中考数学总复习 第十三章 函数及其图象 第4课时 二函数y=ax bx c的图像教案（五篇范例）

第一篇：中考数学总复习 第十三章 函数及其图象 第4课时 二函数y=ax bx c的图像教案

函数及其图像

第14课时：二次函数y=ax+bx+c的图象

（三）教学目标：

21、使学生会用描点法画出二次函数y=ax+bx+c的图象；

2、使学生会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴（对于不升学的学生，只要求会用公式确定抛物线的顶点和对称轴）；

3、使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念；

4、使学生会用待定系数法由已知图象上三点的坐标求二次函数的解析式． 教学重点：

用配方法确定抛物线的顶点坐标求对称轴及用待定系数法由已知图象上三点的坐标和二次函数的解析

2式．因为它们是画出二次函数y=ax+bx+c的图象的基础． 教学难点：

配方法的推导过程，因为虽然这种方法在前面学习一元二次方程时介绍过，但是在配方的过程中需要考虑加、减的数，对学生有一定的难度． 教学过程：

一、新课引入：

2在前几节课的基础上，我们已经能画出形如y=a（x-h）+k的图象，并能指出它的对称轴和顶点坐标，对2于一般形式的二次函数y=ax+bx+c应如何解决这些问题呢？这就是我们这节课的主要任务之一．（板书）

二、新课讲解：

提问：说出下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标：

2（5）y=a（x-h）+k．（出示幻灯）

通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用．这几个问题可找层次较低的学生回答，由其它同学给予评价．

2我们已画过二次函数y=a（x-h）+k的图象，画它的图象的第一步是干什么？（列表）列表时我们是怎样

2取值的呢？（先确定中心值）若我们要画二次函数y=ax+bx+c的图象应怎么办呢？

22学生讨论得到：把二次函数y=ax+bx+c转化成y=a（x-h）+k的形式再加以研究．

22提问：怎样能把二次函数y=ax+bx+c转化成y=a（x-h）+k的形式呢？我们先来看几个练习题：（出示幻灯）

22填空：（1）x+bx+______=（x+______）；

（3）x+4x+9=（x+______）+______；

22（4）x-5x+8=（x-______）+______；

先由学生自己填，若在填的时候有问题，可以互相讨论之后再填．然后由学生回答答案，对一下．关键是由学生来总结：这几个空是怎样填上的？

总结规律：当二次项的系数为1时，常数项须配一次项系数一半的平方． 提问：当二次项的系数不为1时，应怎么办呢？

答：利用提公因式法，首先把二次项的系数化成1，再用上述方法． 下面，我们就一起来看一个具体的问题：（出示幻灯）222

点坐标．

2分析：首先要用配方法将函数写成y=a（x-h）+k的形式；然后，确定函数图象的开口方向、对称轴与顶点坐标；接下来，利用函数的对称性列表、描点、连线．

2这里的关键步骤是用配方法把函数改写成y=a（x-h）+k的形式．应按怎样的方式来做呢？（教师边提问、边讲解、边板书）

然后，把括号内的部分配成一个完全平方（即先加，再减一次项系

这就与y=a（x-h）+k的形式一样，就可以由学生独立完成余下的部分了．

注意：描点画图时，要参照已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并且用虚线画出对称轴，然后再对称描点，最后，用平滑曲线顺次连结各点． 画完图之后，可让学生观察图象，思考：

2提问：1．这条抛物线与哪条形如y=ax的抛物线形状相同？为什么？

2则a的值就相同．

这个问题可根据学生的层次决定问还是不问，关于这个问题的回答

（6，3）而成的，也可以按照沿轴移动的方式来回答．

2上面，我们研究了如何把一个具体的二次函数通过配方的方法来加以研究，对于一般的二次函数y=ax+bx+c应怎样解决呢？（出示幻灯）

2例1 通过配方求抛物线y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标．

学板书，然后视情况加以讲解，补充和纠正． 最后，加以总结，形成规律：（板书）

式就可以了．

练习一：1．教材P．129中1 口答． 2．教材P．129中2 笔答，口答答案． 我们已经学过用待定系数法确定正比例函数与一次函数的解析式，需要知道图象上的几点才能利用待定系数法来确定函数的解析式呢？

