直线与抛物线的位置关系 教案

第一篇：直线与抛物线的位置关系 教案

2.4.2直线与抛物线的位置关系

教学目标

1、知识与技能 掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法；

2、过程与方法 联立方程组的解析法与坐标法

3、情感态度价值观 让学生体验研究解析几何的基本思想，培养学生主动探索的精神

教学重点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法

教学难点： 直线与抛物线的位置关系的判断方法的应用

教学方法：多媒体教学、学案式教学

教学过程

一、课题引入

师：之前我们学习了直线与椭圆和双曲线的位置关系，请位同学说说如何判断直线与椭圆和双曲线的位置关系.提问的目的：

1、类比直线与椭圆及双曲线的位置关系得出直线与抛物线的三种位置关系；

2、“直线与双曲线有一个交点不一定是切点”和“直线与抛物线有一个交点不一定是相切的情形”类似，为后面总结直线与抛物线的位置关系的“特殊性”做铺垫.）

师：在学案给出的抛物线图中，画直线，观察直线与抛物线的位置关系，从交点个数入手，有几种情况？（培养学生动手和归纳总结的能力）在研究直线与椭圆和双曲线位置关系时，除了从几何图形入手研究位置关系外，我们还可以用什么方法来研究直线与圆锥曲线的位置关系？（引出代数法）

二、新课讲授

例1：已知抛物线的方程为y4x动直线l过定点P(-2,1),斜率为k.。当k为何值时，直线l与抛物线y4x。（1）只有一个公共点。（2）有两个公共点；（3）没有公共点

例题设计思路及目的：在本例中，学生会用几何判断法和解方程组的方法.对于几何判断法，随着斜率k的变化，直线与抛物线的位置关系在不断变化，但是对应的k的具体取值范围无法确定。另一方面在学完直线与椭圆及双曲线位置关系后，几何法行不通学生自然会想到利用方程联立得到新的一元二次方程，通过判断及判断交点的个数，即把几何图形的问题转化为了代数问题.这个思维过程体现了转化与化归的思想、数形结合的思想.那么该方程组的解的个数问题又可以转化为一个什么问题呢？此处引导学生消元（消去x或y）得到关于y或x的方程，同时注意消元方法的选择（板书过程中，引导学生消元，消去哪一个未知数在下一步计算当中更方便一些，通过比较得出最好的一种消元方法）.消元后的方程ky4y4(2k1)0①这样由于方程组解的个数与导出的方程解的个数相同，我们只需讨论消元后的方程①解的个数.提问学生，该方程一定是关于y的一元二次方程吗？学生意识到系数符号不同，方程的类型也不同.若系数为零，则是一次方程，此时消元后的方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，从而直线与抛物线只有一个公共点.若系数不为零，则消元后的方程是二次方程，由于二次方程的解的个数与判别式符号有关，故只需讨论判别式的符号.当判别式0时，方程有两个解，对应的方程组就有两个解，此时直线与抛物线有两个公共点；当判别式0时，方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，此时直线与抛物线有一个公共点；当0时，方程没有解，对应的方程组没有解，此时直线与抛物线没有公共点.该环节体现了转化的思想与分类讨论的思想.根据上述分析过程，教师在黑板上示范整个书写过程，同时让学生总结出“直线与抛物线的 222位置关系”及“相应的判断方法”：直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切.后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等（根的判别式0）,所利用的方法叫代数方法.教师在学生总结的基础上归纳出整个解题的基本步骤.课堂练习1 变式训练

已知抛物线的方程为y24x，直线l过定点P(0,1)，斜率为k.k为何值时，直线l与抛物线y24x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

在例题的基础上做相应的变式训练，强化解题的过程及解题要点，叫一名同学到板前解题，解题结束后做相应的点评.要点一：求直线的方程

要点二：消元的基本方法（简单）要点三：对系数进行分类讨论

要点四：解一元二次不等式，注意取“交集”

2、（1）过点（3,1）与抛物线y4x 只有一个公共点的直线有 ____条

（2）过点（1,2）与抛物线y4x只有一个公共点的直线有 ____条

（3）过点（0,2）与抛物线y4x 只有一个公共点的直线 有____条

（4）已知直线ykxk及抛物线y2px(p0)，则（）A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点

3、思维拓展

在抛物线y4x上是否存在一点，使它到直线l:yx3的距离最短，并求此距离.课堂总结

本节课我们学习了

1、直线与抛物线的位置关系，以及用代数的方法来判断其位置关系要注意直线与抛物线位置关系的特殊性.2、数学思想：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想.作业： 222222

