教案：一次函数中的面积问题

第一篇：教案：一次函数中的面积问题

一次函数的面积问题

【教学目标】

知识与技能：

1.通过复习使学生熟悉直线与坐标轴的交点坐标的求法，会求出两直线交点坐标，进一步体会函数、坐标、几何图形之间的相互转化，在解决函数相关问题中的重要作用.2.初步掌握由若干条直线所围成的图形的面积的计算方法，体会一次函数的有关面积问题的解决思路.过程与方法：

通过对平面直角坐标系中图形面积求法的探究，使学生初步形成正确、科学的学习方法.情感态度与价值观：

通过问题的解决，树立学生学习数学的信心，激发学生学习数学的兴趣，培养学生良好的学习习惯.【教学重点】

由若干条直线所围成的图形的面积的计算方法.【教学难点】

进一步渗透数形之间的转化和结合.【教学过程】

一、课前热身 回顾知识

1、点A（5，-3）到x轴的距离为，到y轴的距离为.点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点A的坐标为.2、一次函数y=2x+4的图象与x轴的交点坐为，与y轴的交点坐标为.3、如图：直线AB的解析式为.4、直线y=2x+1与直线y=x-2 的交点 坐标为.设计意图：通过习题回顾本节课所用到的知识点，体会函数、坐标、几何图形之间的相互转化，为后面的问题探究，做好铺垫.二、问题探究 总结方法

问题一

已知如图：直线y=2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线y=-x-2与坐标轴交于B、D两点，两直线交于点P.（1）求△ABP的面积.（2）若直线EF平行于 y轴，且经过点（1,0），与直线PA、PB分别交于点E、F，求△PEF的面积.问题引导：

（1）求△ABP的面积需要一组对应的底和高，思考：将哪条边作为底计算较为简单？（2）计算AB、PM的长需要哪些量？如何求？

师生活动：教师引导学生分析解题思路，师生共同完成解题过程，注意解答过程的规范性.学生在分析的基础上，自主完成（2）.问题二

已知如图：直线y=x+2与直线y=-2x+6交于点A.直线y=-2x+6分别交x轴、y轴于点B、C，直线y=x+2分别交x轴、y轴于点E、D.（1）求△ACE的面积.（2）求四边形ADOB的面积.问题引导：

问题一中的三角形要么有一条边在坐标轴上，要么有一条边与坐标轴平行，而这道题中的△ACE并无上述特点，怎么办？小组交流讨论，尽可能多的找出解决思路.师生活动：

学生在自主分析解题思路后，交流讨论，统一意见，师生共同完成解题过程，注意解答过程的规范性.学生在分析的基础上，自主完成（2）.方法总结：

如何求平面直角坐标系中的图形的面积？

（１）如果三角形有一边在坐标轴上（或平行于坐标轴），直接用面积公式求面积．

（２）如果三角形任何一边都不在坐标轴上，也不平行于坐标轴，则需转化为几个有边在坐标轴上的三角形面积之和（或差）．

（３）四边形面积常转化为若干个三角形面积之和（或差）．

设计意图：在这个环节中，设置四个问题，由浅入深，逐步探索总结出面直角坐标系中的图形的面积的求法.三、即学即练

巩固所学

已知：如图，在平面直角坐标系中，A（-1,3）、B（3,-2），则△AOB的面积为

.学生谈思路，教师点评.设计意图：提倡方法的多样性，强化坐标与函数、坐标与距离之间的转化.四、课堂拓展 提升应用

1、已知点P（x，y）是第二象限内直线y=x+6上的一个动点，点A的坐标为（-4，0），在点P运动的过程中，△OPA的面积为S.（1）试写出S与x的函数关系式，并写出x的取值范围.（2）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为8.设计意图：

