第一篇：“余弦定理”复习课：通过数学史体现综合性
【编者按】 从2014年第5期开始，我们连续刊发了华东师范大学汪晓勤教授及其研究团队开发的HPM案例，为数学教学如何融入数学史提供了“例子”，倍受读者朋友们的欢迎。本期呈现的是顾彦琼、汪晓勤两位老师的研究成果。
顾彦琼1，汪晓勤2（1.上海市南汇中学，201399；2.华东师范大学数学系，200241）
摘要：新授课中，教学起点和欧氏几何方法的缺失使得余弦定理成了无源之水、无本之木，从而导致学生对余弦定理只知其然，而不知其所以然。通过对历史材料的分析和对课前学情的调查，在复习课中以余弦定理的证明为线索，利用数学史引导、启发学生；从勾股定理开始，自然深入、逐步推广，引出推导余弦定理的三种欧氏几何方法、一种平面三角方法、一种向量几何方法和一种解析几何方法，促使学生在学习过程中自觉养成追根溯源、形成知识网络的习惯，充分体现知识的综合性。关键词：HPM 余弦定理 复习课 教学设计
数学复习课是数学教学中不可或缺的重要环节，它具有重复性、概括性、系统性和综合性等特点；数学复习课要在重复和概括的基础上进行梳理，使数学知识和数学思想方法系统化、综合化。在数学复习课中，兼顾知识的巩固提高和教学的新鲜活力，乃是一线教师孜孜以求的目标；但是，在课业负担繁重且有考试压力的中学数学教学中，要在协调教学进度的同时让复习课有文化内涵，使学生在其中探奇寻乐，似乎已然成为遥不可及的追求。在沪教版高中数学教材的设计中，“余弦定理”的新授课被安排在高一第二学期，主要教学目标是，掌握余弦定理的内容及其证明，以及运用余弦定理解决“边角边”和“边边边”问题。但是，新授课中，教学起点和欧氏几何方法的缺失使得余弦定理成了无源之水、无本之木，从而导致学生对余弦定理只知其然，而不知其所以然。受陈敏晧老师的“余弦定理”教学设计的启发，我们尝试将数学史运用于“余弦定理”复习课中，以体现知识的系统性、综合性。
一、历史材料分析
余弦定理作为勾股定理的推广，最早出现于欧几里得的《几何原本》第2卷中： 命题12在钝角三角形中，钝角对边上的正方形面积大于两锐角对边上的正方形面积之和，其差为一矩形面积的两倍，该矩形由一锐角的对边和从该锐角（顶点）向对边延长线作垂线，垂足到钝角（顶点）之间的一段所构成。命题13在锐角三角形中，锐角对边上的正方形面积小于该锐角两边上的正方形面积之和，其差为一矩形面积的两倍，该矩形由另一锐角的对边和从该锐角（顶点）向对边作垂线，垂足到原锐角（顶点）之间的一段所构成。
命题12相当于说，如图1所示，在钝角△ABC中，a2=b2+c2+2cm；命题13相当于说，如图2所示，在锐角△ABC中，a2=b2+c2－2cm。欧几里得利用勾股定理对上述命题进行了证明。
公元2世纪，托勒密（C.Ptolemy，约100～170）在其《天文大成》中利用上述命题解决了“已知三角形三边，求角”的问题，但并未明确提出余弦定理。不过，利用托勒密定理，我们的确能轻易证明余弦定理。
16世纪，德国数学家毕蒂克斯（B.Pitiscus，1561～1613）在其《三角学》中利用几何方法求出了图2（其中∠C为△ABC的最大角，可以是钝角）中的m：m=(b2+c2－a2)/2c。毕蒂克斯于1595年首次将“三角学”（trigonometry）作为书名，他的方法成为了今天所谓“无字证明”的蓝本。之后，法国数学家韦达（F.Viète，1540～1603）明确给出了余弦定理的比例形式：2ab∶（a2+b2－c2）=1∶sin（90°－C）。
20世纪中叶以前，西方大多数三角学教材沿用了欧几里得的方法来证明余弦定理，也有一些教材采用了毕蒂克斯的方法，或以一组射影公式a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA为出发点。英国数学家德摩根（A.de Morgan，1806～1871）则在其《三角形基础》中别出心裁地利用和角公式和正弦定理来推导余弦定理。到了20世纪50年代，一些教材开始采用解析几何的方法；而向量方法的出现，则是相当晚近的事了。数学史告诉我们，余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，在18～19世纪的许多三角学著作中，它只是以几何定理的身份出现；在从欧几里得时代直到20世纪上半叶的两千余年间，人们普遍采用几何方法对余弦定理进行推导，正是包括今天所谓“无字证明”在内的那些几何方法，才使其展现出了迷人的魅力。因此，以勾股定理为起点，用不同的几何方法来推导余弦定理，以弥补新授课中解析几何方法的不足，是历史带给我们的“余弦定理”复习课的教学启示。而且，不同于新授课，复习课中因为学生已经学过余弦定理及其他相关内容，所以对于数学史的运用可以更加广泛、自由。
