高观点下的两角和与差的正余弦公式教学设计5篇

第一篇：高观点下的两角和与差的正余弦公式教学设计

高观点下的两角和与差的正、余弦公式教学设计

438600 湖北省罗田县第一中学 陈清华

1.设计背景

三角函数和三角恒等变换是高中数学课程的传统内容,三角函数是刻画周期现象的一种非常重要的初等函数模型，其中三角恒等变换在发展学生的推理能力和运算能力方面具有重要的教育价值.向量是近代数学中的基本概念之一，它既是代数的对象，又是几何的对象，它是沟通

[1]代数、几何与三角函数的一种工具.人教A版必修4教材在编排上，在三角函数和三角恒等变换两章之间刻意安排了平面向量的内容，充分体现了将近代数学中的的一个重要的模型——向量，作为一种工具在三角恒等变换中加以应用，这很符合《高中数学课程课标》（以下简称标准）的数学模型化理念，体现了数学模型观，着力于渗透数学建模的思想.数学是一种文化，数学的发展过程是一部人类探索数学的光辉历史。《标准》中提倡：在教学过程中融入丰富的数学史知识，寻求数学进步的历史轨迹，领会数学的美学价值，提高学生的文化素养.三角学的历史源远流长，起源于天文观测和历法推算，三角函数源于几何问题，它是几何问题代数化的典例。在教学过程中，如果融入三角学的历史知识，通过查阅文献资料，引领学生了解三角函数的发生发展历程，并融入现代化的向量工具，引导学生进行探究性学习，使学生在探究活动中不仅知其“源”，而且知其所原。

2.教学流程  三维目标 知识与技能

 初步了解三角学的历史渊源，感知三角函数的发展历程，体会数学文化的内涵. 从几何直观上初步理解两角差的余弦公式,并初步体会向量数量积在推导两角超的余弦公式中的工具性作用.过程与方法

 查阅数学史资料，认识帕普斯“弦图”并探索其中蕴含的数学奥秘. 观察“弦图”发现并构建“单位圆”，尝试在“单位圆”上探究两角差的余弦之间的关系. 借助几何直观化“单位圆”和向量的工具，尝试类比推导两角和与差的三角函数公式.情感、态度与价值观

1.感受数学文化，初步体会数学史的丰富内涵，体会向量将几何直观转化为代数运算的工具作用.2.通过变式探究活动，经历类比推理过程，体会从一般到特殊的数学思想在数学中的应用. 教学重难点

 重点：探究两角差的余弦之间的关系，并利用单位圆和向量推导两角差的余弦公式. 难点：类比推导两角和与差的三角函数公式  教学流程 3.教学过程

3.1回溯三角学的历史，追本溯源认识三角变换

角学起源于航海、历法推理、和天文测量研究，最初主要是研究球面三角，由于间接测量、测绘工作的需要出现了平面三角学理论。设计1：认识“弦图”：从平面几何中发现两角差的正、余弦关系

公元3世纪末，亚历山大的数学家帕普斯（Pappus）在其《数学汇编》第5卷第4部分中给出这样一个命题：如图1，设.和[2]

是以为

为直径的半圆上的一点，的垂线，为垂足.则

是半圆在点处的切线，图1 图2 证明：由于命题等价于又只需证：是梯形的中位线，所以,即

.显然有，试用,所以,试用线段（比）分别表示

.中，中，中，与

知，且

知，故

； ，;

;的关系.;表示

.得证....,又因为,所以原问题1：如图1所示，设解析：由知:问题2：如图2所示,不妨设以及解析：在在在，问题3：结合问题2的结论，试探究解析：由又在又由中，且

