第八章
重积分
作业9
二重积分的概念与性质
1．利用二重积分的性质,比较下列积分的大小：
（1）与
(a)D是由直线及所围成的闭区域；
(b)
D是由圆周所围成的闭区域．
解：(a)因为在区域内部有，从而大
(b)因为在区域内部有，从而大
（2）与
(a)D是矩形闭区域：；
(b)
D是矩形闭区域：．
解：(a)因为在区域内部有，从而大
(b)因为在区域内部有，从而大
（3）与，其中是由三个坐标面与平面所围成的闭区域．
解：因为在区域内部有，从而，因此大
2．利用积分的性质，估计下列各积分的值：
（1），其中D是矩形闭区域：；
解：因为在区域内部有，因此
（2），其中为球体；
解：因为在区域内部有，因此
（3），其中L为圆周位于第一象限的部分；
解：因为在曲线上积分，不妨设，因此
（4），其中为柱面被平面所截下的部分．
解：因为在曲面上积分，从而，因此
作业10
二重积分的计算
1．试将二重积分化为两种不同的二次积分，其中区域D分别为：
（1）由直线及双曲线所围成的闭区域；
解：作图得知区域D可以表示为：，得
区域D也可以分块表示为：
从而
（2）环形闭区域：．
解：在极坐标下环形闭区域为
从而
在直角坐标下环形闭区域需分块表达，分块积分变为
2．改换下列二次积分的积分次序（填空）：
（1）；
（2）；
（3）．
3．画出积分区域，并计算下列二重积分：
（1），其中D是由两条抛物线所围成的闭区域；
解：作图，原式=
（2），其中D是由所确定的闭区域；
解：作图，原式=
（3），其中D是由不等式所围成的闭区域；
解：作图，原式=
（4），其中D是顶点分别为的三角形闭区域．
解：作图，原式=
4．求由曲线所围成的闭区域的面积．
解：曲线方程联立，得
作图知，原式=
5．求由四个平面所围柱体被平面及
所截得的立体的体积．
解：四个平面决定的区域D为：
在区域D内部
从而所截得的立体的体积
6．化下列二次积分为极坐标系下的二次积分：
（1）
（2）；
7．利用极坐标计算下列积分：
（1），其中D是由圆周所围成的闭区域；
解：D是圆周，即
从而
（2），其中是由圆所围成的闭区域；
解：D是圆周围成，知其为
从而原式=
（3），D是与所确定的闭区域；
解：D是圆环的关于原点对称的两部分，与
从而原式=
（由对称性更简单：因为，对称点的积分微元反号）
（4），其中D是介于两圆和之间的闭区域．
解：D介于两圆之间，可知
从而原式=
8．用适当的坐标计算下列积分：
（1），其中是由直线，，（）所围成的闭区域；
解：作图知由直角坐标表达方便，（2），其中是由圆周所围成的闭区域；
解：由表达式由极坐标表达方便，原式=
（3），D：；
解：先作坐标轴平移，再用极坐标
原式=
（4），D：．
解：用广义极坐标
原式=
作业11
三重积分的概念与计算
1．试将三重积分化为三次积分，其中积分区域分别为：
（1）由双曲抛物面及平面所围的闭区域；
（2）由曲面及所围的闭区域
．
2．计算下列三重积分：
（1），其中为平面，所围成的四面体；
解：分析边界作图知为，原式=
（2），其中是由曲面与平面所围的闭区域；
解：分析边界作图知为，原式=
（3），其中是由平面及抛物柱面所围的闭区域．
解：分析边界作图知为，原式=
3．利用柱面坐标计算下列三重积分：
（1），其中是曲面和平面所围成的闭区域；
解：原式
（2），其中是曲面及所围成的闭区域；
解：原式
（3），其中是曲面和平面所围成的闭区域；
解：原式
（4），其中是曲面和平面所围成的闭区域．
解：先作坐标轴平移，再用柱坐标
原式
=
4．利用球面坐标计算下列三重积分：
（1），其中是球面所围成的闭区域；
解：
原式
（2），其中是由不等式（），所确定的闭区域；
解：
原式
（3），其中是不等式，所确定的闭区域．
解：
原式
5.选取适当的坐标计算下列三重积分：
（1），其中是柱面及平面，所围成的在第一卦限内的闭区域；
解：用柱坐标