在这个环节中，设置了一个动态问题，一方面巩固所学，另一方面渗透动态问题的解决方法.五、课堂小结

反思提高

本环节由学生自己谈收获，教师作适当的引导补充.六、作业布置

1、优化设计54页第11题

2、优化设计64页第9题

3、整理课堂拓展问题

第二篇：教案：一次函数中的面积问题

0128 一次函數の面積問題

【教學目標】

知識與技能：

1.通過複習使學生熟悉直線與坐標軸の交點坐標の求法，會求出兩直線交點坐標，進一步體會函數、坐標、幾何圖形之間の相互轉化，在解決函數相關問題中の重要作用.2.初步掌握由若幹條直線所圍成の圖形の面積の計算方法，體會一次函數の有關面積問題の解決思路.過程與方法：

通過對平面直角坐標系中圖形面積求法の探究，使學生初步形成正確、科學の學習方法.情感態度與價值觀：

通過問題の解決，樹立學生學習數學の信心，激發學生學習數學の興趣，培養學生良好の學習習慣.【教學重點】

由若幹條直線所圍成の圖形の面積の計算方法.【教學難點】

進一步滲透數形之間の轉化和結合.【教學過程】

一、課前熱身 回顧知識

0128

二、0128

0128

1、點A（5，-3）到x軸の距離為，到y軸の距離為.點A到x軸の距離為3，到y軸の距離為5，則點Aの坐標為.2、一次函數y=2x+4の圖象與x軸の交點坐為，與y軸の交點坐標為.3、如圖：直線ABの解析式為.4、直線y=2x+1與直線y=x-2 の交點 坐標為.設計意圖：通過習題回顧本節課所用到の知識點，體會函數、坐標、幾何圖形之間の相互轉化，為後面の問題探究，做好鋪墊.問題探究 總結方法

問題一

已知如圖：直線y=2x+1與坐標軸交於A、C兩點，直線y=-x-2與坐標軸交於B、D兩點，兩直線交於點P.（1）求△ABPの面積.（2）若直線EF平行於 y軸，且經過點（1,0），與直線PA、PB分別交於點E、F，求△PEFの面積.問題引導：

（1）求△ABPの面積需要一組對應の底和高，思考：將哪條邊作為底計算較為簡單？ 0128（2）計算AB、PMの長需要哪些量？如何求？

師生活動：教師引導學生分析解題思路，師生共同完成解題過程，注意解答過程の規範性.學生在分析の基礎上，自主完成（2）.問題二

已知如圖：直線y=x+2與直線y=-2x+6交於點A.直線y=-2x+6分別交x軸、y軸於點B、C，直線y=x+2分別交x軸、y軸於點E、D.（1）求△ACEの面積.（2）求四邊形ADOBの面積.問題引導：

問題一中の三角形要麼有一條邊在坐標軸上，要麼有一條邊與坐標軸平行，而這道題中の△ACE並無上述特點，怎麼辦？小組交流討論，盡可能多の找出解決思路.師生活動：

學生在自主分析解題思路後，交流討論，統一意見，師生共同完成解題過程，注意解答過程の規範性.學生在分析の基礎上，自主完成（2）.方法總結：

如何求平面直角坐標系中の圖形の面積？

（１）如果三角形有一邊在坐標軸上（或平行於坐標軸），0128

0128 直接用面積公式求面積．

（２）如果三角形任何一邊都不在坐標軸上，也不平行於坐標軸，則需轉化為幾個有邊在坐標軸上の三角形面積之和（或差）．

（３）四邊形面積常轉化為若幹個三角形面積之和（或差）．

設計意圖：在這個環節中，設置四個問題，由淺入深，逐步探索總結出面直角坐標系中の圖形の面積の求法.三、即學即練

鞏固所學

已知：如圖，在平面直角坐標系中，A（-1,3）、B（3,-2），則△AOBの面積為

.學生談思路，教師點評.設計意圖：提倡方法の多樣性，強化坐標與函數、坐標與距離之間の轉化.四、課堂拓展 提升應用

1、已知點P（x，y）是第二象限內直線y=x+6上の一個動點，點Aの坐標為（-4，0），在點P運動の過程中，△OPAの面積為S.（1）試寫出S與xの函數關系式，並寫出xの取值範圍.（2）當點P運動到什麼位置時，△OPAの面積為8.設計意圖：

