问题设计要有梯度

第一篇：问题设计要有梯度

问题设计要有梯度、有层次

黄正满

在课堂教学中，教师的主导作用首先体现在教师对课堂的整体把握，提问是课堂教学的一个重要组成部分，通过问题的步步深入，可以引导学生发现问题，分析和解决问题，培养学生的思维能力，所以设问是体现教师主导作用的重要方面。教师在课堂教学中，需三思而后问，对问题进行系统设计。问题设计要有梯度，有层次，难易兼有，由浅入深，环环相扣，层层推进，符合学生认知规律，符合学生思维发展的规律，符合学生的思维过程和不同层次的分析能力。教师整堂课的问题设计，既要兼顾知识型问题的设计又要兼顾理解、应用型问题的设计。比如，我在设计《男生女生》问题时，设计问题为：

1、男生女生该不该交往？

2、男生女生交往有什么好处？

3、男生女生之间怎样进行正常、健康的交往？这样，问题层层递进，既贴近学生生活，又符合学生逻辑思维，达到了解决问题的效果。

第二篇：作业梯度

作业梯度、套餐化

激发学生学习兴趣

内容概要：

一、问题的提出

传统的教学布置给学生的作业是机械的、重复的题海训练，忽视了学生学习数学的兴趣的培养，导致有些学生不愿做数学作业。面对如此现状，我在设计作业的方法和布置作业的形式上做了以下改进，并取得了较好的成效。

二、问题的解决

1、我们改变了以往“拿来主义”，亲自动手设计作业；

2、让学生相互设计作业，增强学生自主意识和合作交往能力；

3、分层设计作业，让每个学生都能体验到成功；

4、设计趣味性作业，激发学生学习数学的兴趣；

5、布置数学日记，培养学生的反思能力；

6、布置实践性的作业，让学生学会学用结合。

三、实施效果

我们在设计作业时以学生发展为本，作业梯度、套餐化，经过了近两年的作业实践探索，已取得了初步成效：学生学习兴趣明显提高，学生学习方式的明显转变，学生学会了自己提出问题、解决问题和应用问题，学习的自觉性和自学能力得到极大提高；学生的数学成绩也整体上了一个台阶。丰富多彩、形式多样的开放性课外作业，激发了学生进行多方面的感官体验，在愉悦合理的环境中获取知识，培养可持续发展的学习能力，并积累大量的愉快而幸福的经历。

A组，基本题，重在双基练习，一般适合学困生；

B组，综合题，重在培养学生的迁移能力，一般适合中等生； C组，创新题，重在培养学生创造性解决问题的能力，一般适合班上少数尖子生。

这样，不同层次的学生完成自定作业时不再有困难，即使有，只要同学或老师加以点拨，他们便会完成。这极大的培养了他们的自信心，使他们的数学都能在原有的基础上得到很大的提高。同时，还可以借机鼓励大家向更高层次的作业挑战，培养他们战胜困难的勇气。

4、设计趣味性作业，激发学生学习数学的兴趣

在作业设计中，要增强作业的趣味性，让学生以饱满的热情对待数学作业，从而提高作业的质量，形成在快乐中做，在做中乐学的良性循环。例如当学生学完了《勾股定理》后，为激发学生的探究爱好，我们设计了如下作业题：有一盖子封着的长方体盒子，①、若沿棱将这个长方体剪开，至少需要剪几刀，才能摊开铺成一个平面？②、今有一只蚂蚁从A点出发，沿着盒子的表面爬行到B点，请你为它设计一条最短路线？假如这个长方体的长为5，宽为3，高为4，求这条最短路线的长？这类问题地设计，极大地调动了学生做作业的积极性。

5、布置数学日记，培养学生的反思能力

尝试让学生写“数学日记”的方法来培养学生的反思意识和反思习惯。课后，让学生在作业本上记录他们对这堂课的理解、评价。包括自己的教学活动中真实心态和想法，尤其是哪此方面知识不够清楚，需要老师帮助、指导，第二天早读课时交上来。对于学生数学日记，认真批阅，写好批语；对他们在数学日记中反映的情况和问题，要进行分析、归纳、总结，并写好教学日记，以便日后进行整改。这样，不仅可以准确地了解学生的心理、思维和非智力因素等个别差异，而且能提高学生的数学能力和自我评价意识。同时，此法也有利于在师生间创设共同探讨，平等协商的宽松环境和氛围。有利于消除学生在学习中的心理障碍，真正体验到学生数学的乐趣。

