高等代数北大版教案-第6章线性空间

第一篇：高等代数北大版教案-第6章线性空间

第六章 线性空间

§1 集合映射

一 授课内容:§1 集合映射

二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义.三 教学重点:集合映射的有关定义.四 教学难点:集合映射的有关定义.五 教学过程: 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差)设S是集合,A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集,记作AB；把A和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集,记做AB；从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A与B的差集,记做AB.定义:(集合的映射)设A、B为集合.如果存在法则f,使得A中任意元素a在法则f下对应B中唯一确定的元素(记做f(a)),则称f是A到B的一个映射,记为

f:AB,af(a).如果f(a)bB,则b称为a在f下的像,a称为b在f下的原像.A的所有元素在f下的像构成的B的子集称为A在f下的像,记做f(A),即f(A)f(a)|aA.若aa'A,都有f(a)f(a'), 则称f为单射.若 bB,都存在aA,使得f(a)b,则称f为满射.如果f既是单射又是满射,则称f为双射,或称一一对应.2.求和号与求积号(1)求和号与乘积号的定义

为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.设给定某个数域K上n个数a1,a2,,an,我们使用如下记号:

·６０·a1a2anai, a1a2anai.i1i1nn当然也可以写成

a1a2an(2)求和号的性质 容易证明，1inai, a1a2an1inai.aiai,(aibi)aibi,aijaij.i1i1i1i1i1nnnnnnmmni1j1j1i1事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:

a11a21an1a12a22an2a1ma2m

anm分别先按行和列求和,再求总和即可.§2 线性空间的定义与简单性质

一 授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质

二 教学目的：通过本节的学习,掌握线性空间的定义与简单性质.三 教学重点：线性空间的定义与简单性质.四 教学难点：线性空间的定义与简单性质.五 教学过程：

1.线性空间的定义

(1)定义4.1(线性空间)设V是一个非空集合,且V上有一个二元运算“+”(VVV),又设K为数域,V中的元素与K中的元素有运算数量

·６１· 乘法“”(KVV),且“+”与“”满足如下性质:

1、加法交换律 ,V,有；

2、加法结合律 ,,V,有()()；

3、存在“零元”,即存在0V,使得V,0；

4、存在负元,即V,存在V,使得0；

5、“1律” 1；

6、数乘结合律 k,lK,V,都有(kl)k(l)l(k)；

7、分配律 k,lK,V,都有(kl)kl；

8、分配律 kK,,V,都有k()kk, 则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“”的定义,不光与集合V有关.(2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质

命题4.1 零元素唯一,任意元素的负元素唯一.证明:设0与0'均是零元素,则由零元素的性质,有00'00'；

V,设,'都是的负向量,则

0(')'()0, 于是命题得证.由于负向量唯一,我们用代表的负向量.定义4.2(减法)我们定义二元运算减法“-”如下:

定义为().命题4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质:

1、加法满足消去律 ；

2、可移项 ；

3、可以消因子 k且k0,则1； k4、00, k00,(1).(3)线性空间的例子

·６２·例4.1令V表示在(a,b)上可微的函数所构成的集合,令K,V中加法的定义就是函数的加法,关于K的数乘就是实数遇函数的乘法,V构成K上的线性空间.4.1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价；极大线性无关组.定义4.3(线性组合)给定V内一个向量组1,2,,s,又给定数域K内s个数k1,k2,,ks,称k11k22kss为向量组1,2,,s的一个线性组合.定义4.4(线性表出)给定V内一个向量组1,2,,s,设是V内的一个向量,如果存在K内s个数k1,k2,,ks,使得k11k22kss,则称向量可以被向量组1,2,,s线性表出.定义4.5(向量组的线性相关与线性无关)给定V内一个向量组1,2,,s,如果对V内某一个向量,存在数域K内不全为零的数k1,k2,,ks,使得k11k22kss0,则称向量组1,2,,s线性相关；若由方程k11k22kss0必定推出k1k2ks0,则称向量组1,2,,s线性无关.命题4.3 设1,2,sV,则下述两条等价: 1)1,2,s线性相关； 2)某个i可被其余向量线性表示.证明同向量空间.定义4.6(线性等价)给定V内两个向量组

1,2,,r(Ⅰ), 1,2,,s(Ⅱ), 如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)线性表示,反过来,(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)线性表示,则称两向量组线性等价.定义4.7(极大线性无关部分组)给定V内一个向量组1,2,,s,如

·６３· 果它有一个部分组i1,i2,,ir满足如下条件:(i)、i1,i2,,ir线性无关；

(ii)、原向量组中任一向量都能被i1,i2,,ir线性表示, 则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到Kn的一些特有的性质,于是那些命题在线性空间中依然成立.定义4.8(向量组的秩)一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩.例4.2 求证:向量组e1x,e2x的秩等于2(其中12).证明:方法一:设k1,k2∈R,满足k1e1xk2e2x0,则k1e1xk2e2x,假若k1,k2不全为零,不妨设k10,则有e(12)xk2,而由于12,等号左k1边为严格单调函数,矛盾于等号右边为常数.于是k1k20.所以e1x,e2x线性无关,向量组的秩等于2.证毕.方法二:若在(a,b)上k1e1xk2e2x0, 两端求导数,得k11e1xk22e2x0，cck1e1k2e20,以xc(a,b)代入,有 1c2ck11ek22e0.而e1ce2c1e2c2e2ce(12)c(21)0, 于是k1k20.证毕.·６４·§3 维数、基与坐标

一 授课内容:§3 维数、基与坐标

二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间的基与维数,向量的坐标的有关定义及性质.三 教学重点:基与维数、向量坐标的有关定义.四 教学难点:基与维数、向量坐标的有关定义.五 教学过程: 1.线性空间的基与维数,向量的坐标 设V是数域K上的线性空间,则有: 定义4.9(基和维数)如果在V中存在n个向量1,2,,n,满足: 1)1,2,,n线性无关；

2)V中任一向量在K上可表成1,2,,n的线性组合, 则称1,2,,n为V的一组基.基即是V的一个极大线性无关部分组.基的个数定义为线性空间的维数.命题4.4 设V是数域K上的n维线性空间,而1,2,,nV.若V中任一向量皆可被1,2,,n线性表出,则1,2,,n是V的一组基.证明:由1,2,,n与V的一组基线性等价可以推出它们的秩相等.命题4.5 设V为K上的n维线性空间,1,2,,nV,则下述两条等价: 1)1,2,,n线性无关；

2)V中任一向量可被1,2,,n线性表出.定义4.10(向量的坐标)设V为K上的n维线性空间,1,2,,n是它的一组基.任给V,由命题4.4,可唯一表示为1,2,,n的线性组合,即!aiK,(i1,2,,n),使得a11a22ann,于是我们称a1,a2,,an为在基1,2,,n下的坐标.易见,在某组基下的坐标与V/K中的向量是一一对应的关系.·６５· §4 基变换与坐标变换

一 授课内容:§4 基变换与坐标变换

二 教学目的:通过本节的学习,掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式.三 教学重点:基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式.四 教学难点:坐标变换公式的应用.五 教学过程: 1.线性空间的基变换,基的过渡矩阵

