第一篇：XX届高考数学立体几何复习教案
XX届高考数学立体几何复习教案
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立体几何总复习
一、基本符号表示..点A在线m上：Am；
2.点A在面上：A
；
3.直线m在面内：m
；
4.直线m与面交于点A：m
=A；
5.面与面相交于直线m：=m；
二、点A到面的距离.（第一步：作面的垂线）
①作法：过点A作Ao
于o，连结线段Ao,即所求。
②求法：
（一）直接法；
（二）等体法（等积法包括：等体积法和等面积法）；
（三）换点法。
如图，三棱锥中，PA⊥AB，PA⊥Ac，AB⊥Ac，PA=Ac=2，AB=1，m为Pc的中点。
（II）求点A到平面PBc的距离.（例2）四棱锥P—ABcD中，PA⊥底面ABcD，AB//cD，AD=cD=1，∠BAD=120°，PA=，∠AcB=
90°。（III）求点B到平面PcD的距离。
（例3）如图，直三棱柱中，Ac⊥cB，D是棱的中点。（I）求点B到平面的距离.三、两条异面直线m与n所成角.①作法：平移，让它们相交.（若mn,则可证出mn所在的平面）
②求法：常用到余弦定理.③两条异面直线所成角的范围：
；任意两
条异面直线所成角的范围：
.如图，在中，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；
四、线m与面所成角.（第一步：作面的垂线）
①作法：在线m上任取一点P（异于A），作Po
于o,连结Ao，则Ao为斜线PA在面内的摄影，m与面所成的角。
②求法：一般根据直角三角形来解。
③线面角的范围：
.已知正四棱柱中，AB＝2。（II）求直线与侧面所成的角的正切值.如图，在中，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．（III）求与平面所成角的最大值． 五、二面角（注：若所求的二面角为直二面角，一般转化为求它的补角—锐角）.（一）定义法：
①作法：在棱c上取一“好”点P，在两个半平面内分别作c的垂线（射线）m、n,则角即二面角—c—的平面角。
②求法：一般根据余弦定理。
（二）三垂线法：（第一步：作面的垂线）
①作法：在面或面内找一合适的点A,作Ao
于o，过A作ABc于B，则Bo为斜线AB在面内的射影，为二面角—c—的平面角。
三垂线法的步骤：
1、作面的垂线；
2、作棱的垂线，并连结另一边（平面角的顶点在棱上）；
3、计算。
②求法：一般根据直角三角形来解。
③二面角的取值范围：
.如图，三棱锥中，PA⊥AB，PA⊥Ac，AB⊥Ac，PA=Ac=2，AB=1，m为Pc的中点。
（III）求二面角的正切值。
（例2）已知正四棱柱中，AB＝2。（III）求二面角的正切值。
（例3）四棱锥P—ABcD中，PA⊥底面ABcD，AB//cD，AD=cD=1，∠BAD=120°，PA=，∠AcB=
90°。（II）求二面角D—Pc—A的大小；
（例4）已知：四棱锥P—ABcD的底面ABcD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABcD，且PD=1。（III）求二面角B—PA—c的余弦值.（例5）如图，直三棱柱中，Ac⊥cB，D是棱的中点。（II）求二面角的大小。
六、三垂线定理.（第一步：作面的垂线）
.定理：PA为斜线，Po
于o，oA为射影，m，AomPAm.2.逆定理：PA为斜线，Po
于o，oA为射影，m，PAm
Aom.已知正四棱柱中，AB＝2。（I）求证：.七、线面平行（）..定义：
2.判定定理：
3.性质定理：
（例1）已知：四棱锥P—ABcD的底面ABcD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABcD，且PD=1。（I）求证：Bc//平面PAD.八、线面垂直（）..定义：
2.判定定理：
3.性质定理：
（例1）四棱锥P—ABcD中，PA⊥底面ABcD，AB//cD，AD=cD=1，∠BAD=120°，PA=，∠AcB=
90°。（I）求证：Bc⊥平面PAc；
（例2）已知：四棱锥P—ABcD的底面ABcD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABcD，且PD=1。（II）若E、F分别为PB、AD的中点，求证：EF⊥平面PBc.九、面面平行（）..定义：
2.判定定理：
3.性质定理：
十、面面垂直（）..定义：
2.判定定理：
3.性质定理：
如图，三棱锥中，PA⊥AB，PA⊥Ac，AB⊥Ac，PA=Ac=2，AB=1，m为Pc的中点。
（I）求证：平面PcB⊥平面mAB.如图，在中，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．（I）求证：平面平面；
十一、有关对角线..平行四边形：
对角线平分.2.菱形：
对角线垂直且平分.3.矩形：
对角线相等且平分.4.正方形：
对角线相等且垂直且平分.十二、平移的方法..三角形（或梯形）的中位线：
且等于底边（上下两底之和）的一半.2.平行四边形：对边
且相等.3.等比例线段：
十三、重要辅助线的添加方法..见到中点，考虑：①中位线；②
；③
.2.见到平行四边形（菱形、矩形、正方形同理），考虑：①连结对角线；②对边平行且相等.十四、求三角形面积的通用方法.十五、三棱锥的任何一个面都可以作为底面，方便使用等体法.十六、立体几何解题策略（附加：在做立体几何大题时，后以文经常用到前一问的结论，平时注意）..由已知想性质；
2.由结论想判定；
3.由需要做辅助线或辅助平面.十七、有关棱柱.棱柱——————————直棱柱—————————正棱柱..两底面平行；
+1.侧棱垂直于底面
+1.底面是正多边形
2.侧棱平行
十八、有关棱锥.棱锥——————————正棱锥..一面一点一连；
+1.底面是正多边形；
2.顶点在底面的射影正好是底面正多边形的中心.