在這個環節中，設置了一個動態問題，一方面鞏固所學，另一方面滲透動態問題の解決方法.0128

0128

五、課堂小結

反思提高

本環節由學生自己談收獲，教師作適當の引導補充.六、作業布置

1、優化設計54頁第11題

2、優化設計64頁第9題

3、整理課堂拓展問題

0128

第三篇：一次函数应用专题--面积问题(教案)

《一次函数应用专题--面积问题》教学设计

（广州市第四十七中学 初二）

【教学目标】

1、能根据一次函数的解析式（或图像），求图形的面积。

2、通过对已知图形面积求值问题的探究，使学生体会“数形结合”思想和“转化”思想。

3、培养学生主动探究，合作交流的意识，激发学生学习数学的热情，体验解决问题的乐趣。【教学重点】

数形结合思想在一次函数中的应用 【教学难点】

在面积问题中渗透“数形结合”思想和“转化”思想 【教学过程】

一、课前热身，知识回顾

【热身】已知一次函数yx3，请画图并解决以下问题：

1、yx3与x轴交于点A（，）与y轴交于点B（，）.2、函数yx3与两坐标轴围成的三角形的面积为.（设计意图：通过习题回顾本节课所用到的知识点，体会函数、坐标、几何图形之间的相互转化，为后面例1，例3探究，做好铺垫.）

二、问题探究，总结方法

【例1】：若函数y=-x+b与两坐标轴围成的三角形的面积为9，求此一次函数的解析式.（设计意2图：使学生会根据面积求一次函数解析式,并了解此类问题的结论有两种,学会分类讨论.）【例2】：如图，若点P(a,b)是直线y=-x+3上的一个动点，在点P运动的过程中，ΔOPA的面积为S（O为坐标原点）

（1）当ΔOPA的面积为3时，求P的坐标.（2）若P位于第一象限内，试写出S与a的函数关系式，并求自变量a的取值范围.（设计意图：在这个环节中，设置了一个动态问题，一方面巩固所学内容，一方面渗透动态问题的解决方法.）

【例3】：如图，直线y=4x+8与x轴交于点C，与y轴交于点D.且与y=-x+3的交点为E，求两直线与x轴围成的图形的面积.（设计意图：使学生会求两条直线与x轴或y轴所围图形的面积.）【巩固提升】：

1求两直线与y轴围成的图形的面积.（设计意图：巩固例3）

2、连接CB，求ΔCEB的面积，你有多少种求法？

（设计意图：在巩固例3的同时，探究三条边均不平行于坐标轴的三角形的面积的求法.）

三、课堂小结，反思提高

本环节由学生谈自己的收获，教师做适当的引导与补充.（设计意图：总结回顾本节课的学习内容，养成梳理知识的习惯.）

四、练习

1、已知直线y=3x-6，画出函数图像，并求出一次函数图像与两坐标轴围成的三角形面积.2、已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，求直线解析式.3、求直线y=4x－2与直线y=－x+13及x轴所围成的三角形的面积.54、如图，直线ykx经过点A（-2，m），3yB（1，3）．

（1）求k，m的值；（2）求△AOB的面积．

5、如图，直线L的解析表达式为y =-AOBx1x +2，且与x轴、y轴交于点A、B，在2y轴上有一点C（0，4），动点M从A 点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。（1）求A、B两点的坐标；

（2）△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；

ByC（3）当何值时△COM≌△AOB，并求出此时M点的坐标.(设计意图：复习巩固本节课的知识点)

OMAx

第四篇：一次函数教案

一、要点解读

1,知识总揽

一次函数是函数大家族中的主要成员之一,是研究两个变量和学习其它函数的基础,它的表达式简单,性质也不复杂,但在我们的日常生活中的应用却十分广泛,与其它函数的联系也十分密切,许多实际问题只要我们注意细心观察,认真分析,及时将问题转化为一次函数模型,再得用一次函数的性质即可求解.2,疑点、易错点