设V/K是n维线性空间,设1,2,,n和1,2,,n是两组基,且

1t111t212tn1n,ttt,2121222n2n nt1n1t2n2tnnn.将其写成矩阵形式

t11t12t1nttt2n(1,2,,n)(1,2,,n)2122.tttnnn1n2定义4.11 我们称矩阵

t11t12t1nttt2nT2122 tttnnn1n2为从1,2,,n到1,2,,n的过渡矩阵.命题4.6 设在n维线性空间V/K中给定一组基1,2,,n.T是K上一个n阶方阵.命

(1,2,,n)(1,2,,n)T.·６６·则有1,2,,n是V/K的一组基,当且仅当T可逆.证明:若1,2,,n是线性空间V/K的一组基,则1,2,,n线性无关.考察同构映射:VKn,在1,2,,n下的坐标,构造方程

k1(1)k2(2)kn(n)0, 其中kiK,(i1,2,,n), (k11k22knn)0k11k22knn0, k1k2kn0(1),(2),,(n)线性无关.(1),(2),,(n)构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆；

反过来,若过渡矩阵可逆,则构造方程

k11k22knn0,其中kiK,(i1,2,,n), 两边用作用,得到k1(1)k2(2)kn(n)0, k1k2kn0.证毕.2.向量的坐标变换公式；Kn中的两组基的过渡矩阵(1)向量的坐标变换公式

设V/K有两组基为1,2,,n和1,2,,n,又设在1,2,,n下的坐标为a1,a2,,an,即

a1a(1,2,,n)2，an在1,2,,n下的坐标为(b1,b2,,bn),即

b1b(1,2,,n)2.bn现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即(1,2,,n)(1,2,,n)T.记

·６７·

a1b1ab22X,Y, abnn于是

(1,2,,n)X(1,2,,n)Y[(1,2,,n)T]Y(1,2,,n)(TY).于是,由坐标的唯一性,可以知道XTY,这就是坐标变换公式.(2)Kn中两组基的过渡矩阵的求法 我们设Kn中两组基分别为

1(a11,a12,,a1n),2(a21,a22,,a2n),n(an1,an2,,ann).和

1(b11,b12,,b1n),2(b21,b22,,b2n),n(bn1,bn2,,bnn).而(1,2,,n)(1,2,,n)T.按定义,T的第i个列向量分别是i在基1,2,,n下的坐标.将1,2,,n和1,2,,n看作列向量分别排成矩阵

a11a21Aan1a12a1nb11b12b1na22a2nbbb21222n；B，ban2annbbnnn1n2则有BAT,将A和B拼成n2n分块矩阵A|B,利用初等行变换将左边矩阵A化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:(A|B)行初等变换(E|T).·６８·

§5 线性子空间

一 授课内容:§5 线性子空间

二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性子空间的定义、判别定理.三 教学重点:线性子空间的定义、判别定理.四 教学难点:线性子空间的判别定理.五 教学过程: 1.线性空间的子空间的定义

定义4.12(子空间)设V是数域K上的一个线性空间,M时V的一个非空子集.如果M关于V内的加法与数乘运算也组成数域K上的一个线性空间,则称为V的一个子空间.命题4.7 设V是K上的线性空间,又设一个非空集合WV,则W是子空间当且仅当下述两条成立: i)W对减法封闭； ii)W对于K中元素作数乘封闭.证明:必要性由定义直接得出；

充分性:各运算律在V中已有,所以W满足运算律的条件.只需要证明0W且对于任意W,W,且对加法封闭即可.事实上,由于W关于数乘封闭,则00W；(1)W,于是对于,W,()W,W关于加法封闭.于是W是V的一个子空间.证毕.事实上,W关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论.命题4.8 设W是V的一个有限维子空间,则W的任一组基可以扩充为V的一组基.证明:设dimVn,dimWr,(rn),若rn,则命题为真； 若rn,对nr作归纳:设1,2,,r为W的一组基,取r1VW,则1,2,,r,r1线性无关.于是令W'{kr1|W,kK},易见,W’是V的一个子空间,且dimW'r1,此时ndimW'nr1,对其用归纳假设即可.·６９· §6 子空间的交与和

一 授课内容:§6子空间的交与和

二 教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的交与和的定义、性质及维数公式.三 教学重点:子空间的交与和的定义及维数公式.四 教学难点:子空间的交与和的性质及维数公式..五 教学过程: 1.子空间的交与和,生成元集 定义4.13 设1,2,,tV,则

k11k22ktt|kiK,i1,2,,t

是V的一个子空间,称为由1,2,,t生成的子空间,记为L(1,2,,t).易见,生成的子空间的维数等于1,2,,t的秩.定义4.14(子空间的交与和)设V1,V2为线性空间V/K的子空间,定义

V1V2{vV1且vV2},称为子空间的交； V1V2{v1v2|v1V1,v2V2},称为子空间的和.命题4.9 V1V2和V1V2都是V的子空间.证明:由命题4.7,只需要证明V1V2和V1V2关于加法与数乘封闭即可.事实上,,V1V2,则,V1,,V2.由于V1,V2均是V的子空间,则V1,V2,于是V1V2,V1V2关于加法封闭；V1V2,kK,kvV1,kvV2,于是kvV1V2,V1V2关于数乘封闭.,V1V2,则由V1V2的定义,1,1V1,2,2V2,使得,121,2而11V1,22V2,则

(12)(12)(11)(22)V1V2, V1V2关于加法封闭；V1V2,kK,1V1,2V2,使得12,由于k1V1,k2V2,则kk(12)k1k2V1V2,V1V2关于

·７０·数乘封闭.证毕.命题4.10 设V1,V2,,Vm是V的子空间,则V1V2Vm和V1V2Vm均为V的子空间.2.维数公式.定理4.1 设V为有限维线性空间,V1,V2为子空间,则

dim(V1V2)dimV1dimV2dim(V1V2).这个定理中的公式被称为维数公式.证明:设dimV1s,dimV2t,dim(V1V2)n,dim(V1V2)r,取V1V2的一组基1,2,,r(若V1V2=0,则r0,基为空集),将此基分别扩充为V1,V2的基

1,2,,r,1,2,,sr, 1,2,,r,1,2,,tr, 只需要证明1,2,,r,1,2,,sr,1,2，tr是V1V2的一组基即可.首先,易见V1V2中的任一向量都可以被1,2,,r,1,2,,sr,1,2,,tr线性表出.事实上,V1V2,则12,其中1V1,2V2,而

1k11k22krrkr11kr22kssr，2l11l22lrrlr11lr22lttr.ki,ljK 于是12可被1,2,,r,1,2,,lr,1,2，tr线性表出.只要再证明向量组1,2,,r,1,2,,lr,1,2,,tr线性无关即可.设k11k22krra11a22asrsrb11b22btrtr0, 其中ki,aj,bhK.则

k11k22krra11a22asrsrb11b22btrtr(*)于是

k11k22krra11a22asrsrV1, b11b22btrtrV2，·７１· 于是k11k22krra11a22asrsrV1V2,记为.则可被1,2,,r线性表示,设

h11h22hrr, 代入(*),有

h11h22hrrb11b22btrtr0, 由于1,2,,r,1,2,,tr是V2的一组基,所以线性无关,则

h1h2hrb1b2btr0, 代回(*),又有k1k2kra1a2asr0, 于是向量组1,2,,r,1,2,,sr,1,2,,tr线性无关.证毕.推论2.1 设V1,V2,,Vt都是有限为线性空间V的子空间,则: dim(V1V2Vt)dimV1dimV2dimVt.证明:对t作归纳.§7 子空间的直和

