高等代数机算讲稿

第一篇：高等代数机算讲稿

矩阵的基本运算

1.矩阵赋值方法；

2.矩阵加法、数乘、转置和乘法运算； 3.矩阵幂运算及逆运算； 4.矩阵元素群运算； 5.演算矩阵的运算规则。

例1.1 用MATLAB软件生成以下矩阵：

932100（1）A656（2）B010 6600011100（3）C（4）D1001111111 111111解：（1）在MATLAB命令窗口输入： A=[9,3,2;6,5,6;6,6,0] 或：A=[9 3 2;6 5 6;6 6 0] 或：A=[9 3 2 6 5 6 6 6 0] 结果都为： A = 9 3 2 6 5 6 6 6 0（2）输入： B=eye(3)结果为： B = 1 0 0 0 1 0 0 0 1（3）输入： C = zeros(2)结果为： C = 0 0 0 0（4）输入： D = ones(4)结果为：

D = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 例1.2 随机生成两个3阶方阵A和B，分别计算：（1）A＋B；（2）A－B；（3）5A；（4）AB；（5）AT 解：输入：

A=round(rand(3)*10)B=round(rand(3)*10)结果为： A = 10 2 3 5 10 9 9 3 7 B = 1 2 3 0 3 5 9 7 1（1）输入： A＋B 结果为： ans = 11 4 6 5 13 14 18 10 8 其中“ans”表示这次运算的结果。（2）输入： A－B 结果为： ans = 9 0 0 5 7 4 0-4 6（3）输入： 5*A 结果为： ans = 50 10 15 25 50 45 45 15 35（4）输入： A*B 结果为： ans = 37 47 43 86 103 74 72 76 49（5）输入 A’ 结果为 ans = 10 5 9 2 10 3 3 9 7 例1.3 已知矩阵A123010，217分别计算：（1）A5；（2）A1

解：输入：

A=[1,2,3;0,1,0;2,1,7] 结果为： A = 1 2 3 0 1 0 2 1 7（1）输入： A^5 结果为： ans = 3409 2698 11715 0 1 0 7810 6177 26839（2）输入： inv(A)或输入A^-1 结果都为： ans = 7-11-3 0 1 0-2 3 1

695662例1.4已知矩阵A052，B104，291281且满足PAB，AQB，计算矩阵P和Q。解：方法一：利用求逆矩阵的方法，输入：

A=[6,9,5;0,5,2;2,9,1] B=[6,6,2;1,0,4;2,8,1] P=B*inv(A)Q=inv(A)*B 方法二：利用MATLAB软件特有的矩阵 “左除”和“右除”运算，输入： A=[6,9,5;0,5,2;2,9,1] B=[6,6,2;1,0,4;2,8,1] P=B/A % 矩阵右除 Q=AB % 矩阵左除 两种方法的运算结果都为： A = 6 9 5 0 5 2 2 9 1 B = 6 6 2 1 0 4 2 8 1 P = 0.8043-1.3043 0.5870 0.5761 1.1739-1.2283 0.0435-0.0435 0.8696 Q = 0.6087 1.4565-1.2065 0.0435 0.7826 0.2174 0.3913-1.9565 1.4565 503213，6例1.5 已知矩阵A620，B30452701分别按以下要求进行矩阵元素的群运算：

（1）把矩阵A和矩阵B所有对应元素相乘，得到9个乘积，计算由这9个数所构成的同形矩阵C。（2）对矩阵A中的所有元素进行平方运算，得到矩阵D，求该矩阵。

解：Matlab软件提供了矩阵元素群运算的功能，输入：

A=[5,0,3;6,2,0;7,0,1] B=[2,1,3;3,0,6;4,5,-2] 结果为： A = 5 0 3 6 2 0 7 0 1 B = 2 1 3 3 0 6 4 5-2（1）输入：

C=A.*B 结果为： C = 10 0 9 18 0 0 28 0-2（2）输入： D=A.^2 结果为： D = 25 0 9 36 4 0 49 0 1

abc1例1.6 生成符号矩阵Abca，B3cab222130.13解 可用命令A= sym（'[a b c;b c a;c a b] '）或 syms a b c

A = [a b c;b c a;c a b] B=sym([1 2 3;3 sqrt(2)0;2-1 1/3])命令来实现，其中sqrt为平方根函数.结果如下： A = [ a, b, c] [ b, c, a] [ c, a, b] B = [

1，2，3]

[

3, sqrt(2)，0] [

2，-1，1/3] 行列式与方程组的求解

1.2.3.4.5.6.求行列式的命令； 求矩阵秩的命令；

求矩阵的最简行矩阵的命令； 满秩线性方程组的各种方法； 符号变量的应用；

验证与行列式相关的公式和定理。

例2.1 已知非齐次线性方程组：

6x12x23x34x45x52x3x7x10x13x123453x15x211x316x421x52x7x7x7x2x234517x13x25x33x410x5805990，2285要求用下列方法求解该方程组。（1）求逆矩阵法；（2）矩阵左除法；（3）初等行变换；（4）克莱姆法则。解：（1）把非齐次线性方程组写为矩阵形式：

Axb，则xA1b，直接在MATLAB的命令窗口输入：

A=[6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10];6

b=[80;59;90;22;85];x=inv(A)*b %或：x=A^-1*b 计算结果为： x = 9.0000 3.0000 2.0000 1.0000 2.0000（2）矩阵的乘法不遵守乘法交换律，Matlab软件定义了矩阵左除和矩阵右除运算，针对方程组的矩阵形式Axb，可用左除法

等式两端同时左除A，得到：“xAb”，即xAb

针对矩阵方程XAB，可用右除法，等式两端同时右除A，XB/A，即XBA1

在MATLAB命令窗口中输入：

A=[6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10];b=[80;59;90;22;85];x=Ab % 符号“”即为左除运算，注意它的方向。结果为： x = 9.0000 3.0000 2.0000 1.0000 2.0000（3）用初等行变换，把方程组的增广矩阵变换为最简行阶梯形式，从而得到方程组的解。在MATLAB命令窗口中输入：

A=[6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10];b=[80;59;90;22;85];U=rref([A,b])运算结果为： U = 1 0 0 0 0 9 0 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 2

1 7

（4）根据克莱姆法则，有：xi其中D是方程组的系数行列式，Di，DDi是用常数列向量b代替系数行列式的

第i列所得到的行列式。

用Matlab的M文件编辑器，编写la01.m文件如下： % 用克莱姆法则求解方程组

clear % 清除变量

n=input('方程个数n＝')% 请用户输入方程个数

A=input('系数矩阵A=')% 请用户输入方程组的系数矩阵 b=input('常数列向量b=')% 请用户输入常数列向量 if(size(A)~=[n,n])|(size(b)~=[n,1])