(1)若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0),则称y是x的一次函数.特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数,就是说,正比例函数是一次函数的特例,而一次函数包含正比例函数,是正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.如y=-x是正比例函数,也是一次函数,而y=-2x-3是一次函数,但并不是正比例函数.因此,同学们在复习时一定要注意正确理解正比例函数和一次函数的概念,注意掌握它们之间的区别和联系.(2)一次函数的图象是一条直线,它所经过的象限是由k与b决定的,所以在复习巩固一次函数的性质时可以通过函数图象来巩固,从而可以避免因k与b的符号的干扰.如,在如图中,表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m、n是常数且mn≠0)图象是()对于两不同函数图象共存同一坐标系问题,常假设某一图象正确而后根据字母系数所表示的实际意义来判定另一图象是否正确来解决问题.例如,假设选项B中的直线y=mx+n正确则m<0,n>0,mn<0则正比例函数y=mnx则应过第二、四象限,而实际图象则过第一、三象限,所以选项B错误.同理可得A正确.故应选A.(3)虽然一次函数的表达式简单,性质也并不复杂,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,它的位置由k、b的符号确定.但是,涉及实际问题的一次函数图象与自变量的取值范围,画出来的图象不一定是直线,可能是线段或其他图形,这一点既是学习一次函数的疑点,也是难点,更是解题量的易错点.如,拖拉机开始工作时,油箱中有油40L,如果每小时耗油5L,那么工作时,油箱中的余油量Q(L)与工作时间t(h)的函数关系用图象可表示为()依题意可以得到油箱中的余油量Q(L)与工作时间t(h)的函数关系为Q=40-5t,就这个一次函数的解析式而言,它的图象是一条直线,所以不少同学就会选择A,而事实上,自变量t有一个取值范围,即0≤t≤8,所以正确的答案应该选择C.二、思想方法

复习一次函数这一章的知识一定注意数学思想方法的巩固.具体地说,一次函数的知识涉及常见的思想方法有:(1)函数思想

所谓的函数思想就是用一个表达式将两个变量表示出来其两个变量之间是一个对应的关系.确定两个变量之间的关系和列一元一次方程解应用题基本相似,即弄清题意和题目中的数量关系,找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系,根据这个相等的数量关系式,列出所需的代数式,从而列出两个变量之间的关系式.例1 长方形的长是20,宽是x,周长是y.写出x和y之间的关系式.简析(1)由长方形的周长公式,得y=2(x+20)=2x+40;说明 在依据题意写出两个变量之间的关系式时,会经常用到以前学到的各种公式,所以对以前常用的公式我们要熟练掌握,分析每一个公式的结构特征,做到运用自如,方可避免常见错误.(2)数形结合思想

数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何意义,使问题的数量关系巧妙、和谐地结合起来,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.例2 某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观.如果游客过多,对馆中的珍贵文物会产生不利影响.但同时考虑到文物的修缮和保存等费用问题,还要保证一定的门票收入.因此,博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数.在该方法实施过程中发现:每周参观人数与票价之间存在着如图2所示的一次函数关系.在这样的情况下,如果确保每周4万元的门票收入,那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元? 解 设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y=kx+b.由题意,得 解得

所以y=-500x+12 000.而根据题意,得xy=40 000,即x(-500x+12 000)=40 000,x2-24x+80=0, 所以方程变形为(x-12)2=64,两边开平方求得x1=20,x2=4.把x1=20,x2=4分别代入y=-500x+12 000中得y1=2 000,y2=10 000.因为控制参观人数,所以取x=20,y=2 000.即每周应限制参观人数是2 000人,门票价格应是20元.说明 本题中得到方程x2-24x+80=0,虽然没有学过不会解,但通过适当变形还是可以求解的.(3)待定系数法

