对数与对数函数复习教案

第一篇：对数与对数函数复习教案

对数函数

① 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.② 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点.③ 知道对数函数是一类重要的函数模型； ④ 了解指数函数 与对数函数 互为反函数（）

一 对数 定义：若ab=N

（），则b叫做以a为底N的对数。

记做b=logaN

y= logax（x>0且x不等于1）性质：几个恒等式（M,N,a,b都是正数，且a，b不等于1）

a logaN =N logaaN=N logaa=N

logaN= logbN/ logba(换底公式)

logab=1/ logba

logambn=（n/m）logab 3 运算法则：（,M>0,N>0）；

loga（mn）= logaM +logaN;2

logaM/N= logaM-logaN 3 logaMN=n logaM log()=（n/m）logab 4 常用对数，自然对数：将以10为底的对数叫常用对数，记作lgN

以e=2.71828……为底的对数叫自然对数，记作ln N 5 零和负数没有对数，且loga1=0，logaa=1 6 图像（略）7 过定点（1,0）。

a>1时

单调递增

0

二 反函数 概念：函数y=f（x）的定义域为A，值域为c，由y=f（x）得x=φ（y）

函数y=φ（x）是y=f（x）的反函数。记作y=f-1（x）求反函数的步骤：1 由

y=f（x）解出x=f-1（y）将x=f-1（y）中的x与y互换位置，得y=f-1（x）

由y=f（x）得值域，确定y=f-1（x）的定义域

互为反函数的图像关于直线y=x对称

同底的指数函数与对数函数互为反函数

三 对数函数的性质在比较对数值大小中的应用

比较同底数的两个对数值的大小。

例如：比较logaf（x）与logag（x）的大小

其中

若a>1，f（x）>0，g（x）>0，则logaf（x）> logag（x）等价于f（x）> g（x）>0 2 若00，g（x）>0，则logaf（x）> logag（x）等价于0

例如：比较logaf（x）与logbf（x）的大小。

其中a> b>0且a，b均不等于1 1 若a>b>1，当f（x）>1时，logbf（x）>logaf（x）

当f（x）属于（0，1）时，logaf（x）>logbf（x）2 若1>a>b>0；当f（x）>1时logbf（x）>logaf（x）

当0 logbf（x）3 若a>1>b>0，当f（x）>1时logaf（x）>0>logbf（x）

当0

图像（）

（）

四

求与对数函数相关的复合函数的单调区间

求复合函数y=f[g（x）] 的单调区间的步骤 1

确定定义域

将复合函数分解成基本初等函数：y=f（u），u=g（x）3

分别确定这两个函数的单调区间

若这两个函数同增或同减，则y=f[g（x）]为增函数

若一增一减，则y=f[g（x）]为减函数。

即同增异减

五 对数方程的类型及解法 对数方程：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程

解对数方程的基本思路是化为代数方程，常见的可解类型有形如logaf（x）=logaf（x）（）的方程，化成f（x）=g（x）求解形如F(logax)=0的方程，用换元法

形如 logf（x）g（x）=c的方程 化成指数式[f（x）]c= g（x）求解 在将对数方程化成代数方程的过程中，未知数范围扩大或缩小就容易产生增，减根，因此，要注意验根

4含参数的指数，对数方程在求解时要注意将原方程等价转化为某个混合组，并在等价转化的原则下简化求解，对参数进行分类讨论

第二篇：2012届高考数学一轮复习教案：2.8 对数与对数函数

2.8 对数与对数函数

●知识梳理

1.对数（1）对数的定义：如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：a=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质: ①loga（MN）=logaM+logaN.②logaM=logaM－logaN.③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN=2.对数函数

（1）对数函数的定义

函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.（2）对数函数的图象

logaNlogabbN（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）.②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.●点击双基

1.（2005年春季北京，2）函数f（x）=|log2x|的图象是

解析：f（x）=log2x,x1,log2x,0x1.第1页（共6页）

答案：A 2.（2004年春季北京）若f（x）为函数f（x）=lg（x+1）的反函数，则f（x）的值域为___________________.－1解析：f（x）的值域为f（x）=lg（x+1）的定义域.由f（x）=lg（x+1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x）的值域为（－1，+∞）.答案：（－1，+∞）