2试想，关于一般的二次函数y=ax+bx+c，已知函数图象上的几点，可以用待定系数法来求出这个函数的解析式呢？

下面，我们就来看今天的第二个例题：（出示幻灯）例2 已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个函数的解析式．

根据此题的程度可由学生自主完成，注意提醒学生先要将函数的一般形式设出来，之后再用待定系数法求解．

练习二

教材P．130中1、2找两名同学上黑板板演，其他同学在练习本上完成，统一答案即可． 本节课的第一个重点是用配方法确定抛物线的顶点和对称轴．为了学生能在较复杂的题中顺利应用配方法，教师首先出示了几个较简单的练习由学生完成，并来讨论做题思路．有了基本思路之后，再来观察给出的这几个练习题的共同特征：二次项系数为1．由此引出：若二次项的系数不为1怎么办？学生较易想到要使它变为1，跟着就提出：怎样能使二次项的系数变为1呢？用提公因式法．而一旦二次项的系数变为1之后，就可以按照上面的思路来解决了，这样这个重点和难点也就得到了自然地突破．

本节课的第二个重点是用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的解析式．由于待定系数法已在前面交待过，所以教师可以完全放手由学生自主完成，这样更能体现课堂教学中以学生为主体，教师为主导的精神．

三、课堂小结；

提问：1．本节课我们共学习了几种数学方法？各是什么？

222．用配方法将二次函数y=ax+bx+c变形成y=a（x-h）+k的形式的一般步骤是什么？

23．经过配方得到：二次函数y=ax+bx+c的图象的对称轴和顶点坐标各是什么？ 4．用待定系数法确定函数的解析式，选用图象上的几点，通常是由什么来决定的？

四、布置作业：

1．教材P．131中2（2）（4）（6）（8）； 教材P．131中3（3）（4）； 教材P．132中5（2）（4）； 教材P．132中7．

2．选做：教材P．132B1、2．

第二篇：中考数学二次函数y=ax2的图象复习教案

新课

1．由具体问题引出二次函数的定义。

2（1）已知圆的面积是Scm，圆的半径是Rcm，写出空上圆的面积S与半径R之间的函数关系式。

2（2）已知一个矩形的周长是60m，一边长是Lm，写出这个矩形的面积S（m）与这个矩形的一边长L之间的函数关系式。

（3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？

2解：（1）函数解析式是S=πR；

2（2）函数析式是S=30L—L；

2（3）函数解析式是y=50（1+x），即 y=50x+100x+50。由以上三例启发学生归纳出：（1）函数解析式均为整式；（2）处变量的最高次数是2。

我们说三个式子都表示的是二次函数。

2一般地，如果y=ax+bx+c（a，b，c没有限制而a≠0），那么y叫做x的二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a≠0。

22．画二次函数y=x的图象。按照描点法分三步画图：

（1）列表 ∵ x可取任意实数，∴ 以0为中心选取x值，以1为间距取值，且取整数值，便于计算，又x取相反数时，相应的y值相同；

（2）描点 按照表中所列出的函数对应值，在平面直角坐标系中描出相应的7个点；

2（3）边线 用平滑曲线顺次连接各点，即得所求y=x的图象。注意两点：

（1）由于我们只描出了7个点，但自矿业量取值范围是实数，故我们只画出了实际图象的一部分，即画出了在原点附近、自变量在-3到3这个区间的一部分。而图象在x>3或x<-3 1 的区间是无限延伸的。

（2）所画的图象是近似的。

23．在原点附近较精确地研究二次函数y=x的图象形状到底如何？——我们 –1与1之间每隔0.2的间距取x值表和图13-14。按课本P118内容讲解。4．引入抛物线的概念。

2关于抛物线的顶点应从两方面分析：一是从图象上看，y=x的图象的顶点是最低点；一是从222解析式y=x看，当x=0时，y=x取得最小值0，故抛物线y=x的顶点是（0，0）。

