九年级数学下册 第2章 二次函数 2.4 二次函数的应用 2.4.1 二次函数的应用教案 (新版)北师大版

第一篇：九年级数学下册 第2章 二次函数 2.4 二次函数的应用 2.4.1 二次函数的应用教案 (新版)北师大版

2.4.1二次函数的应用

一、教学目标

1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值． 2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．

二、课时安排 1课时

三、教学重点

掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．

四、教学难点

运用二次函数的知识解决实际问题．

五、教学过程

（一）导入新课

引导学生把握二次函数的最值求法：(1)最大值：(2)最小值：

（二）讲授新课 活动1：小组合作

如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？

(2)设矩形的面积为ym,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?

2解：1设ADbm,易得b3x30.4 332yxbx(x30)x230x4432x20300.4b4acb2或用公式:当x20时,y最大值300.2a4a活动2：探究归纳

先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.（三）重难点精讲

例题:某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?

解：由4y7xx15.得y157xx.4x2157xxx2

窗户面积S2xy2x()2427157152x2x (x)22214225

.56b154acb2225 当x1.07时,s最大值4.02.2a144a56即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m.（四）归纳小结

“最大面积” 问题解决的基本思路： 1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.（五）随堂检测

1．（包头·中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm．

2．（芜湖·中考）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．

23．（潍坊·中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．

（1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？

（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？

4．（南通·中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．

（1）求y关于x的函数关系式.（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y 12，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ m

5.（河源·中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．

（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．

【答案】 1.12.5 2.根据题意可得：等腰三角形的直角边为2xm矩形的一边长是2xm,其邻边长为20422x21022x,

1所以该金属框围成的面积S2x1022x2x2x

2 10当x30202时,金属框围成的图形面积最大.322此时矩形的一边长为2x60402m,另一边长为10221032210210m.

S最大3002002m2.3.解;（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意 得：4x＋（100－2x）（80－2x）＝5 200，整理得x－45x＋350＝0，解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则

y＝30[4x＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)] 即y＝80x－3 600x＋240 000，配方得 y＝80（x－22．5）＋199 500，当x＝22．5时，y的值最小，最小值为199 500，所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元． 4.⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，∴在Rt△BFE中，∠1+∠BFE=90°，又∵EF⊥DE，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED，22222∴BFBEy8x, ∴ CECDxm8xx2即y

m

8xx212,化成顶点式: yx42 ⑵当m=8时，y888xx12（3）由y，及y得关于x的方程: mmx28x120，得x12，x26

∵△DEF中∠FED是直角，∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，此时，Rt△BFE≌Rt△CED，∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2.即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.5.解：（1）依题意得：y=(40-2x)x． ∴y=-2x+40x．

x的取值范围是0< x <20．

（2）当y=210时，由（1）可得，-2x+40x=210． 即x-20x+105=0．

∵ a=1，b=-20，c=105，∴(20)2411050，∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米． 六．板书设计

2.4.1二次函数的应用 2

2探究： 例题:

“最大面积” 问题解决的基本思路： 1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.七、作业布置 课本P47练习练习册相关练习

八、教学反思

第二篇：北师大版2.4 二次函数的应用教案

第二章 二次函数

2.4 二次函数的应用（1）

一、知识点

1.利用二次函数求几何图形面积最大值的基本思路.2.求几何图形面积的常见方法.二、教学目标 知识与技能：

能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值． 过程与方法：

1.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力． 2.通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力． 情感与态度：

1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．

2.能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．

3.进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．

三、重点与难点

重点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题.难点：把实际问题转化成函数模型.四、创设情境，引入新知(放幻灯片2、3、4）

1.(1)请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园.(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？

设计意图：通过学生所熟悉的图形，引入新课，使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路.2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？

(3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积.设计意图：在上一个问题的基础上对问题情境进行变化，增大难度，同时板书解题过程，让学生明确规范的书写过程.五、探究新知(放幻灯片5、6、7）

探究一：如图,在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AN=40m，AM=30m.(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?