一 授课内容:§7 子空间的直和

二 教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的直和与补空间的定义及性质.三 教学重点:子空间的直和的四个等价定义.四 教学难点:子空间的直和的四个等价定义.五 教学过程: 1.子空间的直和与直和的四个等价定义

定义 设V是数域K上的线性空间,V1,V2,,Vm是V的有限为子空间.若对于Vi中任一向量,表达式

i1m12m,iVi,i1,2,,m.·７２·是唯一的,则称Vi为直和,记为

i1mV1V2Vm或Vi.i1m定理 设V1,V2,,Vm为数域K上的线性空间V上的有限为子空间,则下述四条等价: 1)V1V2Vm是直和； 2)零向量表示法唯一；

ˆV){0},i1,2,,m； 3)Vi(V1Vim4)dim(V1V2Vm)dimV1dimV2dimVm.证明: 1)2)显然.2)1)设12m12m,则

(11)(22)(mm)0.由2)知,零向量的表示法唯一,于是

ii,i1,2,,m, 即的表示法唯一.由直和的定义可知,V1V2Vm是直和.ˆV){0},2)3)假若存在某个i,1im,使得Vi(V1VimˆV),于是存在V,使得 则存在向量0且Vi(V1Vjjimˆim.1由线性空间的定义，ˆV), Vi(V1Vim则1()m()0,与零向量的表示法唯一矛盾,于是

ˆV){0},i1,2,,m.Vi(V1Vim3)2)若2)不真,则有

01im, 其中jVj(j1,2,,m)且i0.于是

ˆV), ˆimVi(V1Vi1im

·７３· 与3)矛盾,于是2)成立.3)4)对m作归纳.①m=2时,由维数公式得到

dim(V1V2)dimV1dimV2dim(V1V2)dimV1dimV2.②设m1(m3)已证,则对于m, dim(V1V2Vm)dimVmdim(V1V2Vm1)dim(Vm(V1V2Vm1))dimVmdim(V1V2Vm1),而i,1im1,都有

垐Vi(V1ViVm1)Vi(V1ViVm){0}；

由归纳假设,可以得到dim(V1V2Vm)dimV1dimV2dimVm.4)3)i,1im,都有

垐dim(Vi(V1ViVm))dim(Vi)dim(V1ViVm)dim(V1V2Vm)0, ˆV){0},i1,2,,m.证毕.于是Vi(V1Vim推论 设V1,V2为V的有限维子空间,则下述四条等价: i)V1V2是直和； ii)零向量的表示法唯一； iii)V1V2{0}；

iv)dim(V1V2)dimV1dimV2.2.直和因子的基与直和的基

命题 设VV1V2Vm,则V1,V2,,Vm的基的并集为V的一组基.证明: 设i1,i2,,ir是Vi的一组基,则V中任一向量可被

i{i1mi1,i2,,ir}线性表出.又dimVdimVir1r2rm,由命题4.5,imi1它们线性无关,于是它们是V的一组基.证毕.3.补空间的定义及存在性

定义 设V1为V的子空间,若子空间V2满足VV1V2,则称为V1的补

·７４·空间.命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间.证明: 设V1为K上的n为线性空间V的非平凡子空间,取V1的一组基1,2,,r,将其扩为V的一组基1,2,,r,r1,r2,,n取V2L(r1,r2,,n),则有

VV1V2,且dimV1dimV2ndim(V1V2), 于是VV1V2,即V2是V1的补空间.证毕.§8 线性空间的同构

一 授课内容:§1线性空间的同构

二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间同构的有关定义及线性空间同构的判定.三 教学重点:线性空间同构的判定.四 教学难点:线性空间同构的判定.五 教学过程: 1.线性映射的定义

定义 设U,V为数域K上的线性空间,:UV为映射,且满足以下两个条件: i)()()(),(,U)； ii)(k)k(),(U,kK), 则称为(由U到V的)线性映射.由数域K上的线性空间U到V的线性映射的全体记为HomK(U,V),或简记为Hom(U,V).定义中的i)和ii)二条件可用下述一条代替: (kl)k()k(),(,U,k,lK).·７５· 例 Mmn(K)是K上的线性空间,Msn(K)也是K上线性空间,取定一个K上的sm矩阵A,定义映射

:Mmn(K)Msn(K),xAX.则是由Mmn(K)到Msn(K)的线性映射.例 考虑区间(a,b)上连续函数的全体,它是R上的线性空间,令

UL(1,sinx,sin2x,,sinnx), VL(1,cosx,cos2x,,cosnx).再令

:则是由U到V的一个线性映射.定义 设:UV是线性映射

UV,f(x)AX.i)如果是单射,则称是单线性映射(monomorphism)； ii)如果是满射,则称是满线性映射(endmorphism)；

iii)如果既单且满,则称为同构映射(简称为同构,isomorphism),并说U与V是同构的,同构映射也称为线性空间的同态(homomorphism),同构映射的逆映射也是同构映射；

iv)的核(kernel)定义为ker{U|()0}；

v)的像(image)定义为im={V|U,s.t()},也记为(U)；

命题 ker和im是V的子空间.证明:容易证明它们关于加法和数乘封闭.vi)的余核定义为cokerV/im.命题 线性映射f是单的当且仅当kerf{0},f是满的当且仅当cokerf{0}.定理(同态基本定理)设f:UV是数域K上的线性空间的满线性

·７６·映射,则映射

:U/kerfV，kerff().是同构映射.证明:首先证明是映射,即若'U/kerf,则()(').由于',存在kerf,使得'.于是

f()f(')f(')f()f('),即()(').再证明是线性映射.,U/ker,k,lK,有

(kl)f(kl)kf()lf()k()l().易见是满射,且有Vimf.只要再证明是单射即可,即证明.设ker,则()f()0,于是kerf,即有0.ker{0}证毕.命题 设:UV是线性映射,dimUn,则下述三条等价: i)单；

ii)将U中任意线性无关组映为V中的线性无关组； iii)dim(U)n.证明:i)ii)若1,2,,tV线性无关,则令

k1(1)k2(2)kt(t)0, 由线性映射的定义,(k11k22ktt)0.单,于是k11k22ktt0,则k1k2kt0,ii)成立；

ii)iii)若取U的一组基1,2,,n,则由已知, (1),(2),,(n)线性无关,而im中任意向量可以被(1),(2),,(n)线性表出,于是(1),(2),,(n)构成im的一组基,iii)成立；

iii)i)由同态基本定理知U/kerim,于是diUmdimkerdimke,r即有ker{0}.证毕.·７７·

第二篇：高等代数北大版教案-第5章二次型

第五章 二次型

§1 二次型的矩阵表示

一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示

二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性替换和矩阵的合同.三 教学重点：矩阵表示二次型

四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况.五 教学过程：

定义：设P是一数域，一个系数在数域P中的x1,x2,,xn的二次齐次多项式

f(x1,x2,,xn)a11x122a12x1x22a1nx1xn(3)a22x22a2nx2xn…annxn称为数域P上的一个n元二次型，或者，简称为二次型.22例如：x1x1x23x1x32x2 就是有理数域上的一个4x2x33x323元二次型.定义1 设x1,x2,,xn，y1,y2,,yn是两组文字，系数在数域P中的一组关系式

x1c11y1c12y2c1nynxcycycy22112222nn (4)xncn1y1cn2y2cnnyn称为x1,x2,,xn到y1,y2,,yn的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 cij0，那么线性替换(4)就称为非退化的.二次型的矩阵表示：

