(课件出示例4)师：结合图形，自己先分析一下已知条件和求证.生：(读题、思考)„„(少数学生能很快得出方法)注：自己读题、审题，先独自证明,培养学生独自面对困难的勇气和信心.师：从这些已知条件中，我们能发现什么?结合所求证的，你又能发现什么?(留时间让生思考)„„
www.xiexiebang.com 设计思想
1.规律的探究，例题的学习，让学生独立思考，自主探究得出.这体现了学生主体性原则.并在探究之后，让学生相互交流，或上台展示自己的成果，让学生获得成功的体验，激发再次探究的热情.2.“授人以鱼，不如授之以渔”.掌握学习方法，能更有效的学习；掌握解题技巧，能更好的解题.本堂课中，把握机会，注重引导学生对知识、对学习方法、对解题技巧及时的小结，也积累更多的学习经验；并且长此以往，能逐渐养成反思的习惯，培养理性思维.9
www.xiexiebang.com 5.看一看：多媒体课件动态演示1(可用“几何画板”制作)，当拖动∠AOB平分线OC上的点P时，观察PM、PN(PM⊥OA，PN⊥OB)度量值的变化规律，发现：PM=PN，即“在角平分线上的点到角的两边的距离相等”的事实；
注：课件的演示，既激发学生的学习兴趣，而且让学生对角平分线性质有了形象、直观的认识.6.折一折：
按教科书108页“探究”题的要求，让学生分组折纸，验证上面的事实，并利用三角形全等知识进行解释；在已有成功经验的基础上，继续探究与应用，提升分析解决问题的能力并增进运用数学的情感体验.7.试一试：
多媒体课件动态演示2，当拖动∠AOB内部的点P时，在保持PM=PN(PM⊥OA，PN⊥OB)的前提下，观察点P留下的痕迹，发现：射线OP是∠AOB的平分线，要求学生利用三角形全等知识进行解释；
注：在说理的过程中加深对角平分线性质；判定定理的理解.8.给出角平分线的性质和判定定理.解析、应用与拓展 1.解决教科书108页思考题
分析：把公路、铁路看成两条相交线，先作其交角的平分线OB(O为顶点)，再在OB上作OS，使OS=2.5cm，点S即为所求.2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离为多少? 注：发展学生应用数学的意识与能力.3.能用尺规作出一个45°的角吗? 注：只要作法合理，均应给予肯定.1
www.xiexiebang.com 13.3 角的平分线的性质(2)教学目标
①能够利用角平分线的性质和判定进行推理和计算，解决一些实际问题.②进一步发展学生的推理证明意识和能力.③结合实际，创造丰富的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获得成功的体验，培养学生的探索精神，树立学习的信心.教学重点与难点
重点：角平分线性质和判定的应用.难点：运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题.教学准备
三角形纸及多媒体课件.教学设计
创设情境，提出问题 播放多媒体课件.课件背景资料选自教科书第115页第6题.注：通过有趣的问题引入，激发学生的学习积极性.讨论交流，探究问题 1.学生活动一：
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的平分线，观察这三条角平分线，你发现了什么?与同伴进行交流.2.学生活动二：
画一个三角形，利用尺规作出这个三角形三个内角的平分线.你是否也发现了同样的结果?与同伴进行交流.通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论，教师要有足够的耐心，要为学生的思考留有时间和空间.注：教师针对学生的讨论情况，进行点评，引导分析，渗透数学建模的思想，达成共识后得到结论：
三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等.建立模型，解决问题
www.xiexiebang.com 要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有：()A.一处 B.两处 C.三处 D.四处 分析：如下图此题可以用教科书115页第6题的方法来解决，但没有“三条公路围成的一块平地上修建”的限制，因此满足要求的地址共有四处，应选D.注：重视培养学生思维的广阔性，鼓励学生积极思考，勇于探索.小结归纳
今天你又学到了哪些新的知识?有什么收获? 注：发挥学生的主体意识，培养学生的归纳能力.布置作业
1.必做题：教科书第110页习题13.3第3、5题.2.选做题：
(1)教科书111页习题13.3第6题.(2)与相交的两条直线距离相等的点在：()A.一条直线上 B.两条互相垂直的直线上 C.一条射线上 D.两条互相垂直的射线上
3.备选题：
(1)如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，下面给出四个结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等，其中正确的结论有：()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个(2)任意作一个钝角，求作它的角平分线.设计思想
本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，体现了数学学习的必然性.教学始终围绕着问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，而后设计了第一个学生活动——折纸，让学生体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出了进一步的猜想，紧接着推出了第二个学生活动——尺规作图，以达到复习旧知和再次验证猜想的目的，猜想是否正确?还得进行证明，从而激发了学生
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评价建议与测试题
I、评价建议
1.关注学生在本章数学学习活动中全等三角形概念的建立和探究三角形全等的条件的过程。
2.对知识与技能的评价应侧重于在三角形全等的判定、性质和角的平分线性质的运用上，同时还要有一定的数量的实际问题.3.在掌握知识的同时，关注学生在观察、思考、探究、交流活动中主动参与的程度以及交流的意识.例如：设计一些开放性，探究性的问题，写心得体会，通过交流进行评价.II、测试题(时间：45分钟，满分100分)
一、选择题(每小题4分，共20分)1.如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点，如果AB＝6cm，BD＝5cm，AD=4cm，那么BC的长是()(A)4 cm(B)5 cm(C)6 cm(D)无法确定
(第1题)
(本题意在考查全等三角形对应边的确定和全等三角形的性质(对应边相等).)
2.如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于()(A)120°(B)70°(C)60°(D)50°
(第2题)
(本题意在考查全等三角形对应角的确定和全等三角形性质对应角相等.)
3.使两个直角三角形全等的条件是()(A)一锐角对应相等(B)两锐角对应相等(C)一条边对应相等(D)两条边对应相等
(本题意在考查用“SAS”判定两个三角形全等和用“HL”判定两个直角三角形全等的方法.)
