新《抛物线的简单几何性质》教案（合集五篇）

第一篇：新《抛物线的简单几何性质》教案

抛物线的简单几何性质

一、教学目标(一)知识教学点

使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．(二)能力训练点

从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点

使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．

二、教材分析

1．重点：抛物线的几何性质及初步运用．

(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)2．难点：抛物线的几何性质的应用．

(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．)3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．(解决办法：引导学生证明并加以记忆．)

三、教学过程

问题 抛物线的标准方程是怎样的？

与椭圆、双曲线一样，通过抛物线的标准方程可以研究它的几何性质．

下面我们根据抛物线的标准方程：

【探索研究】

1．抛物线的几何性质

（1）范围

因为，由方程可知

，所以抛物线在 轴的右侧，当 的值增大时，也增

来研究它的几何性质．

大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

（2）对称性

以的轴．

（3）顶点

/ 3

代，方程不变，所以抛物线关于 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线

抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当顶点就是坐标原点．

（4）离心率

时，因此抛物线的抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知

其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得

再向学生提出问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？

（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；

（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；

（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；

（4）抛物线的离心率是确定的，为1．

【例题分析】

例1已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点标准方程。

2yl

例2 斜率为1的直线经过抛物线4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段

，求它的AB的长.解：抛物线的焦点 F(1 , 0), 直线l的方程为：yx1

/ 3

yx1x26x102y4x

x1322x2322 或 y1222y2222 AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2=8

（三）随堂练习

1．求适合下列条件的抛物线方程

①顶点在原点，关于 轴对称，并且经过点

②顶点在原点，焦点是

③顶点在原点，准线是

④焦点是

（四）总结提炼，准线是

抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线．

（五）布置作业

/ 3

第二篇：抛物线的几何性质例题2

x2y21，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线标准方程［例1］已知双曲线的方程是89及抛物线的准线方程.选题意图：考查抛物线的基本性质.x2y21的右顶点坐标是(22，0). 解：∵双曲线89∴p22,且抛物线的焦点在x轴的正半轴上.2∴所求抛物线的方程和准线方程分别为 y82x,x22.［例2］若抛物线的焦点为(2，2)，准线方程为x+y-1=0，求此抛物线的方程.选题意图：考查抛物线的定义.解：设P(x,y)是抛物线上的任意一点，抛物线的焦点为F，由抛物线的定义得： ｜PF｜=d(d为P到准线的距离)，∴(x2)2(y2)22

2xy12.整理得：x-2xy+y-6x-6y+15=0.说明：由于抛物线不在标准位置，所以采用抛物线定义求其方程.［例3］定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2x上移动，求AB中点到y轴距离 的最小值，并求出此时AB中点M的坐标.选题意图：考查对抛物线知识的综合运用能力.

解：如图，设F是抛物线y2x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，M点到准线的垂线为MN，N为垂足，则

｜MN｜=1（｜AC｜+｜BD｜）.213（｜AF｜+｜BF｜）≥.221.4根据抛物线定义得：｜AC｜=｜AF｜,｜BD｜=｜BF｜.∴｜MN｜=设M点的横坐标为x，则｜MN｜=x+∴xMN1315.4244等号成立的条件是弦AB过点F，由于｜AB｜＞2p=1.∴AB过焦点是可能的，此时M点到y轴的最短距离是即AB的中点横坐标为

5.45，4当F在AB上时，设A、B的纵坐标分别为y1、y2，则y1y2=-p=-21,从而 451222(y1+y2)=y1y22y1y222

42∴y1+y2=±2.∴此时AB中点的纵坐标为±

2.2552∴M的坐标为(,)时，M到y轴距离的最小值为.442说明：此题的难点是求最小值.而利用抛物线定义及梯形中位线性质等几何知识使问题变得非常简单，这再一次说明在解题中注意运用圆锥曲线的定义及有关的几何知识，对解题是非常有益的.