% 判断矩阵A和向量b输入格式是否正确

disp('输入不正确,要求A是n阶方阵，b是n维列向量')% disp：显示字符串 elseif det(A)==0 % 判断系数行列式是否为零 disp('系数行列式为零，不能用克莱姆法则解此方程。')else for i=1:n % 计算x1,x2,...xn B=A;% 构造与A相等的矩阵B B(:,i)=b;% 用列向量b替代矩阵B中的第i列 x(i)=det(B)/det(A);% 根据克莱姆法则计算x1,x2,...xn end x=x' % 以列向量形式显示方程组的解 end 在MATLAB命令窗口中输入： la01 得到以下人机对话结果： 方程个数n＝5 n = 5 系数矩阵A= [6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10] A = 6 2 3 4 5 2-3 7 10 13 3 5 11-16 21 2-7 7 7 2 7 3-5 3 10 常数列向量b=[80;59;90;22;85] b = 80 8

90 22 85 x = 9 3 2 1 2 72646136311例2.2求矩阵A311952

3029330181147的逆，要求用以下方法：

（1）矩阵左除和右除运算；（2）初等行变换；

A*（3）利用伴随矩阵A求逆的公式A。

A*1解：在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la02.m： % 逆矩阵各种求法： clear A=[-7,-2,-6,4,6;1,3,-6,3,11;3,-11,9,5,-2;-3,0,-2,9,-3;7,30,-18,11,4];% 1.命令法： An1=inv(A)% 2.幂运算法： An2=A^-1 % 3.右除法：

An3=eye(5)/A % eye(5)为5阶单位矩阵 % 4.左除法： An4=Aeye(5)% 5.初等行变换法：

B=rref([A,eye(5)]);% 对矩阵[A , I] 进行初等行变换

% B为矩阵A的最简行阶梯矩阵

if(rank(B(:,1:5))==5)% 判断最简行阶梯矩阵B的前5列是否为单位阵

An5=B(:,6:10)% 取出矩阵的后5列，并显示 else disp('A不可逆');end % 6.伴随矩阵求逆法：

for i=1:5 % 构造伴随矩阵的5×5个元素

for j=1:5 T=A;% 把矩阵A赋给矩阵T T(i,:)=[];% 删去矩阵T的第i行 T(:,j)=[];% 删去矩阵T的第j列

% 此时，|T| 为矩阵A元素aij的余子式 AA(j,i)=(-1)^(i+j)*det(T);

% 算出aij的代数余子式

% 并放入矩阵AA的第j行、第i列

% 当循环结束，矩阵AA即为A的伴随矩阵

end end if det(A)~=0 An6=AA/det(A)else disp('A不可逆');end 运算程序la02，前四个方法计算结果相同： 1.0e+004 *-1.5895 1.3448-1.0646 1.6206-0.6308 1.6298-1.3789 1.0916-1.6617 0.6468 2.5392-2.1483 1.7007-2.5889 1.0077 0.3631-0.3072 0.2432-0.3702 0.1441 0.9860-0.8342 0.6604-1.0053 0.3913 后两个方法计算结果相同：

-15895 13448-10646 16206-6308 16298-13789 10916-16617 6468 25392-21483 17007-25889 10077 3631-3072 2432-3702 1441 9860-8342 6604-10053 3913 从计算结果可以发现，前四个方法得到的是实数矩阵，而后两个方法得到的是整数矩阵。如果在Matlab环境下，键入： format long 然后再重新运行该程序，会发现前四个方法的运算结果存在误差，这是计算机做数值运算时，存在舍入误差的原因。为了进一步观察计算机做数值运算所产生的误差，123现在用上述六种方法来计算矩阵A101010的逆，111213A=[1,2,3;10,10,10;11,12,13] 前四种方法得到以下类似结果：

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND = 2.135044e-018.ans = 1.0e+015 *-4.5036-4.5036 4.5036 9.0072 9.0072-9.0072-4.5036-4.5036 4.5036 显然此结果是不正确的，因为A不可逆。

3例2.3 解方程：

21113311220。357x222x2解：Matlab软件定义了“符号变量”的概念。在MATLAB的M文件编辑器中，应用“符号变量”编写程序la03.m： % 求解符号行列式方程

clear all % 清除各种变量

syms x % 定义x为符号变量 A=[3,2,1,1;3,2,2-x^2,1;5,1,3,2;7-x^2,1,3,2]

% 给矩阵A赋值

D=det(A)% 计算含符号变量矩阵A的行列式D f=factor(D)% 对行列式D进行因式分解

% 从因式分解的结果，可以看出方程的解 X=solve(D)% 求方程“D＝0”的解 在MATLAB的命令窗口输入： la03 运行结果为： A = [ 3, 2, 1, 1] [ 3, 2, 2-x^2, 1] [ 5, 1, 3, 2] [ 7-x^2, 1, 3, 2] D =-6+9*x^2-3*x^4 f =-3*(x-1)*(x+1)*(x^2-2)X = [ 1] [-1] [ 2^(1/2)] [-2^(1/2)] 例2.4 请用Matlab软件验证行列式按行（列）展开公式：

a11A11a12A12a15A15A

a11A31a12A32a15A350

解：在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la04.m： % 验证行列式按行（列）展开公式 clear A=round(10*randn(5));% 构造5阶随机数方阵 D=det(A);% 计算矩阵A的行列式 % 矩阵A按第一行元素展开：s=a11*A11+a12*A12+„+a15*A15 s=0;for i=1:5 T=A;T(1,:)=[];% 删去阵矩第1行 T(:,i)=[];% 删去矩阵第i列

% 此时，|T| 为矩阵A元素a1i的余子式 s=s+A(1,i)*(-1)^(1+i)*det(T);end e=D-s % 验算D与s是否相等 在MATLAB的命令窗口中输入： la04 计算结果为： e = 0 在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la05.m：

% 计算5阶方阵A的第一行元素与第三行元素对应的代数余子式乘积之和： % s=a11*A31+a12*A32+„+a15*A35 clear A=round(10*randn(5));% 构造5阶随机数方阵 s=0;for i=1:5 T=A;T(3,:)=[];% 删去矩阵第3行 T(:,i)=[];% 删去矩阵第i列

% 此时，|T| 为矩阵A元素a3i的余子式 s=s+A(1,i)*(-1)^(3+i)*det(T);end s % 验算s是否为0 在MATLAB命令窗口中输入： la05 计算结果为： s = 0

11231例2.5 求A221，B234313121314131的逆矩阵.415解

format rat

%用有理格式输出 A=[1 2 3;2 2 1;3 4 3];AN=inv(A)或 AN=A^(-1)B=hilb(3)BN= B^（-1）或BN= inv(A)或

BN=invhilb(B)

% invhilb为求希尔伯特矩阵的逆的函数 显示结果如下：

AN =

-3/2

5/2

BN =

192

-180

-180

180

由于希尔伯特矩阵的条件数很大,不同的算法求其逆的精度有所不同,可以上机比较几种求矩阵逆的函数的差别.11bb21cc21dd2例2.5 计算行列式的aa2值.a4b4c4d4解

在MATLAB编辑器中建立M文件： syms a b c d

A=[1 1 1 1;a b c d;a^2 b^2 c^2 d^2;a^4 b^4 c^4 d^4];d1=det(A)d2=simple(d1)

