案例 零点定理的教学设计

第一篇：案例 零点定理的教学设计

过程与方法是这样体现的！

一、开放的情境更易于引导学生做数学

根据高中学生的认知水平，开发利用教材的探索性内涵，创造性地使用教材，设计了能启发学生思维的“温度连续变化”情境，引导学生得出本节课的重要结论：零点附近两侧的图象特征及代数特征（函数值异号）。这一片段的课堂教学实录如下：

问题1 图1是某地从0点到12点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0度？为什么？

师：在补充图象的时候请考虑：图象与x轴是否一定相交。师：有哪位同学得到与x轴不相交的图象吗？（所有同学都摇头表示不能画出）师：困难在哪？为什么画不出？

生丁：因为气温的变化连续不断，而且有两个已知的温度是一正一负。师：很好，因为这两个原因使得图象与x轴一定相交。那么，交点可能会在哪儿？

生众：0到12之间。

师：气温变化图其实也是一个函数的图象，它与x轴的交点就是函数的零点，这样我们已经发现了函数存在零点的一种判断方法。

师：函数存在零点的关键是什么？

生众：函数图象是连续不断的；一个点在x轴下方，一个点在x轴上方。

从上述过程可见，通过 “问答”式这种形式引导学生进行探究，实践证明效果较好。但对高中学生来说，数学学习是一个充满价值判断的过程，最有效的是有引导又不受干扰的思考，属于学生自己的独立思考。美国数学家哈尔莫斯指出：“学习数学的唯一方法是做数学”，我们认为：让学生以研究者的身份通过动手做来解决这一问题，先做后说，也许效果会更好。鉴于此，我们对这一教学片段重新进行了设计，把如下的修改问题作为学生深度思考的一个源题：

问题2 图1是某地从0点到12点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请用二种不同的方法将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0度？为什么？

在课外活动中将印有这个题目的纸张发给学生，要求学生通过研究设计出二种不同的连结方法。

上述的图形连接问题起点低，直观性强，简单而内涵丰富，且结论开放，符合高中学生喜欢动手的特点，适合不同层次学生进行探究。并在动态生成中很自然地“更新”了学习方式：让学生从“听”数学的学习方式，改变成在教师的指导下“做”数学，研究数学。

二、“预设”与“生成”结合的课堂更精彩

原问题给学生一个图，学生会用最方便直接的方法进行连接（一条直线段），在转换了情境问题后，一次就给学生二个相同的图形，要求进行不同的连接，设计第二个图的连接有的学生会面临困难，教师适时提示：“请大家再试着画画看”，“独立思考几分钟”，以更好地激发学生的探究欲，在尝试画图和反复的思索中，—种、两种、三种„„没有预设的连接方法接踵而至，学生在画图过程中，不拘一格大胆思考，使课堂出现“生成”的精彩。学生是聪明的，无穷的遐想和个性化理解给不同的学生带来了不同的收获（下面仅列举一部分成果，课堂上用实物投影展示）。

1．让学生在表述结果中进行数学交流

教师先从连接线的几何和数量特性着手，引领学生进行课堂交流。学生画出的图形是五花八门的：

(1)用线段连接（如图2、3等）。

(2)用曲线段连接，学生给出了很多连接方法，如图4、5、6、7等都是学生给出的。

学生画出的图形为课堂教学提供了丰富的资源，其中包括在区间(a，b)内有单一零点的函数是单调的、不单调的、有多个交点的等。而且也还有因为没有注意到条件要求而画错的图形（如图5），这有利于纠正部分学生对函数概念理解的偏差。

实践证明，每一个学生都希望自己是一个发现者、研究者和探索者。学生从这一问题的研究出发，放飞想象，上述这道教师眼里简单的画图题，仅仅在几分钟里，学生通过观察、猜想、尝试，就探索出了这么多种不同的画法，有助于加深对本节课所学知识的理解，为后续学习积累大量的素材，逐步学会思考。

2．课堂研究中的动态生成是灵动的教学资源

构建动态生成的课堂必须把学生置于教学的出发点和核心地位，让学生充分地开展自主学习，课堂才能焕发出勃勃生机，呈现出一道优美、流动的风景线，才能使课堂真正为学生的发展服务。在课堂上要及时合理地捕捉学生研究得到的动态生成，让它多一些真实的美丽，多一些有效的精彩。