第二篇：高考数学专题复习专题七 立体几何教案 文
专题七 立体几何
自查网络
核心背记
一、空间几何体的结构特征
（一）多面体
1．棱柱可以看成是一个多边形（包含图形所围成的平面部分）上各点都沿同一个方向移动____所形成的几何体．
2．主要结构特征：棱柱有两个面互相平行，而其余 的交线都互相平行，其余的这些面都是四边形．
3．侧棱和底面____的棱柱叫做直棱柱，底面为 的直棱柱叫做正棱柱． 4．有一个面是多边形，而其余各面都 的三角形的多面体叫做棱锥．
5．如果棱锥的底面是 一，它的顶点又在过 且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥，正棱锥各侧面都是 一的等腰三角形，这些等腰三角形____都相等，叫做棱锥的斜高．
6.棱锥被 一的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．一—— 7.由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些 一叫做棱台的斜高．正棱台中两底面中心连线，相应的边心距和 ．组成一个直角梯形；两底面中心连线，和两底面相应的外接圆半径组成一个直角梯形．
（二）旋转体
1．分别以
一、直角梯形中——、——____所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台．旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的 叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的 叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线，’ 2．-个半圆绕着____所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，球面所围成的几何体称为 1
球．球面也可以看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．
3．球的截面性质：球的截面是 ；球心和截面（不过球心）圆心的连线 于截面；设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面圆的距离d就是球心0到截面圆心0i的距离，它们的关系是 一．
4．球的大圆、小圆：球面被 的平面截得的圆叫做球的大圆；球面被 的平面截得的圆叫做球的小圆．
（三）投影
1．当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有如下性质：①直线或线段的平行投影是____；②平行直线的平行投影是 ；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段 ；④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形 ；⑤在同一直线或平行线上，两条线段的平行投影的比等于____． 2.-个． 把一个图形照射在一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但是平行线可能变成____．
3．在物体的平行投影中，如果投射线与投射面____，则称这样的平行投影为正投影． 4．除了平行投影的性质正投影还具备如下性质：
直于投射面的直线或线段的正投影是 ．②于投射霹的平面图形的正投影是
（四）斜二测画法与三视图
1．斜二测画法的作图规则可以简记为：水平方向方向长度 竖直方向线，变为 方线，长度
2.投射面与视图：通常，总是选取三个____的平面作为投射面，来得到三个投影图．一个投射面水平放 置，叫做水平投射面，投射到水平投射面内的图形叫做，一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面．投射到直立投射面内的圆形叫做 和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射l面．投射到侧立投射面内的圆形叫做
3.三视图定义：将空间图形向水平投射面，直立投射 面、侧立投射面作正投影．然后把这个投影按一定的布局放 在一个平面内，这样构成的图形叫做空闷图形的三视图．
4．三视图的画法要求；三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的 看到的物体的正投影围成的平面图形．
5.一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在 的下面，长度与 一样；左视图放在主视图的，高度与____一样，宽度与——的宽度—样为了便于记忆．通常说：“长对正 高平齐、宽相等”或“主左一样高、主俯—样长、左俯—样宽
6．画三视图时应注意：被挡住的轮廓要画成瘦线，尺寸线用细实线标出；φ表示直径，R表示半径；单位不注明按mm计，二、空间几何体的表面积与体积
（一）柱、锥、台的表面积公式
1．设直棱柱的高为b，底面多边形的周长为c，则直棱柱侧面面积计算公式为——．设圆柱的底面半径为r 周长为C，侧面母线长为l，则圆柱的侧面积是____． 2.设正棱锥的底面边长为a，底面周长为C，斜高为h，则正n梭锥的侧面积计算公式为一·如果圆锥底面半径为r，周长为C，侧面母线长为l，那么圆锥的侧面积是一．
3.如果设正棱台下底面边长为a、周长为C，上底面边长为a'、周长为C'斜高为h'，则正竹棱台的侧面积公式为____ ．如果圆台的上下底面半径分为r'，r，周长为C，C，侧面母线长为l，那么圆台的侧面积是
（二）柱、锥、台的体积公式
1.棱柱的底面面积为S，高为h，则体积为——’
底面半径为r，高是h的圆柱体的体积计算公式是—一．
2.若一个棱锥的底面面积为S．高为h，那么它的体积公式为____．若圆锥的底面圆的半径为r，高为h,则体积为____．
3.若台体（棱台、圆台）上、下底面面积分别为S，S，高为h，则台体的体积公式为一，若圆台的上、下底面半径分别为r，r，高为h．则圆台的体积公式为
（三）球的表面积与体积公式设球的半径为R．则球的表面积计算公式为-.即球面面积等于它的大圆面积的____．球的体积公 式为
三、平面的基本性质与推论
（一）平面的定义平面是一个不加定义，只需理解的最基本的原始概 念．在生活中平静的水面、镜面、书桌面都给我们平面的印 象，立体几何中的平面就是由此抽象出来的．平面是处处平直的面，它是向四面八方 一的．无大小、厚薄之 分，它是不可度量的．
（二）平面的基本性质及推论 1．平面的基本性质 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内，这 时我们说：直线在平面内或平面____直线．
2.平面的基本性质2：经过____的三点，有且只 有一个平面，即：____的三点确定一个平面．
3.推论1：经过一条直线和____一点，有且只 有一个平面． 4.推论2：经过两条 直线有且只有一个平面． 5.推论3：经过两条 直线有且只有一个平面．
6．面面相交：如果两个平面有一条公共直线，则称之 为两平面相交，这条公共直线也叫做两个平面的交线．平面口与p相交，交线是Z，符号表示为 ．
7．平面的基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们 一条经过 一的公共直线．
（三）异面直线
1．_ ___的直线叫做异面直线．
2．异面直线的判定：与一平面相交于一点的直线与平面内一 的直线是异面直线，用符号表示为：若ABn口-B，B垂z，Zc口，则直线AB与直线z是异面直线．
四、空间中的平行关系
（一）平面的基本性质4与等角定理
1．平面的基本性质4：平行子同一直线的两条直线____．符号表示为：若直线矗∥6．c∥6，那么——．
2.等角定理：如果一个角的p边与另一个角的两边分别对应平行，并且一，那么这两个角相等．
（二）空间四边形顺次连接____ 的四点A．B，C．D所梅成的图形叫做空闻四边形．其中，四个点A，B，C．D，每个点都Ⅱq它的____ ．所连接的相邻顶点fa-的线段叫做它的____．连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的____．
（三）直线与平面平行
1.直线a和平面口只有一个公共点A，叫做 直线与平面____．这个公共点A叫做直线与平面的交点．记作____．
2．直线a与平面a没有公共点，叫做直线与平面平行．记作一 一．
3.判定定理：如果____的一条直线和——的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行． 4．性质定理：如果一条直线与一个平面平行，____ 的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．
（四）平面与平面平行
1．两不重合平面有公共点就叫两平面相交，记作口n卢2 Z．若两个平面 一，则称这两个平面为平行平面，“平面口平行于平面p"可以记作“口∥∥．
2．平面与平面平行的判定定理；如果一个平面内有两条 一直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．3．推论：如果—个平面内有两条____直线分别平行于另—个平面内的两条直线，则这两个平面平行．
4．性质定理：如果两个____平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言表示为：口//p，a(l y=a，pffy=b净_，．。__．_一．