第二篇：直线与抛物线的位置关系教案

课题：直线与抛物线的位置关系 教学目地

培养学生从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相验证的数学方法，提高数形结合的能力。

教学重点

运用解析几何的基本方法建立数形联系。媒体运用

电脑powerpoint 课件，几何画板动态演示，实物投影 教学课型 新授课 教学过程

（一）复习引入

通过问题复习方程和曲线的关系。

1、怎样判断直线L与抛物线C的位置关系？

为了使学生思考更有针对性，给出具体的例题：已知直线L：y1(x1)，抛物线C：2y24x，怎样判断它们是否有公共点？若有公共点，怎样求公共点？

1y(x1)估计学生都能回答：由方程组的解判断L与C的关系，紧接着提出问题： 2y24x1y(x1)

2、问为什么说方程组有解，L与C就有公共点，为什么该方程组的解对2y24x应的点就是L与C的交点？

通过这一问题，复习一下的对应关系： 直线L上的点方程y1(x1)的解；抛物线C上的点方程y24x的解；L与21y(x1)C的公共点方程组的解。2y24x既然有了这样的一一对应的关系，那么研究直线与抛物线的公共点，可以通过研究对应的方程组的解来解决；同样，讨论方程组是否有解，也可通过研究直线与抛物线是否有公共点来解决。这样就引出了解决这一类问题的两种方法，代数法和几何法。

（二）分析讨论例题

讨论直线L：ym(x1)与抛物线C：y24x公共点的个数。

ym(x1)请一位学生说一下解题思路，估计能回答出：考虑方程组2的解，然后让

y4x学生尝试自己解决。

提出下列几个问题：

1、从几何图形上估计一下，能否猜想一下结论？

如果被提问的学生不会回答，可作引导：直线L有什么特点？m表示什么？抛物线C有什么特点？在解决这些问题的同时画出图形。

2、m为何值时，L与C相切？

3、当m很接近于零但不等于零时（在提问同时用图形表示），L与C是否仅有一个公共点？

后两个问题从图像看不准，对于问题3，可能有部分同学认为仅有一个公共点，另外一些同学认为会有两个公共点，带着这个问题用代数法验证。

探究：请学生画出图形表示上述几个位置关系，从图中发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况？（几何画板动态演示）<有两种情况，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切.后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等。

（三）小结：

1、几何关系与代数结论的对照

AxByC0直线L ：Ax+By+C＝0与抛物线C：y＝2px的位置关系讨论方程组2y2px2的解，消元转化为关于x或y方程axbxc0(或aybyc0)。

L与C的对称轴平行或重合a=0； L与C有两个不同的公共点22a0a0；L与C相切于一点  00L与C相离 a0

02、学会从几何、代数两个角度考虑问题。解决该类问题的一般步骤是：先从几何角度观察估计，再用代数方法运算分析，最后利用较精确的图形验证结论。如遇矛盾，应从两方面检查：是几何估计偏差还是代数运算有误？从而总结经验教训。

（四）课堂训练（学生解答）

1、直线yx1与抛物线yx2的交点有几个？

2、讨论直线x=a与抛物线y22x的交点的个数？

3、若直线L：y1ax2与抛物线y22x有两个交点，求a在什么范围内取值？

4、直线ya1x1与曲线y2ax恰有一个公共点，求a的值。

前两个题由学生口头回答，在学生回答时提醒他们从代数、几何两个不同的角度考虑。后两个题请学生动笔演算后在回答。其中3题作为依形判数的典型：先从几何角度得出结论（即当L与x轴平行时与C交与一点，否则都交于两点），然后估计联立方程后将会得到什么相应的结论（消元后得到一元二次方程ax2bxc0(或ay2byc0)，必须在计算之前，先考虑二次项系数a与零的关系）最后用代数解法验证以上估计。其中4题作为就数论形的典型，该题从几何图形上不易直接得出结论，因此只能先用代数方法分析，得出结论（a0,1,

（五）总结

1、再一次强调要养成从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相补充，互相验证的数学方法。

2、对比几何、代数两种方法的优劣。

在总结中强调代数法能解决一般问题，不能让学生形成“代数法繁琐”这样的偏见，强调以代数法为主，以几何法为辅的思想。说到底，解析几何就数用代数方法研究几何问题的一门数学学科。

（六）布置作业

1、直线y2x1与抛物线y2x的公共点的有几个？求出公共点坐标。

2、由实数p的取值，讨论直线yx1与曲线y2px的公共点个数

3、若不论a取何实数，直线yma(x1)与抛物线y4x总有公共点，求实数m的取值范围。

2224）后，再利用图形逐一验证。

54、已知抛物线C:y24x，直线L:y1k(x2),.当k为何值时，直线L与抛物线C只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

