3.1认识不等式教案

第一篇：3.1认识不等式教案

《3.1认识不等式》教案

教学目标

1、知识与技能：能够从现实问题中抽象出不等式，理解不等式的意义，会根据给定条件列

不等式；正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.2、过程与方法：经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感和数学

化的能力，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.3、情感、态度与价值观：感受生活中存在着大量的不等关系，初步体会不等式是研究量与

量之间关系的重要模型之一.教学重点：不等式的概念和列不等式.教学难点：利用不等式的意义和在数轴上表示不等式来解决实际问题.教学过程：

一、创设情境，引入新课

以璜山社会实践为背景设计问题：下列问题中的数量关系能用等式表示吗？若不能，应该用怎样的式子来表示:（1）如图，是从诸暨到璜山的公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过60km/h，用v(km/h)表示汽车的速度，怎样表示v与60之间的关系?（2）在应急救护一课中我们了解到当病人没有呼吸后我们要对他进行胸外心脏按压，按压频率应不少于100次/分钟，按压深度一般要求达到4～5cm（不包括4cm和5cm），怎样表示频率w与100之间的关系?按压深度h呢？

（3）晚上做作业时我们碰到这样一个题目： 要使代数式什么关系？

二、交流对话，探求新知

1、议一议：观察由上述问题得到的关系式，相对等式来说它们有什么共同的特征？

2、不等式的概念：像v≤60，w≥100，h＞4，h＜5，x ≠3 这样，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫不等式.这些用来连接的符号统称不等号.3、认一认：判断下列式子哪些是不等式？

(1)3＞ 2

(2)a2+1＞ 0

(3)3x2+2x

(4)x＜ 2x+1

(5)x=2x-5

(6)a+b≠c

x3有意义，x的值与3之间有 x

34、试一试：选择适当的不等号填空:

(1)2____3；(2)8 ____-3；(3)-a2 ____ 0；(4)a2+b2 ____ 0；(5)若x≠y,则-x____-y；

(6)实数a,b在数轴上的位置如图所示 a____b，a+b____0，∣a∣____∣b∣.5、例1 根据下列数量关系列不等式：（1）y的2倍与6的和比1小；（2）x2减去10不大于10；

（3）设a，b，c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边；（4）x与y的和不小于10.（5）a是正数;（6）y的绝对值与-8的和为负数;（7）a与b的差的平方是非负数；（8）a与b的平方差是非正数.6、巩固练习1：根据下列数量关系列不等式：（1）x比3大.（2）y与1的差小于y的45%.（3）y的绝对值不等于2.（4）正数a与1的和的算术平方根大于1.（5）a的一半不小于-7.（6）a与b的和的平方是非负数.三、继续探索，共同进步

1、自主探究：（1）x1=1，x2=2，请在数轴上表示出x1，x2的位置；（2）x＜1表示怎样的数的全体？据此理解，x≥2 表示怎样的数的全体？

2、巩固练习2：（1）说出下列各图所表示的不等式.（2）在数轴上表示下列不等式.a 0 b（1）x＜2.5（2）-1≤x＜0（3）x≥-2

四、应用新知，巩固提高

例2 在逃生演练活动中，老师规定逃生时间在1～3分钟（包括1分钟，3分钟）时为合格，小于1分钟为优秀，大于3分钟为不合格。设逃生时间为 t（分钟）.（1）用不等式表示逃生时间为合格的范围，并表示在数轴上；

（2）设甲、乙、丙、丁四位同学的时间分别是①t甲=0.5；②t乙=1.5；③t丙=2.5；④t丁=3.5.试判断这几位同学中哪些是优秀的，哪些是合格的，哪些是不合格的？用不等式和数轴给出解释.五、反思盘点，整合新知