5．两个平面平行，其中一个平面内的 一直线平行于另一个平面． 五，空间中的垂直关系
（一）直线与平面垂直
1．如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为 一，则称这两条直线互相垂直．
2．直线与平面垂直的定义：如果一条直线Z和一个平面口相交于点O，并且Z和这个平面内过点0的直线都垂直，则该直线垂直于这个平面．这条直线叫做平面的——，这个平面叫做直线的____，交点叫做__-。_．。．-。-．．-．。_一．
3.点到平面的距离：垂线上任意一点到____间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．
4．判定定理：如果一条直线与平面内的两条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 5．推论：如果在两条__— 直线中，有一条直线垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。‘
6.性质定理：如果两条直线垂直予同一个平面，那么这两条直线—__-7.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的—一直线．
（二）平面与平面垂直
1*如果两个相交平面的一与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条直线互相____．就称这p个平面互相垂直．
2.如果-个平面过另一个平面的一，则这两个平面互相垂直．
3．如果两个平面互相垂直，那么在—一垂直予它们____
二、的直线垂直于另一个平面． 4.如果p个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的 一点垂直于第二AI平面的直线在——平面内．
参考答案
一、（一）1．相同的距离 2．每相邻两个面 3.垂直正多边形 4．有一个公共顶点
5．正多边形底面中心全等底边上的高 6．平行于底面
7．等腰梯形的高斜高侧援
(=)1．矩形的一条边 直焦三角形的一条直角边垂直于底边的腰圆面曲面
(=)1．所有点经过
2．不在同一直线上不共线 3．直线外． ． 4．相交 5．平行 6．a 7．有且只有这个点 ’
（三）1．既不平行也不相交 2．不经过该点
四、（一）1．互相平行a//c2．方向相同
（二）不共面顶点边对角线
（三）1．相交ana=A 2.a//a3．不在一个平面内平面内4．经过这条直线
（四）1．没有公共点2．相交3．相交4．平行a//b 5．任意
五、（一）1-直角2．任何垂线垂面垂足3．垂足4．相交5．平行6．平行7．任意条
（二）1．交线垂直2．一条垂线3．_AI平面内交线4．第一个
规律探究
1．在正棱锥中，要利用四个直角三角形（高、斜高及底 面边心距组成一个直角三角形，高、侧棱与底面外接圆的 半径组成一个直角三角形，底面的边心距、外接圆半径及 底边一半组成一个直角三角形，侧棱、斜高与底边一半组 成一个直角三角形）进行有关计算． 2.在正棱台中，要充分利用三个直角梯形（高、斜高及上 下底面的边心距组成一个直角梯形，侧棱、斜高及上下底边 的一半组成—个直角梯形，侧梭、高及上下底面外接圆半径组成—个直角梯形）、两个直角三角形（上下底面的边心距，外接圆半径和边的一半）进行有关计算．
3．解与直观图有关的问题时，应熟练掌握斜二测画法的规则，关键是确定宣观图的顶点或其他关键点．因此，尽量把顶点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上．
4．学习三视图应会选取投射面，正确放置三视图中三个图的位置，掌握三视图之间的联系和规律：正俯长对正，正侧高平齐，俯侧宽相同．
5．棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积可以分别求各面面积，再求和．对于直棱柱、正棱锥、正棱台也可直接利用公式，6．圆柱、圆锥、圆台侧面积就是其侧面展开图的面积，要熟记公式．
7．有关旋转体的问题或球与多面体的切、接问题，特别要注意应用轴截面． 8．有关体积的问题，要注意“等积变换”“分割求和” “拼补求差”等解题思路．
9．结合模型，在理解的基础上熟练掌握柱、锥、台的表面积公式和体积公式．
10.球的体积公式和表面积公式是用无限分割的极限思想推导出来的．主要是记忆、掌握公式．
11.求柱、锥、台体的表面积就是求它们的侧面积和底面积之和，对于圆柱、圆锥、圆台，已知上、下底面半径和母线长可以用表面积公式直接求出；对于棱柱、棱锥、棱台没有一般计算公式，可以直接根据条件求各个面的面积．
12.求柱、锥、台体的体积时，根据体积公式，需要具备已知底面积和高两个重要条件，底面积一般可由底 面边长或半径求出，但当高不知道时，求高比较困难，一般要转化勾平面几何知识求出高．
13．证明直线共面可通过先证明其中的两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在这个平面内；也可以利用共面向量定理来证明．证明空间几点共面，可先取不共线的三点确定—个平面，再证明其他的点都在这个平面内’ 14.理解“有且只有一个”的含义，它强调存在性和唯一性两个方面，也称为“确定”平面． 15．求证三点及三点以上的点共线，主要是依据平面的基本性质3，只要证明这些点都是两个平面的公共点' 那么它们都在这两个平面的交线上；求证三条直线或三条以上的直线共点的一般方法是：首先证明其中两条直线交于一点，再证明其余各直线都经过这点-16．平面的基本性质2及其推论是空间中确定平面的依据，也是证明两个平面重合的依据，还为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体办法．
17．直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的位置关系，直线 6
和平面平行的性质定理在应用时，要特别注意“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线”的错误结论．
18.以求角为背景考查两个平行平面间的性质，也可以是已知角利用转化和降维的思想方法求锵其他几何参量．19.线面平行和面面平行的判定和性质 20．转化思想方法：直线与平面平行的判定定理和性质定理的实质就是线线平行与线面平行的转化．
21.要能够灵活地作出辅助线或辅助平面来解题．对 此需强调两点；第一，辅助线、辅助面不能随意作，要有理 论根据；第二，辅助线或辅助面有什么性质，一定要以某一 性质定理为依据，决不能凭主观臆断，否则谬误难免．
22.直线与平面垂直，只需这条直线垂直于这个平面 内的两条相交直线，至于这两条相交直线是否和已知直线 有公共点，这无关紧要．
23.三垂线定理及其逆定理是立体几何中的重要定 理，复习运用时要注意：
①弄清定理中所指明的三种垂线，②定理中的直线a-定在某直线的射影所在的平面a内，因此要熟练地掌握直线n在不同位置时的情况．
24.在证明两平面垂直时，一般先从现有直线的平面 中寻找平面的垂线，若这样的直线图中没有明确给出，则 可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据，并 有利于证明，不能随意添加，如有平面垂直时，一般要用性 质定理，在一个面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 25．线面垂直的判定和性质：①依定义，所成角为90。，②判定定理；③性质定理；④其他结论，如，如果两条平行 线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．
26.应用三垂线定理的难点主要是对非水平放置的图 形的辨认，在解证中可按照“一定平面，二定垂线，三找斜 线，射影可见，直线随便”的原则去认定图形．其关键是转化，即把已知的线线垂直转化为所需的线线垂直’也就是斜线和它在平面内的射影的转化，因此，寻找斜线、射影非常重要．
实际应用
3．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AClBD，垂足为H，PH是四棱锥的高．(I)证明．平面PAC_1_平面PBD：，(Ⅱ)若AB-厢，/APB一/ADB= 60。，求四棱锥 P-ABCD的体积．
参考答案 1．【答案lD【命题立意】本题考查几何体的直观图和三视图的有关知识，考查学生的空间想象能力．【解题思路】由已知条件和直观图（斜二测）可知D正确． 2．【答案】D【命题立意】本题考查空间想象能力及平行与垂直关系的推理与论证．【解题思路】A错，平行直线的平行投影仍可平行；B错'平行于同～直线的两平面可平行或相交；c错，垂直于同一平面的两平面可平行或相交；D正确，空间想象易知垂直于同一平面的两直线平行，
第三篇：2013届高考数学第一轮立体几何初步专项复习教案
§3 三视图
【课时目标】 1．初步认识简单几何体的三视图．2．会画出空间几何体的三视图并会由空间几何体的三视图画出空间几何体．
1．空间几何体的三视图是指__________、__________、__________．
2．三视图的排列规则是__________放在主视图的下方，长度与主视图一样，__________放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．