且所以问题4：结合问题3类似地，试探究解析：如图2可知，又因为又在中，且

且

与

知，故

的关系

所以

古埃及天文学家克罗狄斯·托勒密利用两角和差的三角关系绘制了现存最早的三角函数弦表，在天文学和测量计算中有很重要的应用.制作弦表的原理如以下“弦图”所示：

设计意图：根据苏和姆林斯基的“最近发展区”理论，寻找符合学生认知的切入点，以一个古老的平面几何命题为依托，引导学生从简洁的几何图形中发现其所蕴含的三角知识，给学生一个意外的“惊喜”，激发学生继续深入探究的兴趣。其实命题的本身并不难用三角形相似得以证明，学生很容易用初中所学的三角形相似得出结论，然而这个命题中所蕴含的三角函数线的内涵却需要我们细细品味.评注：从学生所熟悉的平面几何证明过程中重温旧知，从已认知的图式中发现新的图式，打破了学生原有的认知平衡，如一石激起千层浪般激发学生的思维，通过层层设问进行合理建构，引导学生领略新的知识的发生和发展过程，体验从平面几何图形中发现三角变换的奥秘，平中见奇.设计2：发现并构建“单位圆”：由三角形的内角通往任意角的桥梁

问题5：我们发现上述的弦图只能表示范围内的两角差的三角函数关系，结合任意角以及任意角的三角函数的定义，教材上是用旋转的方式产生任意角的终边，并利用单位圆定义任意角的三角函数的，如何将三角形内角向任意角推广，我们自然就会想到能否合理构建单位圆，运用单位圆周上点的任意旋转得到任意角，在上述探究过程中其实我们已经构建出了单位圆，你能发现它吗？ 解析：引导学生发现“弦图”蕴含的“单位圆”，为了方便运算，同时引导学生运用“坐标化”的思想，建立适当的坐标系如图3所示,为任意角的两角和与差的三角公式的推导架设桥梁，铺平道路.图3 图4 设计意图：根据现代心理学理论，认知冲突中学习过程中起着很重要的作用，教师在教学过程中应该结合学生的实际巧妙地设置认知冲突，激发学生的思维，让学生萌生探明究竟的冲动和渴望，形成学习的内驱力，促进创造性思维的发展.评注：在人教A版必修4第3.1.1节的教材中提到：“由于这里涉及的三角函数的问题，是的余弦问题，所以可以考虑联系单位圆上的三角函数线或向量的知识.” 并且给出了如图4所示的图形对锐角的两角差的余弦公式进行了简单推导.推导的过程和设计1的推导过程类似，然而图4的直接给出却显得有些突兀，有些学生对于为什么构建这样的图形感觉无法理解，教材没有给学生的认知搭建帮助理解的“脚手架”，那么作为课堂的主导者的教师就应该为学生的认知搭建符合学生认知最近反展区的“脚手架”.在教学过程中，如果教师能够结合数学史的知识，追寻三角知识的发展历程，站在三角知识的产生的源头的高度上对教材进行适当的处理，构建符合学生认知图式和适应学生心理的数学情境，适度地重现知识的发生和发展的过程，让学生在探究活动中发现数学，体验殊途同归的奥妙，让数学的学习真正做到返璞归真,更加自然，往往会起到触动心弦的效果。

3.2 融入近代数学元素——向量，助推任意两角差的余弦公式

设计3：引进向量工具：让三角变换在代数运算中精彩演绎 问题6：任意角的三角函数是在单位圆上定义，对于任意的两个角上表示？

分为两种情况:

和

来考虑，如图5和6.，如何在单位圆解析：对于任意的两个角

图5

图6 问题7：如图5所示，在单位圆中？

解析：由，以及根据向量的数量积

知：，如何运用向量方法表示，即

设计意图：向量是近代数学中重要的数学概念之一，是沟通代数和几何的一种工具，体现数形结合的思想.问题6是为了渗透了分类讨论和数形结合的数学思想方法，引导学生合理构建任意两角的差，问题7结合向量的数量积运算和坐标化的思想，实现三角变换在代数运算中的精彩演绎,体现向量的工具性和模型化.例1 利用差角余弦公式求的值