（1）学生画出的图形，蕴含着丰富的教学资源。从图象与x轴交点（即零点）的个数看，可以构造出任意有限个零点的连接图。那么，是否存在有无限个零点的连接图？有的学生经过思考后提出：将线段设置为与x轴重合，如图8，其图象是不间断的，显然该函数的零点为一个区间，有无限多个。

给学生几分钟的思考时间，给学生“灵机一动”、“茅塞顿开”的机会，就可能出现“柳暗花明”“出人意料”的结果，进而极大地激发学生的探究欲望，并充分享受发现的喜悦。

（2）从这些图形零点附近图象的代数特征看，可分成四种情形：函数值异号（+－；－+）；函数值同号（++；－－），这样可把学生引向本节课的重要结论的研究。

（3）前面学生研究出的连接图，还可用来协助解决二节观摩课中提出的一系列问题，加深学生对本课内容的理解，如：

问题1 若问题2 若，函数，函数

在区间在区间

上一定没有零点吗？ 上只有一个零点吗？ 内有且只有一个零点？ 问题3 能否增加条件，使得函数在区间是否一定有f(a)f(b)<0? 问题4 若在区间[a，b]上图象连续不断的函数f(x)在[a，b]上有一个零点，问题5 若在区间[a，b]上图象连续不断的函数f(x)满足f(a)f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)上零点个数一定是有限个吗? 老师在教学中的做法是：（在《几何画板》直接展示函数的图象，不给出函数解析式，如图9。引导学生改变区间的端点，通过观察，验证问题1、2。

师：所以零点存在性定理可以判断当条件满足时，函数在区间内一定有零点，但不能确定零点的个数。

师：能否增加条件，使得函数在区间生众：单调性。

师：具体说，可以增加这样的条件：函数在区间这里我们利用图7就能回答这几个问题。

这样的生成，让平淡的课堂变得趣味无穷，让平常的课堂情节变得迭宕起伏，不仅将学生在画图过程中动态生成的信息转化为有效的教学资源，并在动态中促

内为单调函数。

内有且只有一个零点？ 使学习内容不断生成，知识不断建构并得到内化，使数学教学成为激情与智慧综合的生成过程的课堂教学。

古今中外凡有重大成就的人，在其攀登科学高峰的征途中，都会给思考留有一定时间。据说爱因斯坦狭义相对论的建立，经过了“十年的沉思”。他说：“学习知识要善于思考、思考、再思考，我就是靠这个学习方法成为科学家的。”许多教师在课堂教学中，由于没有抓住教学内容的核心，往往堆积了大量细枝末节问题，教师讲得多，给学生思考的时间少，甚至不给学生思考机会，导致学生思维能力得不到培养。因此，教学设计时应给学生预留更多的思考时间和空间。学习的效果最终取决于学生是否真正参与到学习活动中，是否积极主动地思考。如果学生能学会思考和研究，这比什么目标都有意义。

（浙江省衢州市教研室 李世杰）

（摘录自人民教育出版社网站：精彩的生成来自学生的自主研究）

第二篇：零点存在定理的教案

教案

课题：零点存在定理 授课人：

一、内容及内容解析：

本章位于全书的第3章，零点主要是解决方程求解的问题，应用函数思想的方法，把方程与函数相结合，它在较难方程的求根方面有巨大的贡献，而零点存在定理能确定零点的存在范围，从而近似的确定零点的值，也即方程的近似根.各个内容之间的联系：

方程的根零点零点存在定理



二分法 二、三维目标：

知识与技能:会使用零点存在定理解决问题，准确确定根的范围，并且使用二分法找到相应方程的近似解.过程与方法:通过分析零点附近的值的关系，得到f(a)f(b)0的特点，并且通过辨析引出定理,得到定理后，还要针对定理中的每一项进行辨析，得知定理中的每一项必不可少.通过定理我们知道了零点存在的区间，为了得到零点的值我们又引入了二分法，从而能近似的求解出零点.情感态度价值观:让学生了解到每一点数学知识都是环环相扣的,并初步体会到函数思想的巧妙转化,感受到方程与函数的联系,并且得出另一种解方程的方法,让学生体会到数学教学的巧妙之处和知识与知识的紧密联系.三、教学难点与重点：

[难点] 二分法的使用及对定理的理解.[重点] 定理的使用及求解方程的近似根.四、设计教学

上节课我们学习了零点的定义，所以我们知道了如果画出了函数图像，我们就能知道函数是不是有零点，那么如果有些方程的相应函数我们不会画图像怎么办？我们还能知道函数有没有零点吗？通过今天的学习，我们就可以不画图像直接知道函数是否有零点.1、引入定理