·４８·令 aijaji，ij 由于 xixjxjxi,那么二次型(3)就可以写为

f(x1,x2,,xn)a11x12a12x1x2a1nx1xn a21x2x1a22x2a2nx2xn…+an1xnx1an2xnx2annxnnnaijxixj(5)

i1j1把(5)的系数排成一个nn矩阵

a11aA21an1a12a22an2a1na2n

ann它称为二次型(5)的矩阵.因为aijaji，i,j1,2,,n，所以

AA.我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的.x1x2令X,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，xna11a21xnan1a12a22an2a1nx1a2nx2

annxnXAXx1x2x1x2a11x1a12x2a1nxnaxa22x2a2nxnxn211

axaxaxn22nnnn11aijxixj.i1j1nn故 f(x1,x2,,xn)XAX.·４９· 显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型

f(x1,x2,,xn)XAXXBX

且 AA,BB，则，AB 线性替换的矩阵表示

c11c21令Ccn1c1ny1c22c2ny2,Y,那么，线性替换(4)可以写成，ycn2cnnnc12x1c11x2c21xcnn1c1ny1c22c2ny2

cn2cnnync12或者XCY.显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.设 f(x1,x2,,xn)XAX，AA，(7)是一个二次型，作非退化的线性替换

XCY(8)得到一个y1,y2,,yn的二次型YBY.现在来看矩阵B与矩阵A的关系 把(8)代入(7)有

f(x1,x2,,xn)XAX(CY)A(CY)YCACYY(CAC)YYBY.容易看出，矩阵CAC也是对称的，事实上，(CAC)CACCAC.由此，即得

BCAC.定义2 数域P上nn矩阵A,B称为合同的，如果有数域P上可逆的nn矩阵C，使

BCAC.合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有

·５０·(1)反身性 AEAE.(2)对称性 由 BCAC，即得A(C1)B(C1).(3)传递性 由A1C1AC1，A2C2A1C2，即得A2(C1C2)A(C1C2).因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.§2 标准形

一 授课内容：§2 标准形

二 教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法.三 教学重点：化普通的二次型为标准形.四 教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示.五 教学过程：

I 导入

可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型 d1x12d2x2(1)dnxnII 讲授新课

定理1 二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1)的形式.不难看出，二次型(1)的.d100d2xn0000dn22=x1d1x12d2x2dnxnx2x1x2.xn反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项.定理2 在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.定义 二次型f(x1,x2,,xn)经过非退化的线性替换所变成的平方和称为f(x1,x2,,xn)的一个标准形.·５１· 例 化二次型

f(x1,x2,x3)2x1x26x2x32x1x3

为标准形.解：作非退化的线性替换

x1y1y2x2y1y2 xy33则f(x1,x2,x3)2(y1y2)(y1y2)6(y1y2)y32(y1y2)y3

2222y122y24y1y38y2y32(y1y3)22y32y28y2y3

z1y1y3y1z1z3再令 z2y2或y2z2

yzzy3333222则f(x1,x2,x3)2z122z2.8z2z32z32z122(z22z3)26z3w1z1z1w1最后令 w2z22z3或z2w22w3

wzzw333322则 f(x1,x2,x3)2w122w2 6w3是平方和，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换，3w1x1110101100w111x2110010012w2011w2.x001001001w00133w3用矩阵的方法来解 例 化二次型

f(x1,x2,x3)2x1x26x2x32x1x3

为标准形.101解：f(x1,x2,x3)的矩阵为A103.130

·５２·110C110取1,则A1C1AC1

001111020211001110103110024.001130001240101再取C2010，则A2C2A1C2

001021012001002010024010024.101240001042100再取C3012，则A3C3A2C3

001010010020010024012 021042001A3是对角矩阵，因此令

311010110011CC1C2C3110010012111，001001001001就有

200CAC020.006作非退化的线性替换

XCY

即得

22.f(x1,x2,x3)2y122y26y3

·５３·

§3 唯一性

一 授课内容：§3 唯一性

二 教学目的： 通过本节的学习，让学生掌握复二次型，实二次型的规范形，正(负)惯性指数，符号差.三 教学重点：复二次型，实二次型的规范形的区别及唯一性的区别.四 教学难点：实二次型的唯一性 五 教学过程：

在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关.二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩.至于标准形的系数就不是唯一的.例 二次型f(x1,x2,x3)2x1x26x2x32x1x3经过非退化的线性替换

3w1x111x0112w2 x0013w3得到标准形

22.2w122w26w3而经过非退化的线性替换

x1x2x3112112001y11y2 31y33就得到另一个标准形

1222y2y3.23这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作

2y12

·５４·的非退化的线性替换有关.下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.对于复数域的情形

设f(x1,x2,,xn)是一个复系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换后，f(x1,x2,,xn)变为标准形，不妨设标准形为

2d1y12d2y2dryr2，di0，i1,2,,r(1)易知，r就是f(x1,x2,,xn)的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，我们再作一非退化的线性替换

1yz11d1yr1zr(2)dryr1zr1ynzn(1)就变为 z12z2zr2(3)(3)称为复二次型f(x1,x2,,xn)的规范形.显然，规范形完全被原二次型的矩阵的秩所决定.定理3 任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定理3换个说法就是，任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为

11

00的对角矩阵.从而有，两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.·５５· 对于实数域的情形

设f(x1,x2,,xn)是一个实系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换，再适当排列文字的次序，可使f(x1,x2,,xn)变为标准形，d1y12dpy2dryr2(4)pdp1yp1di0 i1,2,,r，r就是f(x1,x2,,xn)的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以，再作一非退化的线性替换

1yz11d1yr1zr (5)dryr1zr1ynzn(4)就变为 z12z2pzp1zr(6)(6)称为实二次型f(x1,x2,,xn)的规范形.显然，规范形完全被r,p这两个数所决定.定理4(惯性定理)任意一个实数域上的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定义3 在实二次型f(x1,x2,,xn)的规范形中，正平方项的个数p称为f(x1,x2,,xn)的正惯性指数，负平方项的个数rp称为f(x1,x2,,xn)的负惯性指数，它们的差p(rp)2pr称为f(x1,x2,,xn)的符号差.惯性定理也可以叙述为，实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项个数也是唯一的，它等于负惯性指数.·５６·

§4 正定二次型

一 授课内容：§4 正定二次型

二 教学目的：通过本节的学习，让学生掌握正定(负定，半正定，半负定，不定)二次型或矩阵.(顺序)主子式的定义，掌握各种类型的判别法.三 教学重点：正定二次型.四 教学难点：判别方法 五 教学过程：