6、布置实践性的作业，让学生学会学用结合

第三篇：企业管理五梯度

企业管理五梯度

概括的讲，企业的管理内容包括：计划管理、流程管理、组织管理、战略管理、文化管理。这五项内容是一个递增的梯度关系，要求企业需要依次实现这些管理内容，换句话说，就是第一先解决计划管理的问题，之后解决流程管理的问题，依次是组织管理，然后是战略管理，最后是文化管理。这个顺序不能够颠倒，不能够打乱，也不能够只作一个而忽略其他，一个好的企业管理，是需要这五个内容和谐发展，协同作用的，而这五项内容的协同就是企业的系统能力。一个具备了系统能力的企业才有希望具有核心能力。

计划管理：回答资源与目标是否匹配的问题

计划管理常常被人们和计划经济联系在一起，这种偏见带来的直接后果是我们的管理处在无序状态。而对于计划本身的理解当中，无论是企业内部还是企业外部，都认为计划是一组数据，是一个考核指标的指导文本，没有人认真的想过，计划本身是一个管理内容。计划管理要解决的问题，不是数据，不是年终的考核指标，更不是文本。计划管理要解决的问题是对于目标和资源之间关系是否匹配的问题，计划管理就是要目标与资源的关系处在匹配的状态，这是一个最为基础的管理内容，因此，计划管理由三个关键元素构成：目标、资源和两者匹配的关系。

目标是计划管理的基准。计划管理在管理理论中也被确认为目标管理，目标管理的实现需要三个条件：第一，高层强有力的支持;第二，目标要能够检验;第三，清楚目标是高层管理者的目标。资源是计划管理的对象。计划管理事实上是管理资源，而不是管理目标。很多人对于计划管理的理解多是与目标联系在一起的，也通常会以为目标是计划管理的对象，其实计划管理的对象是资源，资源是目标实现的条件，如果我们超越变化让计划得以实现，唯一的办法是获得资源。目标与资源两者匹配的关系是计划管理的结果。也可以说两者的匹配关系是衡量计划管理好坏的标准，当所拥有的资源能够支撑目标的时候，计划管理得以实现，当资源无法支撑目标或者大过目标的时候，要么浪费资源，要么“做白日梦”。所以很多时候我并不关心企业确定什么样的目标，企业设立多大的目标，我只是关心这个企业有否资源来支撑它的目标。当我们的企业高调进入国际市场的时候，我会看它是否拥有国际的人才、国际渠道、国际标准的产品，如果没有这些，空有一个理想，一腔鸿鹄之志也是徒劳。

流程管理：解决企业运营效率的问题

我可能比很多人都热衷于流程，在前后的文章中也不断的提倡流程的作用，因为解决企业效率的问题，流程是关键。我总是想，为什么流程管理我们总是做不到位，也许文化是一个借口，因为中国人的行为习惯决定了我们更喜欢职位多过流程。可是，我们还是看到把流程处理的很好的中国企业，如海尔、华为、联想，归结起来，流程管理还是能够做得到。实现流程管理需要改变管理的一些习惯，我简单归纳为三点：一个是打破职能习惯，二是培养系统思维习惯，三是形成绩效导向的企业文化。

打破职能习惯。受中国古代几千年官制的品位等级制影响，中国企业中的职能部门很大程度上秉承古代官制沿袭下的“自利取向”而非“服务取向”。在“自利取向”情况下，各职能部门特权膨胀，拥有更大空间来牟取一己私利，导致效率下降。职能导向侧重于对职能管理和控制，关注部门的职能完成程度和垂直性的管理控制，部门之间的职能行为往往缺少完整有机的联系。它没有确定时间标准，这一最重要的工作标准一般是由该部门的主管领导临时确定的，这就大幅加重了主管领导的工作量;又由于标准不确定，导致整体工作效率大幅降低，因此我们必须打破职能的习惯。培养系统思维习惯。流程导向侧重的是目标和时间，即，以顾客、市场需求为导向，将企业的行为视为一个总流程上的流程集合，对这个集合进行管理和控制，强调全过程的协调及目标化。每一件工作都是流程的一部分，是一个流程的节点，它的完成必须满足整个流程的时间要求，时间是整个流程中最重要的标准之