待定系数法是确定代数式中某项系数的数学方法.它是方程思想的具体运用.例3 为了学生的身体健康,学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的.小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究,发现它们可以根据人的身长调节高度.于是,他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度,得到如下数据: 第一档 第二档 第三档 第四档

凳高x(cm)37.0 40.0 42.0 45.0 桌高y(cm)70.0 74.8 78.0 82.8(1)小明经过对数据探究,发现:桌高y是凳高x的一次函数,请你求出这个一次函数的关系式(不要求写出x的取值范围);(2)小明回家后,测量了家里的写字台和凳子,写字台的高度为77cm,凳子的高度为43.5cm,请你判断它们是否配套,说明理由.解(1)设y=kx+b(k≠0),依题意得 解得

所以这个一次函数的关系式y=1.6x+10.8;(2)当小明家写字台的高度y=77cm时,由(1)中的一次函数的关系式y=1.6x+10.8得77=1.6x+10.8,解得x=41.375<凳子的高度43.5cm,所以小明家的写字台和凳子的高度是不配套的.说明 对于(2)中的问题也可以利用凳子的高度x,求出写字台的高度y,再与77cm比较.由此,用待定系数法求一次函数的解析式的方法可归纳为:“一设二列三解四还原”.就是说,一设:设出一次函数解析式的一般形式y=kx+b(k≠0);二列:根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k、b的二元一次方程组;三解:解这个方程组,求出k、b的值;四还原:将已求得

(4)方程思想

方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.方程思想是最重要的一种数学思想,在数学解题中所占比重较大,综合知识强、题型广、应用技巧灵活.从例

1、例2和例3中,我们都可以看出用到了方程思想求解.三、考点解密

(所选例题均出自2006年全国部分省市中考试卷)考点1 确定自变量的取值范围

确定函数解析式中的自变量的取值范围,只需保证其函数有意义即可.例1(盐城市)函数y= 中,自变量x的取值范围是.分析 由于函数的表达式是分式型的,因此必需保证分母不等于0即可.解 要使函数y= 有意义,只需分母x-1≠0,即x≠1.说明 确定一个函数的自变量的取值范围,对于函数是整式型的可以取任何数,若是分数型,只需使分母不为0,对于从实际问题中求出的解析式必须保证使实际问题有意义.考点2 函数图象

把一个函数的自变量x与对应因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做函数函数图象.例2(泉州市)小明所在学校离家距离为2千米,某天他放学后骑自行车回家,行驶了5分钟后,因故停留10分钟,继续骑了5分钟到家.如图1中,哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t(分)之间的关系()分析 依据题意,并观察分析每一个图象的特点,即可作出判断.解 依题意小明所在学校离家距离为2千米,先行驶了5分钟后,因故停留10分钟,继续骑了5分钟到家,即能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t(分)之间的关系只有D图符合,故应选D.说明 求解时要充分发挥数形结合的作用,及时从图象中捕捉求解有用的信息,并依据函数图象的概念对图象作出正确判断.考点3 判断图象经过的象限

对于一次函数y=kx+b:①当k>0,b>0时,图象在第一、二、三象限内;②当k>0,b<0时,图象在第一、三、四象限内;③当k<0,b>0时,图象在第一、二、四象限内;④当k<0,b<0时,图象在第二、三、四象限内.特别地,b=0即正比例函数y=kx有:①当k>0时,图象在第一、三象限内;②当k<0时,图象在第二、四象限内.例3(十堰市)已知直线l经过第一、二、四象限,则其解析式可以为___(写出一个即可).分析 由题意直线l经过第一、二、四象限,此时满足条件的解析式有无数个.解 经过第一、二、四象限的直线有无数条,所以本题是一道开放型问题,答案不唯一.如:y=-x+2,y=-3x+1.等等.说明 处理这种开放型的问题,只要选择一个方便而又简单的答案即可.考点4 求一次函数的表达式,确定函数值

要确定一次函数的解析式,只需找到满足k、b的两个条件即可.一般地,根据条件列出关于k、b的二元一次方程组,解出k与b的值,从而就确定了一次函数的解析式.另外,对于实际问题可妨照列方程解应用题那样,但应注意自变量的取值范围应受实际条件的制约.例4(衡阳市)为了鼓励市民节约用水,自来水公司特制定了新的用水收费标准,每月用水量,x(吨)与应付水费(元)的函数关系如图2.(1)求出当月用水量不超过5吨时,y与x之间的函数关系式;(2)某居民某月用水量为8吨,求应付的水费是多少?