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8.如图，∠1=∠2，要使△ABC≌△ACE，还需添加一个条件是_____(填上你认为适当的一个条件即可).(本题具有开放性，属条件开放题，考查三角形全等判定的知识；思维发散能力和思维的全面性.)
(第8题)
9.如图，AC⊥BD于O，BO=OD，图中共有全等三角形__对.(本题意在考查判定三角形全等条件的综合运用、全等三角形的性质及观察能力、抽象思维能力.)
(第9题)
三、证明题(每题12分，共36分)10.如图，AC=AD，BC=BD，图中有相等的角吗?请找出来，并说明你的理由.(本题意在考查根据已知条件证明两个三角形全等；利用全等三角形证明角相等的方法.)
(第10题)
11.如图，D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠ADE=∠AED.求证AB=AC(本题意在考查寻找隐含条件，推出所需要的条件，证明两个三角形全等；并利用全等三角形证明线段相等的方法.)
(第11题)
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1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.∠B与∠D，∠AOB与∠COD；AO与CO，BO与DO，AB与CD.7.4 cm.8.∠BAE＝∠CAE或BE＝CE或∠B=∠C 9.3.10.有，它们是∠BAC＝∠BAD，∠CBA=∠DBA，∠C=∠D.提示：证明△ABC≌△ABD.11.提示：证明△ADB≌△AEC(SAS)12.提示：证明△DEB≌△DFC.13.(1)图中是通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF位置的.(2)BE＝DF，BE⊥DF.提示：延长BE交DF于G，由△ABE≌△ADF有BE=DF，∠ABE＝∠ADF.又∠AEB=∠DEG，∴∠DGB＝∠DAB＝90°.∴BE⊥DF.14.答案不唯一.例如：求河宽AB.可在平地上选取一个可直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离.1-
第二篇：全等三角形全章教案
第十二章 全等三角形 12．1 全等三角形
1．了解全等形及全等三角形的概念． 2．理解全等三角形的性质．
重点
探究全等三角形的性质． 难点
掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素．
一、情境导入
一位哲人曾经说过：“世界上没有完全相同的叶了”，但是在我们的周围却有着好多形状、大小完全相同的图案．你能举出这样的例子吗？
二、探究新知 1．动手做
(1)和同桌一起将两本数学课本叠放在一起，观察它们能重合吗？
(2)把手中三角板按在纸上，画出三角形，并裁下来，把三角板和纸三角形放在一起，观察它们能够重合吗？
得出全等形的概念，进而得出全等三角形的概念．
能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．观察
观察△ABC与△A′B′C′重合的情况．
总结知识点：
对应顶点、对应角、对应边．
全等的符号：“≌”，读作：“全等于”．
如：△ABC≌△A′B′C′.3．探究
(1)在全等三角形中，有没有相等的角、相等的边呢？
通过以上探索得出结论：全等三角形的性质． 全等三角形的对应边相等，对应角相等．
(2)把△ABC沿直线BC平移、翻折，绕定点旋转，观察图形的大小形状是否变化．
得出结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置，而不能改变图形的大小和形状． 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角．
三、应用举例
例1 如图，△ADE≌△BCF，AD＝6 cm，CD＝5 cm，求BD的长．
分析：由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边相等，找出对应边即可． 解：∵△ADE≌△BCF，∴AD＝BC.∵AD＝6 cm，∴BC＝6 cm.又∵CD＝5 cm，∴BD＝BC－CD＝6－5＝1(cm)．
四、巩固练习教材练习第1题．
教材习题12.1第1题． 补充题：
1．全等三角形是（）A．三个角对应相等的三角形 B．周长相等的三角形
C．面积相等的两个三角形 D．能够完全重合的三角形
2．下列说法正确的个数是（）①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； ③全等三角形的周长相等； ④全等三角形的面积相等．
A．
1B．
2C．
3D．4 3．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EF＝5，求∠DFE的度数与DE的长．
补充题答案： 1．D 2．D
3．∠DFE＝35°，DE＝8
五、小结与作业
1．全等形及全等三角形的概念． 2．全等三角形的性质．
作业：教材习题12.1第2，3，4，5，6题．
本节课通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中亲身体验，加深对三角形全等、对应含义的理解，即培养了学生的画图识图能力，又提高了逻辑思维能力．
12．2 三角形全等的判定(4课时)
第1课时 “边边边”判定三角形全等
1．掌握“边边边”条件的内容．
2．能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等． 3．会作一个角等于已知角．
重点
“边边边”条件． 难点
探索三角形全等的条件．
一、复习导入
多媒体展示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形的对应边相等，对应角相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．
思考：三角形的六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等吗？
二、探究新知
根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢？
出示探究1：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个．你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？
(1)三角形的两个角分别是30°，50°.(2)三角形的两条边分别是4 cm，6 cm.(3)三角形的一个角为30°，一条边为3 cm.学生剪下按不同要求画出的三角形，比较三角形能否和原三角形重合．
引导学生按条件画三角形，再通过画一画，剪一剪，比一比的方式得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．
出示探究2：先任意画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
让学生充分交流后，教师明确已知三边画三角形的方法，并作出△A′B′C′，通过比较得出结论：三边分别相等的两个三角形全等．
强调在应用时的简写方法：“边边边”或“SSS”． 实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的． 明确：三角形的稳定性．
三、举例分析
例1 如右图，△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD.引导学生应用条件分析结论，寻找两个三角形的已有条件，学会观察隐含条件． 让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．
教师引导学生作图．
已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.讨论尺规作图法，作一个角等于已知角的理论依据是什么？
教师归纳：(1)什么是尺规作图；(2)作一个角等于已知角的依据是“边边边”．
四、巩固练习
教材第37页练习第1，2题． 学生板演．
教师巡视，给出个别指导．
五、小结与作业
回顾反思本节课对知识的研究探索过程，小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．
进一步明确：三边分别相等的两个三角形全等． 布置作业：教材习题12.2第1，9题．
本节课的重点是探索三角形全等的“边边边”的条件；运用三角形全等的“边边边”的条件判别两个三角形是否全等．在课堂上让学生参与到探索的活动中，通过动手操作、实验、合作交流等过程，学会分析问题的方法．通过三角形稳定性的实例，让学生产生学数学的兴趣，学会用数学的眼光去观察、分析周围的事物，为下一节内容的学习打下基础．
第2课时 “边角边”判定三角形全等
1．掌握“边角边”条件的内容．
2．能初步应用“边角边”条件判定两个三角形全等．
重点
“边角边”条件的理解和应用． 难点
指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．
一、复习引入
1．什么是全等三角形？ 2．全等三角形有哪些性质？ 3．“SSS”具体内容是什么？
二、新知探究
已知△ABC，画一个三角形△A′B′C′，使AB＝A′B′∠B＝∠B′，BC＝B′C′.教师画一个三角形△ABC.先让学生按要求讨论画法，再给出正确的画法．
操作：
(1)把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一起吗？
(2)上面的探究说明什么规律？
总结：判定两个三角形全等的方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．
三、举例分析
多媒体出示教材例2.例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D，使CD＝CA.连接BC并延长到点E，使CE＝CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离，为什么？
分析：如果证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE.证明：在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC(SAS)． ∴AB＝DE.归纳解决实际问题的一般方法是：分析实际问题，按要求画出图形，根据图形及已知条件选择对应的方法．
四、课堂练习
如图，已知AB＝AC，点D，E分别是AB和AC上的点，且DB＝EC.求证：∠B＝∠C.学生先独立思考，然后讨论交流，用规范的书写完成证明过程．