小结

1．二次函数的定义。

（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）函数自变量的最高次数是2。

22．二次函数y=x的图象。

2（1）其图象叫抛物线；（2）抛物线y=x的对称轴是y轴，开口向上，顶点是原点。

补充例题

下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a，b，c？

2（1）y=2-3x；（2）y=x(x-4)；

22（3）y=1/2x-3x-1；（4）y=1/4x+3x-8；

2（5）y=7x（1-x）+4x；（6）y=（x-6）（6+x）。作业：P122中A组1，2，3。

四、教学注意问题

1．注意渗透局部和全体、有限和无限、近似和精确等矛盾对立统一的观点。

22．注意培养学生观察分析问题的能力。比如，结合所画二次函数y=x的图象，要求学生思考：

2（1）y=x的图象的图象有什么特点。（答：具有对称性。）

2（2）如何判断y=x的图象有上面所说的特点？（答：由观察图象看出来；或由列表求值得2出来；或由解析式y=x看出来。）

第三篇：4示范教案：函数y=Asin(ψx+φ)的图象

课题：函数yAsin(x)的图象

1、教学目标： 知识目标：

①理解三个参数A、ω、φ对函数yAsin(x)图象的影响； ②揭示函数yAsin(x)的图象与正弦曲线的变换关系。能力目标：

①增强学生的作图能力；

②通过探究变换过程，使学生了解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想； ③在难点突破环节，培养学生全面分析、抽象、概括的能力。情感目标：

在自主探究的过程中，培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识。

2、教学重点、难点：

重点：由正弦曲线变换得到函数yAsin(x)的图象。

难点：当ω1时，函数y1Asin(ωxφ1)与函数y2Asin(ωxφ2)的图象关系。关键：理解三个参数A、ω、φ对函数yAsin(x)图象的影响。

3、教学方法与手段：

教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论、反馈式评价 学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。

教学手段：运用多媒体网络教学平台，构建学生自主探究的教学环境。

4、教学过程：

整个教学过程是“以问题为载体，以学生活动为主线”进行的。

（一）创设情境

动画演示： 《用沙摆演示简谐运动的图象》

【设计意图】采用《用沙摆演示简谐运动的图象》引出函数yAsin(x)的图象，体现该函数图象与生活实际的紧密联系；通过展示函数图象在四个方面的用途，体现函数图象在物理学上的重要性，激发学生研究该函数图象的兴趣。

同时，引出本节课的研究问题——函数yAsin(x)的图象与正弦曲线有什么

关系呢？

（二）建构数学

1、复习巩固；

评讲作业——作出函数y3sin(2x)在一个周期内的简图。

3【设计意图】以作业讲评的方式复习巩固五点作图法，并以函数y3sin(2x)作

3为具体研究对象，那么这个函数图象，恰可作为后面变换结果的检验依据。

2、自主探究；

由正弦曲线如何变化得到函数y3sin(2x【设计意图】观察函数解析式y3sin(2x3)的图象？

3)学生容易发现三个参数A、、都发生了变化，根据已有的知识基础，他们很清楚需要进行怎样的三种变换。自然恰当地提出本节的核心问题——三种变换能否任意排序呢？

① 问题提出：三种变换能否任意排序？ ② 实验探究

通过精心制作的课件，结合我校数学活动室多媒体网络教学环境，我为学生提供了这样的探究平台，在这个平台中我给出了正弦曲线一个周期内的图象，并用五点作图法绘出了函数y3sin(2x3)在一个周期内的图象；同时提供了三种变换的6种不同排列方式；学生可以选择不同变换方式进行探究，观察所选变换方式得到的图象与五点作图法绘出的图象是否重合，以此检验所选变换方式的正确性。