通过之前的例题，我们知道函数的零点可能有若干个，为了使问题简化，我们首先考虑函数只有一个零点的情况.请大家思考：若函数y=f(x)是连续不断的函数，且有一个零点，则函数零点两端的函数值有何特征？

因为函数只有一个零点，所以函数图象与x轴只有一个交点。那函数图象与x轴会有哪些位置关系呢？不难想到（无非是两种情况）：一种为函数图象不穿

过x轴；另一种是函数图象穿过x轴。

（1）大家先看第一种情况，函数零点附近函数值有何特征呢？（同学回答）

这种情况下，零点附近函数值同号。那我在零点两端各选一个代表a，b，则它们对应的函数值f(a)、f(b)的乘积大于0；

（2）我们再看另一种情况，此时零点附近函数值有何特征呢？

（图像在PPT上显示动画过程，让学生观察出图像穿过x轴的过程，然后知道零点附近的值相反.）

无论怎么穿过，都有零点左右函数值异号，同样，我在零点两端各选一个代表a，b，则它们对应的函数值f(a)、f(b)的乘积就小于0.【分析】

（1）如果函数的图象是连续不断的一条曲线，满足f(a)f(b)>0，那么函数在区间（a，b）内一定有零点吗？

①（不一定）那好，你能给大家举一个反例吗？

②（一定）好，你先请坐。其他同学有不同意见么？ 如果函数有零点，说明函数图象一定与x轴有交点。条件告诉我们f(a)f(b)>0，那我不妨设f(a)、f(b)同时为正，大家请看，通过这两个点的函数图象一定能与x轴有交点么？

显然是不一定的，比如我举的这个反例。

这就说明满足这样条件的函数，不能确定 函数一定有零点。

（2）如果函数的图象是连续不断的一条曲线，满足f(a)f(b)<0，那我就不妨设f(a)小于0，f(b)大于0，那么函数在区间（a，b）内一定有零点吗？大家可以在纸上画一画，试试看。

①（一定）好，那其他同学呢？都同意他的观点吗？ ②（不一定）你能为大家说明一下你的理由么？

由于函数的图象是连续不断的，并且端点函数值异号，所以无论怎么画，函数图象一定会与x轴有交点，从而说明函数怎么样？——一定有零点！

这样，我们就得到了判断函数是否有零点的方法，即函数零点存在性定理：

2、零点存在定理

若函数y=f（x）的图象在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点。即：存在实数c属于（a，b），使得f（c）=0，其中c为方程f（x）=0的根。

现在我有一个问题：若函数满足在[a,b]上有f(a)f(b)<0,一定能推出（a,b）之间有零点吗？（思考）

如果可以请说明理由，不能的话请同学们举个反例.在这个反例中，f(a)<0, f(b)>0，f(0)=0.5

我们来看，这个定理是我们通过结合函数图象探究而得的，而至于它的严格证明，需要到大学阶段再去研究。

这样，我们通过引入函数的零点，将方程与函数建立起了联系，并且为我们提供了一种新的解决方程问题的途径。此前我们学习过的一元一次方程以及一元二次方程都有公式解，但是对于高次方程、超越方程等其他形式的方程而言，通常没有求根公式。而通过函数零点存在性定理，就可以去研究这样一般形式方程根的问题了。

【例】求函数f(x)lnx2x6的零点个数.【解析】因为f(2)0,f(3)0,所以在(2,3)之间有零点，又因为函数f(x)在(0,)上是单调递增的，所以这个函数只有一个零点.根据零点存在定理，我们知道函数是否有零点，但是如果我们想知道零点的值怎么办呢？接下来，我们要学习一个新的求根方法-----二分法.3、二分法（求根的近似值）