五、小结与作业 1．师生小结：
(1)“边角边”判定两个三角形全等的方法．
(2)在判定两个三角形全等时，要注意使用公共边和公共角． 2．布置作业：教材习题12.2第3，4题．
本节课的重点是让学生认识掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法，让学生自己动手操作，合作交流，通过学生之间的质疑讨论，发现此定理中角必为夹角，从而得出“边角边”的判定方法．不仅学习了知识，也训练了思维能力，对三角形全等的判定(SAS)掌握的也好，但要强调书写的格式的规范，同时让学生感受到在证明分别属于两个三角形的线段或角相等的问题时，通常通过证明这两个三角形全等来解决．
第3课时 “角边角”和“角角边”判定三角形全等
1．掌握“角边角”及“角角边”条件的内容．
2．能初步应用“角边角”及“角角边”条件判定两个三角形全等．
重点
“角边角”条件及“角角边”条件． 难点
分析问题，寻找判定两个三角形全等的条件．
一、复习导入 1．复习旧知：
(1)三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？
三个角、三个边、两边一角、两角一边．
(2)到目前为止，可以作为判定两三角形全等的方法有几种？各是什么？
2．[师]在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，我们接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等．
二、探究新知
1．[师]三角形中已知两角一边有几种可能？
[生](1)两角和它们的夹边；(2)两角和其中一角的对边． 做一做：
三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4 cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？
学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律． 教师活动：检查指导，帮助有困难的同学．
活动结果展示：
以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等． 提炼规律：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA”)[师]我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个△ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′呢？
[生]能．
学生口述画法，教师进行多媒体课件演示，使学生加深对“ASA”的理解． [生](1)先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长；
(2)画线段A′B′，使A′B′＝AB；
(3)分别以A′，B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′，∠EB′A′，使∠DA′B′＝∠CAB，∠EB′A′＝∠CBA；
(4)射线A′D与B′E交于一点，记为C′.即可得到△A′B′C′.将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等． [师]
于是我们发现规律：
两角和它们的夹边分别相等的两三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA”)这又是一个判定两个三角形全等的条件． 2．出示探究问题：
如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝∠D＋∠E＋∠F＝180°，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴∠A＋∠B＝∠D＋∠E.∴∠C＝∠F.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(ASA)． 于是得规律：
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角角边”或“AAS”)例 如下图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求证：AD＝AE.[师生共析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中，所以要证AD＝AE，只需证明△ADC≌△AEB即可．
学生写出证明过程．
证明：在△ADC和△AEB中，∴△ADC≌△AEB(ASA)． ∴AD＝AE.[师]到此为止，在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等问题已全部结束．请同学们把两个三角形全等的判定方法作一个小结．
学生活动：自我回忆总结，然后小组讨论交流、补充．
三、随堂练习1．教材第41页练习第1，2题． 学生板演． 2．补充练习
图中的两个三角形全等吗？请说明理由．
四、课堂小结
有五种判定两个三角形全等的方法： 1．全等三角形的定义 2．边边边(SSS)3．边角边(SAS)4．角边角(ASA)5．角角边(AAS)推证两个三角形全等，要学会联系思考其条件，找它们对应相等的元素，这样有利于获得解题途径．
五、课后作业
教材习题12.2第5，6，11题．
在前面研究“边边边”和“边角边”两个判定方法的前提下，本节研究“角边角”和“角角边”对于学生并不困难，让学生通过直观感知、操作确认的方式体验数学结论的发现过程，在这节课的教学中，学生也了解了分类思想和类比思想．
第4课时 “斜边、直角边”判定三角形全等
1．探索和了解直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”． 2．会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等．
重点
探究直角三角形全等的条件． 难点
灵活运用直角三角形全等的条件进行证明．
一、情境引入
(显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
(1)你能帮他想个办法吗？
(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角(AAS)；
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA或AAS)． 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”．你相信他的结论吗？
二、探究新知
多媒体出示教材探究5.任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.想一想，怎么样画呢？
按照下面的步骤作一作：(1)作∠MC′N＝90°；
(2)在射线C′M上截取线段B′C′＝BC；
(3)以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′；
(4)连接A′B′.△A′B′C′就是所求作的三角形吗？
学生把画好的△A′B′C′剪下放在△ABC上，观察这两个三角形是否全等．
由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边、直角边”或“HL”． 多媒体出示教材例5 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD.求证：BC＝AD.证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角．
在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)． ∴BC＝AD.想一想：
你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SAS，ASA，AAS，SSS，还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL”．
三、巩固练习
如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．
学生独立思考完成．教师点评．
四、小结与作业
1．判定两个直角三角形全等的方法：斜边、直角边． 2．直角三角形全等的所有判定方法： 定义，SSS，SAS，ASA，AAS，HL.思考：两个直角三角形只要知道几个条件就可以判定其全等？ 3．作业：教材习题12.2第7题．
本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力．
12．3 角的平分线的性质
掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．
重点
角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题． 难点
灵活运用角的平分线的性质和判定解题．
一、复习导入
1．提问角的平分线的定义．
2．给定一个角，你能不用量角器作出它的平分线吗？
二、探究新知
(一)角的平分线的画法 教师出示：已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线．
然后让学生阅读教材第48页上方思考．(教师演示画图)通过对分角仪原理的探究，得出用直尺和圆规画已知角的平分线的方法，师生共同完成具体作法．
(二)角的平分线的性质
试验：(1)让学生在已经画好的角的平分线上任取一点P；(2)分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D，E；(3)测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系；
(4)再换一个新的位置看看情况怎样？ 归纳总结得到角的平分线的性质． 分析讨论PD＝PE的理由．(三)角平分线的判定
教师指出：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(1)写出已知、求证．(2)画出图形．(3)分析证明过程． 巩固应用：
解决教材第49页思考
(四)三角形的三个内角的平分线相交于一点 1．例题：教材第50页例题．
2．针对例题的解答，提出：P点在∠A的平分线上吗？ 通过例题明确：三角形的三个内角的平分线相交于一点． 练习：教材第50页练习．
三、归纳总结
引导学生小组合作交流：(1)本节课学到了哪些知识？(2)你有什么收获？
四、布置作业