A、自主实验，形成初步结论.经过尝试、观察，有些学生所选变换方式得到的图象与五点作图法绘出图象重合；有些学生所选变换方式得到的图象与五点作图法绘出图象不重合；

形成初步结论：“三种变换不可以任意排列”、“有的排列方式得到的图象与五点法绘出图象不重合”。

B、深入探究，讨论分析；

请学生结合教学平台讨论以下两个问题：

问题1：得到不重合的图象的变换方式有什么共同点？

（共同点是先进行周期变换后进行平移变换，而且平移量过大。）问题2：得到不重合图象的原因是三种变换顺序错了？还是变换中某个量错了？

（这与顺序无关，只要将平移量由改为C、实验小结，形成结论；

顺序可任意改变；需要注意不同顺序中平移量的不同。先平移变换后周期变换时，需向左平移位。

③规律探究

问题3 ：先周期变换后平移变换时，平移量为什么不是（平移量变成π3即可得到重合的图象。）6个单位；先周期变换后平移变换时，需向左平移个单位而不是个单363，而是？

636的主要原因在于2。）

（请学生继续尝试3和1的情况。鉴于教材不要求证明，由不完全归纳

2法得出规律：先进行周期变换后进行平移变换时应该平移个单位。平移量是由x的改变量确定的。）

问题4 ：为避免繁琐，直接平移个单位，采用怎样的顺序较好？

（先进行平移变换后进行周期变换比较好。）

3、规律总结

①由正弦曲线变换到函数yAsin(x)的图象需要进行三种变换，顺序可任意改变；先平移变换后周期变换时平移个单位，先周期变换后平移变换时平移个单

位。

②常用变换顺序——先平移变换再周期变换后振幅变换（平移的量只与有关）。

（三）知识运用 巩固强化：

请准确叙述由正弦曲线变换得到下列函数图象的过程？

1、y1sin(4x)

2、y2sin(1x)

2336变式训练：

1、已知函数y1sin(4x2)的图象为C，为了得到函数y2sin(4x2)的图象，只需533把C的所有点（）

A、横坐标伸长到原来的10倍，纵坐标不变。B、横坐标缩短到原来的1倍，10纵坐标不变。

C、纵坐标伸长到原来的10倍，横坐标不变。D、纵坐标缩短到原来的横坐标不变。

2、已知函数y1sin(4x2)的图象为C，为了得到函数y1sin(x2)的图象，只需531倍，1053把C的所有点（）

A、横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变。B、横坐标缩短到原来的1倍，4纵坐标不变。

C、纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变。D、纵坐标缩短到原来的1倍，4横坐标不变。

3、已知函数y1sin(4x2)的图象为C，为了得到函数y1sin4x的图象，只需把C535的所有点（）

A、向左平移个单位长度 B、向右平移个单位长度

66C、向左平移2个单位长度 D、向右平移2个单位长度

334、将正弦曲线上各点向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不

3变，则所得图象解析式为（）

xxxA、ysin()B、ysin()C、ysin()D、ysin(2x)

233262

3（四）归纳总结（师生共同归纳）

1、正弦曲线变换得到函数yAsin(x)的图象——顺序可任意，平移要注意；

常常是平移、周期再振幅；

2、余弦曲线变换得到函数yAcos(x)的图象——作法全相同。

（五）巩固作业 感受·理解：

1、由正弦曲线经过怎样的变化可以得出下列函数的图象。

1π1①ysin(2x)②y2cos(x)

3624思考·运用：

2、函数yf(x)的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移线是y

5、教学说明：

本节课是函数图象伸缩平移变换的特例，是初等数学一般函数图象变换的基础，是高考的热点、难点；它是在完成了“正弦函数、余弦函数的图象和性质，五点作图法，图象的三种基本变换”等内容的教学之后进行的，主要揭示了由正弦曲线得到函数yAsin(x)的图象的一种思维过程。

按照传统方法解决这一问题，每一种变换方式，教师要手绘四条函数图象，彻底解决这一问题，有6种情况，24条图象，这对教师的作图能力提出很高的要求；同时，也要求学生有较强的理解能力，从静态的图片中去体会伸长和缩短的形变过程。

针对上述情况，我精心设计制作了教学课件，直观形象地展示形变过程。化抽象为具体，由静到动，使学生真实体验“变”的过程。同时结合我校数学活动室的多媒体网络教学环境，为学生构建自主探究与合作交流的平台。最终利用由特殊到一般的化归思想，借助具体函数的结论归纳出一般函数的结论。1sinx的图象，试求函数yf(x)的解析式。2π个单位，所得到的曲2