3．三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从________、__________、________观察同一个几何体，画出空间几何体的图形．
一、选择题
1．下列说法正确的是（）A．任何几何体的三视图都与其摆放的位置有关 B．任何几何体的三视图都与其摆放的位置无关 C．有的几何体的三视图与其摆放的位置无关 D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形
2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图()
3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④ 4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()
5．实物图如图所示．无论怎样摆放物体，如图所示中不可能为其主视图的是()
6．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是()
二、填空题
7．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．
(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．
8．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．
9．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．
三、解答题
10．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图(尺寸不作严格要求)．
11．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．
能力提升
12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．
13．用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？
在绘制三视图时，要注意以下三点：
1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．
2．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样．左视图放在主视图的右面，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”．
3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．
§3 三视图
答案
知识梳理
1．主视图 左视图 俯视图 2．俯视图 左视图
3．正前方 正上方 左侧 作业设计
1．C [球的三视图与其摆放位置无关．] 2．C
3．D [在各自的三视图中，①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．] 4．C
[由三视图中的正、左视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C．] 5．D [A图可看做该物体槽向前时的主视图，B图可看做槽向下时的主视图，C图可看做槽向后时的主视图．] 6．A
7．(1)D(2)A(3)E(4)C(5)B 8．2 4 解析 三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4．
9．7 10．解 图(a)是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．
11．解 该图形的三视图如图所示．
12．解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．
13．解 由于主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．
而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．
第四篇：XX届高考数学第一轮不等式专项复习教案
XX届高考数学第一轮不等式专项复习教
案
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件www.xiexiebang.com 第六章不等式
●网络体系总览
●考点目标定位
.理解不等式的性质及应用.2.掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用.3.掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式.4.掌握不等式的解法.5.理解不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.●复习方略指南
本章内容在高考中，以考查不等式的性质、证明、解法和最值方面的应用为重点，多数是与函数、方程、三角、数列、几何综合在一起被考查，单独考查不等式的问题较少，尤其是不等式的证明题.借助不等式的性质及证明，主要考查函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法.含参数不等式的解法与讨论，不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，仍将是今后高考命题的热点.本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此复习中应注意：
.复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据.2.不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度，切忌喧宾夺主.3.解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来.4.注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用.5.利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”.6.对于含有绝对值的不等式（问题），要紧紧抓住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义.7.要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系.6.1不等式的性质
●知识梳理
.比较准则：a－b＞0a＞b；
a－b=0a=b；a－b＜0a＜b.2.基本性质：（1）a＞bb＜a.（2）a＞b，b＞ca＞c.（3）a＞ba+c＞b+c；a＞b，c＞da+c＞b+d.（4）a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd.（5）a＞b＞0
＞（n∈N，n＞1）；a＞b＞0an＞bn（n∈N，n＞1）.3.要注意不等式性质成立的条件.例如，重要结论：a＞b，ab＞0
＜，不能弱化条件得a＞b
＜，也不能强化条件得a＞b＞0
＜.4.要正确处理带等号的情况.如由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可得出a＞c；而由a≥b，b≥c可能有a＞c，也可能有a=c，当且仅当a=b且b=c时，才会有a=c.5.性质（3）的推论以及性质（4）的推论可以推广到两个以上的同向不等式.6.性质（5）中的指数n可以推广到任意正数的情形.特别提示
不等式的性质从形式上可分两类：一类是“”型；另一类是“”型.要注意二者的区别.●点击双基
.若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是
A.＞
B.2a＞2b
c.|a|＞|b|
D.（）a＞（）b
解析：由a＜b＜0知ab＞0，因此a•＜b•，即＞成立；
由a＜b＜0得－a＞－b＞0，因此|a|＞|b|＞0成立.又（）x是减函数，所以（）a＞（）b成立.故不成立的是B.答案：B
2.（XX年春季北京，7）已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0（其中a、b、c、d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是
A.0
B.1
c.2
D.3
解析：由ab＞0，bc－ad＞0可得出－＞0.bc－ad＞0，两端同除以ab，得－＞0.同样由－＞0，ab＞0可得bc－ad＞0.ab＞0.答案：D
3.设α∈（0，），β∈［0，］，那么2α－的范围是
A.（0，）
B.（－，）
c.（0，π）
D.（－，π）
解析：由题设得0＜2α＜π，0≤≤.∴－≤－≤0.∴－＜2α－＜π.答案：D
4.a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，的由大到小的顺序是____________.解析：特殊值法即可
答案：＞＞＞
5.设a=2－，b=－2，c=5－2，则a、b、c之间的大小关系为____________.解析：a=2－=－＜0，∴b＞0.c=5－2=－＞0.b－c=3－7=－＜0.∴c＞b＞a.答案：c＞b＞a
