2014年浙江大学高等代数考研真题

第一篇：2014年浙江大学高等代数考研真题

2014年浙江大学研究生入学考试高等代数试题

1.A

数。0EnEn，LBM2n(R)ABBA。证明L为M2n(R)的子空间并计算其维0En，请问A是否可对角化并给出理由。若A可对角化为C，给出可逆矩阵002.AEn

P，使得P1APC.3.方阵A的特征多项式为f()(2)3(3)2，请给出A所有可能的Jordan标准型。

54.1，2，3为AX0的基础解系，A为3行5列实矩阵。求证：存在R的一组基，其包含123，123，12243。

5．X，Y分别为mn和nm矩阵，YXEn，AEmXY，证明A相似于对角矩阵。

6.A为n阶线性空间V的线性变换，1，2，…，m为A的不同特征值，Vi为其特征子空间。证明：对任意V的子空间W，有W(WV1)(WVm).7.矩阵A，B均为mn矩阵，AX0与BX0同解，求证A、B等价。若A、B等价，是否有AX0与BX0同解？证明或举反例否定。

8.证明：A正定的充分必要条件是存在方阵Bi（i1,2,,n），Bi中至少有一个非退化，使得ABBi

i1nTi。

9.定义为[0,1]到n阶方阵全体组成的欧式空间的连续映射，使得(0)为第一类正交矩阵，(1)为第二类正交矩阵。证明：存在T0(0,1)，使得(T0)退化。

10.设g，h为复数域C上n维线性空间V的线性变换，ghhg。求证g，h有公共的特征向量。若不是在复数域C上而是在实数域R上，则结论是否成立？若成立，给出理由；不成立举出反例。

对试题有任何疑问，或者需要更多浙江大学或数学系的考研资料，可以进一步与我讨论。QQ：334216522。

第二篇：2013年广西大学高等代数考研真题

2013年广西大学研究生入学考试——高等代数

一、填空题：

11、已知A为三阶矩阵，且A，求A12A=------------

22、已知A30，则(EA)1----------

3、与三阶矩阵等价的矩阵标准型有----------

4、实数域上的不可约多项式为----------

5、设A为n阶方阵，则A'A的特征值为----------，且A'A为-----------矩阵

6、n阶实对称矩阵的维数是------------

7、已知1,2,3线性相关，则12,23,13线性相关性---------------

8、设V是n维线性空间，则核空间与象空间的维数之间的关系是-------

9、设欧氏空间上的内积定义为f(x),g(x)f(x)g(x)dx，则1=----------------

0

10、设瑞利商Rnx'Enxx'Ax，求REn-------------x'xx'xa1

1二、已知a12a1na22an2a21an1a11x1a12x2a1,n1xn1a1na2na21x1a22x2a2,n1xn1a2n，求证无解 0an1x1an2x2an,n1xn1annann

三、实数域上的多项式f(x),g(x)满足（f(x),g(x)）=1, 并设(x)与(x)如下：3n32m(x)(x1)f(x)(xx)g(x)，求证：((x),(x))x1 2n2m(x)(xx)f(x)(x1)g(x)

四、设有n个实系数多项式f1(x),f2(x),,fn(x)的次数不大于n-2，且a1,a2,,anf1(a1)为任意常数，求证：

f1(a2)f2(a2)fn(a2)f1(an)f2(an)fn(an)0

f2(a1)fn(a1)

五、设三阶矩阵A，是否存在可逆矩阵使之相似于对角阵  注：矩阵A里面的具体数值记不清了，但A是一个非对称矩阵。比如说由EA0可计算出特征值为-2，-2，5，其中特征值-2对应两个特征向量，特征值5对应一个特征向量，因此得出可相似于对角阵

1求Im,Ker

六、设为线性空间V上的的一线性变换，且(f(x))f'(x)，○2线性空间V是否为Im与Ker的直和

○

七、设复数域C6上一线性变换在基底1,2,,6下的矩阵是Jordan矩阵，且212311J的初等因子○2C6的不变子空间直和 J，求：○3135

八、线性空间V上的两组向量1,2,,m与1,2,,m，满足(i,j)(i,j)其中i、j1,2,m，求证：L(1,2,,m)L(1,2,,m)

九、设A为实二次型对应的矩阵，A的n个特征根1,2,,n满足12n 求证：1x'xx'Axnx'x

第三篇：湖南大学考研2000年高等代数真题

湖南大学2000年高等代数真题

1． 设a为实数，试证：多项式xnaxn1a2xn2...an1xan至少

有一个实根（重根以一个计算）。问此多项式何时无实根？何时有重根？

a1

2． xx...xxa2x...x

xa3...x 计算行列式x

.........xxx...an

3． 设V1,V2,...,Vs是线性空间V的s个非平凡的子空间，证明：V中至少有一个

向量不属于V1,V2,...,Vs中任何一个。

4． 设AE,，其中E是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，,是的2转置，试证明：（1）AA的充分必要条件是,1；