解析：由变式1 试求的值.或易得：

例2 已知是第三象限角，求的值

设计意图：根据桑代克的练习律理论，对新知进行强化和迁移应用，可以增进学生对新知的认知和理解，巩固新形成的图式,体验只要知道的值就可以求的值的过程.设计4：对称与变换：类比推导问题8：对于任意的两个角？

解析：如图7所示，作地可以得出：的终边关于轴对称可得的终边，类似

公式，如何在单位圆上表示

？试用向量方法表示

图7，设计意图：通过对称变换在单位圆上构造，并引导学生运用向量方法推导出进一步地巩固向量推导两角差的余弦公式的过程.问题9：结合三角函数的诱导公式，能否用推导出？

解析：由

知：

用替换易得：

评注：运用以前所学的三角函数的诱导公式，引导学生进行正弦和余弦之间的互换，体验换元的思想方法在三角变换中的重要作用.4.小结反思

角差的余弦公式是所有三角变换的基础，有的教材上是用向量来处理的，这与传统教材的处理法大不一样，究竟哪种编排法更好，更符合学生的认知？向量法的实质是说这两个公式事实上是描述圆上的任意角的旋转变换。这样更加形式化了。新数学运动有过失败的经验，现代的、形式化的东西在数学科学的确很先进，但并不一定是适合学生的。作为教育，一方面要让学生领会数学思想的原初发生发展过程，另一方面又要引导学生能从各个方面欣赏已经得到的数学结果，提高认识能力。两角差的正弦、余弦公式既反映了三角的重要发展，又反映了三角变换的深刻本质，但是否要用本质的、深刻的东西取代最初本原的思想，对教师的教学观念，评鉴课程的能力提出了高的要求。

考文献

[1] 全日制普通高中数学新课程标准(实验).(2004).[2] 张小明,汪小勤.两角和差的三角公式推导——数学史融入数学教学的实例研究.数学教学，2007.02

第二篇：两角和差正余弦公式的证明

两角和差正余弦公式的证明

北京四中数学组 皇甫力超

论文摘要：

本文对两角和差的正余弦公式的推导进行了探讨。在单位圆的框架下 , 我们得到了和角余弦公式(方法 1)与差角余弦公式(方法 2)。在三角形的框架下 , 我们得到了和角正弦公式(方法 3 ~11)与差角正弦公式(方法 12,13)。

关键词：

两角和差的正余弦公式 正文：

两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。

由角 , 的三角函数值表示 的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公式的功能。换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一个等式或方程 , 将 或

与 , 的三角函数联系起来。的三角函数。因此 , 由和角公式容根据诱导公式 , 由角 的三角函数可以得到

易得到对应的差角公式 , 也可以由差角公式得到对应的和角公式。又因为 , 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 据此 , 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此 , 只要解决这组公式中的一个 , 其余的公式将很容易得到。

(一)在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示 ，和 , 而且角的终边与单位圆的交点坐标可

与 , 的三以用三角函数值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系 角函数值的等式。

1.和角余弦公式

(方法 1)如图所示, 在直角坐标系 角 的始边为 于点 C；角 , 交 始边为 ,由两点间距离公式得

；

于点 A, 终边交 , 终边交

中作单位圆 , 并作角 , 和 , 使

于点 B；角 始边为 , 终边交 ，于点。从而点 A, B, C和 D的坐标分别为,。

注意到 , 因此。

注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架 , 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的 和 为任意角。

2.差角余弦公式

仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是

(方法2)如图所示, 在坐标系 的始边均为 , 交

于点 C, 角 ,中作单位圆 终边交

。, 并作角 和 , 使角 和

于点 A,角 终边交 于点。从而点 A, B的坐标为由两点间距离公式得。

由余弦定理得。

从而有。

注记：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依赖于 要补充讨论角 和 的终边共线, 以及 情形中依然成立。