%用 simple函数化简表达式d1 pretty(d2)

%用pretty函数使表达式d2符合人们的书写习惯.则结果显示为： d1 = b*c^2*d^4-b*d^2*c^4-b^2*c*d^4+b^2*d*c^4+b^4*c*d^2-b^4*d*c^2-a*c^2*d^4+a*d^2*c^4+a*b^2*d^4-a*b^2*c^4-a*b^4*d^2+a*b^4*c^2+a^2*c*d^4-a^2*d*c^4-a^2*b*d^4+a^2*b*c^4+a^2*b^4*d-a^2*b^4*c-a^4*c*d^2+a^4*d*c^2+a^4*b*d^2-a^4*b*c^2-a^4*b^2*d+a^4*b^2*c

d2 =(-d+c)*(b-d)*(b-c)*(-d+a)*(a-c)*(a-b)*(a+c+d+b)(-d + c)(bc)(-d + a)(ab)(a + c + d + b)

函数

rank 格式

k = rank(A)

%求矩阵A的秩

k = rank(A,tol)

%tol为给定误差下计算矩阵的秩

例2.6求向量组1(1223)，2(2413)，3(124(0623)，5(2634)的秩，并判断其线性相关性.解

A=[1-2 2 3;-2 4-1 3;-1 2 0 3;0 6 2 3;2-6 3 4];k=rank(A)结果为 k = 由于秩为3小于向量组所含向量个数，因此向量组线性相关.3 向量组的相关性及方程组的通解

1.分析向量组线性相关性的方法； 2.求解线性方程组通解的各种方法；

例3.1求非齐次线性方程组

03)，2x14x2x34x416x523x6x2x6x23x712345的通解。3x16x24x36x419x523x12x25x32x419x543解：在MATLAB命令窗口，输入以下命令：

A=[2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19];% 输入系数矩阵A b=[-2;7;-23;43];% 输入常数列向量b [R,s]=rref([A,b])% 把增广矩阵的最简行阶梯矩阵赋给R % 而R的所有基准元素在矩阵中的列号构成了行向量s 计算结果为： R = 1 2 0 2 9 3 0 0 1 0 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s = 1 3 程序la06.m给出非齐次方程组的通解。% 求非齐次线性方程组的通解 clear A=[2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19];% 输入系数矩阵A b=[-2;7;-23;43];% 输入常数列向量b [R,s]=rref([A,b]);% 把增广矩阵的最简行阶梯矩阵赋给R % 而R的所有基准元素在矩阵中的列号构成了行向量s [m,n]=size(A);% 矩阵A的行数、列数赋给了变量m、n x0=zeros(n,1);% 将特解x0初始化为N维零列向量 r=length(s);% 矩阵A的秩赋给变量r x0(s,:)=R(1:r,end);% 将矩阵R的最后一列按基准元素的位置给特解x0赋值 disp('非齐次线性方程组的特解为：')x0 % 显示特解x0 disp('对应齐次线性方程组的基础解系为：')x=null(A,'r')% 得到齐次线性方程组Ax＝0的基础解系x，求A的零空间，Ax=0 在MATLAB命令窗口中输入： la06 运算结果为：

非齐次线性方程组的特解为： x0 = 3 0 8 15

0 0 对应齐次线性方程组的基础解系为： x =-2-2-9 1 0 0 0 0-2 0 1 0 0 0 1 22931000则方程组的通解为：k10k20k328

01000010齐次线性方程组的特解还可以用

Matlab的矩阵左除运算来求得，直接在MATLAB命令窗口输入以下命令：

A=[2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19];b=[-2;7;-23;43];x0=Ab % 用矩阵左除运算求得方程组特解x0 x=null(A,'r')% 得到齐次线性方程组Ax＝0的基础解系x 运算结果为：

Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 4.3099e-014.x0 = 0 0 7.3333 0 0.3333 x =-2-2-9 1 0 0 0 0-2 0 1 0 0 0 1 22901000方程组的通解为：k10k20k32223

010000113例3.2 已知向量组

132961433210，20，30，42，52，2861923122求出它的最大无关组，并用该最大无关组来线性表示其它向量。解：用笔计算的过程为： 编写Matlab程序la07.m：

% 找向量组的最大无关组，并用它线性表示其它向量 clear a1=[1;1;0;2;2];% 输入5个列向量 a2=[3;4;0;8;3];a3=[2;3;0;6;1];a4=[9;3;2;1;2];a5=[6;-2;2;-9;2];A=[a1,a2,a3,a4,a5];% 由5个列向量构造矩阵A [R,s]=rref(A);% 把矩阵A的最简行阶梯矩阵赋给了R % 而R的所有基准元素在矩阵中的列号构成了行向量s % 向量s中的元素即为最大无关组向量的下标 r=length(s);% 最大无关组所含向量个数赋给r fprintf('最大线性无关组为：')% 输出字符串 for i=1:r fprintf('a%d ',s(i))% 分别输出最大无关组的向量a1，„ end for i=1:r % 从矩阵A中取出最大无关组赋给A0 A0(:,i)=A(:,s(i));end A0 % 显示最大无关组矩阵A0 s0=[1,2,3,4,5];% 构造行向量s0 for i=1:r s0(s(i))=0;% s(i)是最大无关组的列号

end % 若s0的某元素不为0，表示该元素为矩阵A中

% 除最大无关组以外其它列向量的列号

s0=find(s0);% 删除s0中的零元素

% 此时s0中元素为其它向量的列号 for i=1:5-r % 用最大无关组来线性表示其它向量

fprintf('a%d=',s0(i))for j=1:r fprintf('%3d*a%d+ ',R(j,s0(i)),s(j));end fprintf('bb n');% 去掉最后一个”+” end 在MATLAB命令窗口中输入：

la07 运行结果为：

最大线性无关组为：a1 a2 a4 A0 = 1 3 9 1 4 3 0 0 2 2 8 1 2 3 2 a3=-1*a1+ 1*a2+ 0*a4 a5= 3*a1+-2*a2+ 1*a4

例3.22

求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并用最大无关组表示其余向量，其121242中A210333解

format rat 0266.2334A=[1,-2,-1,0,2;-2,4,2,6,-6;2,-1,0,2,3;3,3,3,3,4];B=rref(A)运行结果得

