2011年—2017年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）
8．立体几何
【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）
A．10
B．12
C．14
D．16
【2016，11】平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
（A）14斛
（B）22斛
（C）36斛
（D）66斛
【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为，则（）
（A）1
（B）2
（C）4
（D）8
【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为
...6
.4
【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8
cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6
cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()．
A．cm3
B．cm3
C．cm3
D．cm3
【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．
A．16＋8π
B．8＋8π
C．16＋16π
D．8＋16π
【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
A．6
B．9
C．12
D．15
【2012，11】已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）
A．
B．
C．
D．
【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）
二、填空题
【2011，15】已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为。
三、解答题
【2017，18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角A-PB-C的余弦值．
【2016，18】如图，在以为顶点的五面体中，面
为正方形，且二面
角与二面角都是．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
【2015，18】如图，四边形为菱形，是平面同一侧的两点，⊥平面，⊥平面，.（I）证明：平面⊥平面；
（II）求直线与直线所成角的余弦值.【2014，19】如图三棱柱中，侧面为菱形，.(Ⅰ)
证明：；
（Ⅱ）若，AB=BC
求二面角的余弦值.【2013，18】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
【2012，19】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD。
（1）证明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1－BD－C1的大小。
【2011，18】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
2011年—2017年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）
8．立体几何（解析版）
【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）
A．10
B．12
C．14
D．16
（7）【解析】由三视图可画出立体图，该立体图平面内只有两个相同的梯形的面，，故选B；
【2016，11】平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】：如图所示：
∵，∴若设平面平面，则
又∵平面∥平面，结合平面平面
∴，故，同理可得：
故、的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小．
而（均为面对交线），因此，即．
故选A．
【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的后的三视图
表面积是的球面面积和三个扇形面积之和
故选A．
【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
（A）14斛
（B）22斛
（C）36斛
（D）66斛
解析：，圆锥底面半径，米堆体积，堆放的米约有，选（B）.【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为，则（）
（A）1（B）2（C）4（D）8
解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都，圆柱的高为，其表面积为，解得，故选（B）.【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为
...6
.4
【答案】C
【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥，其中，故最长的棱的长度为，选C
【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8
cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6
cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()．
A．cm3
B．cm3
C．cm3
D．cm3
答案：A
解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．
BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，所以球的体积为(cm3)，故选A.【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．
A．16＋8π
B．8＋8π
C．16＋16π
D．8＋16π
答案：A
解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr2×4×＋4×2×2＝8π＋16.故选A.【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）
A．6
B．9
C．12
D．15
【解析】由三视图可知，该几何体为
三棱锥A-BCD，底面△BCD为
底边为6，高为3的等腰三角形，侧面ABD⊥底面BCD，AO⊥底面BCD，因此此几何体的体积为，故选择B。
【2012，11】已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）
A．
B．
C．
D．
【解析】如图所示，根据球的性质，知平面，则。
在直角中，，所以。
因此三棱锥S－ABC的体积，故选择A。
【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）
解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。故选D
二、填空题
【2011，15】已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为。
解析：设ABCD所在的截面圆的圆心为M,则AM=,OM=，.三、解答题
【2017，18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角A-PB-C的余弦值．
（18）【解析】（1）证明：∵，∴，又∵，∴，又∵，、平面，∴平面，又平面，∴平面平面．
（2）取中点，中点，连接，∵，∴四边形为平行四边形，∴，由（1）知，平面，∴平面，又、平面，∴，又∵，∴，∴、、两两垂直，∴以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，∴、、、，∴、、，设为平面的法向量，由，得，令，则，可得平面的一个法向量，∵，∴，又知平面，平面，∴，又，∴平面，即是平面的一个法向量，∴，由图知二面角为钝角，所以它的余弦值为．
【2016，18】如图，在以为顶点的五面体中，面
为正方形，且二面
角与二面角都是．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
【解析】：⑴
∵为正方形，∴，∵，∴，∵
∴面，面，∴平面平面
⑵
由⑴知，∵，平面，平面
∴平面，平面
∵面面
∴，∴
∴四边形为等腰梯形
以为原点，如图建立坐标系，设，，设面法向量为，即，设面法向量为，.即，设二面角的大小为.，二面角的余弦值为
【2015，18】如图，四边形为菱形，是平面同一侧的两点，⊥平面，⊥平面，.（I）证明：平面⊥平面；
（II）求直线与直线所成角的余弦值.解：（Ⅰ）证明：连接，设，连接，.在菱形中，不妨设，由，可得，由⊥平面，可知.又，所以，且.在中，可得,故.在中，可得.在直角梯形中，由，，可得.因为，所以，又，则平面.因为平面，所以平面⊥平面.……6分
（Ⅱ）如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）可得，，，.故.所以直线与直线所成的角的余弦值为.……12分
【2014，19】如图三棱柱中，侧面为菱形，.(Ⅰ)
证明：；
（Ⅱ）若，AB=BC
求二面角的余弦值.【解析】：(Ⅰ)连结，交于O，连结AO．因为侧面为菱形，所以^，且O为与的中点．又，所以平面，故=又，故
………6分
（Ⅱ）因为且O为的中点，所以AO=CO= 又因为AB=BC=，所以
故OA⊥OB^，从而OA，OB，两两互相垂直．
以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-． 因为，所以为等边三角形．又AB=BC=，则，，设是平面的法向量，则，即
所以可取
设是平面的法向量，则，同理可取
则，所以二面角的余弦值为.【2013，18】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.由题设知A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)．
则＝(1,0，)，＝＝(－1，0)，＝(0，)．
设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则即可取n＝(，1，－1)．
故cos〈n，〉＝＝.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.【2012，19】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD。
（1）证明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1－BD－C1的大小。
【解析】（1）在中，得：，同理：，得：。
又DC1⊥BD，所以平面。
而平面，所以。
（2）解法一：（几何法）
由面。
取的中点，连接。
因为，所以，因为面面，所以面，从而，又DC1⊥BD，所以面，因为平面，所以。
由，BD⊥DC1，所以为二面角A1－BD－C1的平面角。
设，则，在直角△，，所以。
因此二面角的大小为。
解法二：（向量法）
由面
。又平面，所以，以C点为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为
轴、轴、轴建立空间直角坐标系。
不妨设AA1=2，则AC=BC=AA1=1，从而A1（1，0，2），D（1，0，1），B（0，1，0），C1（0，0，2），所以。
设平面的法向量为，则，所以，即，令，则。
设平面的法向量为，则，所以，即，令，则。
所以，解得。
因为二面角为锐角，因此二面角的大小为。
【2011，18】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
（18）解：（I）因为，由余弦定理得.从而，故.又底面，可得.所以平面.故.（II）如图，以为坐标原点，的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则
即.因此可取.设平面的法向量为，则，可取..故二面角的余弦值为.
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