教材习题12.3第1～4题．
教学始终围绕着角平分线及其性质、判定的问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考，探索问题中所包含的数学知识，让学生经历了知识的形成与应用的过程，从而更好的理解掌握角平分线的性质。发展学生应用数学的意识与能力，增强学生学好数学的愿望和信心．
第三篇：全等三角形教案
教学目标 ：
1、知识目标：
（1）熟记边角边公理的内容；
（2）能应用边角边公理证明两个三角形全等.2、能力目标：
(1)通过“边角边”公理的运用，提高学生的逻辑思维能力；
(2)通过观察几何图形，培养学生的识图能力.3、情感目标：
(1)通过几何证明的教学，使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯；
(2)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧.教学重点：学会运用公理证明两个三角形全等.教学难点 ：在较复杂的图形中，找出证明两个三角形全等的条件.教学用具：直尺、微机
教学方法：自学辅导式
教学过程 ：
1、公理的发现
（1）画图：（投影显示）
教师点拨，学生边学边画图.（2）实验
让学生把所画的 剪下，放在原三角形上，发现什么情况？（两个三角形重合）
这里一定要让学生动手操作.（3）公理
启发学生发现、总结边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）
作用：是证明两个三角形全等的依据之一.应用格式：
强调：
1、格式要求：先指出在哪两个三角形中证全等；再按公理顺序列出三个条件，并用括号把它们括在一起；写出结论.2、在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，一是已知中给出的，二时图形中隐含的（如公共边，公共角、对顶角、邻补角、外角、平角等）所以找条件归结成两句话：已知中找，图形中看.3、平面几何中常要证明角相等和线段相等，其证明常用方法：
证角相等――对顶角相等；同角（或等角）的余角（或补角）相等；两直线平行，同位角相等，内错角相等；角平分线定义；等式性质；全等三角形的对应角相等地.证线段相等的方法――中点定义；全等三角形的对应边相等；等式性质.2、公理的应用
（1）讲解例1.学生分析完成，教师注重完成后的总结.分析：（设问程序）
“SAS”的三个条件是什么？
已知条件给出了几个？
由图形可以得到几个条件？
解：（略）
（2）讲解例2
投影例2：
例2如图2，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，求证：
学生思考、分析，适当点拨，找学生代表口述证明思路
让学生在练习本上定出证明，一名学生板书.教师强调
证明格式：用大括号写出公理的三个条件，最后写出
结论.（3）讲解例3（投影）
证明：（略）
学生分析思路，写出证明过程.（投影展示学生的作业，教师点评）
（4）讲解例4（投影）
证明：（略）
学生口述过程.投影展示证明过程.教师强调证明线段相等的几种常见方法.（5）讲解例5（投影）
证明：（略）
学生思考、分析、讨论，教师巡视，适当参与讨论.师生共同讨论后，让学生口述证明思路.教师强调解题格式：在“证明”二字的后面，先将所作的辅助线写出，再证明.3、课堂小结：
(1)判定三角形全等的方法：SAS
(2)公理应用的书写格式
(3)证明线段、角相等常见的方法有哪些？
让学生自由表述，其它学生补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行建构.6、布置作业
a书面作业 P56＃
6、7
b上交作业 P57B组1
思考题：
板书设计 ：
第四篇：全等三角形教案
11．1全等三角形
教学目标：1了解全等形及全等三角形的的概念； 2 理解全等三角形的性质
在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉，学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣
重点：探究全等三角形的性质
难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角 教学过程：
观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形
问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？
这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 思考：
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
“全等”用表示，读作“全等于”
两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如ABC和DEF全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作ABCDEF
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合 的角叫做对应角
思考：如上图，11-1ABCDEF，对应边有什么关系？对应角呢？ 全等三角形性质：
全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。
思考：（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角
BCAoOADBDCACDBCDAB
（2）将ABC沿直线BC平移，得到DEF，说出你得到的结论，说明理由？
AADDEBECFBC
DC（3）如图，ABEACD,AB与AC，AD与AE是对应边，已知：A43,B30，求A的大小。
小结：
作业：P4—1，2，3
课题：11．2 三角形全等的条件(1)
教学目标
①经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程． ②掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性． ③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神． 教学难点
3
三角形全等条件的探索过程．
一、复习过程，引入新知
多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．
二、创设情境，提出问题
根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢? 组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳．
三、建立模型，探索发现
出示探究1，先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'，满足上述条件中的一个或两个．你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗? 让学生按照下面给出的条件作出三角形．(1)三角形的两个角分别是30°、50°．(2)三角形的两条边分别是4cm，6cm．(3)三角形的一个角为30°，—条边为3cm．
再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．
出示探究2，先任意画出一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗? 让学生充分交流后，在教师的引导下作出△A'B'C'，并通过比较得出结论：三边对应相等的两个三角形全等．
四、应用新知，体验成功
实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的． 鼓励学生举出生活中的实例．
给出例l，如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD．
AB
让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程． 例2 如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下： DC
①以A为圆心画弧，分别交角的两边于点B和点C；
②分别以点B、C为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点D； ③画射线AD．
AD就是∠BAC的平分线．你能说明该画法正确的理由吗? 例3 如图四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试．
ABDC
五、巩固练习
教科书第6页的思考及练习．
六、反思小结
回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．
七、布置作业
1．必做题：教科书第15页习题11．2中的第1、2题． 2．选做题：教科书第16页第9题．
课题：11.2 三角形全等的条件(2)教学目标
①经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力．
②在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理． ③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神． 教学难点
指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件． 知识重点
应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等． 教学过程（师生活动）
一、创设情境，引入课题
多媒体出示探究3：已知任意△ABC，画△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠A'＝∠A．
教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的△A'B'C'，剪下放在△ABC上，观察这两个三角形是否全等．
二、交流对话，探求新知
根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)补充强调：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边．
三、应用新知，体验成功
出示例2，如图，有—池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?