分析 观察函数图象我们可以发现是一条分段图象,因此只要分0≤x≤5和x≥5求解.解(1)由图象可知:当0≤x≤5时是一段正比例函数,设y=kx,由x=5时,y=5,得5=5k,即k=1.所以0≤x≤5时,y=x.(2)当x≥5时可以看成是一条直线,设y=k1x+ b由图象可知 解得 所以当x≥5时,y=1.5x-2.5;当x=8时,y=1.5×8-2.5=9.5(元).说明 确定正比例函数的表达式需要一个独立的条件;确定一次函数的表达式需要两个独立的条件.对于在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值.在处理本题的问题时,只需利用待定系数法,构造出相应的二元一次方程组求解.另外,在处理这类问题时,一定要从图形中获取信息,并把所得到的信息进行联系处理.考点5 比较大小 利用一次函数的性质可以比较函数值的大小,具体地应由k的符号决定.例5(青岛市)点P1(x1,y1),点P2(x2,y2)是一次函数y=-4x+3 图象上的两个点,且 x1y2 B.y1>y2 >0 C.y1y2.故应选A.说明 在一次函数y=kx+b中,①当k>0,y随x的增大而增大;②当k<0,y随x的增大而减小.考点6 图象与坐标轴围成的面积问题

对于一次函数y=kx+b与坐标轴的两个交点坐标分别是(0,b)和(-,0),由此与坐标轴围成的三角形的面积为 =.例6(日照市)已知直线y=mx-1上有一点B(1,n),它到原点的距离是 ,则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.B.或 C.或 D.或

分析 若能利用直线y=mx-1上有一点B(1,n),它到原点的距离是 求出n,则可以进一步求出了m,从而可以求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积.解 因为点B(1,n)到原点的距离是 ,所以有12+ n2=10,即n=±3,则点B的坐标为(1,3)或(1,-3).分别代入y=mx-1,得m=4,或m=-2.所以直线的表达式为y=4x-1或y=-2x-1,即易求得直线与坐标轴围成的三角形的面积为 或.故应选C.说明 要求直线与两坐标轴围成的三角形的面积,只要能求出直线与坐标轴的交点坐标即可,这里的分类讨论是正确求解的关键.考点7 利用一次函数解决实际问题

利用一次函数解决实际问题可妨照列方程解应用题那样,但应注意自变量的取值范围应受实际条件的制约.例7(长沙市)我市某乡A、B两村盛产柑桔,A村有柑桔200吨,B村有柑桔300吨.现将这些柑桔运到C、D两个冷藏仓库,已知C仓库可储存240吨,D仓库可储存260吨;从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元,从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨,A,B两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为yA元和yB元.(1)请填写下表,并求出yA、yB与x之间的函数关系式;C D 总计