3.已知f（x）的定义域为［0，1］，则函数y=f［log1（3－x）］的定义域是__________.2－

1－1解析：由0≤log1（3－x）≤1log11≤log1（3－x）≤log1222212

12≤3－x≤12≤x≤5252.答案：［2，］

4.若logx7y=z，则x、y、z之间满足 A.y7=xz

zC.y=7x

B.y=x7z

x

D.y=z

z7z7z解析：由logx7y=zx=7yx=y，即y=x.答案：B 5.已知1＜m＜n，令a=（lognm）2，b=lognm2，c=logn（lognm），则 A.a＜b＜c

B.a＜c＜b C.b＜a＜c

D.c＜a＜b 解析：∵1＜m＜n，∴0＜lognm＜1.∴logn（lognm）＜0.答案：D ●典例剖析

1x(),x4,【例1】 已知函数f（x）=2则f（2+log23）的值为

f(x1),x4,A.1B.16

C.11

2D.12412

124剖析：∵3＜2+log23＜4，3+log23＞4，∴f（2+log23）=f（3+log23）=（答案：D）3+log23=

.【例2】 求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.解：∵｜x｜＞0，∴函数的定义域是｛x｜x∈R且x≠0｝.显然y＝log2｜x｜是偶函数，它的图象关于y轴对称.又知当x＞0时，y＝log2｜x｜y＝log2x.故可画出y＝log2｜x｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.第2页（共6页）

评述：研究函数的性质时，利用图象更直观.深化拓展

已知y=log1［a2x+2（ab）x－b2x+1］（a、b∈R+），如何求使y为负值的x的取值范围? 2提示：要使y＜0，必须a2x+2（ab）x－b2x+1＞1，即a2x+2（ab）x－b2x＞0.∵b＞0，∴（∴（再分ababab2x2x）+2（xab）－1＞0.abx）＞2－1或（＞1，ab）＜－2－1（舍去）.x=1，ab＜1三种情况进行讨论.答案：a＞b＞0时，x＞loga（2－1）；

ba=b＞0时，x∈R；

0＜a＜b时，x＜loga（2－1）.b【例3】 已知f（x）=log1［3－（x－1）2］，求f（x）的值域及单调区间.3解：∵真数3－（x－1）2≤3，∴log1［3－（x－1）2］≥log13=－1，即f（x）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，33得1－3＜x＜1+3，∴x∈（1－3，1］时，3－（x－1）2单调递增，从而f（x）单调递减；x∈［1，1+3）时，f（x）单调递增.特别提示

讨论复合函数的单调性要注意定义域.●闯关训练 夯实基础

1.（2004年天津，5）若函数f（x）=logax（0＜a＜1）在区间［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，则a等于

A.2B.2C.14

D..解析：∵0＜a＜1，∴f（x）=logax是减函数.∴logaa=3·loga2a.∴loga2a=∴1+loga2=答案：A

第3页（共6页）

1313.∴loga2=－

23.∴a=

24.2.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于 A.12

B.－

1a

C.2

1a

1a D.－2

12解析：y=log2|ax－1|=log2|a（x－）|，对称轴为x=，由=－2得a=－.答案：B 评述：此题还可用特殊值法解决，如利用f（0）=f（－4），可得0=log2|－4a－1|.∴|4a+1|=1.∴4a+1=1或4a+1=－1.∵a≠0，∴a=－3.（2004年湖南，理3）设f ［1+ f －