（2）当,1时，A是奇异矩阵。

5.令S是R上向量空间V的一些线性变换作成的集合，V的一个子空间W如果在S中每一线性变换下不变，那么就说W是S的一个不变子空间。设S不可约，而是V的一个线性变换，它与S中每一线性变换可换，试证明：或者是零变换，或者是可逆变换。

6.设fXAX，gXBX,是正定二次型，其中

A(aij)bij)cij)nn,B(nn，令cijaijbij，对于阵C(nn，是 XCX,也是正定的。

em为n维欧式空间V的一组便准正交基，证明：对于任意V，7.设e1,e2,...,以下不等式成立

i1(,e)im22。,8.设A是s*n实矩阵，In是n阶单位阵，n是任一正整数A是A的转置求证：

r(InAA,)r(IsAA,)ns，其中，r（A）为A的秩。

第四篇：浙江大学2006年高等代数试题

浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题

考试科目：高等代数科目代号：341

注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！

一、(15分)矩阵A,B具有相同的行数，把B的任意一列加到A得到矩阵秩不变，证明把B的所有列同时加到A上秩也不变.二、(15分)(1)把下面的行列式表示成按x的幂次排列的多项式

a11xD

a21x...an1x

a12xa22x...an2x

.....a1nxa2nx...annx

(2)把行列式D的所有元素都加上同一个数，则行列式所有元素代数余子式之和不变.三、(15分)证明下面的(i)和(ii)等价：(i)矩阵A是正交矩阵；

(ii)矩阵A的行列式为1；当A1时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身，当A－1时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身乘以－1.a

四、(15分)(1)设矩阵A

c

k

b2

,则矩阵A满足方程x(ad)xadbc0;d

(2)二阶矩阵满足A0,k2,则A0.3



五、(15分)设矩阵A2

2

232

20

2,P1

30

0

1*

1,BPAP2E,求B的特征值和特征向量.1

六、(15分)设W,W1,W2是向量空间V的子空间，W1W2,W1WW2W,W1WW2W,证明W1W2.七、(15分)三阶矩阵A,B,C,D具有相同的特征多项式，证明其中必有两个矩阵相似.八、(15分)设是向量空间V的正交变换，W是的不变子空间，证明W也是的不变子空间.九、(15分)设A为实矩阵，证明存在正交矩阵G，使GA的特征值均为实数.十、(15分)设P为数域，fifi(x)P[x],gigi(x)P[x],i1,2,证明(f1,g1)(f2,g2)(f1f2,f1g2,g1f2,g1g2)

1



AG为上三角矩阵的充要条件是

注：这是我凭记忆记下来的，有些题目可能不是很准确。希望对大家有用！dragonflier

2006-1-16

第五篇：河南大学2009年考研 高等代数真题

河南大学2009年研究生招生入学考试业务课试卷

考试科目及代码：高等代数 839

n,ns和s t的三个矩阵，且ABC=0，其中A的秩为一．（15分）设A,B,C分别为m创

n，C的秩为s．证明：B=0.二．（15分）若4级方针A的每一个行向量、每一个列向量的分量均由两个0和两个1组成，那么A的行列式等于０．

三．（15分）设A为n阶实对称矩阵，证明：V={x|x'Ax=0}是n维欧式空间Rn的一个子空间。

四．(20分)若以f(x)表示实系数多项式，试证： 2

W={f(x)|f(1)=0,叮(f(x))

是实数域上的一个线性空间，并求出它的一组基。n}

五．（20分）设A,B为两个幂等矩阵，即A=A,B=B。

证明：若秩(A)=秩(B)，则A与B相似。

六．（20分）设A,B为两个实对称矩阵，且A正定。证明：复方阵A+iB为可逆矩阵。

七．（20分）设A,B为数域P上两个不同的n阶对称矩阵，且r(B-A)=r，这里r(A)表示矩阵A的秩。证明：存在r-1个n阶对称矩阵C1，C2,,Cr-1，使得 22

r(C1-A)=r(Ci+1-Ci)=r(B-Cr-1)=1,i=1,2,,r-2。

八．（25分）设P,Q是数域P上任意两个n阶可逆方阵，Mn表示数域P上全体n³2阶方阵的集合。在Mn上定义变换s(P,Q)：

s(P,Q)(X)=PXQ,"x Mn。

若将Mn看做数域P上的线性空间，则s(P,Q)是此线性空间的一个线性变换。进一步令()

骣1琪琪2Q=琪，琪琪琪n桫

试求线性变换s(Q,Q)的所有特征值和特征向量。-1