一个概念：不等式（五种形式来表示）两种步骤：列——抓住关键词，选准不等号.表——备好数轴找准点，分清空实定方向.一个思想：数形结合思想

六、作业布置

1、课后习题；

2、作业本.七、板书设计

屏幕投影 3.1认识不等式

1、不等式概念：

不等号：

2、列不等式的方法：

先找准关键词，再选准不等号。

3、在数轴上表示不等式：

（1）找界点（2）分清空、实心点（3）确定方向

在数轴上表示不等式（板演）

例题

八、课后反思

第二篇：不等式的性质教案1

高中数学新教材

1． 掌握实数的运算性质与大小顺序间关系； 2． 掌握求差法比较两实数或代数式大小； 3． 强调数形结合思想.教学重点：比较两实数大小

教学难点：理解实数运算的符号法则

教学过程： Ⅰ.复习回顾

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如，在图6—1中，点A表示实数a，点B表示实数b,点A在点B右边，那么a＞b.我们再看图6—1，a＞b表示a减去b所得的差是一个大于0的数即正数.一般地：

若a＞b，则a－b是正数；逆命题也正确.类似地，若a＜b，则a－b是负数；若a=b，则a－b=0.它们的逆命题都正确.这就是说：

a＞ b a－b＞0 a=b a－b=0 a＜ba-b＜0 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们这节课将要学习的主要内容.Ⅱ.讲授新课

1． 比较两实数大小的方法——求差比较法

比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则.比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.接下来，我们通过具体的例题来熟悉求差比较法.2． 例题讲解

例1 比较（a+3）(a－5)与（a+2）（a-4）的大小.分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.解：(a3)(a5)(a2)(a4)

(a2a15)(a2a8)70不等式的性质（1）

第三篇：不等式教案

第一讲

不等式和绝对值不等式

教学目标

1.掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形。2.理解并能运用基本不等式进行解题。

3.理解绝对值的几何意义及绝对值三角不等式。4.会解绝对值不等式。

重点：

1.不等式的基本性质； 2.基本不等式及其应用；

3.绝对值的几何意义及其绝对值三角不等式。

难点：

1.三个正数的算术-几何平均不等式及其应用； 2.绝对值不等式的解法；

1、不等式的基本性质

• 实数的运算性质与大小顺序的关系：

• 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：

abab0abab0abab0

• 得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。例

1、比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小。

解：因为(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)

=x2+10x+21-(x2+10x+24)

=-3＜0，所以(x+3)(x+7)＜(x+4)(x+6)类比等式复习不等式的其他性质（注意符号）

等式的性质1.a=bb=a2.a=b,b=ca=c3.a=ba+c=b+c（对称性）（传递性）（可加性）a=b,c=da+c=b+d（加法法则）4.a=bac=bc（可乘性）a=b,c=dac=bd（乘法法则）nna=ba=b(n∈N,n>1)（乘方性）5.a=bna=nb（开方性）1.a>bbb,b>ca>c3.a>ba+c>b+c不等式的基本性质（对称性）（传递性）（可加性）（加法法则）a>b,c>da+c>b+d4.a>b,c>0ac>bc（可乘性）a>b,c<0acb>0,c>d>0ac>bd（乘法法则）5.a>b>0an>bn(n∈N,n>1)（乘方性）6.a>b>0na>nb（开方性）1.如果a>b，c>d，那么a+c>b+d

2.如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd 类比等式的性质复习不等式性质证明（2）因为a>b>0, c>d>0，由不等式的基本性质（3）可得ac>bc, bc>bd，再由不等式的传递性可得ac>bc>bd

ab例：已知a>b>0,c>d>0，求证>.dc

练习：

1、判断下列各命题的真假，并说明理由：（1）如果a>b，那么ac>bc；（假命题）

（2）如果a>b，那么ac2>bc2；（假命题）

（3）如果a>b，那么an>bn(n∈N+)；（假命题）（4）如果a>b, cb-d。（真命题）

2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。

解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)

=x2+3x+2-(x2+3x-18)

=20>0，所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)小结：理解并掌握不等式的八个基本性质

作业：课本P10第3题。求证：

（1）如果a>b, ab>0，那么

（2）如果a>b>0，c

选做题：设a≥b,c≥d，求证：ac+bd≥

(a+b)(c+d)