二、课前学情调查
课前，我们通过问卷，对所教的两个班级共84名学生进行调查。所设计的问题是：（1）请写出余弦定理；
（2）请说明余弦定理可以用来解决哪些解斜三角形问题；（3）请证明余弦定理。
对于前两个问题，84名学生中的82名都能作出正确回答。对于第三个问题，则少有学生能正确给出完整的证明：其中41名学生直接回答“不知道”“不会”或“不清楚”；11名学生记得用平面向量的方法证明，但是只有4名学生能证明出来；13名学生记得用两点之间的距离公式证明，但是有5名学生联想到单位圆（通过访谈了解到，这是由于受到和角余弦公式证明的影响），只有3名学生能正确证明；其余学生的证明都不着边际。
调查表明：学生对余弦定理的解析几何证明方法和向量证明方法印象不深；学生有轻过程、重结论的倾向，即只求“鱼”而不得“渔”。
以下是我们对一名数学成绩一直比较优秀的男生的访谈片段： 师 你还记得余弦定理吗？
生 让我想一下，是用来解斜三角形的那个东西吗？ 师 是的。你还记得是什么吗？（学生用纸笔写下来。）师 你能证明一下吗？
生 哦，我不记得了，一点儿也不记得了。师 真的吗？请你再想一想。
生 好像是要建立平面直角坐标系的。
师 那么，你可以把证明过程写下来给我看一下吗？
生 哦，那太难了！老师，你为什么要问我这样的问题？ 师 因为我早上做了问卷调查，本来以为他们会用比较淳朴的方法做，但没想到他们都没做出来。
生 哦，老师，你要理解他们。在这种应试教育下，能背出公式来，已经很不容易了。师 可是我觉得，最近才刚学过一个新工具（平面向量），印象应该会深刻一点啊？（学生尝试着写出证明过程，但数十分钟后，仍然未能证明。）
访谈表明，数学成绩优秀的学生对已学过的余弦定理的证明同样无从入手。
三、教学设计与实施
（一）提出问题，激发兴趣 课始，教师开门见山地说道：“我们在高一第二学期学习了余弦定理，但课前的问卷调查却表明，同学们普遍知道余弦定理是什么，可以用来解决什么样的问题，却不知道怎样去证明余弦定理。高二第一学期即将结束，与高一相比，我们已经储备了更丰富的数学知识，证明余弦定理的方法也变得更多样了。本节课中，就让我们一起来回答以下两个问题。”然后，教师出示本课的主旨问题： 问题1我们可以用怎样的方法来证明余弦定理？ 问题2比较各种方法，我们更喜欢哪一种？
（二）以史开道，回归起点
为了回答上述问题，教师首先要求学生回忆勾股定理的证明。少数学生说“模糊地记得”，多数学生则表示，初中时老师也只是一笔带过，直接给出结论而并不作具体的证明。于是，教师说道：“欧几里得很早就给出过勾股定理的证明。这一证法，被阿拉伯人形象地称为‘新娘的座椅’。”然后，展示勾股定理的欧几里得证明：
如图3所示，分别在直角△ABC的三边上作正方形ACDE、ABFG和BCHI，作CL⊥GF于L。连接BE和CG，则由AE和BC的平行关系，可得正方形ACDE的面积等于△AEB的两倍；由AG和CM的平行关系，可得长方形AMLG的面积等于△ACG的两倍。而△AEB≌△ACG，故知正方形ACDE和长方形AMLG的面积相等。同理，可得正方形BCHI与长方形BMLF的面积相等。
接着，教师引导道：“如果△ABC是斜三角形，那么其三边又有怎样的大小关系呢？”学生尝试、讨论之后，教师说道：“欧几里得在《几何原本》第2卷中将勾股定理进行了推广，分别给出了钝角三角形和锐角三角形三边之间的关系。”然后，展示余弦定理的欧几里得证明： 如图1和图2，由勾股定理，分别得a2=h2+（c+m）2=h2+m2+c2+2cm =b2+c2+2cm，a2=h2+（c－m）2=h2+m2+c2－2cm=b2+c2－2cm。
（三）对话先哲，推陈出新 在欧几里得证明的基础上，教师问道：“欧几里得对余弦定理的证明有什么不足？怎么将其改进成我们现在的统一的形式呢？”由此，引导学生利用三角函数对欧几里得的证明稍加改进： 在图1中，有m=－bcosA，h=bsinA；在图2中，有m=bcosA，h=bsinA。所以，在图1和图2中，由勾股定理，均可得（bsinA）2+（c－bcosA）2=a2，整理得a2=b2+c2－2bccosA。接着，教师引导道：“欧几里得只是利用勾股定理来证明余弦定理。而我们能否利用他证明勾股定理的面积方法来推导余弦定理呢？”学生跃跃欲试，师生共同完成以下证明： 如图4所示，△ABC为锐角三角形，仿照欧几里得的做法，在其三边外侧分别作正方形ACDE、ABFG和BCHI；分别从三个顶点向对边作垂线，垂足分别为K、M和N，与正方形另一边的交点分别为L、P和Q。于是，SAMPE=SAKLG，SBNQI=SBKLF，因此，c2=SAMPE+SBNQI=a2+b2－（SMCDP+SNCHQ）。而又有SMCDP=b（acosC）=abcosC，SNCHQ=a（bcosC）=abcosC，故c2=a2+b2 －2abcosc。