B =

0

1/3

0

16/9

0

2/3

0

-1/9

0

0

0

-1/3

0

0

0

0

0

记矩阵A的五个列向量依次为1，2，3，4，5则 1，2，4 是列向量组的一个最大无关组.且有，312，5

例3.3 已知齐次线性方程组：

13231611124.99312kx13x23x33x403x2kx3x3x01234，3x13x22kx33x403x13x23x311kx40

当k取何值时方程组有非零解？

在有非零解的情况下，求出其基础解系。

解：在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la08.m % 计算带符号变量的齐次线性方程组的解 clear syms k % 定义符号变量k A=[1-2*k,3,3,3;3,2-k,3,3;3,3,2-k,3;3,3,3,11-k];% 给系数矩阵赋值 D=det(A);% 算出系数矩阵的行列式D kk=solve(D);% 解方程“D＝0”，得到解kk，即k值 for i=1:4 AA=subs(A,k,kk(i));% fprintf('当k=');disp(kk(i));% fprintf('基础解系为：n');disp(null(AA))% end 在MATLAB命令窗口中输入： la08 运算结果为： 当k=7/2 基础解系为： [ 1] [ 2] [ 2] [-2] 当k=14 基础解系为： [ 1] [ 2] [ 2] [ 5] 当k=-1 基础解系为： [-1,-1] [ 1, 0] [ 0, 1] [ 0, 0] 当k=-1 基础解系为： [-1,-1] [ 1, 0] [ 0, 1] [ 0, 0]

分别把k值代入系数矩阵A中 显示k的取值 计算齐次线性方程组“Ax=0”的基础解系 特征向量与二次型

1.2.3.4.5.对向量组正交化；

求方阵特征值和特征向量； 分析方阵是否可对角化； 化二次型为标准型； 分析对称阵是否正定；

例4.1 设向量组：

115，1，1，1223320求由这三个向量生成的子空间V的一个标准正交基。解：在MATLAB命令窗口输入：

a1=[1;2;3];a2=[-1;1;2];a3=[5;1;0];A=[a1,a2,a3] P=orth(A)% 将矩阵A的列向量组正交规范化，% P的列构成了空间V的一个标准正交基 % P的列数反应了空间V的维数

运算结果为： P =-0.9266 0.3359-0.3116-0.4343 20

-0.2105-0.8358 从矩阵P的列数可以看出，原向量组是线性相关的，它生成的空间是二维的。

MATLAB中将矩阵正交三角分解的函数为qr.命令

qr

格式

[Q,R]=qr(A)

%将矩阵A分解为正交Q与上三角矩阵R的乘积.命令

orth

格式

B=orth(A)

%给出矩阵A列空间的一组标准正交基B

%且满足：B'*B = eye(rank(A)).400例4.12

将矩阵A031的列向量组正交规范化并把其正交三角分解.013解：

A=[4 0 0;0 3 1;0 1 3];B=orth(A)[Q,R]=qr(A)则显示结果为 P =

1.0000

0

0

0

0.7071

-0.7071

0

0.7071

0.7071 Q =

1.0000

0

0

0

-0.9487

-0.3162

0

-0.3162

0.9487 R =

4.0000

0

0

0

-3.1623

-1.8974

0

0

2.5298

222019216911的特征值。例4.2 求矩阵A84610847解：在MATLAB的M文件编辑器中，编写la09.m文件，它给出了三种求矩阵特征值的方法： % 矩阵特征值的求解方法 clear 21

A=[2,-2,-20,-19;-2,16,-9,11;-8,4,-6,1;0,-8,-4,-7];%方法一：

syms k % 定义符号变量k B=A-k*eye(length(A));% 构造矩阵B=(A-kI）D=det(B);% 计算行列式：|A-kI| lamda1=solve(D)% 求|A-kI|=0的符号形式的解 %方法二：

p=poly(A);% 计算矩阵A的特征多项式

% 向量P的元素为该多项式的系数 lamda2=roots(P)% 求该多项式的零点，即特征值 %方法三：

lamda3=eig(A)% 直接求出矩阵A的特征值 在MATLAB命令窗口中输入： la09 运算结果为： lamda1 = [ 12] [-1/3*(19585+120*22674^(1/2))^(1/3)-385/3/(19585+120*22674^(1/2))^(1/3)-7/3] [1/6*(19585+120*22674^(1/2))^(1/3)+385/6/(19585+120*22674^(1/2))^(1/3)-7/3+1/2*i*3^(1/2)*(-1/3*(19585+120*22674^(1/2))^(1/3)+385/3/(19585+120*22674^(1/2))^(1/3))] [1/6*(19585+120*22674^(1/2))^(1/3)+385/6/(19585+120*22674^(1/2))^(1/3)-7/3-1/2*i*3^(1/2)*(-1/3*(19585+120*22674^(1/2))^(1/3)+385/3/(19585+120*22674^(1/2))^(1/3))] lamda2 =-17.3347 12.0000 5.1673 + 6.3598i 5.16736.3598i 12.0000 其中，方法一是根据笔算矩阵特征值的算法编写而成，MATLAB给出了一个符号形式的解，可以进一步把符号解转化为数值解，输入以下命令： lamda1=eval(lamda1)结果为： lamda1 = 12.0000-17.3347 5.1673-6.3598i 22

5.1673 + 6.3598i 例4.3 求下列矩阵A的特征值和特征向量，并判断矩阵是否可以对角化，若能对角化，请找出可逆矩阵V，使VAVD。

1123412（2）A212；(1)A213；

210112110（3）A430 101解：（1）在MATLAB命令窗口输入：

A=[1,2,3;2,1,3;1,1,2];[V,D]=eig(A)% 矩阵D为矩阵A的特征值构成的对角阵

% 矩阵V的列向量为矩阵A与特征值D对应的特征向量 运行结果为： V =-0.6396-0.7071-0.5774-0.6396 0.7071-0.5774-0.4264 0.0000 0.5774 D = 5.0000 0 0 0-1.0000 0 0 0 0.0000（2）在MATLAB命令窗口输入： A=[4,-1,-2;2,1,-2;2,-1,0];[V,D]=eig(A)运行结果为： V = 0.7276-0.5774 0.7437 0.4851-0.5774 0.2373 0.4851-0.5774 0.6250 D = 2.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 2.0000 需要分析齐次线性方程组

A2Ix0解空间的维数是否等于2，在MATLAB命令窗口继续输入：

if 3-rank(A-2*eye(3))==2 23

% 判断齐次线性方程组(A2－2 I)x=0解空间的维数是否为2 disp('能对角化');

% 如果解空间维数为2，则存在2个线性无关特征向量

else disp('不能对角化');end 运行结果为： 能对角化

（3）在MATLAB命令窗口输入： A=[1,-1,0;4,-3,0;1,0,1];[V,D]=eig(A)运行结果为： V = 0 0.4364-0.4364 0 0.8729-0.8729 1.0000-0.2182 0.2182 D = 1.0000 0 0 0-1.0000 0 0 0-1.0000 从矩阵D可以看出，231

是矩阵A的二重特征根，在MATLAB命令窗口继续输入：

if 3-rank(A+eye(3))==2

% 判断齐次线性方程组(A2－2 I)x=0解空间的维数是否为2 disp('能对角化');

% 如果解空间维数为2，则存在2个线性无关特征向量

else disp('不能对角化');end 运行结果为： 不能对角化

例4.4 用正交变换法将二次型

fx1,x2,x3x12x22x34x2x3 222化为标准形。

解：在MATLAB的M文件编辑器中，编写la10.m文件：

% 用正交变换法将二次型化为标准型 clear A=[1,0,0;0,2,2;0,2,2];% 输入二次型的矩阵A [V,D]=eig(A);% 其中矩阵V即为所求正交矩阵