ABNMDC探究二：在上一个问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？

DMCBANP探究三：如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料，AB=AC=20cm, BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、G 分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?

设计意图：通过由学生讨论怎样用直角三角形剪出一个最大面积的矩形入手，由学生动手画出两种方法，和同学一起从问题中抽象出二次函数的模型，并求其最值，同时通过两种情况的分析，训练学生的发散思维能力，关键是教会学生方法，也是这类问题的难点所在，即怎样设未知数，怎样转化为我们熟悉的数学问题.在此基础上对变式三进行探究，进而总结此类题型，得出解决问题的一般方法.BDAGEFC

六、例题讲解(放幻灯片8、9）

某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.（1）用含x的代数式表示 ；

（2）当x等于多少时,窗户通过的光线最多?(结果精确到0.01m)此时,窗户的面积是多少?(结果精确到0.01m)

归纳总结：二次函数应用的思路

设计意图：让学生进一步经历解决最值问题的过程，明确解决这类问题的一般步骤.七、课堂练习

八、课堂小结(放幻灯片10）

九、课后作业 2

第三篇：二次函数的应用教案

30.4二次函数应用（第一课时）

教学目标

知

识

与

技

能

通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。过

程

与

方

法

通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。情感、态度与价值观

通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。

教学重点：利用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，求面积最值问题

教学难点：(1)正确构建数学模型

(2)对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用

一、复习引入

1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标、对称轴和最值。

2、（1）求函数y＝x2+2x－3的最值。

（2）求函数y＝x2+2x－3的最值。（0≤x ≤ 3）

3、抛物线在何位置取最值？

二、新课讲授

1、讲解例题教师提出问题，引导学生观察思考，学生独立研究解决方案、展示

师生共同分析解决问题，引导学生讨论、交流、归纳，深入参与讨论，重点关注是否准确建立函数关系及讨论自变量取值范围 汇报、展示

师生共同小结并反思，加深理解

2、归纳总结复习提问让学生回忆二次函数图象、顶点与最值，求最值方法；实际问题中，提醒学生注意求解函数问题不能离开自变量取值范围这个条件的制约才有意义，做完练习后及时让学生总结出了取最值的点的位置往往在顶点和两个端点之间选择，为学习新课做好知识铺垫。

例题及练习的设计是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从学生身边较熟悉的事情

入手，让学生初步体会数学不能脱离生活实际，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，从而提炼出解题方法。让学生对自变量的意义有更深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。

小结过程中让学生体会到数学思想与方法。

三、练习

四、小结、作业

第四篇：6.4二次函数应用教案

课 题: §6.3二次函数的应用（2）教学目标：

1.能根据揭示实际问题中数量变化关系的图象特征，用相关的二次函数知识解决实际问题； 2.会用二次函数的相关知识解决现实生活中一些有关抛物线的问题

教学重点：运用二次函数的相关知识解决现实生活中一些有关抛物线的问题 教学难点：揭示实际问题中数量变化关系的图象特征 教学程序设计：

一、情境创设

打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，某次球的飞行高度y（单位：米）与飞行距离x（单位：百米）满足二次函数：y＝－5x2＋20x.（1）这个球飞行的水平距离最远是多少米？（2）这个球飞行的最大高度是多少米？

y(米）30 20 10 师生活动设计：师：出示问题，让学生思考后尝试解答

生：思考并尝试解答情境中的两个问题

设计意图：该情境属于简单、常见的问题，根据已有的知识立刻可以知道该如何去做，从而为本节课做一个很好的铺垫，也符合学生的认知规律

二、探索活动 活动：

（1）如何求这个球飞行时最远的水平距离？

（2）如何求出飞行路线与x轴的两个交点坐标呢？（3）如何求这个球飞行的最大高度？（4）如何求出抛物线的顶点坐标？

师生活动设计：生1：求这个球飞行时最远的水平距离就是求落地点与原点的距离，因此只要求出飞行路线与x轴的两个交点坐标.生2：只要令y=0，求出相应x的值，就可求出飞行路线与x轴的两个交点坐标.生3：只要求出抛物线的顶点坐标.生4：把解析式配成顶点式或利用顶点公式.师：根据学生的回答依次板演解答过程.设计意图：通过活动的引导，让学生理解解决二次函数图象问题时，数形结合是重要的方法，而在解决问题的过程中，求抛物线上某点的坐标是关键