此后，教师让学生课后完成钝角三角形情形的证明。
（四）汲取养料，拓宽思维
教师要求学生再次回顾“正弦定理扩充定理”新授课中的证明方法，学生立刻想到可以引入辅助圆来证明余弦定理，教师便要求学生进行小组讨论。学生在证明过程中遇到了一些困惑，教师便顺势解惑，并引出了16世纪德国数学家毕蒂克斯给出的类似证明方法： 在△ABC中，AC>BC。
如图5所示，以C为圆心、BC为半径作圆，交AC及其延长线于点F、E，交AB于另一点G。由平面几何知识，可知AF·AE=AG·AB，此即（b－a）（b+a）=c（c－2acosB），整理得b2=a2+c2 －2accosB。
如图6所示，若以AC为半径作圆，则由BE·BF=BA·BG，同样可得b2=a2+c2 －2accosB。
然后，教师请学生课后完成其他等式的证明。
（五）温故知新，查缺补漏
对于学生自己想到的解析几何法（利用两点之间的距离公式）与向量法（数量积），为了增强学生的参与度，教师请学生板演，结果发现错误层出不穷：对于第一种方法，一些学生不恰当地选择了原点，增加了计算的难度，这印证了学生对“适当建立坐标系”依然存在认知缺陷；对于第二种方法，一名学生将向量与实数混为一谈，得到|c|2=c·c=（a－b）·（a－b）=a2－2ab+b2，这是学生在学习向量知识时出现的典型错误。通过展示与交流，学生纠正了错误，加深了理解。
最后，教师让学生回顾△ABC中的和角正弦公式sin（A+B）=sinC=sinAcosB +cosAsinB，并简单介绍了19世纪英国数学家德摩根给出的相关证明方法： 由sinC=sinAcosB+cosAsinB两边平方，得sin2C=sin2Acos2B +cos2Asin2B+2sinAsinBcosAcosB=sin2A+sin2B－2·sin2Asin2B+2sinAsinBcosAcosB=sin2A+sin2B+2sinAsinBcos（A+B）=sin2A+sin2B－2sinAsinBcosC。由正弦定理，即得c2=a2+b2－2abcosC。
（六）集思广益，取其精华 在整节复习课临近尾声时，学生对证明方法的探索仍然意犹未尽。于是，教师布置家庭作业：（2）请列表比较证明余弦定理的几种方法的特点。
四、结语
从欧几里得开始，余弦定理经历了两千多年的历史，不同时空下的众多数学家贡献了自己的聪明才智。将数学史融入余弦定理复习课的教学，使学生经历数学的惊奇，感受数学的魅力，既为数学复习课染上了人文的色彩，也凸显了数学背后探索和发现的精神，展现了精彩纷呈的思想方法。
本节复习课中，我们以余弦定理的证明为线索，利用数学史引导、启发学生；使余弦定理的证明从勾股定理开始自然深入、逐步推广，促使学生在学习过程中自觉养成追根溯源、形成知识网络的习惯——如果学生在初中学习过勾股定理的严格证明，则也能起到衔接初、高中教学的作用。本节复习课中，我们主要采用了六种方法来推导余弦定理，其中三种为欧氏几何方法，另外三种分属平面三角、向量几何和解析几何方法，充分体现了知识的综合性（如图7所示）。课后的问卷调查表明：超过80%的学生对欧几里得的面积方法以及毕蒂克斯的辅助圆方法印象深刻，他们认为，“这些方法太新奇了”“没想到还会有这样的证明方法”。
对于如何将数学史融入数学教学，更好地开发HPM课例，本节课也有颇多启示：
首先，数学史是数学教学设计的丰富资源，而对数学史的获取仅凭一己之力确实会力不从心且举步维艰——正如从开采玉石到雕琢玉器，再到出售玉饰这一浩大工程又怎么会是一个人可以包揽下来的。而跨越这层障碍的最佳方式无疑是推行一种模式：先由大学教师完成相关主题的历史研究，以获得历史材料，再由大学教师与中学教师合作，对材料进行加工，使之适合于教学。
其次，在数学教学中，使用数学史大可不必拘泥于单一的课型，新授课、复习课、试卷讲评课中都可以体现其教育价值。而通过本节课的教学，显然可见复习课也会因数学史元素的融入而更为新鲜有趣。
第三，在课后与学生的交谈中，我们获知，学生除了对数学史怀有浓厚的兴趣外，还希望能在课堂上体现数学与现实的关系。这无疑也为HPM教学设计指明了更符合学生学习动机的模式：从数学概念、定理在历史上的来源与发展，到现实中的应用及前景，如此“一站式教学”，能更好地让学生感受到数学有趣、有用的真实所在。
第二篇：余弦定理数学史