让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据．(若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析：
要想证AB＝DE，只需证△ABC≌△DEC △ABC与△DEC全等的条件现有„„还需要„„)明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决． 补充例题：
1、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE
ABCDE5
求证： △ABD≌△ACE 证明:∵∠BAC=∠DAE（已知）
∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD ∴∠BAD=∠CAE 在△ABD与△ACE AB=AC（已知）
∠BAD= ∠CAE（已证）AD=AE（已知）
∴△ABD≌△ACE（SAS)思考： 求证：1.BD=CE 2.∠B= ∠C 3.∠ADB= ∠AEC 变式1：已知：如图，AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE.求证： ⑴ △DAC≌△EAB 1.BE=DC 2.∠B= ∠ C 3.∠ D= ∠ E 4.BE⊥CD
四、再次探究，释解疑惑
出示探究4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么? 让学生模仿前面的探究方法，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．
教师演示：方法(一)教科书98页图13.2-7．
方法(二)通过画图，让学生更直观地获得结论．
五、巩固练习
教科书第9页，练习(1)(2)．
六、小结提高
1．判定三角形全等的方法；
2．证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述，其他学生补充，让学生自己将知识系统化，以自己的方式进行建构．
七、布置作业
1．必做题：教科书第15页，习题13．2第3、4题． 2．选做题：教科书第16页第10题． 3．备选题：
(1)小明做了一个如图所示的风筝，测得DE＝DF，EH＝FH，你能发现哪些结沦?并说明理由．(2)如图，∠1＝∠2，AB＝AD，AE＝AC，求证BC＝DE．
B
AMDFCE
课题： 11.2 三角形全等的条件(3)
教学目标
①探索并掌握两个三角形全等的条件：“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等．
②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．
③敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难． 教学重点
理解，掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”． 教学难点
探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用． 教学过程（师生活动）创设情境 复习：
师：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些? 生：“SSS”“SAS”
师：那除了这两个条件，满足另一些条件的两个三角形是否 也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的另一些条件。探究新知：
一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了，如图，你能制作一张与原来 同样大小的新教具？能恢复原来三角形 的原貌吗？
1．师：我们先来探究第一种情况．(课件出示“探究5„„”)(1)探究5 先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，∠A'＝∠A，∠B'＝∠B(即使两角和它们的夹边对应相等)．把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗? 师：怎样画出△A'B'C'?先自己独立思考，动手画一画。
在画的过程中若遇到不能解决的问题．可小组合作交流解决．
生：独立探究，试着画△A'B'C'，(有问题的，可以小组内交流解决„„)„„(2)全班讨论交流
师：画好之后，我们看这儿有一种画法：(课件出示画法，出现一步，画一步)你是这样画的吗? 师：把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，看看它们是否全等． 生：(剪△A'B'C'，与△ABC作比较„„)师：全等吗? 生：全等．
师：这个探究结果反映了什么规律?试着说说你的发现． 生1：我发现„„ 生2：„„
生3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． 师：这条件可以简写成“角边角”或“ASA”．至此，我们又增加了—种判别三角形全等的方法．特别应
AA'
EBDC7
注意，“边”必须是“两角的夹边”．
练习：已知：如图，AB=A’C，∠A=∠A’，∠B=∠C 求证：△ABE≌ △A’CD
例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD
ADOBCE相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。求证：BD=CE
2．探究6 师：我们再看看下面的条件：
在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗? ABCEDF
师：看已知条什，能否用“角边角”条件证明． 生独立思考，探究„„再小组合作完成． 师：你是怎么证明的?(让小组派代表上台汇报)小组1：„．
小组2：„„投影仪展示学生证明过程(根据学生的不同探究结果，进行不同的引导)师：从这可以看出，从这些已知条件中能得出两个三角形全等．这又反映了一个什么规律? 生l：两个角和其中一条边对应相等的两个三角形全等．
生2：在"ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”，而这里，“边”可以是“其中一个角的对边”．
师：非常好，这里的“边”是“其中一个角的对边”．那怎样更完整的表述这一规律? 生1：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
师：生1很好，这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS”，又增加了判定两个三角形全等的一个条件．
强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边”．
多让几个学生描述，进一步培养归纳、表达的能力．
例2．教材11页1题。
师：从这道例题中，我们又得出了证明线段相等的又一方法，先证两线段所在的三角形全等，这样，对应边也就相等了． 探究7：
(1)三角对应相等的两个三角形全等吗?(课件出示题目)师：想想，怎样来探究这个问题? 生1：„„
生2：„．
引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形”，看是否一定全等，或“用两个同一形状但大小不同的三角板”等等方法来探究说明．
师：这一规律我们可以怎样表达? 生1：„．
生2：三个角对应相等的两个三角形不一定全等．
(2)师：说得非常好．现在我们来小结一下；判定两个三角形全等我们已有了哪些方法?