1－1

12.－1

（x）是f（x）=log2（x+1）的反函数，若［1+ f

（a）］（b）］=8，则f（a+b）的值为

A.1

B.2

C.3

D.log23 －1x－1－1aba+ba+b解析：∵f（x）=2－1，∴［1+ f（a）］［1+ f（b）］=2·2=2.由已知2=8，∴a+b=3.答案：C 4.（2004年春季上海）方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.解析：由lgx+lg（x+3）=1，得x（x+3）=10，x+3x－10=0.∴x=－5或x=2.∵x＞0，∴x=2.答案：2 5.已知y=loga（3－ax）在［0，2］上是x的减函数，求a的取值范围.解：∵a＞0且a≠1，∴t=3－ax为减函数.依题意a＞1，又t=3－ax在［0，2］上应有t＞0，∴3－2a＞0.∴a＜

322

.故1＜a＜

32.6.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.解：f（x）、g（x）的公共定义域为（－1，1）.|f（x）|－|g（x）|=|lg（1－x）|－|lg（1+x）|.（1）当0＜x＜1时，|lg（1－x）|－|lg（1+x）|=－lg（1－x2）＞0；（2）当x=0时，|lg（1－x）|－|lg（1+x）|=0；

（3）当－1＜x＜0时，|lg（1－x）|－|lg（1+x）|=lg（1－x2）＜0.综上所述，当0＜x＜1时，|f（x）|＞|g（x）|；当x=0时，|f（x）|=|g（x）|；当－1＜ x＜0时，|f（x）|＜|g（x）|.培养能力

7.函数f（x）=log2|x|，g（x）=－x2+2，则f（x）·g（x）的图象只可能是

解析：∵f（x）与g（x）都是偶函数，∴f（x）·g（x）也是偶函数，由此可排除A、第4页（共6页）

D.又由x→+∞时，f（x）·g（x）→－∞，可排除B.答案：C 28.若f（x）=x－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）.（1）求f（log2x）的最小值及对应的x值；

（2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）？ 解：（1）∵f（x）=x2－x+b，∴f（log2a）=log22a－log2a+b.由已知有log2a－log2a+b=b，∴（log2a－1）log2a=0.∵a≠1，∴log2a=1.∴a=2.又log2［f（a）］=2，∴f（a）=4.∴a2－a+b=4，b=4－a2+a=2.故f（x）=x2－x+2，从而f（log2x）=log22x－log2x+2=（log2x－∴当log2x=12122）2+

74.即x=2时，f（log2x）有最小值

74.2x2或0x1log2xlog2x22（2）由题意 0＜x＜1.21x2log2(xx2)2探究创新

9.（2004年苏州市模拟题）已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数y= f（x）图象上的点.（1）求实数k的值及函数f －1（x）的解析式；

（2）将y= f（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若－12 f（x+m－3）－g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围.－1－1解：（1）∵A（－2k，2）是函数y= f －1（x）图象上的点，∴B（2，－2k）是函数y=f（x）上的点.∴－2k=32+k.∴k=－3.∴f（x）=3x－3.∴y= f －1（x）=log3（x+3）（x＞－3）.（2）将y= f －1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）=log3x（x＞0），要使2 f －1（x+m－3）－g（x）≥1恒成立，即使2log3（x+m）－log3x≥1恒成立，所以有x+mx+2m≥3在x＞0时恒成立，只要（x+mxmx+2m）min≥3.mx又x+≥2m（当且仅当x=916mx，即x=m时等号成立），∴（x+

+2m）min=4m，即4m≥3.∴m≥●思悟小结.1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.●教师下载中心

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教学点睛

1.本小节的重点是对数函数图象和性质的运用.由于对数函数与指数函数互为反函数，所以它们有许多类似的性质，掌握对数函数的性质时，与掌握指数函数的性质一样，也要结合图象理解和记忆.2.由于在对数式中真数必须大于0，底数必须大于零且不等于1，因此有关对数的问题已成了高考的热点内容.希望在讲解有关的例题时，要强化这方面的意识.拓展题例

【例1】 求函数y=2lg（x－2）－lg（x－3）的最小值.解：定义域为x＞3，原函数为y＝lg又∵(x2)x32(x2)x322.＝（x－3）＋

1x3＝x4x4x32＝

(x3)2(x3)1x3＋2≥4，∴当x＝4时，ymin＝lg4.1【例2】（2003年北京宣武第二次模拟考试）在f1（x）=x2，f2（x）=x，f3（x）=2，f4（x）=log1x四个函数中，x1＞x2＞1时，能使［f（x1）+f（x2）］＜f（22x