●典例剖析
【例1】已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范围.剖析：∵a+b，a－b的范围已知，∴要求2a+3b的取值范围，只需将2a+3b用已知量a+b，a－b表示出来.可设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），用待定系数法求出x、y.解：设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），∴解得
∴－＜（a+b）＜，－2＜－（a－b）＜－1.∴－＜（a+b）－（a－b）＜，即－＜2a+3b＜.评述：解此题常见错误是：－1＜a+b＜3，①
2＜a－b＜4.②
①+②得1＜2a＜7.③
由②得－4＜b－a＜－2.④
①+④得－5＜2b＜1，∴－＜3b＜.⑤
③+⑤得－＜2a+3b＜.思考讨论
.评述中解法错在何处?
2.该类问题用线性规划能解吗?并试着解决如下问题：
已知函数f（x）=ax2－c，满足－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，求f（3）的最大值和最小值.答案：20－1
【例2】（XX年福建，3）命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则
A.“p或q”为假
B.“p且q”为真
c.p真q假
D.p假q真
剖析：只需弄清命题p、q的真假即可.解：∵|a+b|≤|a|+|b|，若|a|+|b|＞1不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1一定有|a|+|b|＞1，故命题p为假.又函数y=的定义域为|x－1|－2≥0，∴|x－1|≥2.∴x≤－1或x≥3.∴q为真.答案：D
【例3】比较1+logx3与2logx2（x＞0且x≠1）的大小.剖析：由于要比较的两个数都是对数，我们联系到对数的性质，以及对数函数的单调性.解：（1+logx3）－2logx2=logx.当或即0＜x＜1或x＞时，有logx＞0，1+logx3＞2logx2.当①或②时，logx＜0.解①得无解，解②得1＜x＜，即当1＜x＜时，有logx＜0，1+logx3＜2logx2.当x=1，即x=时，有logx=0.∴1+logx3=2logx2.综上所述，当0＜x＜1或x＞时，1+logx3＞2logx2；
当1＜x＜时，1+logx3＜2logx2；
当x=时，1+logx3=2logx2.评述：作差看符号是比较两数大小的常用方法，在分类讨论时，要做到不重复、不遗漏.深化拓展
函数f（x）=x2+（b－1）x+c的图象与x轴交于（x1，0）、（x2，0），且x2－x1＞1.当t＜x1时，比较t2+bt+c与x1的大小.提示：令f（x）=（x－x1）（x－x2），∴x2+bx+c=（x－x1）（x－x2）+x.把t2+bt+c与x1作差即可.答案：t2+bt+c＞x1.●闯关训练
夯实基础
.（XX年辽宁，2）对于0＜a＜1，给出下列四个不等式：
①loga（1+a）＜loga（1+）；②loga（1+a）＞loga（1+）；③a1+a＜a1；④a1+a＞a.其中成立的是
A.①③
B.①④
c.②③
D.②④
解析：∵0＜a＜1，∴a＜，从而1+a＜1+.∴loga（1+a）＞loga（1+）.又∵0＜a＜1，∴a1+a＞a.故②与④成立.答案：D
2.若p=a+（a＞2），q=2，则
A.p＞q
B.p＜q
c.p≥q
D.p≤q
解析：p=a－2++2≥4，而－a2+4a－2=－（a－2）2+2＜2，∴q＜4.∴p＞q.答案：A
3.已知－1＜2a＜0，A=1+a2，B=1－a2，c=，D=则A、B、c、D按从小到大的顺序排列起来是____________.解析：取特殊值a=－，计算可得A=，B=，c=，D=.∴D＜B＜A＜c.答案：D＜B＜A＜c
4.若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是____________.解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案：（－3，3）
5.已知a＞2，b＞2，试比较a+b与ab的大小.解：∵ab－（a+b）=（a－1）（b－1）－1，又a＞2，b＞2，∴a－1＞1，b－1＞1.∴（a－1）（b－1）＞1，（a－1）（b－1）－1＞0.∴ab＞a+b.6.设A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，当x∈R+，n∈N时，求证：A≥B.证明：A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n）=x－n（x2n+1－x2n－1－x）
=x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］=x－n（x－1）（x2n－1－1）.由x∈R+，x－n＞0，得
当x≥1时，x－1≥0，x2n－1－1≥0；
当x＜1时，x－1＜0，x2n－1＜0，即x－1与x2n－1－1同号.∴A－B≥0.∴A≥B.培养能力
7.设0＜x＜1，a＞0且a≠，试比较|log3a（1－x）3|与|log3a（1+x）3|的大小.解：∵0＜x＜1，∴①当3a＞1，即a＞时，|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=|3log3a（1－x）|－|3log3a（1+x）|
=3［－log3a（1－x）－log3a（1+x）］=－3log3a（1－x2）.∵0＜1－x2＜1，∴－3log3a（1－x2）＞0.②当0＜3a＜1，即0＜a＜时，|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=3［log3a（1－x）+log3a（1+x）］
=3log3a（1－x2）＞0.综上所述，|log3a（1－x）3|＞|log3a（1+x）3|.8.设a1≈，令a2=1+.（1）证明介于a1、a2之间；
（2）求a1、a2中哪一个更接近于；
（3）你能设计一个比a2更接近于的一个a3吗？并说明理由.（1）证明：（－a1）（－a2）=（－a1）•（－1－）=＜0.∴介于a1、a2之间.（2）解：|－a2|=|－1－|=||
=|－a1|＜|－a1|.∴a2比a1更接近于.（3）解：令a3=1+，则a3比a2更接近于.由（2）知|－a3|=|－a2|＜|－a2|.探究创新
9.已知x＞－1，n≥2且n∈N*，比较（1+x）n与1+nx的大小.解：设f（x）=（1+x）n－（1+nx），则（x）=n（1+x）n－1－n=n［（1+x）n－1－1］.由（x）=0得x=0.当x∈（－1，0）时，（x）＜0，f（x）在（－1，0）上递减.当x∈（0，+∞）时，（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增.∴x=0时，f（x）最小，最小值为0，即f（x）≥0.∴（1+x）n≥1+nx.评述：理科学生也可以用数学归纳法证明.●思悟小结
.不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有a－b＞0a＞b，a－b=0a=b，a－b＜0a＜b，这是比较两数（式）大小的理论根据，也是学习不等式的基石.2.一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意解题中灵活、准确地加以应用.3.对两个（或两个以上）不等式同加（或同乘）时一定要注意不等式是否同向（且大于零）.4.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论.●教师下载中心
教学点睛
.加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算.2.通过复习要强化不等式“运算”的条件.如a＞b、c＞d在什么条件下才能推出ac＞bd.3.强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系.拓展题例
【例1】已知f（x）=|log2（x+1）|，m＜n，f（m）=f（n）.（1）比较m+n与0的大小；
（2）比较f（）与f（）的大小.剖析：本题关键是如何去掉绝对值号，然后再判断差的符号.解：（1）∵f（m）=f（n），∴|log2（m+1）|=|log2（n+1）|.∴log22（m+1）=log22（n+1）.∴［log2（m+1）+log2（n+1）］［log2（m+1）－log2（n+1）］=0，log2（m+1）（n+1）•log2=0.∵m＜n，∴≠1.∴log2（m+1）（n+1）=0.∴mn+m+n+1=1.∴mn+m+n=0.当m、n∈（－1，0］或m、n∈［0，+∞）时，由函数y=f（x）的单调性知x∈（－1，0］时，f（x）为减函数，x∈［0，+∞）时，f（x）为增函数，f（m）≠f（n）.∴－1＜m＜0，n＞0.∴m•n＜0.∴m+n=－mn＞0.（2）f（）=|log2|=－log2=log2，f（）=|log2|=log2.－==－＞0.∴f（）＞f（）.【例2】某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠.如果甲、乙两家旅行社的原价相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？