三、例题教学 O 1 2 3 4

例1：某喷灌设备的喷头B高出地面1.2m，如果喷出的抛物线形水流的水平距离x(m)与高度y(m)之间的关系为二次函数y=a（x-4）2+2.求水流落地点D与喷头底部A的距离（精确到0.1m）

B O（A）D

答案：

∵水流抛物线对应的二次函数为y=a（x-4）2+2，且该抛物线经过点B（0，1.2）∴把x＝0、y＝1.2代入y=a（x-4）2+2，得1.2=a（0-4）2+2，解得a＝－0.05 ∴y=－0.05（x-4）2+2，把y＝0代入y=－0.05（x-4）2+2，得－0.05（x-4）2+2＝0，解得x1≈－2.3（舍去），x2≈10.3 答：水流落地点D与喷头底部A的距离约为10.3m.例2：如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米．

y 0.5米 2.5米 O 2米 1米 x 师生活动设计师：出示例1 生：先思考尝试解答.师：请学生回答并说出解答过程，教师根据学生的回答板书 师：出示例2 生：独立思考后小组交流.师：请同学谈谈自己的做法，然后师生共同总结.设计意图：例1与例2是两个基本的二次函数的图象问题.例1相对简单，关键是确定二次函数的解析式，并求出二次函数的图象上某点的坐标去解决；而例2有所深化，要综合分析题意后思考解决.四、课堂小结

本节课学到了什么？

本节课主要探索由“形（函数图象）”到“数（函数关系式）”的实际问题，如喷泉、喷灌等喷出的抛物线形水流及体育运动中一些呈抛物线状的运动轨迹等.确定这些“隐性”函数图象对应的函数关系式，并进行有效调控，可以使有关实际问题获得理想的解决.师生活动设计：生：总结本节课的内容，并发言，其它学生补充。师：在学生完成小结后给出完善的小结。

设计意图：帮助学生深化知识理解，完善认知结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高学生元认知的能力

五、当堂反馈（见导学案当堂反馈）

师生活动设计：独立思考并完成。

设计意图：通过当堂反馈，巩固和复习本节课的内容。

六、课后作业（见导学案课后作业）

设计意图：既照顾全体，又关注个别，真正体现全面关注所有学生的发展，并巩固学生所学习的知识.七、教学反思

第五篇：二次函数

2．二次函数定义__________________________________________________二次函数（1）导学案

一.教学目标：

（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯

重点难点：

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。教学过程：

二、教学过程

（一）提出问题

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?在这个问题中，1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?[利润=(售价－进价)×销售量]

2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]

3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?

[(10－8－x)；(100＋100x)]

4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]

5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。[y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)]

将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为：

y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………………………(1)将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：y=－100x2＋100x＋20D(0≤x≤2)……………………(2)

（二）、观察；概括

(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个?

(2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式?(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点?(4)这些问题有什么共同特点？

三、课堂练习

1.下列函数中，哪些是二次函数?(1)y=5x＋1(2)y=4x2－1

(3)y=2x3－3x2(4)y=5x4－3x＋1

2．P25练习第1，2,3题。

四、小结

1．请叙述二次函数的定义．

2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。

五.堂堂清

下列函数中，哪些是二次函数?

(1)Y=2x+1（2）y=2x2+1（3）y=x(x-2)（4）y=(2x-1)(2x-2)（5）y=x2(x-1)-1