三角学的历史早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯（Ｍｅｎｅｌａｕｓ ｏｆ Ａｌｅｘａｎｄｒｉａ，公元 100 年左右）著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理； 50 年后，另一个古希腊学者托勒密（Ｐｔｏｌｅｍｙ）著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元 499 年，印度数学家阿耶波多（ｒｙａｂｈａｔａ Ｉ）也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（Ｖａｒａｈａｍｉｈｉｒａ，约 505 ～ 587）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元 10 世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁（Ｎａｓｉｒ ｅｄ-Ｄｉｎ ａｌ Ｔｕｓｉ，1201 ～ 1274）的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（Ｊ·Ｒｅｇｉｏｍｏｎｔａｎｕｓ，1436 ～ 1476）．
雷格蒙塔努斯的主要著作是 1464 年完成的《论各种三角形》．这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作．全书共 5 卷，前 2 卷论述平面三角学，后 3 卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉．雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表．
雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础．他去世以后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最终出版，对 16 世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响．
三角学一词的英文是ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ，来自拉丁文ｔｕｉｇｏｎｏｍｅｔｕｉａ．最先使用该词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯（Ｂ．Ｐｉｔｉｓｃｕｓ，1561 ～ 1613），他在 1595 年出版的《三角学：解三角形的简明处理》中创造这个词．其构成法是由三角形（ｔｕｉａｎｇｕｌｕｍ）和测量（ｍｅｔｕｉｃｕｓ）两字凑合而成．要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的．16 世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯（Ｇ．Ｊ．Ｒｈｅｔｕｃｕ ｓ，1514 ～ 1574）．他 1536 年毕业于滕贝格（Ｗｉｔｔｅｎｂｅｒｙ）大学，留校讲授算术和几何． 1539 年赴波兰跟随著名天文学家哥白尼学习天文学，1542 年受聘为莱比锡大学数学教授．雷蒂库斯首次编制出全部 6 种三角函数的数表，包括第一张详尽的正切表和第一张印刷的正割表．世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算，制作三角函数表已不再是很难的事，人们的注意力转向了三角学的理论研究．不过三角函数表的应用却一直占据重要地位，在科学研究与生产生活中发挥着不可替代的作用．三角公式是三角形的边与角、边与边或角与角之间的关系式．三角函数的定义已体现了一定的关系，一些简单的关系式在古希腊人以及后来的阿拉伯人中已有研究．
文艺复兴后期，法国数学家韦达（Ｆ．Ｖｉｅｔａ）成为三角公式的集大成者．他的《应用于三角形的数学定律》（1579）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一．其中第一部分列出 6 种三角函数表，有些以分和度为间隔．给出精确到 5 位和 10 位小数的三角函数值，还附有与三角值有关的乘法表、商表等．第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式．除汇总前人的成果外，还补充了自己发现的新公式．如正切定律、和差化积公式等等．他将这些公式列在一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量的值．该书以直角三角形为基础．对斜三角形，韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决．对球面直角三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则，如余弦定理，1591 年韦达又得到多倍角关系式，1593 年又用三角方法推导出余弦定理．