A x吨 200吨

B 300吨

总计 240吨 260吨 500吨

(2)试讨论A,B两村中,哪个村的运费较少;(3)考虑到B村的经济承受能力,B村的柑桔运费不得超过4830元.在这种情况下,请问怎样调运,才能使两村运费之和最小?求出这个最小值.分析 依题意可以知道从A村运往C仓库的柑桔重量、从A村运往D仓库的柑桔重量、从B村运往C仓库的柑桔重量和从B村运往D仓库的柑桔重量,这样就可以求得yA、yB与x之间的函数关系式,进而利用不等式和一次函数的性质求解.解(1)依题意,从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨,则从A村运往D仓库的柑桔重量应为(200-x)吨,同样从B村运往C仓库的柑桔重量为(240-x)吨,从B村运往D仓库的柑桔重量应为(300-240+x)吨,即(60+x)吨.所以表中C栏中填上(240-x)吨,D栏中人上到下依次填(200-x)吨、(60+x)吨.从而可以分别求得yA=-5x+5000(0≤x≤200),yB=3x+4680(0≤x≤200).(2)当yA=yB时,-5x+5000=3x+4680,即x=40;当yA>yB时,-5x+5000>3x+4680,即x<40;当yA40;所以当x=40时,yA=yB即两村运费相等;当0≤x≤40时,yA>yB即 村运费较少;当40

1,(衡阳市)函数y= 中自变量劣的取值范围是___.2,(攀枝花市)如图,直线y=-x+4与y轴交于点A,与直线y= x+ 交于点B,且直线y= x+ 与x轴交于点C,则△ABC的面积为___.3,(海淀区)打开某洗衣机开关,在洗涤衣服时(洗衣机内无水),洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间满足某种函数关系,其函数图象大致为()4,(江西省)如图,已知直线l1经过点A(-1,0)与点B(2,3),另一条直线l2经过点B,且与x轴交于点P(m,0).(1)求直线l1的解析式;(2)若△APB的面积为3,求m的值.5,(南安市)近两年某地外向型经济发展迅速,一些着名跨国公司纷纷落户该地新区,对各类人才需求不断增加,现一公司面向社会招聘人员,其信息如下: [信息一]招聘对象:机械制造类和规划设计类人员共150名.[信息二]工资待遇:机械类人员工资为600元/月,规划设计类人员为1000元/月.设该公司招聘机械制造类和规划设计类人员分别为x人、y人.(1)用含x的代数式表示y;(2)若公司每月付给所招聘人员的工资为p元,要使本次招聘规划设计人员不少于机械制造人员的2倍,求p的取值范围.参考答案: 1,≥1;2,4;3,D;

4,(1)设直线l1的解析式为 y=kx + b,由题意,得 解得 所以,直线l1的解析式为 y=x +1.(2)当点P在点A的右侧时,AP=m-(-1)=m +1,有.解得 m=1,此时,点P的坐标为(1,0);当点P在点A的左侧时,AP=-1-m,有.解得 m =-3,此时,点P的坐标为(-3,0).综上所述,m的值为1或-3;5,(1)y=150-x.(2)根据题意,得:y≥2x,所以150-x≥2x,解得:x≤50,又x≥0,150-x≥0,即0≤x≤50,所以p=600x+1000(150-x)=-400x+150000;又因为p随x的增大而减小,并且0≤x≤50,所

以

-400×50+150000≤p≤-400×0+150000,即130000≤p≤150000

第五篇：一次函数教案

一次函数（1）

知识技能目标

1.理解一次函数和正比例函数的概念；

2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式．

过程性目标

1.经历由实际问题引出一次函数解析式的过程，体会数学与现实生活的联系； 2.探求一次函数解析式的求法,发展学生的数学应用能力．

教学过程

一、创设情境

问题1 小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时．已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离．

分析 我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律．为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是

s＝570－95t．

说明 找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t是自变量，s是因变量．

问题2 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元,从现在起每个月节存12元．试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式． 分析 我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为：y＝50＋12x．

问题3 以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点?