% 矩阵D为矩阵A的特征值构成的对角阵

% 或：[V,D]=schur(A)% 结果和eig()函数相同 disp('正交矩阵为：');V disp('对角矩阵为：');D disp('标准化的二次型为：');syms y1 y2 y3 f=[y1,y2,y3]*D*[y1;y2;y3] 在MATLAB命令窗口中输入： la10 运行结果为： 正交矩阵为： V = 0 1.0000 0-0.7071 0 0.7071 0.7071 0 0.7071 对角矩阵为为： D = 0 0 0 0 1 0 0 0 4 标准化的二次型为： f = y2^2+4*y3^2 矩阵V为所求正交矩阵，把xVy代入二次型fxAx，得：

TfxTAxyTVTAVyyTyy24y3。

22例4.42 求一个正交变换X=PY，将二次型

f2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4化成标准形.01111011 解

二次型的实对称矩阵为A11011110在MATLAB编辑器中建立M文件如下：

A=[0 1 1-1;1 0-1 1;1-1 0 1;-1 1 1 0];[V,D]=eig(A)

%特征值分解

syms y1 y2 y3 y4 y=[y1;y2;y3;y4]；

X=vpa(V'*y,2)

%vpa表示可变精度计算函数，这里取2位精度 f= y.'*D*y 运行后结果显示如下：

P =

-0.5000

0.5000

0.5000

-0.5000

0.2887

-0.2887

-0.2887

-0.8660

0.7887

0.2113

0.5774

0 0.2113

0.7887

-0.5774

0 D =

-3.0000

0

0

0

0

1.0000

0

0

0

0

1.0000

0

0

0

0

1.0000 X =-.50*y1+.50*y2+.50*y3-.50*y4

.29*y1-.29*y2-.29*y3-.85*y4

.79*y1+.21*y2+.56*y3

.21*y1+.79*y2-.56*y3 f =-3*y1^2+y2^2+y3^2+y4^2 222即

f3y12y2.y3y4还可以用orth函数简单求解如下： A=[0 1 1-1;1 0-1 1;1-1 0 1;-1 1 1 0];R=orth(A);D=inv(R)*A*R;P=inv(R)

%所用的变换矩阵 运行后结果显示如下： R =

0.5000

0

0.8660

-0.0000

-0.5000

-0.0000

0.2887

0.8165

-0.5000

0.7071

0.2887

-0.4082

0.5000

0.7071

-0.2887

0.4082 D =

-3.0000

0

0.0000

0.0000

0

1.0000

0

0.0000

-0.0000

0

1.0000

-0.0000

0.0000

0

0.0000

1.0000 P =

0.5000

-0.5000

-0.5000

0.5000

0

0.0000

0.7071

0.7071

0.8660

0.2887

0.2887

-0.2887

0

0.8165

-0.4082

0.4082

例4.5 判断下列矩阵的正定性：

113112；21（1）A1（2）B221； 115315211132；54（3）C2（4）D230

031145解：在MATLAB命令窗口输入：

A=[1,1,-1;1,2,-1;-1,-1,5];B=[1,2,3;2,2,-1;3,-1,5];C=[-3,2,1;2,-3,0;1,0,-3];D=[1,2,-1;2,5,-4;-1,-4,5];lamda_A=eig(A)lamda_B=eig(B)lamda_C=eig(C)lamda_D=eig(D)运行结果为： lamda_A = 0.3542 2.0000 5.6458 lamda_B =-1.8900 3.2835 6.6065 lamda_C =-5.2361-3.0000-0.7639 lamda_D =-0.0000 1.4689 9.5311 矩阵D的第一个特征值显示为“-0.0000”，继续查看为“-1.7351e-017”，那么它是等于零？还是小于零呢？ 现在，利用例4.2中求特征值的方法一，再次求解矩阵D的特征值，在MATLAB命令窗口输入： syms k D=[1,2,-1;2,5,-4;-1,-4,5];d=det(D-k*eye(3));% 计算行列式：|D-kI| lamda_D =solve(d)% 求特征方程|D-kI|=0的解

显示结果为： lamda_D = [ 0] [ 11/2+1/2*65^(1/2)] [ 11/2-1/2*65^(1/2)]

从以上符号解中可以看出：

矩阵D的确有一个特征值为零，则它是半正定的。

而计算机在执行Matlab函数eig的运算中，产生了舍入误差。

以下是用求特征值符号形式的方法来判断对称阵正定性的通用程序la11.m： % 判断对称阵的正定性 clear A=input('输入对称阵A:');if A'-A~=0 % 若矩阵不是对称阵，则退出 disp('输入错误');return;% 退出该程序 end n=length(A);% 取矩阵A的阶数 syms k % 定义k为符号变量 d=det(A-k*eye(n));% d为矩阵A的特征多项式

lamda=solve(d);% lamda为矩阵A的符号形式的特征根 lamda=eval(lamda);% 把符号形式变为数值形式 if lamda>0 % 判断特征值是否全部大于零 disp('矩阵A为正定矩阵');elseif lamda>=0 % 判断特征值是否全部大于等于零 disp('矩阵A为半正定矩阵');elseif lamda<0 % 判断特征值是否全部小于零 disp('矩阵A为负定矩阵');elseif lamda<=0 % 判断特征值是否全部小于等于零 disp('矩阵A为半负定矩阵');else disp('矩阵A为不定矩阵');end 在MATLAB命令窗口中输入： la11 人机对话结果为：

输入对称阵A:[1,2,-1;2,5,-4;-1,-4,5] 矩阵A为半正定矩阵

第二篇：复旦大学2000年高等代数

复旦大学高等数2000

1． 求方阵

101111

110的逆阵。

2． 设A为一个n阶方阵且A的秩等于A的秩。证明A的秩等于A的秩。

3． 设A为一个n阶正交阵，x1,x2,,xn1为一组线性无关的列向量，对于1in1都

有Axixi。如果A的行列式等于1，证明A是单位矩阵。

4． 设n是一个自然数，V是由所有nn实矩阵构成的n2维实向量空间，U和W分别为

由所有nn对称矩阵和反对称矩阵构成的空间。证明VUW，既V是U和W的直和。

5． 设K为一个数域，K[x]为K上以x作为不定元的多项式全体所组成的集合。设23

f(x)g(x)其中f(x),g(x),h(x),q(x)K[x]。假定f(x)q(x)g(x)h(x)是Ah(x)q(x)，

K中的一个不等于零的数。证明A可以表示成有限多个以下类型的矩阵的乘积：101s(x)a0r(x)1,01,0b,其中a,b是K中的非零数，而r(x),s(x)K[x].