在上边的证明中 , 用余弦定理计算

是三角形的内角。因此, 还需

大于 的情形。容易验证 , 公式在以上的过程也可以用勾股定理来进行。

(二)在三角形的框架下推导和差角正弦公式

除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式 , 还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。

1.和角正弦公式(一)

(方法3)如图所示, , ，为 的

边上的高 ，为

边上的高。设 , 则。从而有 , , 。

因此 。

注意到 从而有 , , 整理可得。

注记：在方法 3 中 , 用 边上高

和与底角 , 相关的三角函数, 从两个角度来表示 , 从而得到所希望的等式关系。这一证明所用的图形是基于钝角三角形的 , 对基于直角或锐角三角形的情形 , 证明过程类似。

利用方法 3 中的图形 , 我们用类似于恒等变形的方式 , 可以得到下面的

(方法 4)如图所示, , , 则

为 的。

边上的高 ，为

边上的高。设

注意到 , 则有,即。从而有。

利用正弦定理和射影定理 , 将得到下面这个非常简洁的证法。注意证明利用的图形框架与方法 3,4 所用的图形框架是相同的。

(方法 5)如图所示 , 则有

为 的

边上的高。设 , , ,。由正弦定理可得 , 其中 d为 的外接圆直径。

由 得 , 从而有。

2.和角正弦公式(二)方法 3,4 和 5 利用的图形框架是将角 , 放在三角形的两个底角上。如果将这两个角的和作为三角形的一个内角 , 将会有下面的几种证法(方法 6~11)。

(方法 6)如图所示 , 作 , , 则

于D, 交 , ,外接圆于 E, 连。

和

。设设 的外接,圆直径,为 d, 则有。

所以有。

注意到 , 从而。

(方法 7)如图所示 , , , 则

为 的

边上的高 , , 则

为

边上的高。设

。设 , , ,。, 又

从而。整理可得。

(方法 8)如图所示 , 作 设 。

于D, 过 D作 , 则 ,于 F, ,设

于G。, 从而 ,所以。

注意到 , 则有。

注记：我们用两种不同的方法计算 法来计算 , 得到了和角的正弦公式。如果我们用两种方, 则可以得到和角的余弦公式。由上图可得 , , 从而有而可得。

。注意到 , 从方法 6,7 和 8 都是用角 , 的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段 , 从而构造出我们所希望的等式关系。

(方法 9)如图所示 , 设 ,，为 的

边上的高。设 , , 从而有

方法 9 利用面积关系构造三角恒等式。下面这两个证法的思路则有所不同。

(方法 10)如图所示 , 设 , 则

为 , 从而 的外接圆直径d, 长度为d。设 ，注记：这一证明用到了托勒密定理：若 和。

是圆内接四边形的对角线 , 则有

(方法 11)如图所示 , 则。设

为 , 则 的

边上的高。设 , ，方法 10 和 11 将某一线段作为基本量 , 利用与角 ，相关的三角函数表示其它线段 , 再通过联系这些线段的几何定理(托勒密定理或正弦定理), 构造出我们希望的等式关系。

3.差角正弦公式

仍然还是在三角形中 , 我们可以在三角形的内角里构造出差角来。方法 12 和 13 便是用这种想法来证明的。

(方法 12)如图所示 ,于 E, 则 。设 , , 从而有 , 记 , 作

(方法 13)如图所示 , , 则 ，为 的外接圆直径 , 长度为 d。设。从而 ，方法 12 和 13 的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段 , 借此来构造等式关系。

很显然 , 在这十二种证法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。换言之 , 这两种方法中出现的角 , 是任意角。而其余方法中 , 角 和 则有一定的限制 , 它们都是三角形的内角(甚至都是锐角)。因此 , 对于方法 3~13, 我们需要将我们的结果推广到角 和

是任意角的情形。具体而言 , 我们要证明：如果公式对任意 任意角也成立。

容易验证 , 角 和

成立 , 则对

中至少有一个是轴上角(即终边在坐标轴上的角), 我们的公式是成立的。下面证明 , 角 和 都是象限角(即终边在坐标系的某一象限中的角)时 , 我们的公式也成立。不妨设 为第二象限角 , 为第三象限角 , 从而有