1x1x222）成立的函数是

1A.f1（x）=x2 C.f3（x）=2x

B.f2（x）=x D.f4（x）=log1x

1解析：由图形可直观得到：只有f1（x）=x2为“上凸”的函数.答案：A

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第三篇：幂函数、指数函数和对数函数-对数及其运算法则-教案

幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 ? 教学目标

1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质． 2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程． 3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题． 教学重点与难点

重点是对数定义、对数的性质和运算法则．难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导． 教学过程设计 师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？

生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍．

师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题． 师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？ 师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程

1.072x=4．

我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题． 师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作 logaN=b，其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式． 师：请同学谈谈对对数这个定义的认识．

生：对数式logaN实际上就是指数式中的指数b的一种新的记法． 生：对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算．（此刻并不奢望学生能说出什么深刻认识，只是给他们自己一个去思维认识对数这个定义的机会．）

师：他们说得都非常好．实际上ab=N这个式子涉及到了三个量a，b，N，由方程的观点可得“知二求一”．知道a，b可求N，即前面学过的指数运算；知道b（为自然数时），N可求a，即初中学过的开

记作logaN=b．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为logaN，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法． 师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆对数这个概念，请同学们填写下列表格．（打出幻灯）? 式子 名称?

a b N?

指数式 对数式 ab=N logaN=b ? ? ?

练习1 ?把下列指数式写成对数形式：

练习2 ?把下列对数形式写成指数形式：

练习3 ?求下列各式的值：

（两名学生板演练习1，2题（过程略），一生板演练习三．）因为22=4，所以以2为底4的对数等于2．

因为53=125，所以以5为底125的对数等于3．（注意纠正学生的错误读法和写法．）

师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？ 生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R．

师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数． 师：要特别强调的是：零和负数没有对数． 师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？（根据本班情况决定是否设置此问．）

生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1．（此回答能培养学生分类讨论的数学思想．这个问题从ab=N出发回答较为简单．）师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数． 师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28„„． 练习4? 计算下列对数：

lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125． 师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想． 生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4．

生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27． 生：10lg105=105．

生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125．

师：非常好．这就是我们下面要学习的对数恒等式． 师：（板书）

alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线）（再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明．）（学生讨论，并口答．）生：（板书）

证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N． 师：你是根据什么证明对数恒等式的？ 生：根据对数定义． 师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明． 师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件． 生：a＞0，a≠1，N＞0．

师：接下来观察式子结构特点并加以记忆．（给学生一分钟时间．）师：（板书）2log28=？2log42=？ 生：2log28=8；2log42=2． 师：第2题对吗？错在哪儿？

师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？（经历上面的错误，使学生更牢固地记住对数恒等式．）生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式 alogaN=N．

（师用红笔在两处a上重重地描写．）师：最后说说对数恒等式的作用是什么？ 生：化简！

师：请打开书74页，做练习4．（生口答．略）

师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性质． 师：负数和零有没有对数？并说明理由．

生：负数和零没有对数．因为定义中规定a＞0，所以不论b是什么数，都有ab＞0，这就是说，不论b是什么数，N=ab永远是正数．因此，由等式b=logaN可以看到，负数和零没有对数．

师：非常好．由于对数定义是建立在指数定义的基础之上，所以我们要充分利用指数的知识来研究对数． 师：（板书）性质1：负数和零没有对数． 师：1的对数是多少？

生：因为a0=1（a＞0，a≠1），所以根据对数定义可得1的对数是零． 师：（板书）1的对数是零． 师；底数的对数等于多少？

生：因为a1=a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于1． 师：（板书）底数的对数等于1．

师：给一分钟时间，请牢记这三条性质．

师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下．

生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an=am+n．同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an=am-n．还有（am）n=amn；