一。因此在流程的前提下，时间作为基本坐标决定了我们需要系统的思考问题，而不是仅仅依据自己所在的部门或者所处的位置，我们必须学会系统思维。形成绩效导向的企业文化。“人人都有一个市场，人人都面对一个市场”，实施流程导向中激励各成员共同追求流程的绩效，重视顾客需求的价值是海尔实施流程管理的一种灌输方式，这个方式恰恰让我们看到形成以绩效为导向的企业文化是流程管理的保障，从职能到流程，我称之为“先锋企业”的管理层对“转变员工观念”尤其重视，通过让员工理解的概念，激励每个员工参与流程再造，重视员工的建议等等完成这个艰巨的管理方式改变，没有这样的文化氛围，流程管理只能够是流于形式，这也是中国很多企业引入流程再造不能够取得成功的根本原因。

组织管理：回答权力与责任是否匹配的问题

权力与责任一直是管理中需要平衡的两个方面，让这两个方面处于平衡状态是组织管理要解决的问题。从古典组织理论中，我们知道组织结构设计需要遵循四个基本的原则，一是指挥统一，一个人只能够有一个直接上司;二是管理幅度，有效的管理幅度是5-6个人;三是分工，根据权责和专业化来划分横向与纵向的分工;四是部门化，把分工所产生的专技员工集合于一个部门内，由一个经理来领导并加以协调。细细理会组织设计的古典原则，你不难发现它只是想力图平衡权力和责任两者之间的关系。因此实现组织管理需要两个条件：专业化与分权

专业化。我自己也发现自己除了对于流程的偏爱之外，还有一个我喜欢的词“专业化”。专业化能够解决很多东西，包括服务的意识、分享的可能，更重要的是专业化解决人们对于权力的崇拜。如果说我们还需要保留职能的话，那么解决职能所带来的负面影响的有效途径是专业化的水平，如果一切以专业为标准，我们尊重的是标准和科学，人们不再依靠权力和职位来传递信息和指令。分权。分权是我看到组织中最难做到的一个方面，有时候看到企业也有分权手册，也有分权制度，但是

实施起来常常走样，很多高层经理人喜欢把分权看作是调整的武器或者把分权看成是一种政策的资源。如果分权作为政策资源，这个时候经理人做的不是组织管理，是领导管理，也不是分权而是授权。分权的根本标志是一旦权力做了分配，分配者不再拥有这个权力，当权力可以调整的时候一定是授权不是分权，很多人喜欢混淆分权与授权的界限。

战略管理：解决企业核心竞争力的问题

按照C.K.普拉哈拉德(C.K.Prahalad)和G.哈默(Gary Hamel)在1990年出版的《哈佛商业评论》上发表的“公司的核心竞争力”一文中有关企业的核心竞争力的定义，有三个基本特征组成了企业核心竞争能力：

1、核心竞争力提供了进入多样化市场的潜能;

2、核心竞争力应当对最终产品中顾客重视的价值作出关键贡献;

3、核心竞争力应当是竞争对手难以模仿的能力。显然，这三个特性都反映出核心竞争力的最关键要素是从顾客需求的角度定义企业的核心竞争力。不符合顾客需求、不能为顾客最重视的价值作出关键贡献的能力不是核心竞争力;核心竞争力首先应当是深入理解和准确把握市场和顾客需求的能力;对于这一点，海尔是这么总结的：“与顾客零距离就是与竞争对手远距离”。核心竞争力的建立和培育对于确立企业的市场领导地位和竞争实力是极为重要的。

为此，企业必须站在战略的高度上从长计议。企业自己需要审察经营的业务、所拥有的资源和能力，观察市场需求和技术演变的发展趋势;通过运用企业的创新精神和创新能力，独具慧眼地识别本企业的核心竞争力发展方向，并界定构成企业核心竞争力的技术有哪些，这些就是战略管理需要回答的问题。因此简单的讲战略管理就是为得到核心竞争力所作的独特的管理努力，在企业核心竞争力要素的整合过程中，需要相关的机制与环境条件加以支持。战略管理包括：有利于学习和创新的组织管理机制，以团队管理为中心的分权化扁平状网络组织;创造充满活力的创新激励机制;如：海尔的“赛马”机制和“市场链”机制(市场效应的内部化)。还有通过以