从而

同理可证, 公式对于象限角 3~13 推导的公式推广到角

和 的其它组合方式都成立。因此 , 我们可以将方法 , 是任意角的情形。

两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。其推导证明对指导学生进行探究性学习很有帮助。从上文中可以看到 , 这一探究过程可分为四个步骤：

(1)明确推导证明的目标：构造联系 和 等式或方程 ；

(2)简化课题：四个公式只要解决一个 , 其余的都可由它推出 ；(3)解决问题：利用单位圆或三角形作为联系

和

三角函数与

或

三角函数与

或 的的工具 , 寻找我们希望的等式关系 ；

(4)完善解决问题的方法：考察方法是否有普遍性。如果普遍性有欠缺 , 可考虑将其化归为已解决的情形 , 必要时还要进行分类讨论。

参考文献：

1.谷丹：全面数学教育观与知识形成过程的教学——三个教学个案及分析 , 《开放的视野 , 务实的努力》, 中央民族大学出版社 ,2006 年 3 月第 27 ~32 页。

2.人民教育出版社中学数学室：全日制普通高级中学教科书 << 数学(第一册下)>>(必修), 人民教育出版社 ,2003 年 12 月第 34 ~ 35 页。

第三篇：两角差的余弦公式教学反思

两角差的余弦公式教学反思

两角差的余弦公式是任意角三角函数知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知识基础。

之前我在新旧教材中都讲过这个内容，经过这次培训，我又对这一内容进行了设计，重新备课。就之前与之后的教学，我进行了反思。

一、反思教学理念：新课程理念的灵魂是三个教学目标的整合，关注学生的发展。知识可以通过传授获得，技能可以通过训练掌握。态度和情感价值观需要学生参与获得。这样，课堂教学中，要重视学生的参与、体验过程。但老师的指导作用也不可忽视，没有老师的引导，学生的行动、思维就很难达到一个较高的程度。教师通过创设激发学生学习欲望的数学情境，营造积极的活跃的学习氛围，才能使学生参与我们的教学中来。

二、反思教学过程：

（一）创设问题情境：之前旧教材的教学，我们只关注公式的应用，而轻视公式的由来，这样符合公式的发生发展过程。这次的教学设计我从如何解决一个实际问题出发，调动学生的思维与学习积极性，抓住学生的兴趣。

（二）两角差的余弦公式的探究过程：之前旧教材的教学是用两点间的距离公式来推导两角和的余弦，再赋值得到两角差的余弦公式，这一过程中对学生的思维训练不是很多。而新教材采用了一种学生易于接受的推导方法，即先用数形结合的思想，借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时公式成立。对于α，β为任意角时的情况，教材运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。我采用了新教材的思路。

(三)两角差的余弦公式的简单应用。除了课本上的例题、习题，我补充了课堂练习、及课后作业，针对性较强。

第四篇：1.1.1 两角和与差的余弦公式教案(高教版拓展模块)范文

1.1.1 两角和与差的余弦公式

一、教学目标

1．熟悉用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用． 2．了解差角公式产生的背景．

3．熟记两角和与差的余弦公式，并能灵活运用．

二、教学重、难点

1.教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；

2.教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题等.三、教学设想：

（一）导入：问题：

我们在初中时就知道cos3031,cos60，由此我们能否得到22cos30cos6030cos60cos30,大家猜想，是不是等于cos60cos30呢？

根据我们在前面所学的知识可知：我们的猜想是错误的！

那么，知道角与的三角函数值，如何计算cos的值呢？ 下面我们应用向量，来研究这个问题。

（二）探讨过程：



1、在单位圆中，设向量OA、OB与x轴正半轴的夹角分别为,，则点Acos,sin，点Bcos,si,n因此向量OA=cos,sin，向量OB=cos,sin，且OA1,OB1，于是