2、基本不等式

定理1

如果a, b∈R, 那么

a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时等号成立。

探究： 你能从几何的角度解释定理1吗？

分析：a2与b2的几何意义是正方形面积，ab的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。如图把实数a，b作为线段长度，以a≥b为例，在正方形ABCD中，AB=a；在正方形CEFG中，EF=b.bAHaIKDGFbBJaCbE则S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形，此时有a2+b2=2ab。定理2（基本不等式）如果a，b>0，那么ab2ab称为a,b的算术平均当且仅当a=b时，等号成立证明：因为(=a+b-2 ab≥0，ab)2所以a+b≥2ab，上式当且仅当ab，即a=b时，等号成立。C称为a，b的几何平均AODB如图在直角三角形中，CO、CD分别是斜边上的中线和高，设AD=a，DB=b，则由图形可得到基本不等式的几何解释。两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。例3求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方形的面积最大;(2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周长最短;周长L=2x+2yxSy定理：设x,y都是正数，则有

1）若xy=s（定值），则当x=y时,x+y有最小值2s.p2 2）若x+y=p（定值），则当x=y时,xy有最大值.4abc定理3 如果a,b,cR，那么abc，当且仅3当abc时，等号成立。即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

例4: 某居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米4200元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价没平方米210元,再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,每平方米造价80元.(1)设总造价为S元,AD长x为米,试建立S关于x的函数关系式;

(2)当为何值时S最小,并求出这个最小值.3、三个正数的算术-几何平均不等式



注：一正、二定、三等。

把基本不等式推广到一般情形：对于n个正数a1,a,,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均，即：a1a2ann a1a2an,n当且仅当a1a2an时，等号成立。

二、绝对值不等式

1、绝对值三角不等式实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：|a|OAax任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。|a-b|AaBbx 联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系：分ab>0和ab<0两种情形讨论：（1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|xOaba+ba+bbaOx（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|bOaxa+b如果a<0, b>0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|aOa+bbx（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得：|a+b|=|a|+|b| 定理1 如果a, b是实数，则 |a+b|≤|a|+|b| 当且仅当ab≥0时，等号成立。

探究

如果把定理1中的实数a, b分别换成向量a, b, 能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？

已知a,b是实数，试证明：ab≤ab（当且仅当ab≥0时，等号成立.）证明:10.当ab≥0时, 20.当ab<0时, ab|ab|,|ab|(ab)2a22abb2|a|22|ab||b|2|a|22|a||b||b|2(|a||b|)2ab|ab|,|ab|(ab)2a22abb2|a|22|a||b||b|2(|a||b|)2|a||b||a||b|综合10,20知定理成立.探究

你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与|a-b|等之间的关系。|a|-|b|≤|a+b|, |a|+|b|≥|a-b|, |a|-|b|≤|a-b|.如果a, b是实数，那么 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 定理2 如果a, b, c是实数，那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。证明：根据绝对值三角不等式有

|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。例1 已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求证： |2x+3y-2a-3b|<5ε.证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε.所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε.例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？

分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有

S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。练习：课本P20第1、2题.求证：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a|(2)|a+b|-|a-b|≤2|b| 2.用几种方法证明

1|x|2(x0)x小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理： |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立）|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0时等号成立）

能应用定理解决一些证明和求最值问题。作业：课本P20第3、4、5题

（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：

①换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。②分段讨论法：

axb0axb0|axb|c(c0)或

axbc(axb)c

axb0axb0 |axb|c(c0)或 axbc(axb)c|ax+b|c(c>0)型不等式比较：类型|ax+b|-c} ∩{x|ax+bcax+b<-c或ax+b>c{x|ax+b>c}, 并课堂练习：P20第6题