解：设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总金额分别为y1和y2.一张全票价格为a元，那么y1=a+0.55ax，y2=0.75（x+1）a.∴y1－y2=a+0.55ax－0.75a（x+1）=0.2a（1.25－x）.∴当x＞1.25时，y1＜y2；
当x＜1.25时，y1＞y2.又因x为正整数，所以当x=1，即两口之家应选择乙旅行社；
当x≥2（x∈N），即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.课
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第五篇：XX届高考数学复数知识导航复习教案
XX届高考数学复数知识导航复习教案
本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第十五章 复 数高考导航考试要求重难点击命题展望
1.理解复数的基本概念、复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.会进行复数代数形式的四则运算.了解复数的代数形式的加、减运算及其运算的几何意义.4.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想，体会理性思维在数系扩充中的作用.本章重点：1.复数的有关概念；2.复数代数形式的四则运算.本章难点：运用复数的有关概念解题.近几年高考对复数的考查无论是试题的难度，还是试题在试卷中所占比例都是呈下降趋势，常以选择题、填空题形式出现，多为容易题.在复习过程中，应将复数的概念及运算放在首位.知识网络15.1 复数的概念及其运算
典例精析
题型一 复数的概念【例1】如果复数是实数，则实数m＝
；在复平面内，复数对应的点位于第 象限；复数z＝3i＋1的共轭复数为＝
.【解析】＝m2－m＋i是实数⇒1＋m3＝0⇒m＝－1.因为＝＝1－i，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限.因为z＝1＋3i，所以＝1－3i.【点拨】运算此类题目需注意复数的代数形式z＝a＋bi，并注意复数分为实数、虚数、纯虚数，复数的几何意义，共轭复数等概念.【变式训练1】如果z＝为纯虚数，则实数a等于A.0
B.－1
c.1
D.－1或1在复平面内，复数z＝对应的点位于A.第一象限
B.第二象限
c.第三象限
D.第四象限【解析】设z＝xi，x≠0，则xi＝⇔1＋ax－i＝0⇔⇔或故选D.z＝＝＝－1－i，该复数对应的点位于第三象限.故选c.题型二 复数的相等【例2】已知复数z0＝3＋2i，复数z满足z·z0＝3z＋z0，则复数z＝
；已知＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝
；已知关于x的方程x2＋x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根为
，实数k的值为
.【解析】设z＝x＋yi，又z0＝3＋2i，代入z·z0＝3z＋z0得＝3＋3＋2i，整理得＋i＝0，则由复数相等的条件得解得所以z＝1－.由已知得m＝＝＋i.则由复数相等的条件得所以m＋ni＝2＋i.设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得由复数相等的充要条件得解得或所以方程的实根为x＝或x＝－，相应的k值为k＝－2或k＝2.【点拨】复数相等须先化为z＝a＋bi的形式，再由相等得实部与实部相等、虚部与虚部相等.【变式训练2】设i是虚数单位，若＝a＋bi，则a＋b的值是A.－
B.－2
c.2
D.若i＝b＋i，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝
.【解析】c.＝＝，于是a＋b＝＋＝2.3.2＋ai＝b＋i⇒a＝1，b＝2.题型三 复数的运算【例3】若复数z＝－＋i，则1＋z＋z2＋z3＋…＋zXX＝
；设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么z＝
.【解析】由已知得z2＝－－i，z3＝1，z4＝－＋i＝z.所以zn具有周期性，在一个周期内的和为0，且周期为3.所以1＋z＋z2＋z3＋…＋zXX＝1＋z＋＋…＋＝1＋z＝＋i.设z＝x＋yi，则x＋yi＋＝2＋i，所以解得所以z＝＋i.【点拨】解时要注意x3＝1⇔＝0的三个根为1，ω，其中ω＝－＋i，＝－－i，则1＋ω＋ω2＝0，1＋＋2＝0，ω3＝1，3＝1，ω·＝1，ω2＝，2＝ω.解时要注意|z|∈R，所以须令z＝x＋yi.【变式训练3】复数＋等于A.B.c.－
D.已知复数z＝＋XX，则复数z等于A.0
B.2
c.－2i
D.2i【解析】D.计算容易有＋＝.A.总结提高复数的代数运算是重点，是每年必考内容之一，复数代数形式的运算：①加减法按合并同类项法则进行；②乘法展开、除法须分母实数化.因此，一些复数问题只需设z＝a＋bi代入原式后，就可以将复数问题化归为实数问题来解决.第十六章 几何证明选讲高考导航考试要求重难点击命题展望
1.了解平行线截割定理.2.会证明并应用直角三角形射影定理.3.会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理及性质定理，并会运用它们进行计算与证明.4.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理，并会运用它们进行几何计算与证明.5.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证明平面与圆柱面的截线是椭圆.6.了解下面的定理.定理：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点o，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以o为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β，则：①β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；③β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线.7.会利用丹迪林双球证明上述定理①的情形：当β＞α时，平面π与圆锥的交线为椭圆.8.会证明以下结果：①在7.中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行.记这个圆所在的平面为π′.②如果平面π与平面π′的交线为m，在6.①中椭圆上任取点A，该丹迪林球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e.9.了解定理6.③中的证明，了解当β无限接近α时，平面π的极限结果.本章重点：相似三角形的判定与性质，与圆有关的若干定理及其运用，并将其运用到立体几何中.本章难点：对平面截圆柱、圆锥所得的曲线为圆、椭圆、双曲线、抛物线的证明途径与方法，它是解立体几何、平面几何知识的综合运用，应较好地把握.本专题强调利用演绎推理证明结论，通过推理证明进一步发展学生的逻辑推理能力，进一步提高空间想象能力、几何直观能力和综合运用几何方法解决问题的能力.第一讲与第二讲是传统内容，高考中主要考查平行线截割定理、直角三角形射影定理以及与圆有关的性质和判定，考查逻辑推理能力.第三讲内容是新增内容，在新课程高考下，要求很低，只作了解.知识网络
6.1 相似三角形的判定及有关性质 典例精析题型一 相似三角形的判定与性质【例1】如图，已知在△ABc中，D是Bc边的中点，且AD＝Ac，DE⊥Bc，DE与AB相交于点E，Ec与AD相交于点F.求证：△ABc∽△FcD；若S△FcD＝5，Bc＝10，求DE的长.【解析】因为DE⊥Bc，D是Bc的中点，所以EB＝Ec，所以∠B＝∠1.又因为AD＝Ac，所以∠2＝∠AcB.所以△ABc∽△FcD.过点A作Am⊥Bc，垂足为点m.因为△ABc∽△FcD，Bc＝2cD，所以＝2＝4，又因为S△FcD＝5，所以S△ABc＝20.因为S△ABc＝Bc·Am，Bc＝10，所以20＝×10×Am，所以Am＝4.又因为DE∥Am，所以＝，因为Dm＝Dc＝，Bm＝BD＋Dm，BD＝Bc＝5，所以＝，所以DE＝.【变式训练1】如右图，在△ABc中，AB＝14cm，＝，DE∥Bc，cD⊥AB，cD＝12cm.求△ADE的面积和周长.【解析】由AB＝14cm，cD＝12cm，cD⊥AB，得S△ABc＝84cm2.再由DE∥Bc可得△ABc∽△ADE.由＝2可求得S△ADE＝cm2.利用勾股定理求出Bc，Ac，再由相似三角形性质可得△ADE的周长为15cm.题型二 探求几何结论【例2】如图，在梯形ABcD中，点E，F分别在AB，cD上，EF∥AD，假设EF做上下平行移动.若＝，求证：3EF＝Bc＋2AD；若＝，试判断EF与Bc，AD之间的关系，并说明理由；请你探究一般结论，即若＝，那么你可以得到什么结论？【解析】过点A作AH∥cD分别交EF，Bc于点G、H.因为＝，所以＝，又EG∥BH，所以＝＝，即3EG＝BH，又EG＋GF＝EG＋AD＝EF，从而EF＝＋AD，所以EF＝Bc＋AD，即3EF＝Bc＋2AD.EF与Bc，AD的关系式为5EF＝2Bc＋3AD，理由和类似.因为＝，所以＝，又EG∥BH，所以＝，即EG＝BH.EF＝EG＋GF＝EG＋AD＝＋AD，所以EF＝Bc＋AD，即EF＝mBc＋nAD.【点拨】在相似三角形中，平行辅助线是常作的辅助线之一；探求几何结论可按特殊到一般的思路去获取，但结论证明应从特殊情况得到启迪.【变式训练2】如右图，正方形ABcD的边长为1，P是cD边上中点，点Q在线段Bc上，设BQ＝k，是否存在这样的实数k，使得以Q，c，P为顶点的三角形与△ADP相似？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【解析】设存在满足条件的实数k，则在正方形ABcD中，∠D＝∠c＝90°，由Rt△ADP∽Rt△QcP或Rt△ADP∽Rt△PcQ得＝或＝，由此解得cQ＝1或cQ＝.从而k＝0或k＝.题型三 解决线的位置或数量关系【例3】如图，在四边形ABcD中，△ABc△BAD，求证：AB∥cD.【证明】由△ABc≌△BAD得∠AcB＝∠BDA，所以A、B、c、D四点共圆，所以∠cAB＝∠cDB.再由△ABc≌△BAD得∠cAB＝∠DBA，所以∠DBA＝∠cDB，即AB∥cD.【变式训练3】如图，AA1与BB1相交于点o，AB∥A1B1且AB＝A1B1，△AoB的外接圆的直径为1，则△A1oB1的外接圆的直径为