原式=
（2），其中是球面所围的闭区域；
解：用球坐标
原式
（3），其中是由曲面及平面所围的闭区域；
解：用柱坐标
原式=
（4），其中是球面所围的在第一卦限内的闭区域；
解：用球坐标
原式
（5），其中是椭球面所围成的闭区域．
解：用广义球坐标
原式
作业12
重积分的应用
1．球心在原点，半径为的球体，在其上任意一点的体密度与该点到球心的距离成正比，求这球体的质量．
解：设球面的方程为，球的密度为
则球体的质量为
2．求球体的质心，这里假设球体内各点处的密度等于该点到坐标原点的距离的平方．
解：由对称性，质心应该在z轴上，可设为，3．设均匀平面薄片为椭圆形闭区域：，求转动惯量．
解：用广义极坐标
4．设半径为的球体内每一点密度的大小与该点到球心的距离成正比，求质量为非均匀球体对其直径的转动惯量．
解：设球面的方程为，球的密度为
则球体对其直径的转动惯量为
5．求面密度为常数的均匀圆环形薄片：对位于轴上的点处的单位质量的质点的引力．
解：设环域上点处的单位面积产生的引力微元为，由对称性
6．一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面和平面，所围成，（1）求物体的体积；（2）求物体的质心；（3）求物体关于z轴的转动惯量．
解：
由对称性，质心应该在z轴上，可设为，第八章《重积分》测试题
1．选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论：
（1）设有空间闭区域，则有（D）
（A）；
（B）；
（C）；
（D）．
（2）设平面闭区域，则（A）
（A）；
（B）；
（C）；
（D）．
（3）设是有界闭区域上的连续函数，则当时，得极限为（B）.A.不存在；
B.等于
C.等于
D.等于．
2．选择适当的坐标系计算下列二重积分：
（1），是由直线所围成的区域；
解：作图，分块积分。
原式
（2），其中D是由和所围成；
解：作图，分块积分。
原式
（3），其中；
原式=
（4），其中D是由和所围成的平面区域，且；
解：作图知没有用上
原式
（5），D：；
解：作图知，分块积分区别处理较方便
原式
3．交换下列二次积分的次序：
（1）；
（2）；
（3）．
4．将变为极坐标形式的二次积分，其中D由不等式和所规定．
解：由，从而
5．计算，其中D是矩形域：．
解：作图，需要分块积分
原式
6．计算，其中由所围．
解：作图或分析推理，得：
原式
7．将三次积分变为柱坐标及球坐标的形式．
解：由上下限知
从而由坐标转化公式可推出区域表达式，因此得出
在柱坐标下
在球坐标下
8．计算，其中:．
解：由知:
从而，原式
9．计算下列三重积分：
（1），是由球面所围成的闭区域．
解：由于当时就有，而积分微元在对称点刚好反号，从而
（2），其中是由xOy平面上曲线绕轴旋转而成的曲面与平面所围成的闭区域．
解：曲线绕轴旋转而成的曲面为，与平面的交线为，所围成的闭区域为
10．求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积．
解：平面为
11．设在上连续，试证：，其中为正整数．
证：左边
=右边
12．求曲面上点处的切平面与曲面所围成的空间立体的体积．
解：切平面的法向量为
从而切平面为
切平面与曲面的交线为投影柱面交切平面，13．一平面薄片所占的闭区域由不等式：所确定，其上每一点的面密度为，试求该薄片的质量．
解：，用极坐标做方便些
求交点，14．求由抛物线及直线所围成的均匀薄片（面密度为常数）对于直线的转动惯量．
解：
15．设在面上有一质量为M的匀质半圆形薄片，占有平面闭区域，过圆心垂直于薄片的直线上有一质量为的质点，求半圆形薄片质点的引力．
解：，由对称性，
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