1722 年英国数学家棣莫弗（Ａ．Ｄｅ Ｍｅｉｖｅｒ）得到以他的名字命名的三角学定理
（ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ）ｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ，并证明了ｎ是正有理数时公式成立； 1748 年欧拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ）证明了ｎ是任意实数时公式也成立，他还给出另一个著名公式 ｅｉθ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ，对三角学的发展起到了重要的推动作用．
近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的．他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他还创用小写拉丁字母ａ、ｂ、ｃ表示三角形三条边，大写拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三个角，从而简化了三角公式．使三角学从研究三角形 解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科．而由于上述诸人及 19 世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论
第三篇：余弦定理说课
余弦定理
大家好！今天我说课的内容是《余弦定理》。下面，我将从教材分析、教法学法分析、教学流程等方面阐述我对本节课的理解。
一 教材分析
1、本节的地位和作用
《余弦定理》是人教版数学必修五第一章《解三角形》第一节的内容。本节知识与初中学习的三角形的边角基本关系以及三角形全等的判定有密切联系，就高中的整个知识体系而言，余弦定理是解三角形的基础，而且解三角形经常和三角函数联系在一起考查学生的运算求解能力、推理论证能力和应用意识。所以，余弦定理的知识非常重要。
因此，我将本节课的教学目标定为：
（1）知识与技能：掌握余弦定理的两种表现形式，应用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；
（2）过程与方法：通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法提高运用已有知识分析、解决问题的能力；
（3）情感态度价值观：让学生在探索的过程中形成严谨的数学思维方式，在解决问题中感受成功的喜悦，培养他们学习数学的兴趣。
另外，我将本节课的重点定为：余弦定理的证明及基本应用。
难点定为：余弦定理的探索及证明，灵活运用余弦定理解决相关的实际问题。
二、教学与学法
教法：为了充分调动学生学习的主动性和积极性，有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，本节课主要采用“提问法、发现法、分析法、启发式相结合的方法”，引导学生发现问题，探索问题，并解决问题。
学法：古人云：“供人以鱼，只解一餐；授人以渔，终身受用。”教学过程要不断给学生进行学法上的指导。本节课主要是通过余弦定理的证明，让学生学会用联系的观点看问题，体会知识间的联系，形成良好的知识结构。
三、教学流程：
（1）复习引入、导入课题；
（2）引导探究、获得性质；
（3）应用迁移、交流反思；
（4）拓展升华、发散思维；
（5）小结归纳、布置作业
第四篇：正弦定理和余弦定理的复习
第十九教时
教材：正弦定理和余弦定理的复习《教学与测试》76、77课
目的：通过复习、小结要求学生对两个定理的掌握更加牢固，应用更自如。过程：
一、复习正弦定理、余弦定理及解斜三角形 解之：x62 22(622)3bca13622 当c时cosA222
二、例一 证明在△ABC中asinA=bsinB=csinC=2R，其中R是三角形外接圆半径