思考：

（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？

OAOBOAOBcoscos

OAOBcoscossinsin

coscoscossinsin

2、利用诱导公式求cos

coscoscoscossinsin

coscossinsin

两角差的余弦公式：coscoscossinsin 两角和的余弦公式：coscoscossinsin

公式反映了和的余弦函数值与,的三角函数值之间的关系。

（三）例题讲解

例

1、利用和、差角余弦公式求cos75和cos15的值.解：分析：把75,15构造成两个特殊角的和、差.cos75cos4530cos45cos30sin45sin30cos15cos4530cos45cos30sin45sin3023216222224 23216222224

点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos15cos6045，要学会灵活运用.34 ,cos，并且和都是锐角，求cos(),cos()的值。5534解：因为cos,cos，并且和都是锐角，所以

5543sin1cos2，sin1cos2

553443所以 coscoscossinsin0

5555344324 coscoscossinsin

555525例

2、已知cos点评：注意角和的象限，也就是三角函数值的符号问题.（四）练习：

1.不查表计算下列各式的值：

（1）cos80cos20sin80sin20 13（2）cos15sin1522

2．教材P3面练习1.1.1 1、2、3题

（五）小结：

两角和与差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此

衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角和的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（1）牢记公式

（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系．

（六）作业：

1、化简：

（1）cos24cos69sin240sin69

)cossin()sin（2）cos（2、已知sin的值.45求cos(),cos(),,，是第三象限角，cos，5213

第五篇：高一《两角和与差的三角函数》教学设计

高一《两角和与差的三角函数》教学设计

高一《两角和与差的三角函数》教学设计

【教材分析】

本节是北师大版高中必修四第三章2.1和2.2两角和与差的正弦、余弦函数（书第116页-118页内容），本节是在学生已经学习了任意角的三角函数和平面向量知识的基础上进一步研究两角和与差的三角函数与单角的三角函数关系，它既是三角函数和平面向量知识的延伸，又是后继内容两角和与差的正切公式、二倍角公式、半角公式的知识基础，起着承上启下的作用，对于三角函数式的化简、求值和三角恒等式的证明等有着重要的支撑。本课时主要讲授运用平面向量的数量积推导两角差的余弦公式以及两角和与差的正、余弦公式的运用。

【学情分析】

学生在本节之前已经学习了三角函数和平面向量这两章知识内容，这为本节课的学习作了很多的知识铺垫，学生也有了一定的数学推理能力和运算能力。本节教学内容需要学生已经具有单位圆中的任意角的三角概念和平面向量的数量积的表示等方面的知识储备，这将有利于进一步促进学生思维能力的发展和数学思想的形成。

【课程资源】

高中数学北师大版必修四教材；多媒体投影仪

【教学目标】

1、掌握用向量方法推导两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础；

2、让学生经历两角差的余弦公式的探索、发现过程,培养学生 的动手实践、探索、研究能力.3、激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.【教学重点和难点】 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用

教学难点：向量法推导两角差的余弦公式及公式的灵活运用

（设计依据：平面内两向量的数量积的两种形式的应用是本节课 “两角和与差的余弦公式推导”的主要依据，在后继知识中也有广泛的应用，所以是本节的一个重点。又由于“两角和与差的余弦公式的推导和应用”对后几节内容能否掌握具有决定意义，在三角变换、三角恒等式的证明、三角函数式的化简求值等方面有着广泛的应用，因此也是本节的一个重点。由于其推导方法的特殊性和推导过程的复杂性，所以也是一个难点。）

【教学方法】

情景教学法；问题教学法；直观教学法；启发发现法。

【学法指导】、1、注意任意角的终边与单位圆交点坐标、平面向量的坐标的表示以及平面向量的数量积的两种表示形式的复习为两角差的余弦的推导做必要的准备，并让学生体会感悟向量在解决数学问题中的工具作用(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。)；