我们就以上面的例子来研究，即如何求f(x)lnx2x6的零点呢？ 一个最直观的想法就是：如果我们把零点存在的范围(2,3)尽量缩小，那么在一定的精确范围内，我们就可以得到零点的近似值.那我们如何缩小范围呢？显然最简单、最可行的方法就是“取中点”.接下来，我们解答上面的例子来看看二分法是如何运用的.【解析】应用零点存在定理，我们知道了f(x)lnx2x6在(2,3)之间有一个零点.接下来我们要用“取中点”的方法缩小零点存在的范围.取(2,3)的中点2.5，用计算器计算f(2.5)0.0840，而f(3)0，那么f(2.5)f(3)0，所以在(2.5,3)之间有零点，即缩小了零点所在的范围.再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算器计算f(2.75)0.5120，而f(2.5)0，即：f(2.5)f(2.75)0，所以在(2.5,2.75)之间有零点.我们可以看出零点存在的范围越来越小了，如果一直取下去，零点存在的范围会越来越小，这样，在一定的精确度下，我们就可以在有限次重复步骤之后，将所得的零点存在的区间内任意一点作为函数零点的近似值.我们把上面例题缩小区间的过程画在表格中：

如果当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01,所以我们可以将2.532作为函数f(x)lnx2x6的零点近似值，也即方程lnx2x60的近似根.通过这道例题，我们总结一下使用二分法求近似根（给定精确度）的步骤：

1、确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)0，给定精确度；

2、求区间(a,b)的中点x1；

3、计算f(x1)的值；

（1）若f(x1)0,则x1就是函数的零点；

（2）若f(a)f(x1)0,则令bx1,此时零点x0(a,x1)；

（3）若f(x1)f(b)0,则令ax1,此时零点x0(x1,b).4、判断是否达到精确度：即若|ab|，则零点的近似值是a(或b）；否

则重复2-4步.【课堂练习】

1、借助计算器，用二分法求方程x3lgx在区间（2,3）的近似解（精确到.0.01）

2、借助计算器，用二分法求函数f(x)lnx到0.1）

【作业】

2在区间（2,3）内的零点.（精确xP108，1、3、4、6和P109，3、4.

第三篇：函数零点教学设计

一、【教案背景】

1、课题：函数的零点

2、教材版本：苏教版数学必修

（一）第二章2.5.1函数的零点

3、课时：1课时

二、【教学分析】 教材内容分析：

本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定。

函数的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。

本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。教学目标：

1、知识与技能

（1）能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

（2）了解函数零点与相应方程的根的联系，掌握零点存在的判定条件。

2、过程与方法

（1）通过观察例题的图象，发现函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法。

（2）渗透算法思想，运用算法解决问题，为后面系统学习算法做准备。

3、情感、态度与价值观

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，培养学生在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神。教学重点： 零点的概念及零点存在性判定。

教学难点： 探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。教学方法：

问题是课堂教学的灵魂，以问题为主线贯穿始终；以学生为主体，以教师为主导，以能力发展为目标，精心设计引导性问题，从学生的认识规律出发进行启发式教学，利用课件，动画等引导学生对问题的思考，运用学生自主学习、小组合作探究的教学方式。

三、【教学过程】

（一）、问题情境

（1）画出二次函数的图象,并写出图象与x轴交点的横坐标。

说明：通过学生熟悉的二次函数图象入手，让学生体会二次函数图象与x轴交点的数值与方程根的对应关系，方程的实数根就是的函数值为0时自变量x的值,建立初步的数形结合数学思想。（课件展示函数图象）

（2）画出二次函数、与的图象,并写出图象与x轴交点的横坐标。

说明：通过两小题让学生认识到当二次函数的图象在x轴上方时，与之对应的方程无解，当二次函数的图象恰好与x轴相交时，与之对应的方程有相等的实数根，建立初步的函数与方程数学思想。

提出二次函数零点的概念（我们把使二次函数的值为0的实数x称为二次函数的零点）。

（二）、合作探究

探究二次函数的零点、二次函数的图象与一元二次方程的实数根之间的关系？

Δ>0 Δ=0 Δ<0

方程根的的图象的零点

说明：小组合作探究，由学生回答，教师对答案给予鼓励性的评价。通过完成以上问题,让学生体会从具体到一般函数图象与x轴交点与相应方程根的关系。如果学生有困难，教师可作一下点拨,结合二次函数的图象,推广到一般函数零点的定义。板书课题:函数的零点

（三）、意义建构

函数的零点概念：我们把使函数的值为0的实数称为函数的零点（zeropoint）。

注：（1）零点不是点。

等价关系

函数y=f(x)的零点

方程f(x)=0实数根（数）

函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标（形）

有了上述的关系，就可用函数的观点看待方程，方程的根即函数的零点，可以把解方程的问题互化为思考函数图象与x轴的交点问题。这正是函数与方程思想的基础。

说明：通过对概念的陈述，让学生了解函数零点的概念及性质，对函数零点的概念有了完整的认识，达到质的飞跃。

（四）、数学运用

例1：求下列函数的零点,并画出下列函数的简图。①

② ③ ④

⑤

（师用展示台展示学生的作图，指出优缺点）

说明：求函数零点，体现函数与方程互相转化的思想。本题的五个小题都简单，主要考察学生零点概念的掌握情况，题目包含了我们从初中到目前已经学过的常见函数，目的让学生通过及时练习加强对函数零点的的认识。