生：SSS SAS ASA AAS 小结提高
师：这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究，你有什么收获? 巩固练习
教科书第11页，练习2． 布置作业
1。必做题：教科书第13页习题11.2第6、11题
2．如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以，带哪块去合适?为什么? ⑵⑴
课题： 11.2 三角形全等的条件(4)
教学目标
①探索并掌握两个直角三角形全等的条件：HL，并能应用它判别两个直角三角形是否全等．
②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维． ③提高应用数学的意识． 教学重点
理解，掌握三角形全等的条件：HL． 教学过程: 提问：
1、判定两个三角形全等方法有：，。创设情境：
（显示图片），舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.（1）你能帮他想个办法吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角.(AAS)方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.(ASA)或(AAS)⑵ 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？ 下面让我们一起来验证这个结论。新课：
已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠ α，CB=a，AB=c.想一想，怎样画呢？ 按照下面的步骤做一做： ⑴ 作∠MCN=∠α=90°;⑵ 在射线CM上截取线段CB=a ⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;⑷ 连接AB.⑴ △ABC就是所求作的三角形吗？
⑵ 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？
直角三角形全等的条件
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.想一想
你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般 三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.练一练：
1.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗 杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
2.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾 斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？ 解：∠ABC+∠DFE=90°.理由如下： 在Rt△ABC和Rt△DEF中, 则 BC=EF, AC=DF.∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠ABC=∠DEF(全等三角形对应角相等).又 ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°.小结：这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流 作业：14页7、8。
§11．3．1 角的平分线的性质
（一）教学目标
（一）教学知识点
角平分线的画法．
（二）能力训练要求
1．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理． 2．会用尺规作一个已知角的平分线．
（三）情感与价值观要求
在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神． 例如图，ACBC,BDAD,ACBD求证：BCAD.10
教学重点
利用尺规作已知角的平分线．
教学难点
角的平分线的作图方法的提炼．
教学方法
讲练结合法．
教具准备
多媒体课件（或投影）．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
问题1：三角形中有哪些重要线段．
问题2：你能作出这些线段吗？
[生甲]三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．
过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线，交对边于一点，顶点与垂足的连线就是这个三角形的高．
取三角形一边的中点，此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中线．
用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度线与这个角的一边重合，这个角一半所对应的线就是这个角的角平分线．
[生乙]我不同意你对角平分线的描述，三角形的角平分线是一条线段，而一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的．
[师]你补充得很好．数学是一门严密性很强的学科，你的这种精神值得我们学习．
如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？
Ⅱ．导入新课
[生]我记得在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：
在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．
求证：∠MOC=∠NOC．
通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线．
受这个题的启示，我们能不能这样做：
在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC•与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了． [师]他这个方案可行吗？
（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）
[师]这位同学不仅给了操作方法，而且还讲明了操作原理．这种学以致用，•联想迁移的学习方法值得大家借鉴．
议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
教师活动：
播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC的方法．
学生活动：
观看多媒体课件，讨论操作原理．
[生1]要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB． [生2]∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形
全等就可以了．
[生3]我们看看条件够不够．
ABAD BCDC
ACAC 所以△ABC≌△ADC（SSS）．
所以∠CAD=∠CAB．
即射线AC就是∠DAB的平分线．
[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．
老师再提出问题：
通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．
（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）
讨论结果展示：
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
（2）分别以M、N为圆心，大于
12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
（3）作射线OC，射线OC即为所求．
（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．
议一议：
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于
12MN的长”这个条件行吗？
2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）
学生讨论结果总结： 1．去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
2．若分别以M、N为圆心，大于
12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．
4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．
练一练：
任意画一角∠AOB，作它的平分线．
Ⅲ．随堂练习
课本P16练习．
练后总结：
平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直．将OC反向延长得到直线CD，直线CD与AB•也垂直．
Ⅳ．课时小结
本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，•探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，进一步体会温故而知新是一种很好的学习方法．
Ⅴ．课后作业
1．课本P18习题11．2─1、2． 2．预习课本P16～18内容．
第五篇：全等三角形教案
第十一章 全等三角形
11．1全等三角形
教学目标：1了解全等形及全等三角形的的概念；
理解全等三角形的性质
在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉，学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣 重点：探究全等三角形的性质
难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角
教学过程：观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形
问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？
这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 思考：
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
“全等”用表示，读作“全等于”
两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如ABC和DEF全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作ABCDEF
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合 的角叫做对应角
思考：如上图，13。1-1ABCDEF，对应边有什么关系？对应角呢？ 全等三角形性质：
全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。思考：
（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角
BCAoOADBDCACDBCDA
（2）将ABC沿直线BC平移，得到DEF，说出你得到的结论，说明理由？
ADBBECF
（3）如图，ABEACD,AB与AC，AD与AE是对应边，已知：A43,B30，求ADC的大小。
ADEBC
随堂练习注：检查学生对本节课的掌握情况.1.全等用符号__表示.读作__.2.△ABC全等于三角形△DEF，用式子表示为__.3.△ABC≌△DEF，∠A的对应角是∠D，∠B的对应角∠E，则∠C与__是对应角；AB与__是对应边，BC与__是对应边，AC与__是对应边.4.判断题：
(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等.()(2)全等三角形的周长相等.()(3)面积相等的三角形是全等三角形.()(4)全等三角形的面积相等.()
11．2 三角形全等的条件(1)教学目标
①经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程． ②掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性． ③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神． 教学难点
三角形全等条件的探索过程．
一、复习过程，引入新知
多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．
二、创设情境，提出问题
根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢? 组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳．
三、建立模型，探索发现
出示探究1，先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'，满足上述条件中的一个或两个．你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗? 让学生按照下面给出的条件作出三角形．(1)三角形的两个角分别是30°、50°．(2)三角形的两条边分别是4cm，6cm．
(3)三角形的一个角为30°，—条边为3cm．
再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．
出示探究2，先任意画出一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗? 让学生充分交流后，在教师的引导下作出△A'B'C'，并通过比较得出结论：三边对应相等的两个三角形全等．
四、应用新知，体验成功
实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的． 鼓励学生举出生活中的实例．
给出例l，如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD．
A
让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．
例2 如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下： BDC
①以A为圆心画弧，分别交角的两边于点B和点C；
②分别以点B、C为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点D； ③画射线AD．
AD就是∠BAC的平分线．你能说明该画法正确的理由吗?
