2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(全国2卷)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（）
A．
B．
C．
D．
2.设集合，．若，则（）
A．
B．
C．
D．
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A．1盏
B．3盏
C．5盏
D．9盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）
A．
B．
C．
D．
5.设，满足约束条件，则的最小值是（）
A．
B．
C．
D．
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）
A．12种
B．18种
C．24种
D．36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（）
A．2
B．3
C．4
D．5
9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）
A．2
B．
C．
D．
10.已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A．
B．
C．
D．
11.若是函数的极值点，则的极小值为（）
A.B.C.D.1
12.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）
A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则．
14.函数（）的最大值是．
15.等差数列的前项和为，，则．
16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则．
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17.（12分）的内角的对边分别为,已知．
(1)求
(2)若,面积为2,求
18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100
个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：
（1）
设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率；
（2）
填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）
根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点.（1）证明：直线平面PAB
（2）点M在棱PC
上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角M-AB-D的余弦值
20.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)
求点P的轨迹方程；
(2)
设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.（12分）已知函数且.（1）求a；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且.（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知，证明：
（1）；
（2）．
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(Ⅱ)试题答案
一、选择题
1.D
2.C
3.B
4.B
5.A
6.D
7.D
8.B
9.A
10.C
11.A
12.B
二、填空题
13.1.96
14.1
15.16.6
三、解答题
17.解：
（1）由题设及，故
上式两边平方，整理得
解得
（2）由，故
又
由余弦定理及得
所以b=2
18.解：
（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”
由题意知
旧养殖法的箱产量低于的频率为
故的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于的频率为
故的估计值为0.66
因此，事件A的概率估计值为
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量
箱产量
旧养殖法
新养殖法
由于
故有的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为，箱产量低于的直方图面积为
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
．
19.解：
（1）取中点，连结，．
因为为的中点，所以，由得，又
所以．四边形为平行四边形，．
又，故
（2）
由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则
则，，,则
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以，即（x-1）²+y²-z²=0
又M在棱PC上，设
由①，②得
所以M，从而
设是平面ABM的法向量，则
所以可取m=（0，-，2）.于是
因此二面角M-AB-D的余弦值为
20.解
（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）,由得
因为M（x0,y0）在C上，所以
因此点P的轨迹方程为
（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则，由得，又由（1）知，故
3+3m-tn=0
所以，即又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.解：
（1）的定义域为
设，则等价于
因为
若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故
综上，a=1
（2）由（1）知
设
当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增
又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时，；当时，当时，.因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点
由
由得
因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得
所以
22.解：
（1）设P的极坐标为，M的极坐标为，由题设知
由得的极坐标方程
因此的直角坐标方程为
（2）设点B的极坐标为,由题设知,于是△OAB面积
当时，S取得最大值
所以△OAB面积的最大值为
23.解：
（1）
（2）因为
所以，因此a+b≤2.
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