通过画简图，了解图象的变化形式，要注意体现零点性质的应用。为下面学习根的存在条件奠定基础。

例2 求证：二次函数有两个不同的零点。

说明：可让学生充分讨论例2的解法，发展学生的发散性思维，第一，从数的角度，将函数问题转化方程问题，体现“函数与方程”思想.第二，从形的角度，图象与x轴有两个不同的交点。几何画板演示画图象过程，引导学生观察当函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点，图象穿过x轴这是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？用屏幕显示刺函数图象，多次播放抛物线穿过x轴的画面。板书证明过程

证明：设,则 f(1)=－2<0。

因为它的图象是一条开口向上的抛物线（不间断），这表明此图象一定穿过x轴，所以函数的图象与x轴有两个不同的交点。因此，二次函数有两个不同的零点。

从上面的解答知道，此函数有两个零点是。

问题（1）你能说明此函数在哪个区间[a，b]上存在零点（）吗？ 问题（2）如何判断一个函数在区间（a，b）上是否存在零点？

让学生自己思考、发言得到的结论，教师整理后得到函数零点的存在性判定。

如果函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，且，则函数在区间内有零点。

教师给出这个结论，组织学生对下面问题进行讨论。通过讨论认识问题的本质，升华对零点存在性判定的理解。

（1）若f(a)·f(b)<0,函数y＝f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗？

（2）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内会是只有一个零点么?

（3）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内就一定没有零点么？

（4）在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？

（5）如果是二次函数y＝f(x)的零点，且，那么f(a)·f(b)<0一定成立吗？

为了帮助大家更好体会该结论，我们把它设计成流程图。

说明：设置成流程图，既直观、清晰，又为学生将来学习算法奠定基础。算法的特殊表示符号，学生不知道，师生共同完成即可。

例3．求证：函数在区间(－2，－1)上存在零点．

说明: 学生完成过程中，教师巡视，展台展示优秀作品及步骤有问题者，达到纠正错误及解题规范化。

（五）、归纳总结

说明:这个环节,学生主动总结本节课学到的知识,将本节课所讲的知识点系统整理，为后面的函数零点的应用奠定基础。

（六）、反馈练习

(1)函数f(x)＝2x2－5x＋2的零点是

；

(2)二次函数y＝2x2＋px＋15的一个零点是－3，则另一个零点是

；(3)若函数f(x)＝x2－2ax＋a没有零点，则实数a的取值范围；

(4)已知函数f(x)的图象是不间断的，有如下的x,f(x)对应值表：

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有

个；(5)在二次函数中，ac<0,则其零点的个数为

；

说明:本环节用时5分钟,考完后小组互换,立即批改.发现问题立即纠正,再通过课后作业加以巩固.对做的好的及时给予表扬。

（七）、作业布置

1、完成苏教版必修1第76页练习1、2。

2、①有2个零点;②3个零点;③4个零点.四、【板书设计】

屏幕

函数的零点

一、函数零点的定义：我们把使函数的值为0的实数称为函数的零点（零点不是点）.二、方程的根与函数零点之间的等价关系

函数y=f(x)有零点

方程f(x)=0有实数根（数）

函数y=f(x)的图象与x轴有交点（形）零点存在性判定

例1

例2

五、【教学反思】

前苏联数学家斯托利亚说过:“积极的教学应是数学活动(思维活动)的教学，而不是数学活动的结束—数学知识的教学。”反思“函数的零点”的课堂教学，本人觉得类似这样的数学概念、原理的教学，教学设计应特别重视“过程性”，教学过程应特别强调“参与性”，要让学生“参与”到教学过程中去.唯有学生的过程参与，才能较好地激发其主动性，确立其主体地位.吸引学生“参与”，关键招数之一是对教材进行“问题化”处理，用问题去引领学生探究。学生“参与”到教学过程中来，就是要参与知识建构、参与思维训练、参与方法提炼。