市场为导向、以顾客价值追求为中心的企业文化氛围。如海尔集团通过向红星电器厂注入自己的以“产业报国，追求卓越”为核心价值观念的企业文化来实施企业收购兼并后的整合管理工作。另外是依赖既开放又相互信任的合作环境。更简洁的说，当企业通过实现市场和顾客价值得到了效益，企业就必须通过内部管理进一步提高效率，这样内外结合可构成既有企业自身特色又符合外部市场需求的差异竞争优势。基于这些，我们认为企业核心竞争力同样是一种以企业资源为基础的能力优势，而且是异质性战略资源，如技术、品牌、企业文化、营销网络、人力资源管理、信息系统、管理模式等。只有在这些方面进行强化突出，建立互补性知识与技能体系，才能使企业获得持续性差异竞争优势。

文化管理：解决企业持续经营的问题

《福布斯》每年一度的美国富豪排行榜揭晓，这通常是英雄的盛典。因为进入美国富豪榜的人，很少新鲜的面孔，他们的财富是慢慢积累起来并可以公开度量的。而每到中国富豪榜揭晓，却都让我们感到生存和毁灭的神秘矛盾。因为除了一些传奇故事，大多都经不住理性的推究和考量。随着福布斯中国富豪的一个个落马或遭遇不测，中国人开始对财富有了戒心，人们于是注意到了富豪与企业领袖的区别，单凭财富并不能成为这个社会的栋梁，企业领袖终于成为人们关注的焦点。企业领袖成为聚焦的中心，反映了一种深刻的社会过程。而企业领袖代表着民族精神的方向标，一个企业的企业文化之根源，是企业领导人的思维因果和管理方式的体现。因为思维方式不同我们看到企业的持续与否。企业文化既是企业的核心灵魂也是企业的本质特征，是基于企业家推崇和执行的管理方式下产生的团队绩效的;从管理方式的角度(定量)管理方式对企业文化的推动有这样的发展过程：人事制度→人的管理→企业管理方式→核心价值观→企业文化。随着企业的发展，企业文化的发展通常历经企业家个性魅力(企业家文化)→团队个性魅力(团队文化)→企业个性魅力(企业文化)→到最终形成的社会个性魅力(竞争性文化)。所以企业文化管理要经历：生存目标导向、规则导向、绩效导向、创新导向、愿景导向的逐步过渡，才可以保

证企业能够逐步成长。从企业文化的发展进程来看，中国企业在过去的近20年时间里已经逐步形成和提炼了具有创新导向的企业文化;随着市场竞争及国际化竞争的日益剧烈，中国企业正在推动着自己的企业文化向愿景导向的竞争性文化转形，这其中必然还有相当长的路要走。所以企业文化建设是一条漫长的路，这条路伴随着企业持续成长的脚步。

计划管理、流程管理和组织管理和称为基础管理，这是企业生存的关键。战略管理和文化管理是更高一个层面的管理，不要把战略管理和文化管理放在企业管理的基础上来作，这样会适得其反。

第四篇：语文课堂三个梯度

语文课堂三个梯度

陕西汉中刘兴聪

编者按

语文课堂，应该体现三个梯度：让学生近能看到急流，中能看到河流，远能看到海洋。

一、“独上高楼”

抓住文章“穴位”，点开来，让课堂学习，激流滚滚，浪花飞溅。

李华平教授说：“没有聚焦就没有力量。不管是阅读教学课还是作文教学课，都必须聚焦，只有聚焦到某一个点上，聚焦得准，聚焦得稳，聚焦得狠，这节课才是高效的”，这“焦”在哪里？我觉得便是精准地挖掘教材内涵，找到文章的“穴位”。

比如，鲁迅的《雪》，很多老师步入了“错误路线”：打外围战，用作者的经历或者思想来诠释、曲解文本，而本文理应从文本形式和内容的设置出发，顺藤摸瓜，找到作者的思想情感。作品的开头和结尾是很讲究的事情，文章标题是雪，而开头和结尾都写雨，这个问题就是文章的穴位，是剖开文章的关键，通过去掉相关内容，进行比较，引导学生探究出：“暖国的雨”其实就是活泼美丽的世界，具体以“江南的雪”为嫁衣，滋润明艳，但它终归是“温室里”的“娇贵之花”，很快在江南温和的天气中融化不见。而“雨的精魂”其实就是朔方的雪，为改变寒冷的世界，永远的旋转升腾抗争,是永恒的生命。所以，鲁迅先生喜欢江南的雪，更钟情于朔方的雪——努力让死寂的世界焕发活力。再看语言形式，为了再现南方雪的甜美与生机，用形容词、长句；为了表现北方雪的壮美与张扬，用动词、短句。