第三篇：双曲线的几何性质教案新人教版

双曲线的几何性质

一、教学目标(一)知识教学点

使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．

(二)能力训练点

在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点

使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题．

二、教材分析

1．重点：双曲线的几何性质及初步运用．

(解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明．)2．难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证．

(解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．)3．疑点：双曲线的渐近线的证明．(解决办法：通过详细讲解．)

三、活动设计

提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结．

四、教学过程(一)复习提问引入新课

1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？

请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的．

用心

爱心

专心 1

2．双曲线的两种标准方程是什么？

再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标

下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(性质1～3)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发、订正并板书)．<见下页>(三)问题之中导出渐近线(性质4)在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计

仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想．

接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？

下面，我们来证明它：

用心

爱心

专心 2

双曲线在第一象限的部分可写成：

用心

爱心

专心 3

当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．

在其他象限内也可以证明类似的情况．

现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字

母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字

这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精

用心

爱心

专心 4

再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．(四)顺其自然介绍离心率(性质5)由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：

变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．

这时，教师指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．

(五)练习与例题

1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正．

由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3．

焦点坐标是(0，-5)，(0，5)．

用心

爱心

专心 5

本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结． 解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：

化简得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

这就是双曲线的标准方程．

由此例不难归纳出双曲线的第二定义．(六)双曲线的第二定义 1．定义(由学生归纳给出)平面内点M与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e= 叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．

用心

爱心

专心

2．说明

(七)小结(由学生课后完成)将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结．

五、布置作业

1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144． 2．求双曲线的标准方程：

(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；

曲线的方程．

用心

爱心

专心

点到两准线及右焦点的距离． 作业答案：

距离为7

六、板书设计

用心

爱心

专心 8

第四篇：双曲线的简单几何性质(教案)(精)

双曲线的简单几何性质 山丹一中 周相年 教学目标:(1 知 识目标

能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心 率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质.(2能力目标

通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增 强学生的自信心.(3 情感目标

通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神.教学重点:双曲线的几何性质.教学难点:双曲线的渐近线.教学方法:启发诱导、练讲结合 教学用具 :多媒体 教学过程:

一、复习回顾,问题引入: 问题 1:双曲线的定义及其标准方程?

问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有 类似性质?又该怎样研究?

二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(122 22>>=-b a b y a x 研究它的几何性质 1.范围: 双曲线在不等式 x ≥ a 与 x ≤-a 所表示的区域内.2.对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是 双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称

中心叫双曲线中心.3.顶点:(1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0、A2(a,0, 它们叫做双曲线的顶点.(2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长;线段 B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长.(3实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线,其方程为: 练一练: 1.若点 P(2, 4在双曲线 上,下列是 双曲线上的点有(1 P(-2, 4(2 P(-4, 2(3 P(-2,-4(4 P(2,-4 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程: 0(22≠=-m m y x(1焦点在 x 轴上,实轴长是 10,虚轴长是 8,则方程是(2焦点在 y 轴上,焦距是 10,虚轴长是 8,则方程是 : 4.渐近线

(1概念:双曲线 0, 0(12222>>=-b a b y a x 的各支向外延伸时,与这两条直线 逐渐接近!故把这两条直线叫做双曲线的渐近线!(2双曲线 12222=-b y a x 的渐近线方程为:x a b y ±= ,即 0=±b y a x(3等轴双曲线的渐近线方程为:x y ±=.(4 利用双曲线的渐近线, 可以帮助我们较准确地画出双 曲线的草图.具体做法是:画出双曲线的渐近线, 先确定双

曲线顶点及第一象限内任意一点的位置,然后过这两点并

根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲 线的一部分,最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.5.离心率:(1定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e=a c ,叫双曲线的离心率.(2范围:由 c>a>0可得 e>1.思考:离心率可以刻画椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线的什 么几何特征?(3含义 :离心率是表示双曲线开口大小的一个量 , 离心率越大开口越大.思考:你能到处双曲线 0, 0(12222>>=-b a b x a y 的性质吗?