第四篇：专题1、不等式讲义

“登峰”辅导伴你行

专题

1、不等式性质及解不等式讲义

类型

一、不等式性质

基本知识点要求：能熟练应用不等式性质.题型

1、不等式性质考查.例1．若,满足

2

2，则2的取值范围是（不等式性质）

b，则2ab的取值范围是的范围.（不等式性质）练习1.若a,b满足2a3and1b4且aa2例2．已知1a3and2b4，求ab,ab,b

练习2.已知1a3and2b4，求ab,ab,a2b的范围.（不等式性质）

2ab4，求2a3b的取值范围.题型

2、不等式性质+待定系数法以及整体构造思想构造题.例3．已知1ab3and

练习3.已知1xy1,1xy3，求3xy的取值范围.练习4.已知函数f(x)ax2bx(a0)满足1f(1)2，2f(1)5，求f(3)的取值范围.类型

二、解不等式

基本知识点要求：（1）知道不等式、方程及函数之间的关系；

（2）知道不等式解与方程的根之间的关系；

（3）能用数轴标根法求解不等式.题型

1、解不等式基本知识考查.例4．解不等式：2xx30.练习5．解不等式：xx60.例5．解不等式：22x10.x2

x23x2x10.练习7．20.练习6．解不等式：2xx2x3

总结高次不等式求解步骤：（1）最高次系数化正；（2）分式不等式化整式；（3）因式分解；（4）数轴标根

法写出答案.题型

2、解含参不等式.例6．解关于x的不等式：(x2)(ax2)0.练习8.关于x的不等式axb0的解集为1,，求

练习9.解关于x的不等式：x(1a)axa0.总结：（自己填写）

会当凌绝顶，一览众山小——成功者的领地.江西省、南昌市、西湖区

联系电话：***徐（数学老师）23axb0的解集.x2

第五篇：不等式证明1

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难点18 不等式的证明策略

不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.●难点磁场

(★★★★)已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证：(a+1a1b254)(b+)≥.●案例探究

［例1］证明不等式112131n2n(n∈N)

*命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：

这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+1的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省.证法一：(1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；

(2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+12131k11k112131k＜2k，则12k2k(k1)1k1k(k1)1k1

2k1,∴当n=k+1时，不等式成立.综合(1)、(2)得：当n∈N*时，都有1+

12131n＜2n.另从k到k+1时的证明还有下列证法：

2(k1)12k(k1)k2k(k1)(k1)(kk1)0,22k(k1)12(k1),k10,2k1k12k1.2k1k2k1k11k1，又如:2k12k

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2k1k12k1.证法二：对任意k∈N*，都有：

1k2k12k132kk11n2(kk1)，2)2(nn1)2n.因此122(21)2(312131n证法三：设f(n)=2n(1*

)，那么对任意k∈N 都有：

f(k1)f(k)2(k11k11k1k)1k1[2(k1)2k(k1)1](k1k1k)2

0[(k1)2k(k1)k]∴f(k+1)＞f(k)因此，对任意n∈N 都有f(n)＞f(n－1)＞„＞f(1)=1＞0，∴112131n2n.xy(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.*［例2］求使xy≤a命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于★★★★★级题目.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与cosθ、sinθ来对应进行换元，即令x=cosθ，y=sinθ(0＜θ＜

2)，这样也得a≥sinθ+cosθ，但是这种换元是错误的.其原因是：(1)缩小了x、y的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，a≥f(x)，则amin=f(x)max；若 a≤f(x)，则amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得：

22x+y+2xy≤a(x+y)，即2xy≤(a－1)(x+y)，① ② ∴x，y＞0，∴x+y≥2xy，当且仅当x=y时，②中有等号成立.本资料从网上收集整理

比较①、②得a的最小值满足a－1=1，∴a2=2，a=2(因a＞0)，∴a的最小值是2.xxyy(xxyy)22解法二：设uxy2xyxy12xyxy.∵x＞0，y＞0，∴x+y≥22xy2xyxy(当x=y时“=”成立)，∴xy≤1，xy的最大值是1.从而可知，u的最大值为112，又由已知，得a≥u，∴a的最小值为2.解法三：∵y＞0，∴原不等式可化为

xy+1≤a

xy1，设xy=tanθ，θ∈(0，2).∴tanθ+1≤atan21；即tanθ+1≤asecθ ∴a≥sinθ+cosθ=2sin(θ+又∵sin(θ+44)，4).③)的最大值为1(此时θ=由③式可知a的最小值为2.●锦囊妙计

1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各

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种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.●歼灭难点训练

一、填空题

1.(★★★★★)已知x、y是正变数，a、b是正常数，且

axby=1，x+y的最小值为__________.2.(★★★★)设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，则ad与bc的大小关系是__________.3.(★★★★)若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，则m、n、p、q的大小顺序是__________.二、解答题