定义4 实二次型f(x1,x2,,xn)称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数c1,c2,,cn都有f(c1,c2,,cn)0.显然，二次型 f(x1,x2,,xn)x12xn2是正定的，因为只有在c1c2cn0时，c12cn才为零.一般的，实二次型 f(x1,x2,,xn)d1x12d2x2dnxn是正定的，当且仅当di0 i1,2,,n.可以证明，非退化的实线性替换保持正定性不变.定理5 n元实二次型f(x1,x2,,xn)是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n.定理5说明，正定二次型f(x1,x2,,xn)的规范形为 y12yn(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果二次型XAX正定.因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵E，所以一个实对称矩阵是正定的，·５７· 当且仅当它与单位矩阵合同.推论 正定矩阵的行列式大于零.定义6 子式

a11Pia21ai1a12a1ia22a2i(i1,2,,n)

ai2aii称为矩阵A(aij)nn的顺序主子式.定理6 实二次型

f(x1,x2,,xn)aijxixjXAX

i1j1nn是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零.例 判断二次型

22f(x1,x2,x3)5x12x2x34x1x28x1x34x2x3

是否正定.解：f(x1,x2,x3)的矩阵为

245212 425它的顺序主子式

52452120 50，0，221425因之，f(x1,x2,x3)正定.与正定性平行，还有下面的概念.定义7 设f(x1,x2,,xn)是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数c1,c2,,cn，如果都有f(c1,c2,,cn)0，那么f(x1,x2,,xn)称为负定的；如果都有f(c1,c2,,cn)0，那么f(x1,x2,,xn)称为半正定的；

·５８·如果都有f(c1,c2,,cn)0，那么f(x1,x2,,xn)称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么f(x1,x2,,xn)就称为不定的.对于半正定，我们有

定理7 对于实二次型f(x1,x2,,xn)XAX，其中A是实对称的，下面条件等价：

(1)f(x1,x2,,xn)是半正定的.(2)它的正惯性指数与秩相等.(3)有可逆实矩阵C，使

d1d2CAC，其中，di0 i1,2,,n.dn(4)有实矩阵C使ACC.(5)A的所有主子式皆大于或等于零.注意：在(5)中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如，f(x1,x2)xx12200x1x201x 就是一个反例.2

·５９·

第三篇：高等代数教案第四章线性方程组

第四章

线性方程组

一 综述

线性方程组是线性代数的主要内容之一.本章完满解决了关于线性方程组的三方面的问题,即何时有解、有解时如何求解、有解时解的个数,这在理论上是完美的.作为本章的核心问题是线性方程组有解判定定理（相容性定理）,为解决这个问题,从中学熟知的消元法入手,分析了解线性方程组的过程的实质是利用同解变换,即将方程的增广矩阵作行变换和列的换法变换化为阶梯形（相应得同解方程组）,由此相应的简化形式可得出有无解及求其解.为表述由此得到的结果,引入了矩阵的秩的概念,用它来表述相容性定理.其中实质上也看到了一般线性方程组有解时,也可用克莱姆法则来求解（由此得所谓的公式解——用原方程组的系数及常数项表示解）.内容紧凑,方法具体.其中矩阵的秩的概念及求法也比较重要,也体现了线性代数的重要思想（标准化方法）.线性方程组内容的处理方式很多,由于有至少五种表示形式,其中重要的是矩阵形式和线性形式,因而解线性方程组的问题与矩阵及所谓线性相关性关系密切；本教材用前者（矩阵）的有关问题讨论了有解判定定理,用后者讨论了（有无穷解时）解的结构.实际上线性相关性问题是线性代数非常重要的问题,在以后各章都与此有关.另外,从教材内容处理上来讲,不如先讲矩阵及线性相关性,这样关于线性方程组的四个问题便可同时讨论.二 要求

掌握消元法、矩阵的初等变换、秩、线性方程组有解判定定理、齐次线性方程组的有关理论.重点：线性方程组有解判别法,矩阵的秩的概念及求法.4.1 消元法

一 教学思考

本节通过具体例子分析解线性方程组的方法——消元法,实质是作方程组的允许变换（同解变换）化为标准形,由此得有无解及有解时的所有解.其理论基础是线性方程组的允许变换（换法、倍法、消法）是方程组的同解变换.而从形式上看,施行变换的过程仅有方程组的系数与常数项参与,因而可用矩阵（线性方程组的增广矩阵）表述,也就是对（增广）矩阵作矩阵的行（或列换法）初等变换化为阶梯形,进而化为标准阶梯形,其体现了线性代数的一种重要的思想方法——标准化的方法.二 内容要求

主要分析消元法解线性方程组的过程与实质,以及由同解方程组讨论解的情况（存在性与个数）,为下节作准备,同时指出引入矩阵的有关问题（初等变换等）的必要性,矩阵的初等变换和方程组的同解变换间的关系.三 教学过程

11x213x2x3151．引例：解方程组x1x23x3

3（1）

32x4x5x21233定义：我们把上述三种变换叫做方程组的初等变换,且依次叫换法变换、倍法变换、消法变换.2．消元法的理论依据

TH4.1.1初等变换把一个线性方程组变为与它同解的线性方程组（即线性方程组的初等变换是同解变换.）

3．转引

在上面的讨论中,我们看到在对方程组作初等变换时,只是对方程组的系数与常数项进行了运算,而未知数没有参加运算,也就是说线性方程组有没有解以及有什么样的解完全决定于它的系数和常数项,因

a11a21Aa12a22a1na2n,则A可经过一系列行初等变换和第一种列初等变换化为如下形式：

am1aam2mn1010001brr1； 000000000000进而化为以下形式：

1000c1r1c1n0100cc2r12n0001crr1crn.其中r0,rm,rn,“”表示不同的元素.0000000000005）用矩阵的初等变换解线性方程组

a11x1对线性方程组：a12x2a1nxnb1ax1a22x2a2nxnb212

（1）am1x1am2x2amnxnbma11a12a1n由定理1其系数矩阵Aaaa21222n可经过行初等变换和列换法变换化为 am1am2amn1000c1r1c1n0100cc2r12n0001crr1crn；则对其增广矩阵 000000000000

y1d1c1r1kr1c1nknydckck22r1r12nn2,这也是（1）的解,由kr1,,kn的任意性（1）有无穷多解.yrdrcrr1kr1crnknyr1kr1ynknx12x23x3x452x4xx3124例1 解线性方程组.x12x25x32x48x12x29x35x421解：对增广矩阵作行初等变换：

23151140132A01252801295210200100001212003213 60013x2xx24122同解,故原方程组的一般解为所原方程组与方程组113x3x42631x2xx42122.131x3x4624.2 矩阵的秩

线性方程组可解判别法

一 教学思考

1．本节在上节消元法对线性方程组的解的讨论的基础上,引入了矩阵的秩的概念,以此来表述有解判定定理,在有解时从系数矩阵的秩与未知数的个数间的关系可讨论解的个数,其中在有无数解时引入了一般解与通解的概念.2．矩阵的秩的概念是一个重要的概念,学生易出问题.定义的表述不易理解,应指出秩是一个数（非负整数）r,其含义是至少有一个r阶非零子式,所有大于r阶（若有时）子式全为0.重要的是“秩”的性质——初等变换下不变,提供了求秩的另一方法——初等变换法.3．本节内容与上一节和下一节互有联系,结论具体,方法规范,注意引导总结归纳.二 内容要求

1． 内容：矩阵的秩、线性方程组可解判定定理

2． 要求：掌握矩阵的秩的概念、求法及线性方程组求解判定定理 二 教学过程

1．矩阵的秩（1）定义

x1x2x31x1x2x3 xxx23124.3 线性方程组的公式解

一 教学思考

1．本节在理论上解决了当线性方程组有解时,用原方程组的系数和常数项将解表示出来——即公式解,结论的实质是克拉默法则的应用.其中过程是在有解判定的基础上选择r个适当方程而得,可归纳方法步骤（方程的选择、自由未知量的选择）,内容规范完整,理论作用较大,实用性较小.2．作为特殊的线性方程组——齐次线性方程组的解的理论有特殊的结果,易于叙述和理解,需注意其特殊性（与一般的区别,解的存在性、解的个数等）.二 内容要求