三、学以致用,巩固双基: 例 1 求双曲线 9y 2-16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.练习1 求双曲线 9y 2-16x 2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.思考 1:请你写出一个以 为渐近线的双曲线方程.思考 2:你能写出所有以 为渐近线的双曲线方程吗 ? 练习2 求渐近线为 x y 34 ±=,且过点 4, 3(的双曲线的标准方程.四、小结反思,总结提高: 1.双曲线 0, 0(122 22>>=-b a b x a y 的简单几何性质:范围,对称性,顶点,离 心率,渐进线

2.比较双曲线的几何性质与椭圆的几何性质的异同

五、作业布置 : 必做:作业案 1-10 选做:作业案 11-12 x y 34 ±=x y 34

±=

六、教学反思

渐近线是双曲线的特有性质,也是教学的难点,但课程标准要求相对 较低,不要求严格证明,为了突破难点,通过问题引导学生从已有认知水平出发,来发现双曲线的渐近线,然后充分利用多媒体展示,帮助学生进 一步直观理解渐近线“渐近”的含义。

第五篇：双曲线的几何性质教案(精)（精选）

双曲线的简单几何性质教案 课题:双曲线的简单几何性质 教学类型:新知课 教学目标: ①知识与技能

理解并掌握双曲线的几何性质, 能根据性质解决一些基本问题培养学 生分析,归纳,推理的能力。

②过程与方法

与椭圆的性质类比中获得双曲线的性质,进一步体会数形结合的思 想,掌握利用方程研究曲线性质的方法

③情感态度与价值观

通过本节课的学习使学生进一步体会曲线与方程的对应关系, 感受圆 锥曲线在解决问题中的应用

教学方法:本节课主要通过数形结合,类比椭圆的几何性质,运 用现代化教学手段,通过观察,分析,归纳出双曲线的几何性质,在 教学过程中可采取设疑提问,重点讲解,归纳总结,引导学生积极 思考,鼓励学生合作交流。

教学重难点: 重点:双曲线的几何性质及其运用 难点 : 双曲线渐近线,离心率的讲解 教具:多媒体 教学过程:

⑴复习提问导入新课: 首先带领学生复习椭圆的几何性质,它有哪些几何性质?(应为范 围,对称性,顶点,焦点 ,离心率,准线是如何探讨的呢?(通 过椭圆的标准方程探讨。让全班同学口答,并及时给以表扬。接下来让那个同学回忆双曲线的标准方程是什么?请一名同学回答。(应为:中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 x ²/a ²-y ²/b ²=1;中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 y ²/a ²-x ²/b ²=1。回忆完旧知后,我会给出一首歌曲《悲伤的双曲 线》(大概一分钟左右 ,引起学生兴趣,渴望知道双曲线的性质,这 样顺利进入探究新知环节中。

⑵引导探索,学习新知

1, 引导学生完成黑板上关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回 答,教师引导,启发,订正并写在黑板上 ,通过类比联想可以 得到双曲线的范围,对称性和顶点。

2, 导出渐近线(性质 4 在学习椭圆时,以原点为中心, 2a,2b 为邻变的矩形,对于估计椭 圆的形状, 画出椭圆的简图有很大帮助, 试问对双曲线, 仍然以 2a,2b 为邻边做一矩形, 那么双曲线和这个矩形有什么关系呢?这个矩型对 于估计和画出双曲线有什么指导意义呢?(不要求学生回答, 只引起 学生类比联想。接着在提出问题:当 a,b 为已知时,这个矩形的两 条对角线所在的直线的方程是什么?(请一名同学回答。接下来按 照幻灯片显示来详细解决。最后向学生说明我们研究渐近线是为了较

准确地画出双曲线的草图。3.顺其自然介绍离心率

由于正确的认识了渐近线的概念, 对于离心率的直观意义也就容易掌 握了,为此介绍双曲线的离心率其的影响。

最后应明确的指出:双曲线的几何性质与坐标系的选择无关, 即不随 坐标系的改变而改变。

4, 在讲解完所有新课之后,带领学生在总体回顾双曲线的性质。⑶加强训练,巩固强化

给出例 1,帮助学生分析:可用待定系数法,直接求出 a,b,c 学生独立思考后,教师分析,解答,教师板书。⑷ 归纳小结, 用表格的形式让学生清楚的看到双曲线的性质。布置作业

课本 p56页 练习A 课后设疑

焦点在 y 轴上的双曲线的性质自己探索 教学反思:有待课堂教学检验之后。