再如，《喂，出来》，对谁“喂”？表面洞，实则人。什么“出来”？表面石头，实则人性与道德。所以，文中的“洞”，便是人性之漏洞，道德之漏洞，所有的黑暗之洞。

再比如《送东阳马生序》，“苦学”，显然不符合拥有优越条件的马生，并非是要马生摒弃优越的条件，去感受苦难，即成才的关键不是苦难，而是“嗜学”，心中有学习之志趣，便用心专，便学有成。

又如《醉翁亭记》抓住“乐”“醉”“醒”和几个称呼，便能让学生领略到“问君何能尔，心远地自偏。此中有真意，欲辨已忘言.”的欧阳修的那种与民同醉、与己同醒的状态与情怀。

再如胡适《我的母亲》写道“我母亲23岁做了寡妇”，为什么不说是死了丈夫？儿子称母亲为“寡妇”，母亲是何等的艰难不易，儿子是何等浓郁而悠长的哀伤与疼痛。还有，“恩师、慈母、严父、严师、后母”，按理说只一个称呼“母亲”，这么多称呼，饱含的是满满的敬重感激和深沉而绵长的爱戴与心疼！

《伤仲永》，悲剧的条件？主观上：仲永；客观上：仲父（家庭环境），邑人（社会环境）。悲剧根源?“世隶耕”。《爸爸的花儿落了》，“父爱”“别离”“成长”的伤与美。《猫》，爱与和谐；爱的自私与偏见。《小石潭记》，小石潭的象征性。等等，才是我们该聚焦、掀起狂澜的地方。

二、“山长水阔”

抓住文章的“血脉”，散开来，让课堂学习，滴水汇河，波光粼粼。

歌德说过：“内容人人看得见，涵义只有有心人得之，而形式对于大多数人是一个秘密。”歌德对文章写作奥秘的揭示，对探究文本同理。

如《端午的鸭蛋》《吆喝》，两文为什么都用方言写作？在探究中，我们可以让学生通过转换成书面语，加以比较，让学生明白：因为方言鲜活生动亲切，很地道，很质感，对于事物的表述功能比普通话更强、更细、更具体，能最贴切地表达出人的思想感情和心理变化。所以，作者以方言为外衣，包裹的是那份难以释怀的沉甸甸的家乡情结。满怀故乡情结的人沉淀在内心深处的绵长思绪，与之相匹配的最佳语言形式即就是方言。文章的篇章形式同样需要破译。如，杜牧咏史诗，是晚唐咏史诗的高峰。所以在学习《赤壁赋》时，不但要读懂该诗，还应该借这首“二十八字史论”，引导学生体会杜牧诗高在何处。

学习《醉翁亭记》《岳阳楼记》《小石潭记》等等篇目，我们要归类出：1.他们都革新，都失败，都被贬，这些高贵的灵魂在用文字向我们倾诉他们的状态和理想，这是珍贵文化遗产和精神财富。2.“记”这种散文体裁的借景言情、感世抒怀的特色与行文方式。

三、“望尽天涯路”

抓住文章的“脉息”，荡开去，让课堂学习，漂洋过海，一目千里。

李华平教授提出语文教师要遵循课堂教学的基本规律，即“为了谁”，“往哪里走”。往哪里走？我觉得，纵横捭阖，带学生到天涯海角去,让他们豁然开朗、明了通透。还是以《端午的鸭蛋》《吆喝》为例，在学习了这两文的方言使用，我们可以推及其他文学作品，比如贾平凹、莫言、韩少功、孙犁、沈从文等等的作品，让学生鉴赏：方言中有许多很有表现力的东西，普通话中没有相应的表达形式。适当采用方言成分，可增添作品的地方特色、乡土气息，有利于塑造人物形象、传递人物情感，在文学作品中尤其如此。乡土文学就得力于方言的鲜活质感，亲切温馨，更具张力，最民间，它承载着厚重的地域文化，折射出方言区域的人们的性情喜好、乡土人情，名家大师都很善于对方言进行挖掘复活、过滤抛光，赋予新的生命力，增强艺术表现力和感染力，给人全新的阅读享受。