第四篇：2.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象教案二

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象

教学目标(一)教学知识点

1．体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性． 2．能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题．(二)能力训练要求

1．通过解决实际问题，让学生训练把教学知识运用于实践的能力． 2．通过学生合作交流来解决问题，培养学生的合作交流能力．(三)情感与价值观要求

1．经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．

2．初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用． 教学重点

运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题． 教学难点

把数学问题与实际问题相联系的过程． 教学方法 讲解法． 教具准备 投影片三张

第一张：(记作§2．4．2A)第二张：(记作§2．4．2B)第三张：(记作§2．4．2C)教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]上节课我们主要讨论了相关函数y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象的有关性质，特别练习了求函数的对称轴和顶点坐标．我们知道学习的目的就是为了应用，那么究竟有什么用处呢？本节课将学习有关二次函数的应用．

Ⅱ．新课讲解

一、1．例题

[师]前几节课我们研究了不同形式的二次函数的图象，形如y＝ax2，y＝ax2＋c，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k．并对它们的性质进行了比较．但对于二次函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)，它是属于上面形式中的哪一种呢？还是另外一种，它的对称轴和顶点坐标是什么呢？下面我们一起来讨论这个问题．

投影片：(§2．4．2A)例：求二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标． 解：把y＝ax2＋bx＋c的右边配方，得 y＝ax2＋bx＋c

bcx)aabb2b＝a[x2＋2·x＋()＋－()2] 2a2a2ab24acb2＝a(x＋)＋．

2a4a＝a(x2＋[师]大家看配方以后的形式属于前面我们讨论过的哪一种形式呢？ [生]属于y＝a(x－h)2＋k的形式．

[师]在y＝a(x－h)2＋k的形式中，我们知道对称轴为x＝h．顶点坐标为(h，k)．对比一下，y＝ax2＋bx＋c中的对称轴和顶点坐标是什么呢？

bb4acb2[生甲]对称轴是x＝，顶点坐标是(，)．

2a2a4a[师]确定吗？大家再讨论一下．

b24acb2b[生]在y＝a(x－h)＋k中是x－h，而y＝a(x＋)＋中是x＋，2a2a4ab2b24acb2它们的符号不同，应把y＝a(x＋)＋()进行变形得y＝a[x－(－)]

2a2a4ab4acb2＋．再对照y＝a(x－h)2＋k的形式得对称轴为x＝－，顶点坐标为

2a4ab4acb2(，)． 2a4a2[师]这位同学回答得非常棒．

至此，所有的二次函数的形式我们就都讨论过了． 下面我们来研究一些实际问题．

二、有关桥梁问题 投影片：(§2．4．2B)下图所示桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y＝0.225x2＋0.9x＋10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称．

(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？(3)你是怎样计算的？与同伴进行交流．

分析：因为两条钢缆都是抛物线形状，且开口向上．要求钢缆的最低点到桥面的距离就是要求抛物线的最小值．又因为左右两条抛物线关于y轴对称，所以它们的顶点也关于y轴对称，两条钢缆最低点之间的距离就是两条抛物线顶点的横坐标绝对值之和或其中一条抛物线顶点横坐标绝对值的2倍．已知二次函数的形式是一般形式，所以应先进行配方化为y＝a(x－h)2＋k的形式，即顶点式．

解：y＝0.0225x2＋0.9x＋10 ＝0.0225(x2＋40x＋

4000)9＝0.0225(x2＋40x＋400－400＋＝0.0225(x＋20)2＋1．

4000)9∴对称轴为x＝－20．顶点坐标为(－20，1)．(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1米．(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20＝40米．

(3)是用配方法求得顶点坐标得到的．也可以直接代入顶点坐标公式中求得． [师]从上面的例题我们可知，抛物线在现实生活中的应用很广，因此大家要学好并运用好它，对于给出的问题要认真思考，把实际问题转化为数学问题，从而用数学知识解决实际问题．