1．内容：线性方程组的公式解,齐次线性方程组的解

2．要求：了解线性方程组的公式解,掌握齐次线性方程组的解的结论 三 教学过程

1．线性方程组的公式解

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2

（1）有解时,用方程组的系数和常数项把解本节讨论当方程组am1x1am2x2amnxnbm表示出来的问题——公式解.处理这个问题用前面的方法——消元法是不行的,因为这个过程使得系数和常数项发生了改变,但其思想即化简得同解线性方程组的思想是重要的,所以现今能否用其它方法把（1）化简得同解方程组且系数和常数项不变,才可能寻求公式解.x12x2x32,(G1)为此看例,考察2x13x2x33,(G2)

（2）

4xxx7,(G)3123显然G1,G2,G3间有关系G32G1G2,此时称G3是G1,G2的结果（即可用G1,G2线性表示）.则方程组（2）与x12x2x32(G1)同解.2x3xx3(G)2321同样地,把（1）中的m个方程依次用G1,G2,,Gm表示,若在这m个方程中,某个方程Gi是其它若干个方程的结果,则可把（1）中的Gi舍去,从而达到化简的目的.即现在又得到化简（1）的方法：不考虑（1）中那些是其它若干个方程的结果,而剩下的方程构成与（1）同解的方程组.现在的问题是这样化简到何种程度为止,或曰这样化简的方程组最少要保留原方程组中多少个方程.由初等变换法,若（1）的r(A)r,则可把（1）归结为解一个含有r个方程的线性方程组.同样

TH4.3.1设方程组（1）有解,r(A)r(A)r(0),则可以在（1）中的m个方程中选取r个方程,使得剩下的mr个方程是这r个方程的结果.因而解（1）归结为解由这r个方程组成的方程组.下看如何解方程组：

第四篇：高等代数教案第一章基本概念

第一章

一 综述

基本概念

1．本章是本门课程所需要的最基本概念（集合、映射、整数的一些性质、数环和数域）和方法（数学归纳法、反证法）.所需位置不同,可根据课时安排及进度分散处理.如集合、整数的一些整除性质、数学归纳法、数环和数域可先讲,映射可放在线性空间前讲.2．从内容上讲,除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外,其它内容是学生在中学数学当中熟知的,只不过是将有关内容的系统化、理论化（如整数的整除性、映射、数学归纳法,其在中学中熟知其一些事实,今在理论上加以严密论证）.3．新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念,数学归纳法作为定理的论证.4．学习本部分的难点是：从概念出发进行推理论证,这需要从具体例子引导训练,逐步培养.二 重点、难点

1.重点在于所有基本概念,特别是引入的新概念.2.难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明.1．1

集

合

一 教学思考

1．集合可以作为不定义的概念来处理,有些教材上给出了一个简单刻化.2．确定一个集合A,就是要确定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.说明一个集合包含哪些元素时,常用“列举法”、“示性法”（描述法）.3．中学代数大部分的内容是计算,因此一开始遇到证明题时,往往不知从何入手,此需注意培养学生的推理能力,这里应通过证明“集合相等”来加强这方面的训练.4．为稍拓宽知识,可讲解一下补集、幂集等概念.二 重点、要求

1．重点、难点：卡氏积的概念及从概念出发（集合相等、子集等）进行推理.2．要求：使学生了解有关集合的刻化及运算,培养推理能力.三 教学过程

1．集合：简称集,在此是一个不定义的原始概念,通常可给出如下描述性的解释：即所谓集合,是指由某些确定的事物（或具有某种性质的事物）组成的集体.其中每个事物称为这个集合的元素.常用大写字母A、B、C表示集合,用小写字母a、b、c表示集合的元素.若a是集合A的元素,就说a属于A,记作aA,或者说A包含a.若a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作aA,或者说A 不包含a.常采用两种方法：

（1）列举法：列出集合的所有元素（包括利用一定的规律列出无限集）的方法.如A1,2,3,.（2）示性法（描述法）：给出集合所具有的特征性质.如Bx|x3x40表示方程

2x23x40的解集.2．集合的分类（按所含元素的个数分）： 有限集：只含有有限多个元素的集合.无限集：由无限多个元素组成的集合.空集：不含任何元素的集合.用表示.约定：是任何集合的子集.3．集合间的关系：

（1）设A、B是两个集合.“xAxB”）子集：若A的每个元素都是B的元素,则称A是B的子集（即若..记作AB

如：f:RR,xx;g:RR,x2．映射的合成

x2.有fg.（1）定义3.设f:AB,g:BC是两个映射,对xA,有f(x)B,从而g(f(x))C,这样,对xA,就有C中唯一的g(f(x))与之对应,就得到A到C的一个映射,这个映射是由f:AB和g:BC所决定的,称为f与g的合成.记作gf.即：gf:AC,xg(f(x)).例子：f:RR,xx2;g:RR,xsinx.则

gf:RR,xsinx2;fg:RR,xsin2x.（2）映射合成满足结合律：

设f:AB,g:BC,h:CD,则由合成映射的定义可得AD的两个映射：h(gf),(hg)f,则h(gf)(hg)f.3．几类特殊映射

定义4.设f:AB,对xA,有f(x)B,则所有这样的象所作成B的子集,用f(A)表示,即f(A)f(x)|xA,叫做A在f下的象,或叫做映射f的象.（1）满射: 定义5.设f:AB是一映射,若f(A)B,则称f是A到B上的一个映射,也称f是一个满射.（2）单射: 定义6.设f:AB是一个映射,若对x1,x2A,只要x1x2,就有f(x1)f(x2),则称f是A到B的一个单射,简称单射.（3）双射（1-1对应）:定义7.若f:AB既是单射又是满射,即

1）若 f(x1)f(x2)x1x2,x1,x2A；

2）f(A)B.则称f是A到B的一个双射.特别若f是A到A上的一个1-1对应,就称f为A的一个一一变换；有限集A到自身的双射称为A的一个置换.如：jA是A的一个一一变换,同样jB是B的一个一一变换.由映射合成及相等：若f:AB,则有fjAf,jBff.TH1.2.1令f:AB是一个映射,则：下述两条等价：1）f是双射；2）存在g:BA使得gfjA,fgjB.且2）成立时,其中的g由f唯一决定.（4）可逆映射及其逆映射

定义8.设f:AB,若存在g:BA,使得gfjA,fgjB,则称f是可逆映射,且称g为f的逆映射.求其逆的方法

由定理知：f:AB可逆f是双射.而验证双射有具体方法,所以可先证f可逆（双射）,再求其逆.而由TH1证知f可逆时其逆唯一为g:BA,yx（若f(x)y)（即对yB,找在f下的原象）.（5）代数运算

引例：我们常说整数加法是整数的一个“代数运算”.其意思是说对任一对整数(a,b),有确定的唯一一个整数（通过相加）与之对应,用映射的观点来说整数加法是ZZZ的一个映射：:(a,b)ab.同样实数乘法亦然.一般地：