同理，学了《我的母亲》《醉翁亭记》《五柳先生传》等等文章，我们可以让学生探究文章称呼的妙用。

余映潮老师说，课堂教学核心技术有三项：教材研读技术、教学设计技术、课堂实用技术。我认为就着穴位点开、靠着血脉散开、顺着脉息荡开，三个梯度也可以算是课堂教学技术。

刘兴聪，女，陕西专家型教师、教学能手，汉中教学能手、名师、学科带头人，县在职教研员，历届历学期学科第一。数十篇论文在《中学语文教与学》等各级刊物发表，诗歌散文在《星星》等百多家刊物发表，在一些文学大赛中多次获奖，第五届“圣陶杯”二等奖。参与五个国家级、省级和市级课题研究，并获一等奖和优秀奖，被评为“优秀学术指导”。指导学生作文，数十篇获国家级省级一二三等奖，被评为“优秀指导老师”。

第五篇：共轭梯度法实验报告

数值代数实验报告 一、实验名称：

用共轭梯度法解线性方程组。

二、实验目的：

进一步熟悉理解掌握共轭梯度法解法思路，提高 matlab 编程能力。

三、实验要求：

已知线性方程矩阵，应用共轭梯度法在相关软件编程求解线性方程 组的解。

四、实验原理：

1．共轭梯度法：

考虑线性方程组 Ax b 的求解问题，其中 A 是给定的 n 阶对称正定矩阵，b 是给定的 n 维向量，x 是待求解 的 n 维向量.为此, 定义二次泛函 T T(x)x Ax 2b x.定理 1 设 A 对称正定 , 求方程组 Ax b 的解，等价于求二次泛函(x)的极小值点.定理 1 表明，求解线性方程组问题就转化为求二次泛函(x)的极小值点问题.求解二次函数极小值问题，通常好像盲人下山那样，先给定一个初始向量 x 0，确定 一个下山方向 p 0，沿着经过点 x 0 而方向为 p 0 的直线 x x 0 p 0 找一个点 x x p，1 0 0 0 使得对所有实数 有 x p x p，0 0 0 0 0 即在这条直线上 x 1 使(x)达到极小.然后从 x 1 出发，再确定一个下山的方向 p 1，沿着 直

线

x x p 再 跨 出 一 步，即 找 到 1 使 得 x 在 x 2 x 1 1 p 1 达 到 极 小 ：1 x p x p.1 1 1 1 1 重复此步骤，得到一串 0 , 1 , 2 ,L 和 p 0 , p 1 , p 2 ,L，称 p k 为 搜索方向，k 为步长.一般情况下，先在 x k 点找下山方向 p k，再在直线 x x p 上确定步长 k 使 k k

x p x p k k k k k,最后求出

x x p.然而对不同的搜索方向和步长，得到各种不同的算法.k 1 k k k 1

由此，先考虑如何确定 k.设从 x k 出发，已经选定下山方向 p k.令 f x p k k T T x p A x p 2b x p k k k k k k 2 T 2 T p Ap r p x，k k k k k 其中 r k b Ap k.由一元函数极值存在的必要条件有 T T f 2 p Ap 2r p 0 k k k k 所确定的 即为所求步长，即

k 步长确定后，即可算出

T r p k k k T p Ap k k

.x x p.k 1 k k k T 此时，只要 r p 0，就有 k k 即

x x.k 1 k

x x x p x 2 k 1 k k k k k T r p k k 2 T 2 T 0 p Ap r p k k k k k k T p Ap k k 再考虑如何确定下山方向 p k.易知负梯度方向是(x)减小最快的方向，但简单分 析就会发现负梯度方向只是局部最佳的下山方向，而从整体来看并非最佳.故采用新 的方法寻求更好的下山方向—— 共轭梯度法.下面给出共轭梯度法的具体计算过程 : 给定初始向量 x 0，第一步仍选用负梯度方向为下山方向，即 p 0 r 0，于是有 T r r 0 0 ,x x p ,r b Ax.0 T 1 0 0 0 1 0 p Ap 0 0 对以后各步，例如第 k+1 步（k 1）, 下山方向不再取 r k，而是在过点由向量 r k 和 p k 1