2、突出诱导公式在三角函数名称变换中的作用以及变角思想让学生进一步体会数学的化归思想。

3、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察掌握公式的特点。

【教学过程】

教学流程为：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。

（一）创设情境，揭示课题

问题1： 同学们都知道，试问是否与相等？大家可以猜想是不是等于呢？下面我们就一起探讨两角差的余弦公式

【设计意图】通过问题情境，自然流畅地提出问题，揭示课题，引发学生思考。使学生目标明确、迅速进入新知学习。

（二）问题探究，新知构建

问题2：你能用与的三角函数值表示出这两个角的终边与单位圆的交点A和B的坐标吗？怎样表示？ 【师生活动】画单位圆在直角坐标系中画出单位圆并作出与角的终边与单位圆的交点，引导学生利用三角函数值表示出交点坐标。

【设计意图】通过复习使学生熟悉基础知识、特别是用角的正、余弦表示特殊点的坐标，为新课的推进做准备。

问题3：如何计算向量的数量积？

【师生活动】引导学生观察是的夹角，引发学生对向量的思考，并及时启发学生复习向量的数量积的的两种表示。

【设计意图】平复习面内两向量的数量积的几何法与代数法两种表示，从而使“两角差的余弦公式”的推证水到渠成。

问题4：计算cos15°和cos75°的值。

分析：本题关键是将分成45°与30°的和或者分解成45°与15°的差，再利用两角差的余弦公式即可求解。(学生板演)

【师生活动】引导学生初步应用公式

【设计意图】让学生熟练两角和与差的余弦公式，体会学生公式的实际应用价值，即：将非特殊角转化为特殊角的和与差。并引发学生对两角和的余弦公式的推证兴趣。

问题7：同学们都知道诱导公式cos（-β）=cosβ，sin（-β）=-sinβ，那么你会推导出

cos（α+β）=？

【师生活动】学生在老师的引导下自主推证两角和的余弦公式。

【设计意图】让学生在学习中体会感受化归思想和类比思想在新知识发现中的作用。

问题8：同学们已学过sinα=cos(-α)，那么你会运用这个

公式推证出sin（α-β）和sin（α+β）吗？

【师生活动】教师引导学生推导公式。

【设计意图】新知构建并体会转化思想的应用。

问题9：勾画书中两角和与差的三角函数公式并观察它们有什么特点？

两角和与差的余弦：

同名之积相加减，运算符号左右反

cos（α+β）= cosα cosβ-sinα sinβ

cos（α-β）= cosα cosβ+ sinα sinβ

两角和与差的正弦：

异名之积相加减，运算符号两相同

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

【师生活动】学生总结公式特点，学习小组交流，教师总结公式结构特征。

【设计意图】让学生熟悉并掌握公式特征，如：教的顺序、函数的顺序、符号的规律。

（三）知识应用，熟悉公式

例

2、（1）求sin（-25π＼１２）的值；

（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．

【设计意图】进一步熟悉诱导公式、两角和与差的三角函数公式的特点及正逆应用。

例

3、已知求sin（α+β），cos（α-β）的值。

思维点拨：观察公式本题已知条件应先计算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函数的平方关系，并注意α，β的取值范围来求解．

【设计意图】训练学生思维的有序性，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等。还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的准确性、简洁性等。在教学过程中，对例3适当延伸，目的要求学生正确使用分类讨论的思想方法，在表述上也对学生有了更高的要求。