第三篇：高等代数与高等数学

高等代数与高等数学的区别

高等代数、数学分析是数学专业中更细的数学研究的分类。高等代数是代数方向的究，而数学分析使用极限方法研究函数特性的数学。而高等数学是对非数学专业的人学习的区别于初等数学的数学，应当包括高等代数和数学分析部分。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，例如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也有很大的不同了。

其研究对象不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。高等数学比初等数学“高等”的数学。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论逻辑称为中等数学，作为小学初中的初等数学与本科阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是将简单的微积分学，概率论与数理统计，以及深入的代数学，几何学，以及他们之间交叉所形成的一门基础学科，主要包括微积分学，其他方面各类课本略有差异。

第四篇：高等代数半期心得体会

高等代数半期心得体会

刚刚开始接触到高等代数的时候，对它一无所知，仅仅听其它专业的同学谈论过线性代数这门课程。唏嘘记得第一高代课节讲的是排列，全新的知识点，因为第一次课没有课本，那节课我异常的认真，发现高代很有趣。在第一次课，我们也见到了树文老师，第一次课老师提早了五分钟来，在这几分钟里老师没有和我们说话，让我觉得老师很严肃。但是在之后的接触却让我深深的喜欢树文老师。

记得老师说过数学大致分为基础数学运用数学。而基础数学包含几何、代数和分析，这三个主要方面。说明我们所学的高等代数是学习之后课程的基础，可见其重要性。《高等代数》是数学学科的一门传统课程。在当今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用性的今天，《高等代数》以其追求内容结构的清晰刻画和作为数学应用的基础，是我们的主干基础课程。它是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。高等代数是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。通过学习后，我们知道，不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。

在学习之前，我一直认为高等代数就是线性代数。经过半学期的学习后，我发现，这两者之间区别还是挺大的。高等代数是我们数学专业开设的专业课，更注重理论的分析，需要搞懂许多概念是怎么来的，而线性代数，只是一种运算工具，是供工科和部分医科专业开设的课程，只注重应用。

经过半学期的学习，我对高等代数里面的知识有了个初步的认识和接触，特别是代数的一些思想，也从中收获不少。下面就对半学期的学习做一个回顾和总结。行列式

行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域

定义：设A=（aij）为数域F上的nn矩阵，规定A的行列式为 其中，为1,2，…，n的一个排列。

从定义，我们可以看出，行列式是到F的一个映射。通过这个定义，我们可以推断出行列式的诸多性质： 1.行列式与它的转置相等；

2.互换行列式的两行（列），行列式变号；

3.若一个行列式中有两行（列）元素对应相等，则这个行列式为零；

4.行列式的某行（列）中的公因子可以提出去，或者以一数乘行列式等于这个数乘行列式； 5.如果行列式中两行成比例，那么行列式为零； 6.帮行列式的一行乘以某个数加到另一行，行列式不变；

7.Laplace展开定理：任取A的k 行，可构成A的一切可能的k阶子式为t（）个，设为 ,其相应的代数余子式为，则。

其中，第七条性质的特殊情形就是我们平时常用的展开定理。这7条性质的应用是行列式应用于其他地方的基本保障。在此基础上，我们可以得出更多的性质和推论。通过学习，我们知道，行列式其实是一种工具，是将多种情况下转换为行列式，通过计算行列式的值来得到想要的结果。在上面7条性质的基础上，我们可以得到计算一般阶的主要方法与技巧：定义法、化三角形法、Vandermonde（范德蒙）行列式法、分列式行列式法、加边法、降阶法、递推法、数学归纳法、做辅助行列式法。这里就不一一分析了，比较常用的就是化三角法，一般有上三角和下三角。

在学行列式时，没觉得有什么困难，知识本身也比较简单，除了弄懂那些定理是怎么来的，剩下来的就是计算了，一般情况下，只要细心点，就不会错了。行列式还是比较好学的。矩阵

矩阵，Matrix。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家Cayley于1858年首先提出。自此，矩阵理论便迅速的建立起来。矩阵论是数学中内容最为丰富、应用最广泛的部分。定义：称数域F中m×n个数a_ij（i=I,2,…,m;j=1,2,…,n）排成的m行n列的矩形表格 a11a21am1a12a1na22a2nam2amn

为数域F上的一个m×n矩阵，简记为，其中称为矩阵的第i 行第 j列交叉点上的元素（简称元）。其中，若对于矩阵A，如果存在矩阵B，是的AB=E,则称B为A的逆矩阵。在我们的学习中，矩阵的秩和初等矩阵是在矩阵应用中两个比较重要的概念。矩阵的秩：设A=,是A的行向量，为A的列向量，称r矩阵的秩，若r为A行（列）向量组的极大无关组的个数。

用通俗的话讲就是若A中存在一个r阶子式不等于0，而一切r+1阶子式都等于0，则称r为A的秩，并记为rank A=r；特别的，当A=0时，规定rankA=0.我们用到矩阵时另一个重要的概念就是初等矩阵。

定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。定义中提到的另一个概念初等变换是指， 交换矩阵的两行（列）

 用一个非零数乘矩阵的某一行（列）

 用一个数乘矩阵某一行（列）加到另一行（列）上去

初等变换和初等矩阵之间的关系也是一个很重要的知识点，它为我们之后的矩阵进行的各种处理提供了理论基础：对于一个sxn矩阵A做一次初等行变换就相当于在A的左边乘相应的一个sxs初等矩阵；做一次初等列变换就相当于在A的右边乘相应的nxn初等矩阵。这种对应关系也就是后来学到的线性变换，这在后文会单独列出来讲述。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。由此可见，矩阵在高等代数中的重要性。记得在初次接触矩阵的时候，还没有觉得有什么困难，但当学到矩阵的秩的时候，便开始犯糊涂了，脑子一时转不过弯，无法理解什么才叫矩阵的秩。经过长时间的学习后，才对秩有了一个深入的了解，两学期的高代课下来，才让我真正认识到矩阵的重要性。当然，矩阵的重要性并不是因为上述两个重要的概念，而是矩阵分支出去的概念的应用，下面便一一阐释。

线性方程组

线性方程组中其实是用到了矩阵的乘法。线性方程组是方程组的一种，它符合以下的形式：

其中，a11，a12以及b1，b2等等为已知常数，而x1，x2等等则是要求的未知数。运用矩阵的方式，可以将线性方程组写成一个向量方程：Ax=b，其中，A是由方程组里未知量里未知量的系数排成的mxn矩阵，x是含有n个元素的行向量，b是含有m个元素的行向量。A=，x=, b= 在这个写法下，将原来的多个方程转化成一个向量方程，在已知矩阵A和向量b的情况下，求未知向量x。对于方程组

（1）

当b1,b2,...,bm为零时，我们称（1）为其次线性方程组，否则，为非齐次线性方程组。定义：齐次线性方程组的一组解η1，η2，...，ηt称为（1）的一个基础解系，如果 1)（1）的任意一个解都能表达成η1，η2，...，ηt的线性组合； 2)η1，η2，...，ηt线性无关。

在证明其次线性方程组的确有基础解系的时候，我们得到这样一个定理：在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于n-r，这里的r表示系数矩阵的秩。