师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则．（板书）（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和．即 loga（MN）=logaM+logaN．（请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明．）师：（分析）我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式． 师：（板书）设logaM=p，logaN=q，由对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以 M·N=ap·aq=ap+q，所以

loga（M·N）=p+q=logaM+logaN．

即

loga（MN）=logaM+logaN．

? 师：这个法则的适用条件是什么？

生：每个对数都有意义，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1． 师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆．

生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算． 师：非常好．例如，（板书）log2（32×64）=？ 生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11．

师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用——降级运算．它使计算简化． 师：（板书）log62+log63=？

生：log62+log63=log6（2×3）=1．

师：正确．由此例我们又得到什么启示？ 生：这是法则从右往左的使用．是升级运算． 师：对．对于运算法则（公式），我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用．真正领会法则的作用！师：（板书）（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．

师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习．（给学生三分钟讨论时间．）生：（板书）设logaM=p，logaN=q．根据对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以

师：非常好．他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的．大家再想一想，在证明法则（2）时，我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1）这个结论．那么，我们是否还有其它证明方法？ 生：（板书）

师：非常漂亮．他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（1）去证明法则（2）．他的证法要比书上的更简单．这说明，转化归结的思想，在化难为易、化复杂为简单上的重要作用．事实上，这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛．

师：法则（2）的适用条件是什么？ 生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．

师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆．

生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．

师：（板书）lg20-lg2=？

师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法． 师：（板书）例1 ?计算：

生：（板书）解

（1）log93+log927=log93×27=log981=2；

（3）log2（4+4）=log24+log24=4；

（由学生判对错，并说明理由．）

生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则．（板书）

生：第（3）题错！法则（1）的内容是：

生：第（4）题错！法则（2）的内容是：

师：通过前面同学出现的错误，我们在运用对数运算法则时要特别注意什么？ 生：首先，在同底的情况下才能从右往左运用法则（1）、（2）；其次，只有在正因数的积或两个正数的商的对数的情况下，才能从左往右运用运算法则（1）、（2）． 师：（板书）（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即 loga（N）n=n·logaN． 师：（分析）欲证loga（N）n=n·logaN，只需证 Nn=an·logaN=（a·logaN）n，只需证 N=alogaN．

? 由对数恒等式，这是显然成立的． 师：（板书）设N＞0，根据对数恒等式有 N=alogaN． 所以

Nn=（alogaN）n=an·logaN．

? 根据对数的定义有

loga（N）n=n·logaN．

师：法则（3）的适用条件是什么？ 生：a＞0，a≠1；N＞0．

师：观察式子结构特点并加以记忆． 生：从左往右仍然是降级运算． 师：例如，（板书）log332=log525=5log52．练习计算（log232）3．（找一好一差两名学生板书．）错解：（log232）3=log2（25）3=log2215=15． 正确解：（log232）3=（log225）3=（5log22）3=53=125．（师再次提醒学生注意要准确记忆公式．）师：（板书）（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即

师：法则（4）的适用条件是什么？ 生：a＞0，a≠1；N＞0．

师：法则（3）和法则（4）可以合在一起加以记忆．即logaNα=αlogaN（α∈R）．（师板书）例2 ?用logax，logay，logaz表示下列各式：

（生板书）解

（注意（3）的第二步不要丢掉小括号．）（师板书）例3 ?计算：

（生板书）解

（1）log2（47×25）=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19．

师：请大家在笔记本上小结这节课的主要内容． 作业? 课本P78．习题第1，2，3，4题． 课堂教学设计说明 本节的教学过程是：

1．从实际问题引入，给出对数定义； 2．深刻认识对数定义；

3．对数式与指数式的互化； 4．对数恒等式alogaN=N； 5．对数的性质； 6．对数运算法则； 7．例题·小结·作业．

通过本节课，应使学生明确如何学习一种运算（从定义、记法、性质、法则等方面来研究）；如何学习公式或法则（从公式推导，适用条件，结构特点和记忆以及公式作用四方面来研究）．针对高中数学内容多、密度大、进度快的特点，应使学生尽早地掌握适应高中数学的学习方法．