.【解析】因为AB∥A1B1且AB＝A1B1，所以△AoB∽△A1oB1因为两三角形外接圆的直径之比等于相似比.所以△A1oB1的外接圆直径为2.总结提高1.相似三角形的判定与性质这一内容是平面几何知识的重要组成部分，是解题的工具，同时它的内容渗透了等价转化、从一般到特殊、分类讨论等重要的数学思想与方法，在学习时应以它们为指导.相似三角形的证法有：定义法、平行法、判定定理法以及直角三角形的HL法.相似三角形的性质主要有对应线的比值相等，对应角相等，面积的比等于相似比的平方.2.“平行出相似”“平行成比例”，故此章中平行辅助线是常作的辅助线之一，遇到困难时应常考虑此类辅助线.16.2 直线与圆的位置关系和圆锥曲线的性质典例精析题型一 切线的判定和性质的运用【例1】如图，AB是⊙o的直径，Ac是弦，∠BAc的平分线AD交⊙o于点D，DE⊥Ac，交Ac的延长线于点E，oE交AD于点F.求证：DE是⊙o的切线；若＝，求的值.【解析】证明：连接oD，可得∠oDA＝∠oAD＝∠DAc，所以oD∥AE，又AE⊥DE，所以DE⊥oD，又oD为半径，所以DE是⊙o的切线.过D作DH⊥AB于H，则有∠DoH＝∠cAB，＝cos∠DoH＝cos∠cAB＝＝，设oD＝5x，则AB＝10x，oH＝2x，所以AH＝7x.由△AED≌△AHD可得AE＝AH＝7x，又由△AEF∽△DoF可得AF∶DF＝AE∶oD＝，所以＝.【变式训练1】已知在直角三角形ABc中，∠AcB＝90°，以Bc为直径的⊙o交AB于点D，连接Do并延长交Ac的延长线于点E，⊙o的切线DF交Ac于点F.求证：AF＝cF；若ED＝4，sin∠E＝，求cE的长.【解析】方法一：设线段FD延长线上一点G，则∠GDB＝∠ADF，且∠GDB＋∠BDo＝，所以∠ADF＋∠BDo＝，又因为在⊙o中oD＝oB，∠BDo＝∠oBD，所以∠ADF＋∠oBD＝.在Rt△ABc中，∠A＋∠cBA＝，所以∠A＝∠ADF，所以AF＝FD.又在Rt△ABc中，直角边Bc为⊙o的直径，所以Ac为⊙o的切线，又FD为⊙o的切线，所以FD＝cF.所以AF＝cF.方法二：在直角三角形ABc中，直角边Bc为⊙o的直径，所以Ac为⊙o的切线，又FD为⊙o的切线，所以FD＝cF，且∠FDc＝∠FcD.又由Bc为⊙o的直径可知，∠ADF＋∠FDc＝，∠A＋∠FcD＝，所以∠ADF＝∠A，所以FD＝AF.所以AF＝cF.因为在直角三角形FED中，ED＝4，sin∠E＝，所以cos∠E＝，所以FE＝5.又FD＝3＝Fc，所以cE＝2.题型二 圆中有关定理的综合应用【例2】如图所示，已知⊙o1与⊙o2相交于A、B两点，过点A作⊙o1的切线交⊙o2于点c，过点B作两圆的割线，分别交⊙o1、⊙o2于点D、E，DE与Ac相交于点P.求证：AD∥Ec；若AD是⊙o2的切线，且PA＝6，Pc＝2，BD＝9，求AD的长.【解析】连接AB，因为Ac是⊙o1的切线，所以∠BAc＝∠D，又因为∠BAc＝∠E，所以∠D＝∠E，所以AD∥Ec.方法一：因为PA是⊙o1的切线，PD是⊙o1的割线，所以PA2＝PB·PD，所以62＝PB·，所以PB＝3.在⊙o2中，由相交弦定理得PA·Pc＝BP·PE，所以PE＝4.因为AD是⊙o2的切线，DE是⊙o2的割线，所以AD2＝DB·DE＝9×16，所以AD＝12.方法二：设BP＝x，PE＝y.因为PA＝6，Pc＝2，所以由相交弦定理得PA·Pc＝BP·PE，即xy＝12.①因为AD∥Ec，所以＝，所以＝.②由①②可得或，所以DE＝9＋x＋y＝16.因为AD是⊙o2的切线，DE是⊙o2的割线，所以AD2＝DB·DE＝9×16，所以AD＝12.【变式训练2】如图，⊙o的直径AB的延长线与弦cD的延长线相交于点P，E为⊙o上一点，DE交AB于点F，且AB＝2BP＝4.求PF的长度；若圆F与圆o内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度.【解析】连接oc，oD，oE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中已知条件可得∠cDE＝∠Aoc.又∠cDE＝∠P＋∠PFD，∠Aoc＝∠P＋∠ocP，从而∠PFD＝∠ocP，故△PFD∽△Pco，所以＝.由割线定理知Pc·PD＝PA·PB＝12，故PF＝＝＝3.若圆F与圆o内切，设圆F的半径为r，因为oF＝2－r＝1，即r＝1，所以oB是圆F的直径，且过点P的圆F的切线为PT，则PT2＝PB·Po＝2×4＝8，即PT＝2.题型三 四点共圆问题【例3】如图，圆o与圆P相交于A、B两点，圆心P在圆o上，圆o的弦Bc切圆P于点B，cP及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥cE，交cB的延长线于点F.求证：B、P、E、F四点共圆；若cD＝2，cB＝2，求出由B、P、E、F四点所确定的圆的直径.【解析】证明：连接PB.因为Bc切圆P于点B，所以PB⊥Bc.又因为EF⊥cE，所以∠PBF＋∠PEF＝180°，所以∠EPB＋∠EFB＝180°，所以B，P，E，F四点共圆.因为B，P，E，F四点共圆，且EF⊥cE，PB⊥Bc，所以此圆的直径就是PF.因为Bc切圆P于点B，且cD＝2，cB＝2，所以由切割线定理cB2＝cD·cE，得cE＝4，DE＝2，BP＝1.又因为Rt△cBP∽Rt△cEF，所以EF∶PB＝cE∶cB，得EF＝.在Rt△FEP中，PF＝＝，即由B，P，E，F四点确定的圆的直径为.【变式训练3】如图，△ABc是直角三角形，∠ABc＝90°.以AB为直径的圆o交Ac于点E，点D是Bc边的中点.连接oD交圆o于点m.求证：o，B，D，E四点共圆；2DE2＝Dm·Ac＋Dm·AB.【证明】连接BE，则BE⊥Ec.又D是Bc的中点，所以DE＝BD.又oE＝oB，oD＝oD，所以△oDE≌△oDB，所以∠oBD＝∠oED＝90°，所以D，E，o，B四点共圆.延长Do交圆o于点H.因为DE2＝Dm·DH＝Dm·＝Dm·Do＋Dm·oH＝Dm·＋Dm·，所以2DE2＝Dm·Ac＋Dm·AB.总结提高1.直线与圆的位置关系是一种重要的几何关系.本章在初中平面几何的基础上加以深化，使平面几何知识趋于完善，同时为解析几何、立体几何提供了多个理论依据.2.圆中的角如圆周角、圆心角、弦切角及其性质为证明相关的比例线段提供了理论基础，为解决综合问题提供了方便，使学生对几何概念和几何方法有较透彻的理解.第十七章 坐标系与参数方程高考导航 考试要求重难点击命题展望
一、坐标系1.了解在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，理解坐标系的作用.2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别.二、参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义.2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.3.了解平摆线和渐开线的生成过程，并能写出它们的参数方程.4.了解其他摆线的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.本章重点：1.根据问题的几何特征选择坐标系；坐标法思想；平面直角坐标系中的伸缩变换；极坐标系；直线和圆的极坐标方程.2.根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义；分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.本章难点：1.对伸缩变换中点的对应关系的理解；极坐标的不唯一性；曲线的极坐标方程.2.根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程.坐标系是解析几何的基础，为便于用代数的方法研究几何图形，常需建立不同的坐标系，以便使建立的方程更加简单，参数方程是曲线在同一坐标系下不同于普通方程的又一种表现形式.某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更加方便.本专题要求通过坐标系与参数方程知识的学习，使学生更全面地理解坐标法思想；能根据曲线的特点，选取适当的曲线方程表示形式，体会解决问题中数学方法的灵活性.高考中，参数方程和极坐标是本专题的重点考查内容.对于柱坐标系、球坐标系，只要求了解即可.知识网络17.1 坐标系典例精析题型一 极坐标的有关概念【例1】已知△ABc的三个顶点的极坐标分别为A，B，c，试判断△ABc的形状，并求出它的面积.【解析】在极坐标系中，设极点为o，由已知得∠AoB＝，∠Boc＝，∠Aoc＝.又|oA|＝|oB|＝5，|oc|＝4，由余弦定理得|Ac|2＝|oA|2＋|oc|2－2|oA|·|oc|·cos∠Aoc＝52＋2－2×5×4·cos＝133，所以|Ac|＝.同理，|Bc|＝.所以|Ac|＝|Bc|，所以△ABc为等腰三角形.又|AB|＝|oA|＝|oB|＝5，所以AB边上的高h＝＝，所以S△ABc＝××5＝.【点拨】判断△ABc的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长.【变式训练1】点A在条件：①ρ＞0，θ∈下极坐标为
