[41KB]山东大学2000年高等代数考研试卷

第一篇：[41KB]山东大学2000年高等代数考研试卷

山东大学

2000年硕士研究生研究生入学考试试题

考试科目：高等代数

注意：

1、所有答案必须写在“山东大学研究生入学考试答题纸”上，写在试卷和其他纸上无效

2、本科目允许/不允许使用无字典存储和编程功能的计算器。

1.设

1,2,m

（m>1），是线性无关的向量组。令

试讨论1,2,,m的112,223,,m1m1m,mm1，线性相关性。

2.设A，B是数域F上的n阶文阵，E是n阶单位矩阵。（1）如果E－AB可逆。证明：E

－BA也可逆。（2）利用（1），证明：AB与BA有相同的特征值。

3.设，为A(aij),B(bij)，n阶正定矩阵，证明：C(cij)（其中cijaijbij）是正定

矩阵。

4.设T是n维欧氏空间Rn的一个保距变换即：,R,TT。如果T

将零向量变为零向量，证明：T是正交变换。

5.设A为n阶方阵。证明：A2A是充要条件是A秩＋（A－E）秩＝n.6.设M为无限多个n阶矩阵组成的集合，且M中任意两个矩阵相乘时可交换。如果M中

每个矩阵都可以对角化，试证明：存在一个可逆矩阵P，使得对M中任意矩阵X，恒有

PXP，为对角矩阵。

1

n

第二篇：2014福州大学高等代数考研资料免费下载

2014福州大学高等代数考研资料免费下载

历年考研真题试卷

福州大学2007年招收硕士研究生入学考试试卷

考试科目高等代数科目编号818

注意：作图题答案可直接做在试卷上。所有的作图题均应保留精确的作图线条。试卷必须与答卷一起交。答题时不必抄原题，但必须写清所答题目顺序号。

一、简答题（每小题3分，满分30分）

1、计算行列式，其中，但(思远福大考研网)。

2、在线性空间中，求向量组的一个极大线性无关组。

3、已知3阶矩阵满足，求的所有特征值，这里表示单位矩阵。

4、在线性空间中，已知向量共面，求。

5、设是线性空间中的线性变换，满足

求在基下的矩阵(思远福大考研网)。

6、设，若被整除，求。

7、设矩阵，其中线性无关，向量，求方程组的通解；

8、设，它们相似吗？

9、求矩阵的最小多项式和若当标准型。

10、讨论二次型何时正定(思远福大考研网)。

二、解答题（第11-18题，每题15分满分120分）

11、（1）设是正定实对称矩阵，则对任一正整数，存在正定实对称矩阵，使；

（2）设是满秩实矩阵，则存在正定实对称矩阵和正交矩阵，使。

12、设是数域，（表示元素在的矩阵全体），且，对于的子空间，,，证明：。

13、设为有理数域，是上的线性空间，是的线性变换，设，且，，证明：（1）线性无关；

（2）线性无关(思远福大考研网)。

14、设是数域上矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，定义变换。（1）证明是上的的对合线性变换，即满足（恒等变换）的线性变换；（2）求的特征值和特征向量；

15、求多项式在有理数域上的分解式。

16、设，求一个正交矩阵，使成对角矩阵。

17、设向量分别属于方阵的不同特征值的特征向量(思远福大考研网)，证明向量组线性无关。

18、设是有限维欧式空间的一个正交变换，且其中是一个正整数且，是的恒等变换，令，证明：

（1）是的一个子空间；（2）是的一个不变子空间，其中是的正交补；

第三篇：高等代数课程试卷及参考答案

《高等代数》自测题（2）

一、计算（20分）

3214

5746

1213

xa

axaa



aaxa

523

aa

1）2）

二、证明：（20分）

1）若向量组1n线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。2）若向量组1n中部分向量线性相关，则向量组1n必线性相关

三、（15分）已知A为n阶方阵A为A的伴随阵，则|A|=0，A的秩为1或0。

四、（10分）设A为n阶阵，求证，rank（A+I）+rank（A-I）≥n

五、（15分）求基础解系

x1x2x3x40



x1x2x33x40 xx2x3x0

2341

~

~

六、（10分）不含零向量的正交向量组是线性无关的七、（10分）设A是n×n正定矩阵，证明A6也是正定的。

第四篇：天津大学 考研836高等代数(含解析几何)

天津大学硕士研究生入学考试业务课考试大纲

课程编号：836课程名称：高等代数（含解析几何）

一、考试的总体要求

要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握代数的基本方法，要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力、综合运用所学的知识分析和解决问题的能力。

二、考试的内容及比例

1．多项式：数域，二元多项式、整除、最大公因式、互素、不可约多项式、因式分解定理、重因式、多项式、函数、复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式，多元多项式。

2．行列式：排列，n阶行列式的定义，n阶行列式的性质及计算，行列式展开（按一行(一列)展开，拉普拉斯定理）克莱姆法则。

3．矩阵：矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵、矩阵乘积的行列式、分块矩阵、初等矩阵、初等变换，分块矩阵和初等变换及其应用，矩阵的秩。

4．线性方程组：n维向量空间，n维向量的线性相关性，向量组的极大线性无关组，向量组的秩和线性方程组的解法、有解的判别原理、解的结构。

5．二次型：二次型及其矩阵表示，二次型的标准型、唯一性、化二次型为标准型，正定二次型。

6．线性空间：集合、映射、线性空间的定义与性质。基、维数与坐标、基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，直和，线性空间的同构。

7．线性变换的定义及其运算，线性变交换的矩阵，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核、不变子空间。

8．λ-矩阵：λ-矩阵的概念，λ的矩阵在初等变换下的标准型，行列式因子，不变因子，及初等因子，矩阵相似的条件，矩阵的若当标准型及理论推导。

9．欧几里德空间：欧几里德空间的定义与基本性质，标准正交基，欧氏空间的同构和正交变换，子空间及其正交系，正交补，对称矩阵的标准形。向量到子空间的距离，最小二乘法，酉空间。

各部分占10%左右。

三、考试的题型及比例

1．填空题15%。2．计算题40%。3．证明题45%。

四、考试形式及时间

考试形式均为笔试。考试时间为三小时。（满分150分）

第五篇：2007年考研高等代数大纲(硕士)

江苏自动化研究所硕士研究生入学考试

《高等代数》考试大纲

一、总体要求

要求掌握行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间、(多项式理论、λ-矩阵不单独出题)。

二、命题范围及考查的知识点

1、行列式

1）行列式的定义与性质。

2）低阶行列式，高阶规律性较强的行列式计算。

2、线性方程组

1）解线性方程组

2）线性方程组解的理论

3）线性相关性的证明

3、矩阵

1）矩阵的运算

2）矩阵的逆

3）矩阵秩的不等式的证明

4、二次型

1）化二次型为标准形

2）正定性问题的证明

5、线性空间

1）线性空间与子空间的概念

2）基、维数与坐标

3）子空间的直和的证明

6、线性变换

1）特征值、特征向量有关问题

2）求若当标准形、最小多项式

3）线性变换的值域与核

7、欧氏空间

1）正交矩阵与正交变换

2）实对称阵有关证明

三、考试说明

1、考试形式与试卷结构

1)答卷方式：闭卷，笔试，总分150分,2)答题时间：3小时，3)总分：满分150分，4)题型比例

计算题约 50%

证明题约 50%

四、参考书目

《高等代数》（第三版），北京大学数学系，高等教育出版社，2003年