（四）自主探究，深化理解，拓展思维

变式训练1：如何计算？

【反思】本节学习的两角和与差的三角函数公式对任意角也成立吗？

变式训练2: 例3中如果去掉条件，对结果和求解过程会有什么影响？

变式训练3：下列等式成立吗？

cos（α+β）=cosα+cosβ

cos（α-β）=cosα-cosβ

sin（α+β）=sinα+sinβ

sin（α-β）=sinα-sinβ

【设计意图】通过变式训练与讨论进一步培养学生自主探究、合作学习交流的能力，以熟悉公式的变形运用并掌握两角和与差的正余弦公式的特征及应用。

（五）小结反思，评价反馈

1、本节学习的内容有哪些？

2、两角和与差的三角函数公式有什么特点？运用两角和与差的三角函数公式可以解决哪些问题？

3、你通过本节学习有哪些收获？

【设计意图】进一步熟悉公式，加深学生对公式的理解和认识，培养学生的归纳总结能力和交流表达能力，让学生获得成功体验。

（六）作业布置，练习巩固

书面：课本第121页A组1中间两题；2（2）（3）（4）B组2（2）

课后研究：课本第118页练习5;

【设计意图】巩固和理解知识，掌握两角和与差的三角函数公式。并引发学生对新知学习与探求的欲望和兴趣。

【板书设计】

两角和与差的正、余弦函数

公式

推导 例1

例2 例3

【教后反思】

本节教学设计首先通过问题情景阐述了两角差的余弦公式的产生背景，然后通过组织学生分析，讨论，并借助于单位圆中以原点为起点的两向量的数量积的两种表示，对α大于β使，cos(α－β)给出证明，进而用向量知识探究任意角的情形。这些均体现了数学中从特殊到一般的思想方法，符合新课改的基本理念。同时，例题1、2、3由浅入深，让学生在问题中探究，在探究中建构新知。使学生在已有基础上，充分利用归纳、类比等方法激发学生进一步探究的欲望，建立Cα±β模型，有利于学生数学思维水平的提高，同时及时巩固，应用，拓展延伸，加强了学生对新知的掌握和灵活运用。给学生思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性，从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。但课后发现小结仓促，如果能再引导学生自我小结、反思。可能会更好．

【关于教学设计的思考】

1、本节课授课内容为《普通高中课程标准实验教科书²数学（4）》（北师大版）第三章第一节，本节课的教学重点是：两角和与差的余弦公式的推导和应用是本节的又一个重点，也是本节的一个难点。所以这节课效果的好坏，体现在对这两点实现的程度上，因此，例题、练习、作业应用绕这两方面设计。而平面内两向量的数量积的两种形式的应用又是推导两角差的余弦公式的关键；因此在复习近平面内两向量的数量积的两种形式是本节课必要的准备。

2、本节课采用“创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题”的过程来实现教学目标。有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完整体现。在教学手段上使用多媒体技术，有效增加课堂容量。在教学过程环节，采用问题教学，再逐步展开的方式，能够充分调动学生的学习积极性，让学生的探索具有明确的目的性，减少盲目性。在利用平面内两向量的数量积的几何形式、代数形式建立等式，而得到两角差的余弦公式后，利用代数思想推出两角和的余弦公式，使学生进一步体会数学思想的深刻性。通过对公式的对比，可以加深学生对公式特征的印象，同时体会公式的线形美与对称美，给学生以美的陶冶。作业的布置中，突出了学生学习的个体差异现实，使学有余力的学生产生挑战的心理感受，也为下一节内容的学习做准备。

3、数学的学习，主要是培养人的思维课程，强调思维构造，以问题解决为主的课程，既注重人的智慧获得，又注重人的情感发展，因而在教学中，应注意“完整的人”的数学教育，不搞“以智力开发为主的教育”，使学生成为真正的人。因此在课堂教学中，教学设计应从学生出发，给学生更多的自由，让他们真正参与，注重学习的过程，尤其重视以学生为主的数学活动，注重学生的自我完善，自我发展，不把学生当成接受知识的容器，要教会学生学会学习，尤其是有意义的接受学习和发现学习，“授人以鱼，不如授之以渔，授人以鱼祗救一时之及，授人以渔则可解一生之需”。在数学教育中，注重培养学生的自信，自重，自尊，使他们充满希望和成功，促进其健康人格的形成。只有这样，才能让数学课更有生机和人性，才能学生真正成为学习的主人。