定义9.设A是一个非空集合,我们把AAA的一个映射叫做集合A的一个代数运算.若集合A 有代数运算,也说A对封闭.要从中体会严格的推理论述.此与多项式相应的问题平行,到时应对照学习.1.整除、带余除法（1）整除

这时a叫做b的一个因数,而b叫做a的一个倍数.若a不整除b（即对dZ,adb）,记作a|b.B）整除的性质：

1）a|b,b|ca|c；

（传递性）2）a|b,a|ca|(bc);3）a|b,cZa|bc；

4）由2）、3）a|bi,ciZ,i1,2,3,,na|bcii；

5）1|a,a|0,a|a(aZ)；由此任意整数a有因数1,a,它们称为a的平凡因数； 6）若a|ba|b；

7）a|b且b|aab或ab.（对称性）(2)带余除法

“整除”是整数间的一种关系,任意两个整数可能有这种关系,可能没有这种关系,一般地有：

TH1.4.1(带余除法)设a,bZ,且a0；那么q,rZ使得baqr

且0ra.满足上述条件的q,r是唯一的.2.最大公因数、互素（1）最大公因数

且c|a,c|bc|d（即d能被a与b的任一个公因数整除）.则称d为a与b的一个最大公因数.最大公因数的概念可推广至有限个整数.B）最大公因数的存在性（及求法）

TH1.4.2 任意n(n2)个整数a1,a2,,an都有最大公因数；若d为a1,a2,,an的一个最大公因数,则d也是；a1,a2,,an的两个最大公因数至多相差一个符号.C）性质

TH1.4.3 设d为a1,a2,,an的一个最大公因数,那么t1,t2,,tnZ使得A）定义1.设a,bZ,若dZ使得bad,则称a整除b（或b被a整除）.用符号a|b表示.d|a且d|bA）定义2.设a,bZ,dZ,若d满足：1）（即d是a与b的一个公因数）；2）若cZdt1a1ta22tnan.略证：若a1a2an0,则d0,从而对tiZ都有0t1a1t2a2tnan；若ai不全为0,由证明过程知结论成立.（2）互素

定义3.设a,bZ,若(a,b)1,则称a,b互素；一般地设a1,a2,,anZ,若(a1,a2,,an)1,则称a1,a2,,an互素.3.素数及其性质

（1）定义4.一个正整数p1叫做一个素数,若除1,p外没有其他因数.（2）性质

1）若p是一个素数,则对aZ有(a,p)p或(a,p)1.（注意转换为语言叙述,证易；略）

2）aZ且a0,1；则a可被某一素数整除.3）TH1.4.5 设p是一个素数,a,bZ,若p|ab,则p|a或p|b.TH1.4.4 n个整数a1,a2,,an互素t1,t2,,tnZ使得t1a1t2a2tnan1.6-

第五篇：浅谈线性空间与欧式空间

2014 年三会一课会议记录示例月 10 日

支部委员会

内容： 1、传达镇党委工作会议精神。2、临近春节，讨论摸排村内不稳定因素，及时

解决村民反映的突出问题。3、总结 2012 年各项工作 ……..，讨论 2013 年重点工作，制定 2013 年初步工作计划 ………，下一步及时召开党员大会进行讨论。4、讨论村内

环境卫生整治工作，杜绝垃圾乱倒现象，积极营造优美居住环境。2 月 3 日

支部委员会 内容： 1、讨论如何进一步优化村内环境，清扫大街，欢度春节。2、传达镇党委政府 春节安全工作会议精神，进一步强调社会平安稳定工作。3、安排发放计生明白纸。4、春节前走访困难群众，座谈了解群众的实际困难和问题，及时加以解决。3 月 1 日 党员大会

内容：商议村内重大建设项目及工作计划

一、（支书姓名）介绍我村今年的工作计划。

二、（支部书记）介绍当前重点惠民项目情况

今天我们商议的事是：（修路、修大街、挖沟渠、打机井、整平生产路、修建办公室、购置器械、整理农田、修理自来水等。再详细介绍一下项目内容、投资情况）。如修 村内大街，长

米，宽

米，需建设资金

万元，经村两委讨论决定，建设资金 为村集体收入资金（或群众共同出资，每人 元）。

三、党员讨论结果

经村党员大会讨论举手表决：同意通过。参加会议

人，同意

人，不同意 人，弃权

人。党员纷纷表示，会积极向群众宣传本次会议精神，配合村里的工作。

四、（支书姓名）总结。同志们考虑的很全面，提出的意见很中肯，我们村两委成员，一定会按照同志们的想法，认真修改初步制定的计划，制定最终方案，做好惠民项目 的建设。月 1 日

上党课内容 :（一般召开一次党员大会，就跟着上一次党课，这样符合实

际情况，检查的时候也可信）

一、（支书姓名）主持会议 今天，镇领导 …

（填写联系本村的副科级领导）到我村来为大家上党课，让我们用热 烈的掌声欢迎领导讲话。

二、镇领导讲话

一是传达今年以来，市委抓基层党建工作的重要精神，强调加强村两委班子和 党员队伍建设的重要性和紧迫性。二是根据市委的要求，通报今年以来我镇在加强

基层党组织建设方面出台的一系列措施及有关要求。

三是如何发挥党员先锋模范作

用。我们村党组织和全体党员都要积极投身活动，实现组织和党员全覆盖。本着有利 于党组织开展活动、有利于党员参加、有利于创先争优活动取得实效的原则，巩固和 拓展学习实践科学发展观活动成果结合起来，精心设计特色鲜明、务实管用的载体，精心组织实施好创先争优活动。提几点要求。一是要提高思想认识，结合实际开展

大讨论活动；

二是要认识到创先争优的核心是发展，要结合我村实际，发展村域经济；

三是要处理好社会发展与经济发展的关系；四是重点要加强党员干部作风建设，要加 强窗口建设，努力提高服务意识和水平。

三、（支书姓名）总结

结合工作实际，就基层党建工作的重大意义、新时期发挥党员先锋模范作用、党 员“五带头”的标准尺度等问题，进行了精辟的阐述，给我们上了一堂既有理论性、又有实践性的党课。党的先进性需要通过党员的具体先锋模范行动来体现，就基层党 员来说，日常工作、生活中都能展示党员先锋模范作用的舞台。课后，希望大家结合 这次党课上所讲的内容，围绕如何发挥党员先锋模范作用这个主题，进行认真的讨论，进一步领会领导讲课的内容，切实推进我村的工作。月 10 日

支部委员会、（支部书记）传达镇党委政府关于春季植树造林会议精神。

大力开展植树造林动活，对于保护和改善生态环境，增加农民收入。2、讨论安排挖沟渠、清扫大街工作。4 月 10 日

支部委员会 1、传达落实镇党委政府关于营造计划生育宣传氛围的精神。2、加强春季林木管护、涂白工作。月 10 日

支部委员会、安排部署美国白蛾防治工作。2、按照镇党委安排部署，积极做好计生宣传工作。3、当前的几项重点工作

（依次罗列安排，需讨论的讨论）。月 10 日

支部委员会、研究做好防汛准备工作。2、研究安排小麦、玉米、棉花保险费的征收工作。3、抓住麦收期间这一有利时机，做好计生工作。月 1 日 党员大会

内容：纪念“七一”建党** 周年座谈会

一、由（支部书记）带领广大党员重温入党誓词，带领大家学习《党章》。

二、党员展开讨论

生活发生的深刻变化和走过的光辉历程。尤其是看到我市、我镇这几年发生的巨 大变化，对我们的党、国家的未来充满信心。希望以后能充分发挥党员的先锋模范作 用，为本村、本镇的发展贡献一份力量。