解：由题意，设直线l的方程为y1k(x2)，y1k(x2)由方程组2，（*）

y4x消去x，可得ky24y4(2k1)0.①（1）当k0时，由方程①得 y＝1.把y＝1代入y4x，得x21.414这时，直线l与抛物线只有一个公共点(,1).(2)当k0时，方程①的判别式为16(2k2k1).21°由0，即2kk10，解得

于是，当k1,或k1时，方程①只有一个解，从而方程组（*）只有一个解.这时，21.2直线l与抛物线只有一个公共点.22°由0，即2kk10，解得1k于是，当1k1，且k0时，方程①有两个解，从而方程组（*）有两个解.这时，21。2直线l与抛物线有两个公共点.23°由0，即2kk10，解得k1,或k于是，当k1,或k与抛物线没有公共点.综上，我们可得 当k1,或k当1k1时，方程①没有实数解，从而方程组（*）没有解.这时，直线l21，或k0时，直线l与抛物线只有一个公共点.21，且k0时，直线l与抛物线有两个公共点.21当k1,或k时，直线l与抛物线没有公共点.2 备注：

这堂课的教案是基于在国培期间学习时，受到以下诸位专家教授观点的启发并结合自己的一点思考写下的，敬请各位同行和各位专家予以批评指正。

1、“搬”——30岁的时候我将知识从书上搬到授课笔记上，再从授课笔记搬到黑板上（并且书写工整，保存完整，尽量不檫黑板）

“卷”——现在我将学生卷入课堂，数学教学从数学问题开始。

数学是玩概念的，许多老师却不重视概念，不重视概念应用的教学。做题目为什么——巩固概念，理解概念。概念课就应该使概念出得自然、水到渠成，否则就不叫做“教数学”、“学数学”．

一定要重视概念教学，核心概念的教学更要“不惜时、不惜力”．

————陶维林

2、缺乏问题意识，对学生的创新精神和实践能力培养不利；

重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”，关注知识背景和应用不够，导致学习过程不完整

讲逻辑而不讲思想，关注数学思想、理性精神不够，对学生整体数学素养的提高不利。立意不高是普遍问题，许多教师的“匠气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥漫着“功利”，缺少思想、精神的追求，严重影响数学育人。

数学概括能力是数学学科能力的基础，数学概括能力的训练是数学思维能力训练的基础。概括是思维的速度，灵活迁移的程度，广度和深度、创造程度等思维品质的基础。概括是概念教学的核心，概括是人们掌握概念的直接前提，把概括的机会让给学生。

————章建跃

3、石家庄二中试验学校的老师讲的课《导数的应用》时，所采用的例题是从课本上的一道例题衍生而来的，只是几个字母的变化，却能体现小台阶大容量的思维过程，水到渠成般的实现了能力的提升。受其启发，本节课所选案例题也尽量体现由一道例题衍生而来的过程，力求抓住其中的内在联系和思维的逐步延伸性。

第三篇：直线与抛物线的位置关系简单教学设计

直线与抛物线的位置关系

（一）直线与抛物线的位置关系

例：已知抛物线的方程为 y24x，动直线

l 过定点 P(2,1)，斜率为k

.当

k 为何值时，直线 l 与抛物线C ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

（二）抛物线的弦长公式

例：斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线y22px 相交于A,B 两点，求线段AB 的长.抛物线的焦点弦|AB| 的公式：

2练习：（2013届北京西城区一模文科）抛物线y2x的准线方程是______;该抛物线的焦点为F,点M(x0,y0)在此抛物线上,且MF

5,则x0______.2例：直线ykxb 与抛物线y22px交于A(x1,y1),B(x2,y2)，你能推出弦长|AB|的公式吗？

思考题：已知抛物线y26x

，过点(4,1)P平分，求这条弦所在的直线方程.引一条弦PP12

，使它恰好被点

第四篇：直线与双曲线的位置关系教案

直线与双曲线的位置关系 xx中学 教者xxx

教学目标:

1、知识目标: 直线与双曲线的位置关系。

2、能力目标: 深化双曲线性质,提高分析问题,解决问题的能力。

3、德育目标: 事物之间即有区别又有联系的辩证观点。

教学重点: 直线与双曲线的位置关系及判断方法。教学难点: 学生解题综合能力的培养。教学时数: 两课时 教学方法: 启发式 教学过程:

一、课题导入

回忆直线与椭圆的位置关系及判断方法(将直线方程代入椭圆方程中 得到一个一元二次方程,然后用判别式来判断)。

二、讲授新课

通过观察第一组动画演示,学生能够直观的发现直线与双曲线的位 置关系：

相离:没有公共点。相切:有一个公共点。相交:有两个公共点。

通过观察第二组动画演示,使学生能够发现，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个公共点。

练习：判断直线y1x与双曲线x2y23的位置关系。

2例：已知直线l:ykx1,双曲线x2y24。问k取何值时，直

线与双曲线相交、相切、相离？

分析：结合前面观察的结果和直线与椭圆位置关系的判断方法引导学生将 直线方程代入双曲线方程中，得到一个方程,研究方程解的情况。解：

ykx1由2得2xy4（1k2）x22kx50(1)：当1k20，即k1时，直线l与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线相交，但是它们只有一个公共点。(2):当1k20，即k1时(2k)220(1k2)16k22016k220055a:，即k且k1时，直2221k0线与双曲线相交，有两个公共点。16k22005b:，即k时，直线与双曲线相221k0切，只有一个公共点。16k220055c:，即k或k时，直线与双2221k0曲线相离，无公共点。综合以上得：当k（55，1）（1，1）（1，）时，直线与双曲线相交，22

5有两个公共点；当k1时，直线与双曲线相交，有一个公共点；k 255（，）（，）时，时,直线与双曲线相切，有一个公共点；当k22 直线与双曲线相离，没有公共点。结论：直线与双曲线的位置关系的判断方法：把直线方程与双曲线方程

联立，消去x（或y）后得到一个方程。若方程的二次项系数不 为零，则方程为一元二次方程。此时，当⊿ ＞0时，直线与双曲 线相交；当⊿=0时，直线与双曲线相切；当 ⊿＜0时，直线与双 曲线相离。若方程的二次项系数为零，则方程为一元一次方程。此时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交，只有一个 公共点。

三、课堂练习

练习:

1、（辨析题）直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的

充要条件。

y22、过点P（0，3）的直线l与双曲线x1有一个公共点，42求直线l的方程。

四、小结

1、直线与双曲线的位置关系

2、直线与双曲线的位置关系的判断方法

3、高考热点：运用方程研究直线与双曲线的位置关系，以及相

交时的弦长、中点弦。最值、范围等有关问题。

五、作业

221、斜率存在且过点P（1，0）的直线l与双曲线xy2

有公共点，求直线l的斜率的取值范围。

2、课本复习题A组第5、6题

六、板书设计

直线与双曲线的位置关系

1、直线与双曲线的位置关系

3、例题

2、直线与双曲线的位置关系的

4、练习 判断方法

5、小结

第五篇：直线与圆的位置关系教案

《直线与圆的位置关系》教案

教学目标：

根据学过的直线与圆的位置关系的知识，组织学生对编出的有关题目进行讨论.讨论中引导学生体会

（1）如何从解决过的问题中生发出新问题.（2）新问题的解决方案与原有旧方法之间的联系与区别.通过编解题的过程，使学生基本了解、把握有关直线与圆的位置关系的知识可解决的基本问题，并初步体验数学问题变化、发展的过程，探索其解法.重点及难点：

从学生所编出的具体问题出发，适时适度地引导学生关注问题发展及解决的一般策略.教学过程

一、引入：

1、判断直线与圆的位置关系的基本方法：

（1）圆心到直线的距离

（2）判别式法

2、回顾予留问题：

要求学生由学过知识编出有关直线与圆位置关系的新题目，并考虑下面问题：

（1）为何这样编题.（2）能否解决自编题目.（3）分析解题方法及步骤与已学过的基本方法、步骤的联系与区别.二、探讨过程：

教师引导学生要注重的几个基本问题：

1、位置关系判定方法与求曲线方程问题的结合.2、位置关系判定方法与函数或不等式的结合.3、将圆变为相关曲线.备选题

1、求过点P（-3，-2）且与圆x2+y2+2x-4y+1=0相切的直线方程.备选题

2、已知P(x, y)为圆(x+2)2+y2=1上任意一点，求（1）（2）2x+3y=b的取值范围.备选题

3、实数k取何值时，直线L：y=kx+2k-1与曲线: y=两个公共点；没有公共点.三、小结：

1、问题变化、发展的一些常见方法，如：

（1）变常数为常数，改系数.（2）变曲线整体为部分.有一个公共点；=m的最大、最小值.（3）变定曲线为动曲线.2、理解与体会解决问题的一般策略，重视“新”与“旧”的联系与区别，并注意哪些可化归为“旧”的方法去解决.自编题目：