第四篇：对数函数教案

教学目标：

(一)教学知识点：1.对数函数的概念；2.对数函数的图象和性质.(二)能力训练要求：1.理解对数函数的概念；2.掌握对数函数的图象和性质.(三)德育渗透目标：1.用联系的观点分析问题；2.认识事物之间的互相转化.教学重点：

对数函数的图象和性质

教学难点：

对数函数与指数函数的关系

教学方法：

联想、类比、发现、探索

教学辅助：

多媒体

教学过程：

一、引入对数函数的概念

由学生的预习，可以直接回答“对数函数的概念”

由指数、对数的定义及指数函数的概念，我们进行类比，可否猜想有：

问题：1.指数函数是否存在反函数？

2.求指数函数的反函数．

①；

②；

③指出反函数的定义域．

3.结论

所以函数与指数函数互为反函数．

这节课我们所要研究的便是指数函数的反函数——对数函数．

二、讲授新课

1.对数函数的定义：

定义域：(0,+∞);值域:(-∞,+∞)

2.对数函数的图象和性质：

因为对数函数与指数函数互为反函数．所以与图象关于直线对称．

因此，我们只要画出和图象关于直线对称的曲线，就可以得到的图象．

研究指数函数时，我们分别研究了底数和两种情形．

那么我们可以画出与图象关于直线对称的曲线得到的图象．

还可以画出与图象关于直线对称的曲线得到的图象．

请同学们作出与的草图，并观察它们具有一些什么特征？

对数函数的图象与性质：

图象

性质（1）定义域：

（2）值域：

（3）过定点，即当时，（4）上的增函数

（4）上的减函数

3.图象的加深理解：

下面我们来研究这样几个函数：，，．

我们发现：

与图象关于X轴对称；与图象关于X轴对称．

一般地，与图象关于X轴对称．

再通过图象的变化（变化的值），我们发现：

（1）时，函数为增函数，（2）时，函数为减函数，4.练习：

(1)如图：曲线分别为函数，，的图像，试问的大小关系如何？

(2)比较下列各组数中两个值的大小：

(3)解关于x的不等式：

思考：(1)比较大小：

(2)解关于x的不等式：

三、小结

这节课我们主要介绍了指数函数的反函数——对数函数．并且研究了对数函数的图象和性质．

四、课后作业

课本P85，习题2．8，1、3

第五篇：对数函数教案

§2.2.2 对数函数及其性质

（一）教学目标： 知识与技能：

1、掌握对数函数的概念。

2、根据函数图象探索并理解对数函数的性质。过程与方法：

1、通过对对数函数的学习，渗透数形结合、分类讨论的思想。

2、能够用类比的观点看问题，体会知识间的有机联系。情感态度与价值观：

1、培养学生观察、分析能力，从特殊到一般的归纳能力。

2、通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。教学重难点：

1、重点：对数函数的图像和性质

2、难点：底数 a 的变化对函数性质的影响 教学方法：讲授法、引导探究法、讲练结合法 教学过程：

一、情景设置

1、在《指数函数》中我们了解到细胞分裂的次数与细胞个数之间的关系可以用正整数指数函数y2x表示。那么分裂的次数x为多少时，y（即细胞个数）达到1万，或10万，由此可得到分裂次数x和细胞个数y之间的函数关系x=㏒2 y，如果按习惯x用表示自变量，y表示函数，即可得y=log2x，这就是一个对数函数，今天我们就要研究对数函数。

2、考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡的残留物，利用tlog573012P估计出土文物或古遗址的年代.那么，t 能不能看成是 P 的函数？

二、新知探究

1、介绍新概念：一般地，我们把函数y=logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中a为常量。

师：这里为什么规定a＞0且a≠1。

(学生探究，相互合作交流，分组讨论，师参与探究活动并予以指导。只要学生说得正确均予以肯定。)生A：a为底数，根据对数的定义a＞0且a≠1。

生B：解析式y=logax可以变成指数式x=ay，由指数的定义，a＞0且a≠1。（师充分予以表扬。）师：函数f(x)loga(x1)，f(x)2logax，f(x)logax1是对数函数吗？ 生：不是，他们都是对数函数f(x)logax经过适当变形得到的。（师充分予以表扬。）师：由对数函数的解析式，大家能看出它的部分性质吗？