所张成的二维平面 2 { x | x x k r k p k 1 , , R} 内找出使函数 下降最快的方向作为新的下山方向 p k.考虑 在 2 上的限制：,(x k r k p k)1 T(x r p)A(x r p)k k k 1 k k k 1 T 2b(x r p).k k k 1 计算 关于 , 的偏导得：

T T T r Ar r Ap r r , k k k k 1 k k T T 2 r Ap p Ap , T 其中最后一式用到了 r p 1 0，这可由 r k 的定义直接验证.令 k k 1 k 1 k 1 k k 0，即知 在 2 内有唯一的极小值点 x% x r p，k 0 k 0 k 1 2

其中 0 和 0 满足

T T T r Ar r Ap r r 0 k k 0 k k 1 k k,T T r Ap p Ap 0 k k 1 0 k 1 k 1

0.由于 r k 0 必有 0 0，所以可取 1 0 p x% x r p k k k k0 0 作为新的下山方向.显然，这是在平面 2 内可得的最佳下山方向.令 0 k，则可 1 得 T r Ap k k 1.k 1 T p Ap

k 1 k 1 T 注：这样确定的 p k 满足 p Ap 1 0，即 p k 与 p k 1 是相互共轭的.k k

0 总结上面的讨论，可得如下的计算公式：

T r p k k，x k 1 x k k p k，k T p Ap k k r b Ax，k 1 k 1 T r Ap k 1 k，p k 1 r k 1 k p k.k T p Ap k k 在实际计算中，常将上述公式进一步简化，从而得到一个形式上更为简单而且对称 的计算公式.首先来简化 r k 1 的计算公式：

r 1 b Ax 1 b A(x p)r Ap.k k k k k k k k 因为 Ap k 在计算 k 是已经求出，所以计算 r k 1 时可以不必将 x k 1 代入方程计算，而是 从递推关系 r k 1 b k Ap k 得到.再来简化 k 和 k 的计算公式.此处需要用到关系式 T T T r r 1 r p 1 r 1 p 0, k 1,2,K.k k k k k k 从而可导出 1 T T r r r ,，k 1 k 1 k 1 1 1 k T T T p Ap p r r p r k k k k k 1 k k 1 T 1 T k k r r p r r.k k k 1 k 1 k k k k 由此可得

T T r r r r k k 1 1.k k ,.，k T k T p Ap r r k k k k 从而有求解对称正定方程组的共轭梯度法算法如下：

x 初值 0 r b Ax ； k 0 0 0 while r k 0 k k 1 if k 1 p r 0 0 3

else T T k r k r k r k r k1 1 2 2 p r p k 1 k 1 k 2 k 2 end T T k r k r k p k Ap k1 1 1 1 x x p k k 1 k 1 k 1 r r Ap k k 1 k 1 k 1 end x x k 注：该算法每迭代一次仅需要使用系数矩阵 A 做一次矩阵向量积运算.定理 2 由共轭梯度法得到的向量组

r 和 p i 具有如下基本性质：

i T（1）

p r 0，0 i j k;i j T（2）

r r 0，i j，0 i, j k;i j T（3）

p Ap 0，i j，0 i, j k;i j（4）

span{ r ,K , r k } span{ p ,K , p k }(A, r ,k 1)，0 0 0 其中 k(A,r , k 1)span{ r , Ar ,K , A r }，0 0 0 0 通常称之为 Krylov 子空间.下面给出共轭梯度法全局最优性定理：

定理 3 用共轭梯度法计算得到的近似解 x k 满足 x min x : x x(A,r ,k)k 0 0 或 x x x x x x A r k，* min * : 0(, 0 ,)k A A 其中

T x x Ax，x * 是方程组 Ax b 的解，(A, r 0 ,k)是由所定义的 Krylov 子空间.A 定理 2 表明，向量组 r 0 ,K ,r k 和 p 0 ,K , p k 分别是 Krylov 子空间(A, r 0 ,k 1)的正 交基和共轭正交基.由此可知，共轭梯度法最多 n 步便可得到方程组的解 x *.因此，理论上来讲，共轭梯度法是直接法.然而实际使用时，由于误差的出现，使 r k 之间的正交性很快损失，以致于其有 限步终止性已不再成立.此外，在实际应用共轭梯度法时，由于一般 n 很大，以至于 迭代 O n 次所耗费的计算时间就已经使用户无法接受了.因此，实际上将共轭梯度 法作为一种迭代法使用，而且通常是

r 是否已经很小及迭代次数是否已经达到最大

k 允许的迭代次数 k max 来终止迭代.从而得到解对称正定线性方程组的实用共轭梯度 法，其算法如下：

x 初值 4

k 0;r b Ax;