下面是四中学生在课堂上自己编的题目，这些题目由学生自己亲自编的或是自学中从课外书上找来的题目，这些题目都与本节课内容有关.①已知圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，P（x0, y0）是圆外一点，求过P点的圆的两切线的夹角如何计算？

②P（x0, y0）是圆x2+(y-1)2=1上一点，求x0+y0+c≥0中c的范围.③圆过A点（4，1），且与y=x相切，求切线方程.④直线x+2y-3=0与x2+y2+x-2ay+a=0相交于A、B两点，且OA⊥OB，求圆方程？

⑤P是x2+y2=25上一点，A（5，5），B（2，4），求|AP|2+|BP|2最小值.⑥圆方程x2+y2=4，直线过点（-3，-1），且与圆相交分得弦长为3∶1，求直线方程.⑦圆方程x2+y2=9，x-y+m=0，弦长为

2，求m.⑧圆O(x-a)2+(y-b)2=r2，P(x0, y0)圆一点，求过P点弦长最短的直线方程？

⑨求y=的最值.圆锥曲线的定义及其应用

[教学内容]

圆锥曲线的定义及其应用。

[教学目标]

通过本课的教学，让学生较深刻地了解三种圆锥的定义是对圆锥曲线本质的刻画，它决定了曲线的形状和几何性质，因此在圆锥曲线的应用中，定义本身就是最重要的性质。

1．利用圆锥曲线的定义，确定点与圆锥曲线位置关系的表达式，体现用二元不等式表示平面区域的研究方法。

2．根据圆锥曲线定义建立焦半径的表达式求解有关问题，培养寻求联系定义的能力。

3．探讨使用圆锥曲线定义，用几何法作出过圆锥曲线上一点的切线，激发学生探索的兴趣。

4．掌握用定义判断圆锥曲线类型及求解与圆锥曲线相关的动点轨迹，提高学生分析、识别曲线，解决问题的综合能力。

[教学重点]

寻找所解问题与圆锥曲线定义的联系。

[教学过程]

一、回顾圆锥曲线定义，确定点、直线（切线）与曲线的位置关系。

1．由定义确定的圆锥曲线标准方程。

2．点与圆锥曲线的位置关系。

3．过圆锥曲线上一点作切线的几何画法。

二、圆锥曲线定义在焦半径、焦点弦等问题中的应用。

例1．设椭圆+=1(a>b>0)，F1、F2是其左、右焦点，P(x0, y0)是椭圆上任意一点。

（1）写出|PF1|、|PF2|的表达式，求|PF1|、|PF1|·|PF2|的最大最小值及对应的P点位置。

（2）过F1作不与x轴重合的直线L，判断椭圆上是否存在两个不同的点关于L对称。

（3）P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3, y3)是椭圆上三点，且x1, x2, x3成等差，求证|PF1|、|PF2|、|PF3|成等差。

（4）若∠F1PF2=2，求证：ΔPF1F2的面积S=btg

（5）当a=2, b=最小值。

时，定点A（1，1），求|PF1|+|PA|的最大最小值及|PA|+2|PF2|的2例2．已知双曲线-=1，F1、F2是其左、右焦点。

（1）设P(x0, y0)是双曲线上一点，求|PF1|、|PF2|的表达式。

（2）设P(x0, y0)在双曲线右支上，求证以|PF1|为直径的圆必与实轴为直径的圆内切。

（3）当b=1时，椭圆求ΔQF1F2的面积。

+y=1 恰与双曲线有共同的焦点，Q是两曲线的一个公共点，2例3．已知AB是过抛物线y=2px(p>0)焦点的弦，A(x1, y1), B(x2, y2)、F为焦点，求证：

（1）以|AB|为直径的圆必与抛物线的准线相切。

（2）|AB|=x1+x2+p

（3）若弦CD长4p, 则CD弦中点到y轴的最小距离为

2（4）+为定值。

（5）当p=2时，|AF|+|BF|=|AF|·|BF|

三、利用定义判断曲线类型，确定动点轨迹。

例4．判断方程=1表示的曲线类型。

例5．以点F（1，0）和直线x=-1为对应的焦点和准线的椭圆，它的一个短轴端点为B，点P是BF的中点，求动点P的轨迹方程。

备用题：双曲线实轴平行x轴，离心率e=，它的左分支经过圆x+y+4x-10y+20=0的2

2圆心M，双曲线左焦点在此圆上，求双曲线右顶点的轨迹方程。