三、（支书）做总结讲话

我们村正处于发展的有利时机，广大党员要带头，起到先锋模范作用，在做好防 汛、防洪、计生等工作的同时，自觉爱护我们现在已有的环境，争取做到爱护环境，人人有责，希望各个方面都能走在全镇前列，各项事业都能取得新成绩。

四、党员向党支部交纳党费。月 10 日

支部委员会

内容： 1、排摸村内不稳定因素，分析群众思想状况，讨论村民反映强烈的问题 2、研

究部署美国白蛾防治工作。月 1 日：党课

一、新形势下村干部的主要工作职责是什么？

在农业和农村经济发展的新阶段，村干 部主要职责总结起来就是四个字，即传、带、稳、育。1、传，既传达、贯彻、落实 党的政策 2、带，既带头并带领群众发展经济 3、稳，既协助地方党委、政府做好农 村各项工作，维护农村稳定。4、育，既提高村民的素质，培育新型农民。

二、新形势下村干部应该具备哪些素质？

总的来说，一个受人爱戴的村班子必须要具备三个基本的特征： 第一，要有强

烈的发展意识。不甘落后，锐意进取，自强不息，艰苦创业，有市场意识、产业意识、项目意识、品牌意识、亲商意识。第二，要有切实可行的发展路子。在某种程度上，思路就是出路，没有思路的班子绝对不是好班子。第三，要有实实在在的发展业绩。

要会干事、能干事、干成事，仅有思路不落实，只说不干，只讲客观不讲主观，任职 多年，村上面貌依旧，一事无成的班子也不是好班子。要具备以上三个基本特征，就 要求村干部必须具备以下四个方面的能力。一是

带民致富的能力。二是

依法办事的能 力。三是

科技示范能力。四是

服务群众的能力。月 10 日

支部委员会、研究部署美国白蛾防治、防汛等工作。2

、讨论村内重点项目

（从中选择 1-2 项：整修大街、挖沟渠、打机井、整平生产路、修建办公室、购置器械等）。9 月 10 日 支部委员会

内容： 1、排摸村内不稳定因素，分析群众思想状况，讨论村民反映强烈的问题。2、研究部署美国白蛾防治、防汛等工作。月 1 日 党员大会

（仅是示例，发展党员的党员大会请按实际时间做会议记录）

内容

：分为两种情况，各村结合自己实际从中选择一种。

第一种情况： 2013 年有党员发展对象（发展预备党员或党员转正）的村按下面的要 求写 ：

一、（支部书记）传达会议精神。„„„

二、由（党员发展对象姓名）入党介绍人介绍主要情况

介绍人一： *** 同志在考察期间，能够认真学习理论知识，注重自身修养，在政治上

保持清醒的头脑，在思想上保持高尚的境界，将理论知识运用到实际生活中，坚持不 懈，持之以恒，实事求是，脚踏实地，处处起表率作用，树立良好的党员形象，认真 对待自己的缺点和不足，并及时地进行改正。总之，该同志能够不断提高自身党性修 养和综合素质，充分发挥共产党员的先锋模范和用，我们认为 *** 同志基本具备一名

预备党员（或正式党员）的条件，我同意 *** 同志加入党组织。（或我同意 *** 同志按 期转正）

介绍人二： „„„„.三、支部报告对党员发展对象的政治审查情况 本支部通过采取查阅本人档案材料、派人处调、函调、与本人谈话、征求有关监督部 门意见、召开党内外群众座谈会以及公示等方法对 *** 同志进行了政治审查及考核，认为该同志本人政治历史清楚，在重大政治斗争中旗帜鲜明，能够与党中央保持一致，其家庭主要成员和社会关系清楚。

四、党员无记名投票表决

经村党员大会讨论无记名投票表决：通过了 **** 同志转发展为中共预备党员（或按期转正）的决议。参加会议

人，同意

人，不同意 人，弃权

人。

第二种情况： 2013 年无党员发展对象的村，入党积极分子“双推”按以下要求写：

（注意：入党积极分子“双推”前应有一次支委会讨论入党积极分子的会议记录，一 句话即可）

一、（支部书记）传达会议精神。„„..二、由（入党积极分子姓名）培养联系人介绍主要情况

培养人一： *** 同志自 2009 年 1 月提出入党申请以来，识，积极 向党组织靠拢，主动汇报思想，积极参加村、党组织的政治活动，认真学习党的基本知优点是： 学习认真、乐于助人、尊老爱幼，是我们村公认的积极模范分子。缺点是：理论学习不够深入。

培养人二： „„„„„„„.三、党员和群众代表无记名投票表决

经村党员大会讨论投票表决： 通过了确定 ***

同志为入党积极分子并重点培养的决议。党员参加会议

人，同意

人，不同意 人，弃权

人。群众代表参加会议

人，同意

人，不同意 人，弃权

人。10 月 1 日

党课：

一、（支部书记）领学《党章》的主要内容

主要学习了党的性质，中国共产党是中国工人阶级的先锋队，同时是中国人民和中华 民族的先锋队，是中国特色社会主义事业的领导核心，代表中国先进生产力的发展要 求，代表中国先进文化的前过方向，代表中国最广大人民的根本利益。党的最高理想 和最终目标是实现共产主义。

学习党的宗旨和指导思想、思想路线。党的宗旨就是全心全意为人民服务，中国共产 党以马列主义、毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想作为自己的行动指 南，一切从实际出发，理论联系实际，实事求是，在实践中检验真理和发展真理。

二、党员讨论发言

大家纷纷表示，通过对《党章》的再学习，提高了党员的先锋模范意识，增强了党员 发挥作用的自觉性和主动性。月 10 日

支部委员会

内容： 1、安排部署计划生育工作。2、安排部署农业结构调整事宜。月 1 日 党员大会

内容：

一、（支部书记）传达村两委会议精神，对大街进行综合整治，改善村民居住 环境。

一是从今天开始全村开展大街整治。二是村两委成员包一条大街。三是大街整治内容： 对大街两旁的杂草、粪便、麦秸等杂物全部清理干净，先由户清理成堆，村再组织人 员清理走。

二、党员讨论发言

（党员）：村内大街整治非常有必要，我支持

（党员）：我支持村两委的工作，积极参与大街整治

（党员）：这个活动搞得很好，我们村整理一下，搞好了环境卫生，和在城里住没啥 区别，大力支持。

（党员）：我全力支持，一定尽全力，支持村两委工作月 1 日 党课

共产党员如何发挥先锋模范作用？

一、做有理想的模范

二、做有道德的模范

三、做努力工作、好学上进、促进先进社 会生产力的模范

四、做不尚空谈、多干实事的模范

五、做深化改革，勇于创新的模 范

六、做遵纪守法，同不正之风，腐败现象和违法犯罪行为作斗争的模范月 10 日

支部委员会 内容： 1、积极采取措施抓紧进行覆盖地膜保温，增强保温抗寒能力。2、安排冬季联

户联防工作，确保冬季社会平安。3、讨论开展星级文明户评选活动相关事宜。月 10 日