(学生活动：合作交流探究，师参与探究并予以点评、指导。)生C：根据对数的定义，自变量在真数的位置，故定义域为(0，+∞)。生D：把它变成指数式x=ay可知，故值域为(-∞，+∞)。师：说的好，该函数的性质到底是怎样的？下面我们来探讨一下，通常我们研究函数的性质要借助于一件工具，这个工具是什么？ 生：图象。

师：和指数函数性质一样，我们分a＞1和0＜a＜1。由特殊到一般，这里a＞1取a=2，0＜a＜1取a=1/2。

2、性质的探究

①a＞1，函数y=log2x的图象和性质 师：请同学们将P70的表格填完整。（学生活动：填表格）

师：大家观察表格，自上而下，x是怎样变化的？ 生：逐渐增大。

师：y的变化趋势呢？ 生：逐渐增大。

师：由此你能预测y=log2x的单调性吗？ 生：在整个定义域内单调递增。

师：到底是不是，我们请图象告诉大家。（师生共同操作，画出图象。）

师：请同学们探究一下，从这个图上你能得出y=log2x的哪些性质？

（学生探究，分组讨论，交流合作，大胆猜想，教师参与探究活动，并回答学生的问题，予以指导。只要学生说得有道理，均应予以及时表扬、鼓励。函数的性质以学生归纳总结为主，教师点评。）师：一个a=2不能说明a＞1时的函数性质，我们要再取两个a，这里再取a= 2 和3，既有有理数，又有无理数，就可以代表a＞1的情况了。（学生活动，合作交流，对不同的a值进行列表。）

（教师活动：以小黑板的形式展示提前画好的函数图象，用不同颜色的粉笔表示不同的曲线。）

（学生活动：相互合作交流，共同探究，教师参与探究活动并予以解疑，引导他们对函数性质进行归纳总结。最后，在热烈的气氛中以学生的讲述的形式完成探究任务。）生1：它的定义域是{x∣x＞0}(即(0,+∞))师：由图象可以看出来吗？ 生1：整体位于y轴右侧。

生2：值域为R，因为图象向上方和下方无限延伸。生3：在整个定义域内单调递增。

师：开始我们由解析式和表格预测的性质是这样的吗？ 生(齐声回答)：是。

生4：无对称性，是非奇非偶函数 生5：均与x轴交于(1,0)点。

生6：在x＞1时y＞0，在0＜x＜1时，y＜0。②0＜a＜1，函数y=log2x的图象和性质

师：同学们探究的很好，那么0＜a＜1时，我们取a=1/2，y=log1/2x的性质是怎样的呢？

（师生合作，画图象，学生探究，合作交流，总结归纳y=log1/2x性质，教师予以点评、指导。）

师：同样的，一个a=1/2不能说明全体0＜a＜1的性质，我们仍然次取a，这里a取1/3，和12

（同①：学生探究，教师巡视并参与探究活动，引导学生进行总结、归纳，最后在热烈的气氛中以学生讲述的形式总结出y=logax(0＜a＜1)的性质。)生a：定义域为(0,+∞),因图象在y轴右侧。生b：值域为R，因图象向上、向下均无限延伸。生c：在定义域内单调递减。

师：这又证明了我们的预测是正确的。生d：与x轴交于(1,0)生e：无对称性，是非奇非偶函数

生f：当x＞1时，y＜0，当0＜x＜1，y＞0

三、例题讲解：

例1 求下列函数的定义域：

（1）ylogax2；（2）yloga(4x)；（3）。注：

1、强调定义域是自变量的取值集合；

2、归纳求定义域的一般条件。例2 P72例9

四、课堂练习： P73 ex 1、2

五、课堂小结:

1、对数函数的概念

2、对数函数y=logax的图象和性质(a＞0且a≠1)。

六、课后作业： P74 7