T r r

while

b and k k max 2 k k 1 if k 1 p r else %;p r p end T;;Ap p x x p T r r;%;r r end 算法中，系数矩阵 A 的作用仅仅是用来由已知向量 p 产生向量 Ap，这不仅可以 充分利用 A 的稀疏性，而且对某些提供矩阵 A 较为困难而由已知向量 p 产生向量 Ap 又十分方便的应用问题是十分有益的。

2．算例 10 13 4

x 1运用共轭梯度法求解下述方程，并解释你所观察到的结果 1 9-1 2-3 x 27 2-1 7 3-5

x 33 2 3 12-1 x 17 解：已知共轭梯度法的 MATLAB 程序代码如下所示：4-3-5-1 15 x 12 function[x,n]=conjgrad(A,b,x0)5 %采用共轭梯度法求线性方程组 Ax=b 的解 %线性方程组的系数矩阵：

A %线性方程组中的常数向量：

b %迭代初始向量：

x0 %线性方程组的解：

x %求出所需精度的解实际的迭代步数：

n r1=b-A*x0;p=r1;n=0;for i=1:rank(A)if(dot(p,A*p)<1.0e-50)break;end

alpha=dot(r1,r1)/dot(p,A*p);5

x=x0+alpha*p;r2=r1-alpha*A*p;if(r2<1.0e-50)break;end belta=dot(r2,r2)/dot(r1,r1);p=r2+belta*p;n=n+1;end 用共轭梯度法求解，在 MATLAB 命令窗口中输入求解程序：

>> A=[10 1 2 3 4 2 4 2 1 1;1 9-1 2-3 3-3-1 9 2;2-1 7 3-5 4-5 7-1 3;3 2 3 12-1 5-1 3 2 4;4-3-5-1 15 1 3 2 3 2;2 3 4 5 1 10 4 5 3 4;4-3-5-1 3 4 9 1-3 2;2-1 7 3 2 5 1 7-1 1;1 9-1 2-3 3-3-1 12 10;1 2 3 4 2 4 2 1 10 15];>> b=[12;-27;14;-17;12;12;-27;14;-17;12];>> x0=[0;0;0;0;0;0;0;0;0;0];>> [x,n]=conjgrad(A,b,x0)输出的计算结果为：

x = 8.5669-7.1981-7.3479-13.9388 1.1303 11.5188-26.8966-2.2388 0.0829 13.2786 输出的迭代次数为 n = 10 共轭梯度法理论上只要迭代 n 步，就能得出方程组的解，但是由于存在计算误差，即分数向小数转化时存在舍入误差，很难保证在第 n 步时得到准确解。

3． 总结 本文首先给出最小二乘问题的定义，随后从盲人下山法开始讨论了共轭梯度法 的具体推导过程及其相关性质与算法.继而重点给出正则化方法的实用共轭梯度算 法并举例进行检验.最后，需要说明虽然正则化方法是求一般线性方程组 Ax b，m n A R m n 且 A 列满秩的最小二乘解的一种方法且简单易行，但是也有许多不

足之处，如 m n 时一般无解；

T A A 形成时运算量大，A 中某些信息会丢失；当 A病

态时其收敛性速度由于

T 2 2(A A)2(A)很大变得非常之慢等，故为了避免正则化方 法的缺点，还可运用残量极小化方法或残量正交化方法等更好的方法来解决此类问 题.在实际的科学与工程问题中，常常将问题归结为一个线性方程组的求解问题，而求解线性方程组的数值解法大体上可分为直接法和迭代法两大类.直接法是指在 没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法.因此，直接法 又称为精确法.迭代法则是采取逐次逼近的方法，亦即从一个初始向量出发，按照一 定的计算格式，构造一个向量的无穷序列 , 其极限才是方程组的精确解，只经过有限 次运算得不到精确解.当线性方程组的系数矩阵为对称正定矩阵时，我们常用共轭梯 度法（或简称 CG 法）求解，目前有关的方法与理论已经相当成熟，并且已成为求解 大型稀疏线性方程组最受欢迎的一类方法.7