4.(★★★★★)已知a，b，c为正实数，a+b+c=1.求证：(1)a2+b2+c2≥

(2)3a23b23c2≤6 5.(★★★★★)已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=6.(★★★★★)证明下列不等式：(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R，则(2)若x，y，z∈R，且x+y+z=xyz，则yzxzxyxyz+

+

12，证明：x，y，z∈［0，23］

bcax2caby2abcz≥2(xy+yz+zx)

2≥2（1x1y1z)7.(★★★★★)已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.(1)证明：niAim＜miAin；

(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m

338.(★★★★★)若a＞0，b＞0，a+b=2，求证：a+b≤2，ab≤1.参考答案

难点磁场

证法一：(分析综合法）

欲证原式，即证4(ab)+4(a+b)－25ab+4≥0，即证4(ab)－33(ab)+8≥0，即证ab≤ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立 ∵1=a+b≥2ab，∴ab≤证法二：(均值代换法)设a=121

4222

14或，从而得证.+t1，b=12+t2.12∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜

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(a(121a)(b21b)(1a1a22b1b(14t1t11)((222t1)112t122t2)11214t21412t2t21)t2)2212t1)(22(14t1t11)(14t2t21)2(54t2)t214t22

t2425161432t2t222252516.144t2显然当且仅当t=0，即a=b=证法三：(比较法）

12时，等号成立.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤1125222214

a1b1254ab33ab8(14ab)(8ab)(a)(b)0ab4ab44ab4ab 1125(a)(b)ab4证法四：(综合法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤

14.2(1ab)125 ab4252(1ab)11391621ab1(1ab)4416 14ab即(a1a)(b1b)254

证法五：(三角代换法）

∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，2)

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(a1a4)(b1b)(sin4221sin22)(cos21cos222)2sincos2sincos24sin2222(4sin)164sin2sin21,4sin2413.42sin2162522(4sin2)2511244sin224sin2即得(a1a)(b1b)254.22 歼灭难点训练

一、1.解析：令ax=cos2θ，by=sin2θ，则x=asec2θ，y=bcsc2θ，∴x+y=asec2θ+bcsc2θ=a+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+2atan2bcot2ab2ab.答案：a+b+2ab

2.解析：由0≤|a－d|＜|b－c|(a－d)2＜(b－c)2(a+b)2－4ad＜(b+c)2－4bc ∵a+d=b+c，∴－4ad＜－4bc，故ad＞bc.答案：ad＞bc

3.解析：把p、q看成变量，则m＜p＜n，m＜q＜n.答案：m＜p＜q＜n

二、4.(1)证法一：a2+b2+c2－===13131313=

13(3a2+3b2+3c2－1)［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］

［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］ ［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0 ∴a2+b2+c2≥

222

证法二：∵(a+b+c)=a+b+c+2ab+2ac+2bc≤a+b+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2 ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1 ∴a2+b2+c2≥abc32222

abc3证法三：∵∴a2+b2+c2≥

abc3∴a2+b2+c2≥

13证法四：设a=+α，b=

13+β，c=

13+γ.∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0 ∴a+b+c=（22213+α)+（2

13+β)+（2

13+γ)

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==1313+23(α+β+γ)+α+β+γ

13222 +α2+β2+γ2≥13

∴a2+b2+c2≥(2)证法一:同理

3a23b32(3a2)13c323(abc)9263a212,3b2,3c23c2

3a23b2∴原不等式成立.证法二：3a23b233c2(3a2)(3b2)(3c2)3

3(abc)633

∴3a23b23c2≤33＜6 ∴原不等式成立.5.证法一：由x+y+z=1，x2+y2+z2=次方程得：

2y2－2(1－x)y+2x2－2x+

1212，得x2+y2+(1－x－y)2=

12，整理成关于y的一元二

=0，∵y∈R，故Δ≥0

12∴4(1－x)2－4×2(2x2－2x+同理可得y，z∈［0，证法二：设x=于是==1313121323)≥0，得0≤x≤

23，∴x∈［0，23］

］

132+x′，y=2

+y′，z=

13132

+z′，则x′+y′+z′=0，=(13+x′)+（13+y′)+（23+z′)

+x′2+y′2+z′2+222

(x′+y′+z′)