本课中，围绕教学目标知识生成的过程，设计了若干问题，以问题为中心，以学生为主体，让他们亲身经历，体验函数的零点知识的建构过程，函数零点存在性结论的探求，体现了本节课设计的基本理念:过程性、问题性和主体性。

第四篇：正弦定理教学案例

正弦定理教学案例

一、教学设计

1、教材分析

“正弦定理”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第一册（下）的第五章第九节的主要内容之五，既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本次课是“正弦定理”教学的第一节课，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

为什么叫解斜三角形？解斜三角形必须要用正弦定理和余弦定理吗？正弦定理和余弦定理是怎样发现的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。

2、设计思路

为了回答上述问题我想到了“情境——问题”教学模式，即构建一个以情境为基础，提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境——问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，笔者具体做出了如下设计：①创设一俱现实问题情境作为提出问题的背景；②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性7问题时需要使用正弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和一边的对角，求另一边的对角及第三边。解决这两个问题需要先回答目标问题：在三角形中，两边与它们的对角之间有怎样的关系？③为了解决提出的目标问题，引导学生回到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的解，从而形成猜想，然后引导学生使用计算器对猜想进行验证，进而引导学生对猜想进行严格的逻辑证明。证明时，关键在于启发、引导学生明确以下两点：一是证明的起点AC＋CB＝AB；二是如何将向量关系转化成数量关系，同时将三个项的关系式转化为只有两个项的关系式，以揭示引入单位向量j和使用向量的数量积运算的合理性。④由学生独立使用已证明的结论去解决②中所提出的问题。

二、教学过程

1、设置情境

利用投影展示：如图1，一条河的两岸平行，河宽d＝1km。因上游暴

发特大洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及留守人员用船转运到正对岸的码头B处

或其下游1km的码头C处。已知船在静水中的速度

｜v 1｜＝5km/ h，水流速度｜v 2｜＝3km/ h。

2、提出问题

师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑一下有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。

待各小组将题纸交给老师后，老师筛选了几张有代表性的题纸通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的五个问题：

⑴船应开往B处还是C处？

⑵船从A开到B、C分别需要多少时间？

⑶船从A到B、C的距离分别是多少？

⑷船从A到B、C时的速度大小分别是多少？

⑸船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？

师：大家讲座一下，应该怎样解决上述问题？

大家经过讨论达成如下共识：要回答问题⑴，需要解决问题⑵，要解决问题⑵，需要先解决问题⑶和⑷，问题用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题⑷，问题⑷与问题⑸是两个相关问题。因此，解决上述问题的关键是解决问题⑷和⑸。

师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。

生1：般从A开往B的情况如图2，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小｜v｜及v 1与v 2的夹角θ：

＝｜v1｜＝5，｜DE｜＝｜AF｜＝｜v2｜＝3，易求得∠AED＝∠EAF＝45°，还需求 及v。我不知道怎样解这两个问题，因为以前从未解过类似的问题。

师：请大家想一下，这两个问题的数学实质是什么？

部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。

师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？

生3：在已知条件下，若能知道三角形中两条边与其对角这四个元素之间的数量关系，则可以解决上述问题，求出另一边的对角。

生4：如果另一边的对角已经求出，那么第三个角也能够求出。只要能知道三角形中两条边与其对角这四个元素的数量关系，则第三边也可求出。

生5：在已知条件下，如果能知道三角形中三条边和一个角这四个元素之间的数量关系，也能求出第三边和另一边的对角。

师：同学们的设想很好，只要能知道三角形中两边与它们的对角间的数量关系，或者三条边与一个角间的数量关系，则两个问题都能够顺利解决。下面我们先来解答问题：三角形中，任意两边与其对角之间有怎样的数量关系？

3、解决问题

师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？

众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。直角三角形的特例，可以先在直角三角形中试探一下。

师：如图4，请各小组研究在Rt△ABC中，任意两边及其对角这四个元素间有什么关系？

多数小组很快得出结论：

众学生：不一定，可以先用具体例子检验，若有一个不成立，则否定结论：若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。

师：这是个好主意。请每个小组任意做出一个非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小，用计算器作为计算工具，具体检验一下，然后报告检验结果。

几分钟后，多数小组报告结论成立，只有一个小组合 因测量和计算误差，得出否定的结论。教师在引导学生找出失误的原因后指出：此关系式在任意△ABC中都能成立，请大家先考虑一下证明思路。