在上面的问题中，大家能否求出右面的抛物线的表达式呢？请互相交流． 解：因为左右两条抛物线是关于y轴对称的，而关于y轴对称的图形的特点是，所有的对应点的坐标满足横坐标是互为相反数，纵坐标相等，我们可以利用这个特点，在原有的左面的抛物线的表达式的基础上，得到右面抛物线的表达式，即把y不变，x换为－x代入y＝0.0225x2＋0.9x＋10中，得

y＝0.0225(－x)2＋0.9(－x)＋10 ＝0.0225x2－0.9x＋10．

三、补充例题 投影片：(§2．4．2C)如下图，一边靠校园院墙，另外三边用50m长的篱笆，围起一个长方形场地，设垂直院墙的边长为x m．

(1)写出长方形场地面积y(m2)与x的函数关系式；(2)画出函数的图象；

(3)求边长为多少时，长方形面积最大，最大是多少？ 解：(1)垂直院墙的边长为x m，另一边长为(50－2x)m．则 y＝x(50－2x)＝－2x2＋50x＝－2(x－(2)图象略．(3)由(1)得，当x＝

25625时，y最大＝． 22252625)＋． 22所以当边长为2562

52m时，长方形面积最大，最大面积为m． 22Ⅲ．课堂练习1．随堂练习2．补充练习

确定下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标．

39x＋； 21611(2)y＝x2x－5．

6639解：(1)y＝－x2＋x＋

21639＝－(x2－x－)216399＝－(x2－x＋－)2161639＝－(x－)2＋．

48(1)y＝－x2＋开口方向向下，对称轴为x＝(2)y＝＝121x－x－5 66339，顶点坐标为(，)． 44812(x－x－30)6111＝(x2－x＋－30)64411211＝(x)2－． 6224开口方向向上，对称轴是x＝Ⅳ．课时小节

11121，顶点坐标为(，－)． 2224本节课学习了如何用配方法把二次函数的一般形式化成顶点式，并能根据顶点式解决一些问题．

Ⅴ．课后作业习题2．5 Ⅵ．活动与探究 利用Z＋Z智能教育平台(新世纪版)研究二次函数的图象．

利用Z＋Z智能教育平台(新世纪版)可以探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c与图象变化之间的关系．

先考察二次函数y＝ax2的系数a对图象的影响．

利用Z＋Z智能教育平台(新世纪版)在计算机上作出二次函数y＝ax2的图象，其中系数a可以通过鼠标拖动y轴上标识为a的点而变化．图1和图2是a取不同值时得到的两个图象：

板书设计

§2．4．2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象(二)

一、1．例题(投影片§2．4．2A)2．有关桥梁问题(投影片§2．4．2B)3．补充例题(投影片§2．4．2C)

二、课堂练习

1．随堂练习2．补充练习

三、课时小结

四、课后作业

第五篇：第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(教案)

22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

教学目标

【知识与技能】

1.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x-h)2+k的形式，以便确定它的对称轴和顶点坐标；

2.会利用对称性画出二次函数的图象，掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的平移规律；

3.会用公式确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴和顶点.【过程与方法】

通过思考、探索、尝试与归纳等过程，让学生能主动积极地探索新知.【情感态度】

经历探求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的过程，感悟二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法，感受数学的对称美.教学重点

用抛物线的对称轴画二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过配方确定抛物线的对称轴和顶点坐标.通过配方法将二次函数的一般形式化为顶点式，探索二次函数y=ax2+bx+c的平移变换.教学难点

用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标.教学过程

一、情境导入，初步认识

问题1请说出抛物线y=ax2+k，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.问题2你知道二次函数y=标吗？

【教学说明】问题1设计的目的既是对前面所学知识进行简单的回顾，又为

2x-6x+21的图象的开口方向，对称轴和顶点坐2本节知识的学习展示着方法和思路，学生处理起来较为简单，可采用抢答形式来处理.问题2设计的目的在于制造认知冲突，激发学生的求知欲望，学生在处理问题2时可能有些困难，教师适时诱导，引入新课.二、思考探究，获取新知 问题1你能把二次函数y=的图案的对称轴和顶点坐标.问题2在同一直角坐标系中用描点法画出二次函数y=的图象,并对比观察它们的图象有什么区别和联系.问题3请结合问题2的图象，指出当x取何值时，函数值y的最小值是多少？当x取何值时，函数y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？