进一步可得，如果是非齐次线性方程组的一个特解，那么该方程组的任意一个解都可以表成

γ=γ0+ η

其中该方程组导出组的一个解。这样，就给出了非齐次线性方程组的任意解的表达方式。以上便是线性方程组所学习的主要内容，线性方程组的应用十分广泛，现实中的问题大多数是连续的，例如工程中求解结构受力后的变形，空气动力学中计算机翼周围的流场，气象预报中计算大气的流动等等。这些现象大多是用若干个微分方程描述。用数值方法求解微分方程（组），不论是差分方法还是有限元方法，通常都是通过对微分方程（连续的问题，未知数的维数是无限的）进行离散，求解在科学与工程中的应用非常重要。在学线性方程组的时候，对基础解系的概念理解的不够深，再加上大一学的求基础解系的方法和王老师教的有一定的区别，导致我时常搞混，经常弄得到最后都求不来基础解系，不过，经过一段时间的学习，还是克服了这个困难，其实只要搞懂基础解系这个概念，求它的方法自然也就好理解了。

学习高代的热情还有一部分来自于可爱的高代老师。老师每次上课都会提早五分钟到，因为我记得树文老师说过让我们必须提早五分钟到，老师看见有同学上课玩手机就会很生气，因为老师不让我们上课玩手机，如果没擦黑板老师会让书记和班长罚站，如果作业做的不认真或者和老师的侄子叫同一个名字，你就会被提问。老师有好多古怪的教学方法，让我们觉得很有趣，每一节课都很轻松愉快。记得又一次身体不舒服，问老师可不可以先走需不需要补假条，老师任性的说了一句：走吧，不用补假条我说的算。好霸气...好温暖，感谢拥有树文这样可爱任性的高代老师。

回顾半学期的学习，觉得高代这门课还是挺难的，最重要的一个因素就是它比较抽象，需要一定的抽象思维去理解它，不像数学分析那样，很多东西都能够通过画画图什么的去理解它，而且，高代里面有许多概念，看似简单，但真正理解它，对于我而言，还是一个不小的困难。高等代数作为数学专业学科中最基础的课程之一，相信以后的学习中会用到它的一些思想什么的，也许到那时，就会慢慢领悟其深刻含义了！

第五篇：教学大纲-厦门大学高等代数

教学大纲

一． 课程的教学目的和要求

通过这门课的学习，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，为进一步学习专业课打下良好的基础，适当地了解代数的一些历史，一些背景。

要突出传授数学思想和数学方法，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。突出高等代数中等价分类的思想，分解结构的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。

二．课程的主要内容：

代数学是研究代数对象的结构理论与表示方法的一门学科。代数对象是在一个集合上定义若干运算，且满足若干公理所构成的代数系统，线性空间则是数学类专业本科生所接触和学习的第一个代数对象。本课程力求突出代数学的思想和方法。

《高等代数》分为两个部分主要内容。一部分是基本工具性质的，包括多项式，行列式，矩阵初步，二次型。既然是工具性质的，因而除了多项式内容外，也是数学专业以外的理科、工科、经管类《线性代数》的内容，以初等变换为灵魂的矩阵理论是这部分内容的核心。另外一部分是研究线性空间的结构，这是研究代数结构的起点和模型，也是《高等代数》有别于《线性代数》之所在。《高等代数》从三个角度进行研究。从元素的角度看，研究向量间的线性表示，线性相关性，基向量；从子集角度看，研究子空间的运算和直和分解；从线性空间之间的关系来研究线性空间结构，就是线性映射，线性变换，线性映射的像与核，Jordan标准形对应的空间分解。而欧氏空间则是具体的研究空间的例子。在研究线性空间中，始终贯穿着几何直观和矩阵方法的有机结合，矩阵的相似标准形和对应的线性空间分解则是这种有机结合的生动体现和提升，因而是本课程的精华内容。

本课程力求突出几何直观和矩阵方法的对应和互动。我们强调矩阵理论，把握简洁和直观的代数方法，同时重视线性空间和线性映射（变换）的主导地位和分量，从几何观点理解和把握课程内容。

三．课程教材和参考书：

教材：林亚南编著，高等代数，高等教育出版社，第一版

参考书：1.姚慕生编著，高等代数（指导丛书），复旦大学出版社，第二版 2.北京大学数学系编，高等代数，高等教育出版社，北京（1987）3.张禾瑞、郝炳新，高等代数，高等教育出版社，北京（1999）4.樊恽、郑延履、刘合国，线性代数学习指导，科学出版社，北京（2003）5.林亚南编：高等代数方法选讲，2002年，见厦门大学精品课程“高等代数”网站 四．课程内容及学时分配

本课程开课时间：一学年（共两学期），共170学时，其中课堂讲授122学时,习题讨论课42学时，考试6学时。具体安排为：第一学期，80学时，其中课堂讲授60学时，习题讨论课18学时，半期考2学时；第二学期，90学时，其中课堂讲授62学时，习题讨论课24学时，单元考4学时；以上不包括期末考。课堂讲授有全程教学录像，习题讨论课不录像。

第一章 矩阵（28学时）

1、教学内容：矩阵定义与运算，分块矩阵，行列式的定义，行列式的性质，行列式的基本计算方法，Laplace定理，可逆矩阵，矩阵的初等变换与初等矩阵，矩阵的相抵标准形，矩阵的秩。

2、教学目的和要求：使学生正确掌握矩阵的运算和运算法则，熟练掌握矩阵的初等变换这一矩阵论的核心内容和方法，掌握分块矩阵的运算，掌握矩阵的逆、矩阵的秩，掌握矩阵相抵的等价分类，化标准形的思想方法，理解行列式的归纳法定义，熟练掌握行列式的性质，熟练掌握计算行列式基本方法，了解和应用Laplace定理，了解行列式的等价定义。

3、各节教学时间分配及进度安排:§1数域（1学时）；§2 矩阵和运算（3学时）；§3分块矩阵（2学时）；§4 行列式（6学时）；§5 行列式的展开式和Laplace定理（2学时）；§6可逆矩阵（2学时）；§7 初等变换和初等矩阵（4学时）；§8矩阵的秩（2学时）；习题讨论课（6学时）。

第二章 线性方程组（14学时）

1、教学内容：数域，列向量的线性关系，向量组的秩，线性方程组解的结构。

2、教学目的和要求：使学生正确理解数域的概念，正确判断和证明列向量的线性关系，掌握证明向量组的秩的命题的方法，熟练掌握线性方程组的解的判断、计算和解的结构。

3、各节教学时间分配及进度安排:§1消元法（2学时）；§2 n维列向量（3学时）；§3向量组的秩（4学时）；§4 线性方程组解的结构（2学时）；习题讨论课（3学时）。

第三章 线性空间（14学时）

1、教学内容：线性空间的定义，线性相关性：线性相关和线性无关，线性表示，线性等价的向量组，极大线性无关组，基与维数，基的变换与过渡矩阵，线性空间的同构，子空间的定义与判断，子空间分解，关于子空间的交空间和和空间的维数公式。