13+x′+y′+z′≥2

+x′+

132

(yz)22=

13+

2332x′2

23故x′≤19，x′∈［－，13］，x∈［0，］，同理y，z∈［0，］

12证法三：设x、y、z三数中若有负数，不妨设x＜0，则x2＞0，=x2+y2+z2≥

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x+2(yz)22(1x)22x232xx212＞

12，矛盾.23x、y、z三数中若有最大者大于x+

2，不妨设x＞

23，则

12=x2+y2+z2≥(yz)22=x+232(1x)22=1223232x2－x+

=32x(x－)+12＞；矛盾.］

cabcby22故x、y、z∈［0，6.(1)证明:((baxbaaxx22bc22xabc2z2(xyyzzx)accaz222aby2xy)(aby)(y2ybc2bcz2yz)(2cax2zx)2cbyz)(aczx)0bccababcz2(xyyzzx)(2)证明:所证不等式等介于xyz(222yzxzxyxyz)2(xyyzzx)2

2xyz[yz(yz)zx(zx)xy(xy)]2(xyyzzx)(xyz)(yzyz22222222zxzx222xyxy)22222(xyyzzx)4(xyzxyzxyz)yzyzzxzxxyxy223333332xyz2xyz2xyz2222222222yz(yz)zx(zx)xy(xy)x(yz)y(zx)z(xy)0∵上式显然成立，∴原不等式得证.7.证明：(1)对于1＜i≤m，且Aim =m·„·(m－i+1)，AmmiiAmmm1mi1nn1ni1,同理，immmnnnnnknmkmi由于m＜n，对于整数k=1，2，„，i－1，有Annii，所以Ammii,即mAnnAm

iiii(2)由二项式定理有：

2n2n(1+m)n=1+C1nm+Cnm+„+Cnm，2mm(1+n)m=1+C1mn+C2mn+„+Cmn，本资料从网上收集整理

ii由(1)知miAi＞niAi(1＜i≤miAmnm，而Cm=

i!,CinAni!

∴miCin＞niCim(1＜m＜n)

∴m0C0n=n0C0n=1，mC1n=nC1m=m·n，m2C2n＞n2C2m，„，mmCmn＞nmCmm，mm+1Cm1n＞0，„，mnCnn＞0，∴1+C1nm+C2nm2+„+Cnnmn＞1+C1mn+C2mn2+„+Cmmnm，即(1+m)n＞(1+n)m成立.8.证法一：因a＞0，b＞0，a

3+b3

=2，所以(a+b)3－23=a3+b3+3a

2b+3ab2

－8=3a2

b+3ab2

－6 =3［ab(a+b)－2］=3［ab(a+b)－(a3

+b3)］=－3(a+b)(a－b)2

≤0.即(a+b)3≤23，又a+b＞0，所以a+b≤2，因为2ab≤a+b≤2，所以ab≤1.证法二：设a、b为方程x2－mx+n=0的两根，则abm，nab因为a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0，且Δ=m

2－4n≥0

因为2=a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］=m(m2－3n)2所以n=m323m

将②代入①得m2－4(m2323m)≥0，3即m83m≥0，所以－m3+8≥0，即m≤2，所以a+b≤2，由2≥m 得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1，所以ab≤1.证法三：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以

2=a3+b3=(a+b)(a2+b2

－ab)≥(a+b)(2ab－ab)=ab(a+b)于是有6≥3ab(a+b)，从而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b≤2，(下略）33证法四：因为ab2(ab32)

224aba2b2(ab)[4a4b2ab])(ab)283(ab8≥0，所以对任意非负实数a、b，有

a3b32≥(ab32)3

b3

33因为a＞0，b＞0，a+=2，所以1=abab32≥(2)，∴ab2≤1，即a+b≤2，(以下略）

证法五：假设a+b＞2，则

①②

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a+b=(a+b)(a－ab+b)=(a+b)［(a+b)－3ab］＞(a+b)ab＞2ab，所以ab＜1，又a+b=(a+b)［a－ab+b］=(a+b)［(a+b)－3ab］＞2(2－3ab)因为a3+b3=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1，前后矛盾，故a+b≤2(以下略)332

233222