例3 如图四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试．
ABDC
五、巩固练习
教科书第96页的思考及练习．
六、反思小结
回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．
七、布置作业
1．必做题：教科书第103页习题13．2中的第1、2题． 2．选做题：教科书第104页第9题．
11.2 三角形全等的条件(2)教学目标
①经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力．
②在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．
③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神． 教学难点
指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件． 知识重点 应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等． 教学过程（师生活动）
一、创设情境，引入课题
多媒体出示探究3：已知任意△ABC，画△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠A'＝∠A．
教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的△A'B'C'，剪下放在△ABC上，观察这两个三角形是否全等．
二、交流对话，探求新知
根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)补充强调：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边．
三、应用新知，体验成功
出示例2，如图，有—池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?
让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据．(若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析：
要想证AB＝DE，只需证△ABC≌△DEC
△ABC与△DEC全等的条件现有„„还需要„„)
明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决． 补充例题：
A1、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE
求证： △ABD≌△ACE 证明:∵∠BAC=∠DAE（已知）
B ∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD
∴∠BAD=∠CAE
在△ABD与△ACE
EC AB=AC（已知）D ∠BAD= ∠CAE（已证）AD=AE（已知）
∴△ABD≌△ACE（SAS)B思考：
求证：1.BD=CE 2.∠B= ∠C A3.∠ADB= ∠AEC
变式1：已知：如图，AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE.M 求证： ⑴ △DAC≌△EAB
DCFE1.BE=DC 2.∠B= ∠ C 3.∠ D= ∠ E 4.BE⊥CD
四、再次探究，释解疑惑
出示探究4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么? 让学生模仿前面的探究方法，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．
教师演示：方法(一)教科书98页图13.2-7．
方法(二)通过画图，让学生更直观地获得结论．
五、巩固练习
教科书第99页，练习(1)(2)．
六、小结提高
1．判定三角形全等的方法；
2．证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述，其他学生补充，让学生自己将知识系统化，以自己的方式进行建构．
七、布置作业
1．必做题：教科书第104页，习题13．2第3、4题． 2．选做题：教科书第105页第10题． 3．备选题：
(1)小明做了一个如图所示的风筝，测得DE＝DF，EH＝FH，你能发现哪些结沦?并说明理由．
(2)如图，∠1＝∠2，AB＝AD，AE＝AC，求证BC＝DE．
11.2 三角形全等的条件(3)
教学目标
①探索并掌握两个三角形全等的条件：“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等．
②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．
③敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难． 教学重点 理解，掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”． 教学难点
探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用． 教学过程（师生活动）创设情境 复习：
师：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些? 生：“SSS”“SAS”
师：那除了这两个条件，满足另一些条件的两个三角形是否 也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的另一些条件。探究新知：
一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了，如图，你能制作一张与原来 同样大小的新教具？能恢复原来三角形 的原貌吗？
1．师：我们先来探究第一种情况．(课件出示“探究5„„”)(1)探究5 先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，∠A'＝∠A，∠B'＝∠B(即使两角和它们的夹边对应相等)．把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗? 师：怎样画出△A'B'C'?先自己独立思考，动手画一画。
在画的过程中若遇到不能解决的问题．可小组合作交流解决．
生：独立探究，试着画△A'B'C'，(有问题的，可以小组内交流解决„„)„„(2)全班讨论交流
师：画好之后，我们看这儿有一种画法：(课件出示画法，出现一步，画一步)你是这样画的吗? AA'师：把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，看看它们是否全等． 生：(剪△A'B'C'，与△ABC作比较„„)师：全等吗? 生：全等．
ED师：这个探究结果反映了什么规律?试着说说你的发现．
B生1：我发现„„ 生2：„„
A生3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
师：这条件可以简写成“角边角”或“ASA”．至此，ED我们又增加了—种判别三角形全等的方法．特别应
注意，“边”必须是“两角的夹边”．
O练习：已知：如图，AB=A’C，∠A=∠A’，∠B=∠C
求证：△ABE≌ △A’CD BC
例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD 相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。求证：BD=CE
C
2．探究6 师：我们再看看下面的条件：
在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗? ABCEDF
师：看已知条什，能否用“角边角”条件证明． 生独立思考，探究„„再小组合作完成．
师：你是怎么证明的?(让小组派代表上台汇报)小组1：„．
小组2：„„投影仪展示学生证明过程
(根据学生的不同探究结果，进行不同的引导)师：从这可以看出，从这些已知条件中能得出两个三角形全等．这又反映了一个什么规律? 生l：两个角和其中一条边对应相等的两个三角形全等．
生2：在"ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”，而这里，“边”可以是“其中一个角的对边”．
师：非常好，这里的“边”是“其中一个角的对边”．那怎样更完整的表述这一规律? 生1：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
师：生1很好，这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS”，又增加了判定两个三角形全等的一个条件．
强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边”．
多让几个学生描述，进一步培养归纳、表达的能力．
例2．教材101页1题。
师：从这道例题中，我们又得出了证明线段相等的又一方法，先证两线段所在的三角形全等，这样，对应边也就相等了． 探究7：
(1)三角对应相等的两个三角形全等吗?(课件出示题目)师：想想，怎样来探究这个问题? 生1：„„
生2：„．
引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形”，看是否一定全等，或“用两个同一形状但大小不同的三角板”等等方法来探究说明．
师：这一规律我们可以怎样表达? 生1：„．
生2：三个角对应相等的两个三角形不一定全等．
(2)师：说得非常好．现在我们来小结一下；判定两个三角形全等我们已有了哪些方法? 生：SSS SAS ASA AAS 小结提高
师：这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究，你有什么收获? 巩固练习
教科书第101页，练习2． 布置作业
1。必做题：教科书第103页习题13.2第6、11题
2．如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以，带哪块去合适?为什么? ⑵⑴
11.2 三角形全等的条件(4)
教学目标
①探索并掌握两个直角三角形全等的条件：HL，并能应用它判别两个直角三角形是否全等．
②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维． ③提高应用数学的意识． 教学重点
理解，掌握三角形全等的条件：HL． 教学过程: 提问：
1、判定两个三角形全等方法有：，。创设情境：（显示图片），舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.（1）你能帮他想个办法吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角.(AAS)方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.(ASA)或(AAS)⑵ 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？ 下面让我们一起来验证这个结论。新课：
已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠ α，CB=a，AB=c.想一想，怎样画呢？ 按照下面的步骤做一做： ⑴ 作∠MCN=∠α=90°;
⑵ 在射线CM上截取线段CB=a ⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;⑷ 连接AB.⑴ △ABC就是所求作的三角形吗？
⑵ 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？ 直角三角形全等的条件
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.想一想
你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般 三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.例如图，ACBC,BDAD,ACBD
求证：BCAD.练一练：
1.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗 杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