【教学说明】在学生探索上述三个问题过程中，教师巡视，关注学生将二次函数一般式化为顶点式时可能出现的失误，予以诱导，引导学生在画y=12x-6x+21的图象时如何列表，这样列表有哪些好处等，并使学生在活动过程21

2x-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式吗？并指出它2121x-6x+21与y=x222中进一步认识到：要想正确认识二次函数y=ax2+bx+c,一定要将它利用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式才行.三、问题引导，归纳结论

问题1抛物线y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？你是如何做到的？

b解：yax2bxcax2xcabbb［ax22x］c2a2a2abbaxa·2c2a4ab4acb2ax2a4ab4acb2b∴抛物线y=ax+bx+c的对称轴是x=，顶点坐标是,.2a4a2a222222

【归纳结论】二次函数y=ax2+bx+c的图象及其性质:

【教学说明】针对所提出的问题，可能部分同学感到有些困难，因而教师在巡视过程中，应给予帮助，适当鼓励，让学生尽可能自主探究，最后师生共同探索结果.在结论归纳完成后，教师引导学生做课本第39页练习，可让学生自主完成，然后举手回答.问题2二次函数y=ax2+bx+c的图象的平移变换.已知将二次函数y=x2+bx+c的图象先向左平移3个单位，再向上平移2个单位得二次函数y=x2-2x+1的图象，求b和c.分析：要求b与c，需先求函数y=x2+bx+c的关系式，要求关系式，可先求出顶点坐标；根据两抛物线的平移情况，可确定顶点坐标.解：∵y=x2-2x+1=(x-1)2,∴抛物线y=x2-2x+1的顶点为（1,0）.根据题意，此抛物线向下平移2个单位，向右平移3个单位，可得y=x2+bx+c,此时，（1，0）平移到（4，-2），即抛物线y=x2+bx+c的顶点是（4，-2），∴y=x2+bx+c=(x-4)2-2=x2-8x+14,∴b=-8,c=14.【教学说明】

1.可先回顾前面学过的y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的平移关系，引导学生思考，交流，探索结果，然后师生共同探讨总结规律：抛物线y=a(x-h)2+k在平移时，a不变，只是h或k发生变化，因此，研究抛物线的平移问题，关键是准确求出抛物线顶点的坐标，进而研究其顶点位置的变化情况.b4acb22.二次函数y=ax+bx+c（a≠0）通过配方可化为yax的2a4a

22形式，于是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可看成由抛物线y=ax2向左或右b4acb2|个单位，向上或向下平移|平移||个单位得到的.2a4a

四、运用新知，深化理解

1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（）A.a＞0,b＞0,c＞0 B.a＞0,b＜0,c＜0 C.a＜0,b＜0,c＜0 D.a＞0,b＞0,c＜0 2.把二次函数y=1/4x2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式为_____.3.二次函数y=-1/2x2-3x+5/2的图象的顶点坐标为_____.4.把抛物线y=ax2+bx+c，先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-3x+5,则a+b+c=_____.【教学说明】1题中a、c的符号可直接通过观察图象获得，再由a的符号及对称轴x=-b/2a＜0，可得到b的符号，这是本题的重难点，教学时教师可予以重点关注；

2、3两题较为简单，同学们可自主完成;4题中抛物线通过平移变换，得到y=x2-3x+5,逆推易得a、b、c的值，从而得到a+b+c，此类题型需熟练掌握二次函数的平移变换.五、师生互动，课堂小结

1.形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定：（1）当二次函数y=ax2+bx+c容易配方时，可采用配方法来确定顶点坐标及对称轴方程；

（2）当a、b、c比较复杂时，可直接用公式来确定：

4acb2b抛物线y=ax+bx+c的对称轴为x，顶点坐标为.4a2a22.解决二次函数y=ax2+bx+c的平移问题时，应先将它化为y=a(x-h)2+k形式后，进行研究为好.课后作业

1.布置作业：教材习题22.1中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业“部分。教学反思