证略 见P159 注意：1．这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)2.正弦定理的三种表示方法(P159)例二 在任一△ABC中求证：a(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)0
证：左边=2RsinA(sinBsinC)2RsinB(sinCsinA)2RsinC(sinAsinB)
=2R[sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB]=0=右边
例三 在△ABC中，已知a3，b2，B=45 求A、C及c
解一：由正弦定理得：sinAasinB3sin453b22 ∵B=45<90
即b 当A=60时C=7cbsinC2sinsinB7562sin452 当A=120时C=15 cbsinC2sin156sinBsin4522 解二：设c=x由余弦定理 b2a2c22accosB 将已知条件代入，整理：x26x10 22bc22622(31)22从而A=60 C=75 当c622时同理可求得：A=120 C=15 例四 试用坐标法证明余弦定理 证略见P161 例五 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程x223x20的两个根，且 2cos(A+B)=1 求 1角C的度数 2AB的长度 3△ABC的面积 解： 1cosC=cos[ (A+B)]= cos(A+B)=∴C=120 2由题设：ab23ab2 ∴AB 2=AC2 +BC 2AC•BC•osCa2b22abcos120 a2b2ab(ab)2ab(23)2210 即AB=10 3S1113△ABC=2absinC2absin12022232 例六 如图，在四边形ABCD中，已知AD CD, AD=10, AB=14，BDA=60BCD=135 求BC的长 D C 解：在△ABD中，设BD=x 则BA2BD2AD22BDADcosBDA A B ，即142x2102210xcos60 整理得：x210x960 解之：x116 x26（舍去）由余弦定理： BCBD16sin3082 ∴BCsinCDBsinBCDsin135 例七（备用）△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角 2 求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。解：1设三边ak1,bk,ck1 kN且k1 a2b2c2k4∵C为钝角 ∴cosC0解得1k4 2ac2(k1)∵kN ∴k2或3 但k2时不能构成三角形应舍去 1当k3时 a2,b3,c4,cosC,C109 42设夹C角的两边为x,y xy4 1515(x24x)44SxysinCx(4x)当x2时S最大=15 三、作业：《教学与测试》76、77课中练习 a2b2b2c2c2a20 补充：1．在△ABC中，求证： cosAcosBcosBcosCcosCcosAD A 2．如图ABBCD=75 BC CD=33 BDC=45 ACB=30 求AB的长(112) B C 努力体现语文的综合性和实践性 语文是综合性、实践性很强的一门课程。有人说：语文就像一个筐，什么都能往里装；语文又像一匹马，什么东西都能拉。这恰好说明了语文教学的庞杂。正是由于语文有如此强大的包容性，才为我们的教学提供了更多的方法与机会，这就是语文综合性的表现。要体现语文的综合性，首先，要紧密联系生活，从中挖掘出贴近学生又便于操作的语文资源，然后明确课题，精心设计活动内容。再次，通过综合性学习，可以培养学生善于积累的好习惯。 语文教学的过程，也应该是学生的语文实践过程。语文教师要努力改进课堂教学，沟通课堂和学生生活的联系，让学生不仅从书本中学语文，还要在生活中学语文，努力体现出语文的实践性特点。 首先，要关注学生的语文学习过程。关注学生对学习活动的参与程度。 其次，要重视学习方法的掌握。语文课程实施的各个环节都要重视“方法”的教育，学生掌握这些方法的途径主要是通过点拨、示范和在实践中体验，不需要讲授一套又一套有关方法的知识。 第三，要关注学生的个性差异。教师要重视个性差异，善于引导，因材施教，使全体学生都得到发展。 总之，一句话，要体现语文课程的综合性和实践性特点，教师就得想方设法让学生成为学习的主人第五篇：努力体现语文的综合性和实践性
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