，②ρ＜0，θ∈下极坐标为
；点P与曲线c：ρ＝cos的位置关系是
.【解析】；.点P在曲线c上.题型二 直角坐标与极坐标的互化【例2】⊙o1和⊙o2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.把⊙o1和⊙o2的极坐标方程化为直角坐标方程；求经过⊙o1和⊙o2交点的直线的直角坐标方程.【解析】以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长.因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为⊙o1的直角坐标方程.同理，x2＋y2＋4y＝0为⊙o2的直角坐标方程.由解得或即⊙o1，⊙o2的交点为和两点，故过交点的直线的直角坐标方程为x＋y＝0.【点拨】互化的前提条件：原点对应着极点，x轴正向对应着极轴.将互化公式代入，整理可以得到.【变式训练2】在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ＝2的距离为d，求d的最大值.【解析】将极坐标方程ρ＝3化为普通方程x2＋y2＝9，ρ＝2可化为x＋y＝2.在x2＋y2＝9上任取一点A，则点A到直线的距离为d＝＝，它的最大值为4.题型三 极坐标的应用【例3】过原点的一动直线交圆x2＋2＝1于点Q，在直线oQ上取一点P，使P到直线y＝2的距离等于|PQ|，用极坐标法求动直线绕原点一周时点P的轨迹方程.【解析】以o为极点，ox为极轴，建立极坐标系，如右图所示，过P作PR垂直于直线y＝2，则有|PQ|＝|PR|.设P，Q，则有ρ0＝2sinθ.因为|PR|＝|PQ|，所以|2－ρsinθ|＝|ρ－2sinθ|，所以ρ＝±2或sinθ＝±1，即为点P的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4或x＝0.【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.【变式训练3】如图，点A在直线x＝5上移动，等腰△oPA的顶角∠oPA为120°，求点P的轨迹方程.【解析】取o为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x＝5的极坐标方程为ρcosθ＝5.设A，P，因为点A在直线ρcosθ＝5上，所以ρ0cosθ0＝5.①因为△oPA为等腰三角形，且∠oPA＝120°，而|oP|＝ρ，|oA|＝ρ0以及∠PoA＝30°，所以ρ0＝ρ，且θ0＝θ－30°.②把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为ρcos＝5.题型四平面直角坐标系中坐标的伸缩变换【例4】定义变换T：可把平面直角坐标系上的点P变换成点P′.特别地，若曲线m上一点P经变换公式T变换后得到的点P′与点P重合，则称点P是曲线m在变换T下的不动点.若椭圆c的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为2，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2.求椭圆c的标准方程，并求出当tanθ＝时，其两个焦点F1、F2经变换公式T变换后得到的点F1′和F2′的坐标；当tanθ＝时，求中的椭圆c在变换T下的所有不动点的坐标.【解析】设椭圆c的标准方程为＋＝1，由椭圆定义知焦距2c＝2⇒c＝，即a2－b2＝2.①又由已知得a2＋b2＝4，②故由①、②可解得a2＝3，b2＝1.即椭圆c的标准方程为＋y2＝1，且椭圆c两个焦点的坐标分别为F1和F2.对于变换T：当tanθ=时，可得设F1′和F2′分别是由F1和F2的坐标经变换公式T变换得到.于是即F1′的坐标为；又即F2′的坐标为.设P是椭圆c在变换T下的不动点，则当tanθ＝时，有⇒x＝3y，由点P∈c，即P∈c，得＋y2＝1⇒因而椭圆c的不动点共有两个，分别为和.【变式训练4】在直角坐标系中，直线x－2y＝2经过伸缩变换
后变成直线2x′－y′＝4.【解析】总结提高1.平面内一个点的极坐标有无数种表示方法.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；反之也成立.2.熟练掌握几种常用的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程.17.2 参数方程典例精析题型一 参数方程与普通方程互化【例1】把下列参数方程化成普通方程：
；
.【解析】所以5x2＋4xy＋17y2－81＝0.由题意可得所以①2－②2得－＝4，所以－＝1，其中x＞0.【变式训练1】把下列参数方程化为普通方程，并指出曲线所表示的图形.【解析】x2＝2，－≤x≤，图形为一段抛物线弧.x＝1，y≤－2或y≥2，图形为两条射线.x2＋y2－3y＝0，图形是一个圆，但是除去点.－＝1，图形是双曲线.题型二 根据直线的参数方程求弦长【例2】已知直线l的参数方程为，曲线c的极坐标方程为ρ2cos2θ＝1.求曲线c的普通方程；求直线l被曲线c截得的弦长.【解析】由曲线c：ρ2cos2θ＝ρ2＝1，化成普通方程为x2－y2＝1.①方法一：把直线参数方程化为标准参数方程.②把②代入①得2－2＝1，整理得t2－4t－6＝0.设其两根为t1，t2，则t1＋t2＝4，t1t2＝－6.从而弦长为|t1－t2|＝＝＝＝2.方法二：把直线的参数方程化为普通方程为y＝，代入x2－y2＝1，得2x2－12x＋13＝0.设l与c交于A，B，则x1＋x2＝6，x1x2＝，所以|AB|＝·＝2＝2.【变式训练2】在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为，若以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c的极坐标方程为ρ＝cos，求直线l被曲线c所截的弦长.【解析】将方程化为普通方程为3x＋4y＋1＝0.将方程ρ＝cos化为普通方程为x2＋y2－x＋y＝0.表示圆心为，半径为r＝的圆，则圆心到直线的距离d＝，弦长＝2＝2＝.题型三 参数方程综合运用【例3】已知曲线c1：
，c2：
.化c1，c2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；若c1上的点P对应的参数为t＝，Q为c2上的动点，求PQ中点m到直线c3：距离的最小值.【解析】c1：2＋2＝1，c2：＋＝1.c1是以为圆心，1为半径的圆；c2是以坐标原点为中心，焦点在x轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.当t＝时，P，Q，故m.c3为直线x－2y－7＝0，m到c3的距离d＝|4cosθ－3sinθ－13|，从而cosθ＝，sinθ＝－时，d取最小值.【变式训练3】在平面直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为，以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线c2的极坐标方程为ρ＝2cosθ－4sinθ.化曲线c1、c2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；设曲线c1与x轴的一个交点的坐标为P，经过点P作曲线c2的切线l，求切线l的方程.【解析】曲线c1：＋＝1；曲线c2：2＋2＝5.曲线c1为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线c2为圆心为，半径为的圆.曲线c1：＋＝1与x轴的交点坐标为和，因为m＞0，所以点P的坐标为.显然切线l的斜率存在，设为k，则切线l的方程为y＝k.由曲线c2为圆心为，半径为的圆得＝，解得k＝，所以切线l的方程为y＝.总结提高1.在参数方程与普通方程互化的过程中，要保持化简过程的同解变形，避免改变变量x，y的取值范围而造成错误.2.消除参数的常用方法有：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段.3.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参.
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