二、探究归纳

上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的．函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数(linear function)．一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式，其中k、b是常数，k≠0．

特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx（常数k≠0）出叫正比例函数(direct proportional function)．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例．

三、实践应用

例1 下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)；(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)；

(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）．

分析 确定函数是否为一次函数或正比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y＝kx＋b(k≠0)或y＝kx(k≠0)形式，所以此题必须先写出函数解析式后解答．

20解(1)a，不是一次函数．

h(2)L＝2b＋16，L是b的一次函数．(3)y＝150－5x，y是x的一次函数．

(4)s＝40t,s既是t的一次函数又是正比例函数．

例2 已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的值．

分析 根据一次函数和正比例函数的定义,易求得k的值．

1解 若y＝(k－2)x＋2k＋1是正比例函数,则2k＋1＝0,即k＝．

2若y＝(k－2)x＋2k＋1是一次函数,则k－2≠0,即k≠2．

例3 已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)y与x之间是什么函数关系；(3)求x＝2.5时，y的值．

解(1)因为 y与x－3成正比例,所以y＝k(x－3)． 又因为x＝4时，y＝3，所以3＝ k(4－3)，解得k＝3，所以y＝3(x－3)＝3x－9．(2)y是x的一次函数．

(3)当x＝2.5时，y＝3×2.5＝7.5．

例4 若直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，且与y轴交点的纵坐标为-2；求直线的表达式.分析 直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，可求出k的值,与y轴交点的纵坐标为-2,可求出b的值.解 因为直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，所以k＝-1,又因为直线与y轴交点的纵坐标为-2,所以b＝-2,因此所求的直线的表达式为y＝-x-2.3例5求函数yx3与x轴、y轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成2的三角形的面积.3分析 求直线yx3与x轴、y轴的交点坐标，根据x轴、y轴上点的纵坐标2和横坐标分别为0，可求出相应的横坐标和纵坐标；结合图象，易知直线3yx3与x轴、y轴围成的三角形是直角三角形，两条直角边就是直线23yx3与x轴、y轴的交点与原点的距离.2

解 当y＝0时，x＝2，所以直线与x轴的交点坐标是A(2,0)；当x＝0时，y＝-3,所以直线与y轴的交点坐标是B(0，-3).11SOABOAOB233.22

例6 画出第一节课中问题(1)中小明距北京的路程s（千米）与在高速公路上行驶的时间t（时）之间函数s＝570-95t的图象.分析 这是一题与实际生活相关的函数应用题，函数关系式s＝570-95t中，自变量t是小明在高速公路上行驶的时间，所以0≤t≤6,画出的图象是直线的一部分.再者，本题中t和s取值悬殊很大，故横轴和纵轴所选取的单位长不一致.讨论 1.上述函数是否是一次函数？这个函数的图象是什么？ 2.在实际问题中，一次函数的图象除了直线和本题的图形外，还有没有其他的情形？你能不能找出几个例子加以说明.例7 旅客乘车按规定可以免费携带一定重量的行李．如果所带行李超过了规定的重量，就要按超重的千克收取超重行李费．已知旅客所付行李费y（元）可以

1看成他们携带的行李质量x（千克）的一次函数为yx5．画出这个函数的6图象，并求旅客最多可以免费携带多少千克的行李？

分析 求旅客最多可以免费携带多少千克的行李数，即行李费为0元时的行李数．为此只需求一次函数与x轴的交点横坐标的值．即当y＝0时，x＝30．由此可知这个函数的自变量的取值范围是x≥30． 解 函数y1x5(x≥30)图象为： 6

当y＝0时，x＝30.所以旅客最多可以免费携带30千克的行李.例8 今年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，当0≤x≤5时，y＝0.72x,当x＞5时，y＝0.9x-0.9．(1)画出函数的图象；

(2)观察图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准.分析 画函数图象时，应就自变量0≤x≤5和x＞5分别画出图象，当0≤x≤5时，是正比例函数，当x＞5是一次函数，所以这个函数的图象是一条折线.解(1)函数的图象是：

(2)自来水公司的收费标准是：当用水量在5吨以内时，每吨0.72元；当用水量在5吨以上时，每吨0.90元.四、交流反思

b1.一次函数y＝kx＋b,当x＝0时，y＝b；当y＝0时，x.所以直线y＝kx＋

kbb与y轴的交点坐标是(0,b),与x轴的交点坐标是,0；

k2.在画实际问题中的一次函数图象时，要考虑自变量的取值范围，画出的图象往往不再是一条直线.