2.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾 斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
解：∠ABC+∠DFE=90°.理由如下： 在Rt△ABC和Rt△DEF中, 则
BC=EF, AC=DF.∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠ABC=∠DEF
(全等三角形对应角相等).又 ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°.小结：这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流 作业：104页7、8。
§11．3 角的平分线的性质 §11．3．1 角的平分线的性质
（一）教学目标
（一）教学知识点
角平分线的画法．
（二）能力训练要求
1．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理． 2．会用尺规作一个已知角的平分线．
（三）情感与价值观要求
在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．
教学重点
利用尺规作已知角的平分线．
教学难点
角的平分线的作图方法的提炼．
教学方法
讲练结合法．
教具准备
多媒体课件（或投影）．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
问题1：三角形中有哪些重要线段．
问题2：你能作出这些线段吗？
[生甲]三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线． 过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线，交对边于一点，顶点与垂足的连线就是这个三角形的高．
取三角形一边的中点，此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中线．
用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度线与这个角的一边重合，这个角一半所对应的线就是这个角的角平分线．
[生乙]我不同意你对角平分线的描述，三角形的角平分线是一条线段，而一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的．
[师]你补充得很好．数学是一门严密性很强的学科，你的这种精神值得我们学习．
如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？
Ⅱ．导入新课
[生]我记得在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：
在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．
求证：∠MOC=∠NOC．
通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线．
受这个题的启示，我们能不能这样做：
在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC•与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了． [师]他这个方案可行吗？
（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）
[师]这位同学不仅给了操作方法，而且还讲明了操作原理．这种学以致用，•联想迁移的学习方法值得大家借鉴．
议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
教师活动：
播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC的方法．
学生活动：
观看多媒体课件，讨论操作原理．
[生1]要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．
[生2]∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．
[生3]我们看看条件够不够．
ABAD BCDC
ACAC 所以△ABC≌△ADC（SSS）．
所以∠CAD=∠CAB． 即射线AC就是∠DAB的平分线．
[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．
老师再提出问题：
通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．
（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）
讨论结果展示：
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
（2）分别以M、N为圆心，大于
1MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C． 2（3）作射线OC，射线OC即为所求．
（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．
议一议：
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于
1MN的长”这个条件行吗？ 2 2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）
学生讨论结果总结： 1．去掉“大于的平分线．
2．若分别以M、N为圆心，大于1MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角21MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB2的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．
4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．
练一练：
任意画一角∠AOB，作它的平分线． Ⅲ．随堂练习
课本P106练习．
练后总结：
平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直．将OC反向延长得到直线CD，直线CD与AB•也垂直．
Ⅳ．课时小结
本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，•探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，进一步体会温故而知新是一种很好的学习方法．
Ⅴ．课后作业
1．课本P108习题13．2─1、2． 2．预习课本P106～107内容．
§11．3．2 角的平分线的性质
（二）教学目标
（一）教学知识点
角的平分线的性质
（二）能力训练要求
1．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”． 2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
（三）情感与价值观要求
通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣．
教学重点
角平分线的性质及其应用．
教学难点
灵活应用两个性质解决问题．
教学方法
探索、归纳的方法．
教具准备
剪刀、折纸、投影片．
教学过程
Ⅰ．创设情境，引入新课
[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．
[师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．
Ⅱ．导入新课 角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．
操作：
1．折出如图所示的折痕PD、PE．
2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．
画一画：
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？
拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的．
[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求． [生甲]噢，对于，我知道了．
[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．
问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？ [生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．
问题2：（出示投影片）
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：
学生通过讨论作出下列概括：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．
由已知事项推出的事项：PD=PE．
于是我们得角的平分线的性质：
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等． [师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）
问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．
[师]这样的话，我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．同学们思考一下，这两个性质有什么联系吗？
[生]这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．
[师]对，这是自己的语言，这一点在数学上叫“互逆性”．
下面请同学们思考一个问题．
思考：
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？
2．比例尺为1：20000是什么意思？
（学生以小组为单位讨论，教师可深入到学生中，及时引导）
讨论结果展示： 1．应该是用第二个性质．•这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．
2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表示实际距离200m的意思．作图如下：
第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．
第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．
总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题． [例]如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．
因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
所以PD=PE．
同理PE=PF．
所以PD=PE=PF．
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
Ⅲ．随堂练习
1．课本P107练习．
2．课本P108习题13．3─2．
在这里要提醒学生直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．
Ⅳ．课时小结 今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，可以看出，随着研究的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．
Ⅴ．课后作业
课本习题13．3─3、4、5题．
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