生6：想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。

生7：因为要证明的是一个等式，所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系。

师：在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？

学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直

角三角形有关的等量关系可能有利用价值：①三角形的面积不变；②

三角形同一边上的高不变；③三角形外接圆直径不变。在教师的建议

下，学生分别利用这3种关系作为基础得出了如下三种证法：

证法一：如图5，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则

有

AD＝b·sin∠BCA，BE＝c·sin∠CAB，CF＝a·sin∠ABC。

所以S△ABC＝a·b·csin∠BCA

＝b·c·sin∠CAB

＝c·a·sin∠

ABC.证法二：如图5，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。

则有

AD＝b·sin∠BCA＝c·sin∠ABC，BE＝a·sin∠BCA＝c·sin∠CAB。

证法三：如图6，设CD＝2r是△ABC的外接圆的直径，则∠DAC＝90°，∠ABC＝∠ADC。

师：据我所知，从AC＋CB＝AB出发，也能证得结论，请大家讨论一下。

生8：要想办法将向量关系转化成数量关系。

生9：利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。

生10：还要想办法将有三个项的关系式转化成两个项的关系式。

生11：因为两个垂直向量的数量积为0，可考虑选一个与三个向量中的一个向量（如向量AC）垂直的向量与向量等式的两边分别作数量积。

师：请大家具体试一下，看还有什么问题？

众学生：向量j与AB、CB的夹角与△ABC是锐角三角形还是钝角三角形有关，所以应分两类情况分别证明。

教师让学生通过小组代表作完成了如下证明。

语法四：如图7，设单位向量j与向量AC垂直。

因为AB＝AC＋CB，所以 j·AB＝j·（AC＋CB）＝j·AC＋j·CB.因为j·AC＝0，j·CB＝| j ||CB|cos（90°－∠C）＝a·sinC，j·AB＝| j ||AB|cos（90°－∠A）＝c·sinA

.4、反思应用

师：同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，请大家考虑一下，正弦定理能够解决哪些问题？

众生：知三求一，即已知三角形的两边与一边的对角，可求另一边的对角；已知三角形的两角与一角的对边，可求另一角的对边；已知三角形中两边与它们的对角四个元素中的两个元素，可研究另外两个元素的关系。

师：请同学们用正弦定理解决本节课开始时大家提出的问题。

三、教学反思

本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。

创设数学情境是“情境——问题”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。

从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“正弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材第五章第十二节研究性课题的第二个问题，笔者将其加工成一个具有实际意义的决策型问题。实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中有不少可用的素材。在进行教学设计时，笔者曾考虑以“直角三角形”作为情境，考虑到学生据此不易形成目标问题，而且问题缺乏向量背景，不容易想到用向量方法解决问题，故未采用这个方案。

“情境——问题”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境，而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。要引导学生对所提的问题进行分析、整理，筛选出有价值的问题，注意启发学生揭示问题的数学实质，将提问绰向深入。

本课中，在教师的启导下，学生首先提出的问题是：船应开往B处还是C处？答案取决于船从A到达B、C的时间；船从A到达B、C的时间，又取决于船从A到达B、C的距离和船的速度的大小；而船能否到达B、C，又取决于船的航向。这些都是具有实际意义的问题，去掉问题的实际意义得出过渡性数学问题，抓住过渡性问题的数学实质，将其上升为一般性数学问题，即目标问题。学生还提出了一个超前性问题：三角形中三条边与一个角之间有什么关系？这是笔者在设计教案时未想到的，笔者除了对提出此问题的学生给予表扬和肯定外，还要求同学们课后认真研究这个问题，这个问题已经自然地成为教学“余弦定理”的情境。

使用计算器处理复杂、烦琐的数字运算是新教材的一个重要特点。本课中通过使用计算器，使“正弦定理在非直角三角形中是否成立”的探究性试验成为可能。这说明计算器在探索、检验规律方面也能发挥重要作用。在启导学生证明正弦定理时，笔者没有限制学生的思路，使学生通过自己的努力发现了多种证法，其中每一种证法都比教材上给出的证法要简单。但没有能够自然地启发、引导学生发现和选择向量方法，是一个遗憾。