2、教学目的及要求：使学生正确理解线性空间的定义，从定义出发正确判断和证明向量组的线性关系，把握一批重要实例的基与维数，掌握计算矩阵的秩的初等变换方法和子式方法，培养学生严谨的逻辑推理能力和准确简明的表达能力，熟悉同构的思想，等价分类的思想，直和分解的思想。

3、各节教学时间分配进度安排：§1线性空间（2学时）；§2基和维数（2学时）；§3坐标（2学时）；§4 子空间（2学时）；§5 直和分解（2学时）；习题讨论课（4学时）。

第四章 线性映射（22学时）

1、教学内容：线性映射和线性变换，两个线性空间的线性映射（变换）的全体构成集合的代数结构，线性映射与矩阵的同构对应，线性映射的核与像 以及维数公式，线性变换的不变子空间和导出变换。

2、教学目的及要求：使学生准确理解和掌握线性映射（变换）的概念，理解线性映射由基的像唯一确定及其应用；掌握两个线性空间之间的线性映射（变换）的全体在定义了加法、数乘（和乘法）运算后构成线性空间（代数）；熟练掌握用核空间与像空间刻画单满线性映射，熟练掌握维数公式；学会在同构意义下线性映射的命题与矩阵的命题之间的转化；学会以上内容在具体例子的实现和计算。

3、各节教学时间分配进度安排：§1映射（2学时）；§2 线性映射和运算（4学时）；§3 同构（3学时）；§4像与核（3学时）；§5 线性变换（3学时）；§6 不变子空间（2学时）；习题讨论（5学时）。

第五章 多项式（24学时）

1、教学内容：一元多项式的概念，多项式的运算，整除的概念与性质，带余除法，最大公因式的唯一性、存在性，Euclidean辗转相除法，互素的性质及判定；中国剩余定理；不可约多项式及其性质，标准分解式，重因式的判定与求法；多项式函数的根，余数定理，根的个数；代数基本定理，复数域上多项式的分解，Vieta定理；实系数多项式的不可约多项式，实系数多项式的分解；有理系数多项式的根，本原多项式，Gauss引理，Eisenstein判别法；多元多项式的基本概念，多元多项式中单项式的排列次序，关于乘积首项和次数；对称多项式，初等对称多项式，对称多项式的基本定理。

2、教学目的及要求：使学生掌握多项式全体作为线性空间的代数结构的运算法则；熟练掌握和应用带余除法定理；熟练掌握最大公因式和互素的判别方法和基本性质；熟练掌握和应用因式分解定理，掌握不可约多项式的基本性质，了解重因式与重根的联系，掌握复系数与实系数的标准分解式，掌握有理系数多项式的Gauss引理，Eisenstein判别法；了解多元多项式与了解多元多项式函数的关系，理解和掌握对称多项式的基本定理和Newton公式。

3、各节教学时间分配及进度安排：§1一元多项式和运算（1.5学时）；§2 整除（2学时）；§3 最大公因式（2.5学时）；§4 标准分解式（2学时）；§5 多项式函数（2学时）；§6复系数和实系数多项式（1.5学时）；§8 有理系数和整系数多项式（2.5学时）；§9 多元多项式（1.5学时）；§10 对称多项式（2.5学时）；习题讨论课（6学时）。第一单元考试（2学时）。

第六章 特征值（16学时）

1、教学内容：特征值和特征向量，特征多项式及其性质，特征值、特征向量的求法；复方阵相似于上三角阵及其应用；矩阵可对角化的判定和计算，特征子空间，特征值的代数重数、几何重数，完全特征向量系；零化多项式和极小多项式，Cayley-Hamilton定理。

2、教学目的及要求：使学生掌握特征值、特征向量、特征多项式、特征子空间、极小多项式的定义和基本性质；清楚零化多项式和极小多项式的关系，掌握Cayley-Hamilton定理；熟练掌握计算特征值与特征向量，可对角化的判定和计算。

3、各节教学时间分配及进度安排：线性空间线性映射知识回顾（4学时）；§1 特征值和特征向量（3学时）；§2 可对角化（2.5学时）；§3 极小多项式（2.5学时）；习题讨论课（4学时）。

第七章 相似标准形（22学时）

1、教学内容：多项式矩阵和矩阵多项式，λ-矩阵的相抵，初等λ-矩阵；λ-矩阵的法式；矩阵的行列式因子，不变因子，初等因子；不变因子和Frobenius型；初等因子和Jondan小块，矩阵相似的全系不变量；Jordan标准形：Jordan 标 准形对应的不变子空间分解；根子空间，循环子空间。

2、教学目的及要求：使学生了解多项式矩阵与矩阵多项式的关系，λ－矩阵的相抵与矩阵相似的关系．掌握行列式因子、不变因子、初等因子的概念与计算，掌握不变因子与Frobenius型的对应，初等因子组与Jordan标准形的对应，Jordan 标准形对应的不变子空间分解。

3、各节教学时间分配及进度安排： §1 λ-矩阵的法式（2学时）；§2 特征矩阵（1.5学时）；§3 不变因子和Frobenius标准形（2.5学时）；§4 初等因子组和广义Jordan标准形（2学时）；§5 Jordan标准形（2学时）；§6 Jordan 标准形的进一步讨论（6学时）；习题讨论课（6学时）。第二单元考试（2学时）。

第八章 欧氏空间(14学时)

1、教学内容：内积和内积空间的概念，向量的长度，夹角，平行和正交，Cauchy-Schwarz不等式，三角不等式；单位向量，正交基，标准正交基，标准正交基的过度矩阵，Schmidt正交化，正交补空间，度量矩阵，Bessel不等式；正交变换与正交阵的判别及性质；正交相似，对称变换的性质，实对称矩阵正交相似的全系不变量，实对称矩阵的正交相似标准形。

2、教学目的及要求：使学生掌握欧氏空间的度量概念与度量性质，掌握正交相似关系，掌握正交变换和正交矩阵的对应，对称变换与对称矩阵的对应，从矩阵的正交相似关系进一步熟练掌握等价分类的思想。

3、各节教学时间分配进度安排：§1内积和欧氏空间（1学时）；§2标准正交基（4.5学时）；§3 对称变换和对称矩阵（0.5学时）；§4 正交变换和正交矩阵（4学时）；习题讨论课（4课时）。

第九章 二次型（10学时）

1、教学内容：二次型与对称矩阵的对应，二次型的非退化线性替换与对称阵的合同关系；二次型化简的配方法和初等变换法；复二次型的规范标准形，惯性定理，正惯性指数，负惯性指数，符号差，实二次形的规范标准形；正定型与正定矩阵；半正定型与半正定阵、负定型与负定阵。

2、教学目的及要求：使学生掌握用非退化线性替换，化二次型为标准形和规范形，掌握判断二次型的正定性的方法，从对称矩阵的合同关系理解等价分类的思想。

3、各节教学时间分配进度安排：§1二次型与矩阵的合同（2学时）；§2规范形（1.5学时）；§3正定二次型（2.5学时）；习题讨论课（4学时）。