第五篇：导数零点教学设计

一、《利用导数探究函数零点个数问题》教学设计

激趣入境：

问题：试说出函数fxx22x3的零点

设计意图：引出零点的概念，并由简单问题使学生回忆函数零点、方程根、函数图像交点之间的联系，为基本概念、思想转化做知识性的必要铺垫。

本环节由学生集体作答，问题简单，都能给出答案 函数零点的等价转化：

1、函数yfx的零点方程fx0的根函数yfx的图象与x轴（即y0）交点的横坐标。

2、推广：函数hxfxgx的零点

方程_________________即_________________的根；

函数_________________和_________________的图象的________________ 例如：

函数hxxlnx的零点

方程_________________即_________________的根；

函数_________________和_________________的图象的________________

设计意图：由问题的表面认识升华为理论层面，先给基本的转化思想，然后再推广到一般情况，为使学生灵活应用和转化打好基础。例题的给出使学生对刚刚理解的转化有立竿见影的认识，并起到夯基释义的作用。

此环节由教师提问，学生单独作答，在推广时学生遇到了一些问题，由其他学生补充回答，直到答案完整。

二、导引体验、合作探究：

例

1、已知函数fxx3x1，求fx的极值并画出函数的草图 3设计意图：由学生在课前完成，即能复习前几节的知识重点，同时为引出本节课的课题做好知识上的准备

此题学生在课前完成，在此环节由某学生提前写黑板上，由教师和学生共同核对、检查，强调书写格式和画图注意的问题

问题

1、根据图象说出图象与x轴有几个交点？与y1，y3，y2，y4呢？ __________________________________________________________________

问题

2、若函数图象与ym有三个不同交点，则m的范围是什么？有两个交点和一个交点呢？

__________________________________________________________________ 问题

3、若方程fxm0有三个不等实根，则m的范围是什么？若是有三个零点呢？ gxfxm___________________________________________________________________ 设计意图：此环节是本节课的重点，在例一的基础上并结合几何画板，问题一让学生对照图像观察定直线和定图像的交点个数情况，数形结合，显而易见，学生很容易接受，问题2要求学生逆向思维去考虑动直线和定图象的交点个数问题，几何画板动态展示动直线的运动过程，从而直观观察出图象与动直线的交点个数以及相关的要素即与极大值和极小值有关，问题迎刃而解，问题3回归本节课的课题，使学生们清楚研究函数图象的交点问题实际上等价于研究函数的零点问题和方程根的问题。

此环节由教师提问，在教师用几何画板投影图象的过程中，由学生看图完成作答，此处是本节课难点也是重点，但经过设计学生基本能接受并回答出。达标训练1、32已知函数fxx3x1，若直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围。

设计意图：检测学生对基本思想的落实情况，夯实基础，并为后边的变式及拓展延伸做好准备。

本环节由学生自己完成，并找学生上黑板板书，在学生完成的过程中与学生交流，了解学生的完成情况与存在的问题，适当提示和指导

32变式

1、已知函数fxx3xx1，若直线yxm与曲线yfx的图象有三个不同交点，求实数m的取值范围。

32变式

2、已知函数fxx3xx1，若直线yxm与曲线yfx的图象在1,3上有三个不同交点，求实数m的取值范围。2设计意图：层层递进，逐步加深，变式1是为强化三种问题的转化思想，引导学生从正确的思考方向出发，先由函数图像交点转化为方程根的问题，再转化为函数图像和平行于x轴的动直线的交点问题，在此归纳出解决此类问题的步骤即：转化、求导找极值、画图、看图取范围，变式2在变式一的基础上限定定义域，为学生指出问题的解决不仅和极值有关还和端点值有关

本环节采用提问式，因为是对例1的变形，所以转化之后与例一一致，对变式2采取数形结合的方法依然借助几何画板来挖掘本题所注意的问题 达标训练

2、已知函数fx

1312xx2x，若关于x的方程 322

1fxx32x2xm0在区间,2上恰有两不等实根，求实数m的范围。

2设计意图：举一反三，夯基落实，强化对变式的理解和解决方法 由学生自己完成，教师给予适当引导

三、拓展延伸：

已知函数fxx28x与函数gx6lnxm的图象有三个不同的交点，求m的范围。

设计意图：在函数形式上改变，引进对数函数，既是对本节课的总结，也能拓展学生思维，开拓学生的视野，完善学生的思维方法。

为学生点出需要注意的问题，让学生课后自己完成

四、小结归纳、（1）数形结合的思想

（2）函数零点个数问题或方程根的个数问题最终转化为平行与x轴的直线与函数图象的交点个数问题。

设计意图：总结本节课的知识重点，理清知识脉络，使学生在整体对本节课有全面的认识。

五、作业

学案：